Đề Luyện Thi Thử Tốt Nghiệp - Đại Học Năm 2011 - Số 44 doc

Câu I. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x 3 -3x 2 -9x+1. 2) Tìm điều kiện đối với a và b, sao cho đỷờng thẳng y = ax + b cắt đồ thị trên tại 3 điểm khác nhau A, B, C, với B là trung điểm của đoạn AC. Câu II. 1) Giải và biện luận theo a, b, phỷơng trình cosax + cos2bx - cos(a + 2b)x = 1. 2) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không phải là tam giác tù, thì(1 + sin 2 A)(1 + sin 2 B)(1 + sin 2 C)>4. Câu III. 1) Cho a=x 2 +2x+3, b=x 2 +1, c=x 2 +4x+5. a) Với giá trị nào của x thì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác ? b) Chứng minh rằng khi đó bán kính r của đỷờng tròn nội tiếp của tam giác đỷợc tính theo công thức r= 3 6 (x - 2x - 1) (x + 6x + 7) 22 . 2) Giải và biện luận theo tham số a hệ phỷơng trình xya xya += += ỡ ớ ù ợ ù 444 Câu IVa. Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm A(1, 1). Hãy tìm điểm B trên đỷờng thẳngy=3,vàđiểm C trên trục hoành, sao cho ABC là tam giác đều. Câu Va. Tính tích phân I(m) = xxmdx 2 0 2-+ ũ Câu IVb. Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a, ngỷờitalấyđiểmMvớiAM=x(0<x<a),vàtrên nửa đỷờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, lấy điểm S sao cho AS=y>0. 1) Chứng minh rằng nhị diện cạnh SB của hình chóp S.ABCM là nhị diện vuông. 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC). 3) Gọi I là trung điểm đoạn SC, H là hình chiếu vuông góc của I lên CM. Tìm tập hợp điểm H khi M chạy trên AD và S chạy trên Ax. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Câu I. 1) Đề nghị bạn hãytự giải nhé! 2) Khi đó phỷơng trình x 3 -3x 2 -9x+1=ax+b (1) phải có ba nghiệm phân biệt x 1 <x 2 <x 3 trong đó 2x 2 =x 1 +x 3 (1) tỷơng đỷơng với:x 3 -3x 2 -(9+a)x+1-b=0.(2) Vì đỷờng cong y 1 =x 3 3x 2 -(9+a)x+1-bnhận điểm uốn là tâm đối xứng nên để có 2x 2 =x 1 +x 3 thì cần thiết là điểm uốn phải thuộc trục hoành (x 2 là hoành độ điểm uốn). y" 1 =6x-6;y" 1 =0 x 2 =1, y 1 (1)=0ị -10-a-b=0ị a+b=-10. Điều kiện đủ : thay a = -(b + 10) vào (2) ta có: x 3 -3x 2 -[9-b-10]x+1-b=0x 3 -3x 2 +(1+b)x+1-b=0 (x-1)[x 2 -2x-1+b]=0. (3) Để (3) có ba nghiệm phân biệt, đối với f(x) =x 2 -2x-1+b, ta phải có: D' () =-> =-ạ ỡ ớ ù ù ợ ù ù < 20 120 2 b fb b Vậy điều kiện đối với a và b là: a+b=-10 ;b<2. Khi đó đỷờng thẳngy=ax+blàđỷờng thẳng: y=ax+(-a-10) y = a(x - 1) - 10 luôn đi qua điểm (1, - 10) cố định. Câu II. 1) Biến đổi phỷơng trình nhỷ sau: (cosax + cos2bx) - [cos(a + 2b)x + 1] = 0 2cos a 2 + b xcos a 2 - b x - 2cos a 2 +b 2 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ x =0 cos a 2 +bxcos a 2 -bx-cos a 2 +b ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ộ ở ờ ờ ự ỷ ỳ ỳ x =0 cos a 2 +bx sin a 2 x . sinbx ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ộ ở ờ ờ ự ỷ ỳ ỳ =0. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ a) sinbx = 0 (1) Nếub=0thì(1)nghiệm đúng với mọi x. Nếu b ạ 0 thì có x 1 = kp b (kẻ Z). b) sin a 2 x=0. (2) Nếua=0thì(2)nghiệm đúng với mọi x. Nếu a ạ 0 thì có x 2 = 2mp a (m ẻ Z). c) cos a 2 +b x ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ = 0. (3) Nếu a 2 +b=0(a+2b=0)thì(3)vônghiệm. Nếu a 2 +bạ 0(a+2bạ 0) thì có x 3 = (1 + 2n) a+2b p (n ẻ Z). Kết luận : Nếua=0hoặcb=0thìphỷơng trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x. Nếu a, b ạ 0 thì:khia+2b=0,cómộthọnghiệm:x 1 = k b p (k ẻ Z) (vì lúc đó x 1 =x 2 );khia+2bạ 0 thì đỷợc ba họ nghiệm: x 1 = k b p ;x 2 = 2m a p ;x 3 = (1 + 2n) a+2b p (k, m, n ẻ Z). 2) Ta biết rằng sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C=2+2cosA cosB cosC, do vậy nếu ABC không phải là tam giác tù, thì sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C2ịsin 2 A + sin 2 B2-sin 2 C, dấu đẳng thức chỉ xảy ra với tam giác vuông. Mặt khác sinAsinB sinAsin B - cosAcosB = -cos(A + B) = cosC, dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi hoặc A, hoặc B bằng 90 o . Theo giả thiết cosA, cosB, cosC 0, nên www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ sin 2 A sin 2 B cos 2 C=1-sin 2 C, thành thử (1 + sin 2 A) (1 + sin 2 B)=1+sin 2 A + sin 2 B + sin 2 A sin 2 B 4 - 2sin 2 C = 2(2 - sin 2 C), vậy(1 + sin 2 A)(1 + sin 2 B)(1 + sin 2 C) 2(2 - sin 2 C)(1 + sin 2 C) = 2(2 + sin 2 C - sin 4 C) 4; ở bất đẳng thức cuối cùng, dấu = chỉ xẩy ra khiC=90 o . Tam giác ABC không thể có hai góc vuông, vậy(1 + sin 2 A) (1 + sin 2 B) (1 + sin 2 C)>4. Câu III. 1) a) Để a, b, c tạo thành ba cạnh của một tam giác ta phải có: a+b>c 2x 2 +2x+4>x 2 +4x+5 b+c>a 2x 2 +4x+6>x 2 +2x+3 c+a>b 2x 2 +6x+8>x 2 +1 x 2 -2x-1>0 x 2 +2x+3>0 x 2 +6x+7>0. Giải hệ này, ta đỷợc:-Ơ <x<-3- 2 hoặc-3+ 2<x<1- 2 hoặc 1 + 2 <x<+Ơ. b)Tacó:r= S p = p(p-a)(p-b)(p-c) p 2 ; (*) p= 1 2 (a+b+c)= 1 2 (3x 2 +6x+9)= 3 2 (x 2 +2x+3); p-a= 1 2 (x 2 +2x+3); p-b= 1 2 (x 2 +6x+7); p-c= 1 2 (x 2 -2x-1). Thế vào (*) sẽ đỷợc:r = 3 6 (x - 2x - 1)(x + 6x + 7) 22 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ 2)Thếy=a-xvàophỷơng trình thứ 2 của hệ, ta có: x 4 +(x-a) 4 =a 4 . Đặtt=x- a 2 thì có t+ a 2 +t- a 2 44 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ =a 4 2t 4 +3a 2 t 2 - 7 8 a 4 =0. Đặt t 2 =z(z 0) ta có: 2z 2 +3a 2 z- 7 8 a 4 =0.(1) Nếua=0thìcóz 1 =z 2 =0ị t=0ị x=0,y=0. Nếu a ạ 0 thì (1) luôn có hai nghiệm: z 1 <0<z 2 . (Loại z 1 ); z 2 = -3a +4a 4 = a 4 222 ị t 1,2 = a 2 . Từ đó hệ có hai nghiệm x 1 =0,y 1 =avàx 2 =a,y 2 =0. Kết luận : hệ luôn có hai nghiệm:x 1 =0,y 1 =avàx 2 =a,y 2 =0. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________ Câu IVa. Giả sử ta tìm đợc điểm B B(x , 3) trên đờng thẳng y = 3 và điểm C C(x , 0) trên trục hoành sao cho ABC là đều. Do đờng thẳng (AC) không thể song song với trục tung và trục hoành nên có phơng trình y = k (x 1) + 1 (k 0) . Từ đó C k1 x. k = Gọi MM M(x , y ) là trung điểm đoạn thẳng AC, ta có : M M 2k 1 x 2k 1 y. 2 = = Vì đờng thẳng trung trực (d) của đoạn thẳng AC qua M và (d) (AC) nên (d) có phơng trình : M 11 y(xx) k2 = + hay = + 12k11 yx k2k2 , Do B d nên B 12k11 3x k2k2 = + hay 2 B 5k 2k 1 x 2k + = Cuối cùng do AB = AC nên bằng cách viết đẳng thức này dới dạng tọa độ, ta đi đến phơng trình 42 25k 22k 3 0 + = k3/5= . Vậy, các cặp điểm tơng ứng B, C tìm đợc trên đờng thẳng y = 3 và trục hoành để tam giác ABC đều là : 2 5k 2k 1 B,3 2k + , k1 C,0 k với k3/5= và k3/5= . Câu Va. Đặt 2 f(x) x 2 m=+, ' = 1 m. a) Khi ' 0 hay m 1: Do f() 0, x nên === 11 00 I(m) | f(x) | dx f(x)dx 1 0 1 3 22 0 x2 (x 2x m)dx x mx m . 33 =+ =+ = b) Khi '0> hay m < 1. Dấu của f(x) đợc cho bởi kết quả x 11m 11m + f(x) + 0 0 + và ta có : A B C M x y O d www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________ f(0) m = , 11m111m <<+ . Với m 0 : f (0) 0 nên 11m0 ; 11 1m + và ta có : f(x) 0, x [ 0 ; 1]. Vậy === 11 00 2 1(m) | f(x) | dx f(x)dx m 3 . Với 0 < m < 1 : f(0) > 0 nên 01 1m1< <, do đó f(x) 0, x [0,1 1 m ] f(x) 0, x [1 1 m;1] > Vậy == 1 0 I(m) | f(x) | dx 11 1 22 0 11 (2 ) ( 2 ) m m x xmdx x xmdx + + + = 11m 1 0 11m 33 22 xx xmx xmx 33 =+ ++ = 4( ) 1 3 2 3 mmm + Câu IVb. 1) BC SA BC AD BC (SAB) (SBC) (SAB). 2) Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD, kẻ MK // BD. Vì BD AC BD SA BD (SAC) MK (SAC). Độ dài MK là khoảng cách từ M tới (SAC) : MK AM OD AD = hay 2MK x a a2 = x2 MK 2 = . 3) IO// SA IO (ABCD) ; IH MC OH MC (định lí ba đờng vuông góc). Vậy H nằm trên đờng tròn đờng kính OC trong mặt phẳng (ABCD). Nhận xét : Khi M AD, q 1 HOHH trên hình 44. Đảo lại : lấy H' q 1 OHH , CH' cắt AD tại M'. Chứng minh IH' CM'. Điều này là hiển nhiên nhờ định lí đảo của định lí ba đờng vuông góc. Kết luận : Tập hợp hình chiếu H của I trên CM là q 1 OHH . A B C D M S I K H H O 1 . uốn). y" 1 =6x-6;y" 1 =0 x 2 =1, y 1 (1)=0ị -1 0-a-b=0ị a+b =-1 0. Điều kiện đủ : thay a = -( b + 10) vào (2) ta có: x 3 -3 x 2 -[ 9-b-10]x+1-b=0x 3 -3 x 2 +(1+b)x+1-b=0 (x-1)[x 2 -2 x-1+b]=0. (3) Để. 2x 2 +6x+8>x 2 +1 x 2 -2 x-1>0 x 2 +2x+3>0 x 2 +6x+7>0. Giải hệ này, ta đỷợc :- <x< ;-3 - 2 hoặc-3+ 2<x< 1- 2 hoặc 1 + 2 <x<+Ơ. b)Tacó:r= S p = p(p-a)(p-b)(p-c) p 2 ; (*) p= 1 2 (a+b+c)= 1 2 (3x 2 +6x+9)= 3 2 (x 2 +2x+3); p-a= 1 2 (x 2 +2x+3); p-b= 1 2 (x 2 +6x+7); p-c= 1 2 (x 2 -2 x-1). Thế. (*) p= 1 2 (a+b+c)= 1 2 (3x 2 +6x+9)= 3 2 (x 2 +2x+3); p-a= 1 2 (x 2 +2x+3); p-b= 1 2 (x 2 +6x+7); p-c= 1 2 (x 2 -2 x-1). Thế vào (*) sẽ đỷợc:r = 3 6 (x - 2x - 1)(x + 6x + 7) 22 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ 2)Thếy=a-xvàophỷơng