www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Giải hệ phỷơng trình xxyy xxyy 22 4 2 ++= ++= 2) Cho a 1, b 1. Chỷỏng minh log a + log b 22 Ê 2 log a+b 2 2 . Câu II. 1) Xác định p sao cho hàm số y= -x + 3x + p x-4 2 có giá trị cỷồc đại M và giá trị cỷồc tiểu m, vớim-M=4. 2) Với nhỷọng giá trị nào của m thì hàm số y=| xx 2 54+ |+mx có giá trị nhỏ nhất lớn hơn 1? Câu III. 1) Với nhỷọng giá trị nào của m thì phỷơng trình sau đây có nghiệm: 3 sin x 2 +3 tg 2 x + m(tg x + cotg x)-1=0. 2) Xác định m để hàm số sau đây luôn luôn nghịch biến: y = (m - 3) x - (2m + 1) cosx. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Câu I. 1) Giải hệ phơng trình 22 xxyy4 xxyy2 + += ++= Đặt u = x + y, v = xy, hệ đã cho trở thành 2 uv4= (1) u + v = 2 (2) (2) v = 2 u ; thế vào (1) ta đợc 2 uu60 + = 1 u3 = , 2 u2 = . a) Khi 1 u3= ta có 1 v5= x + y = 3 xy = 5 Hệ này vô nghiệm. b) Khi 2 u2= ta có 2 v = 0 x + y = 2 xy = 0 Hệ này có 2 nghiệm : x = 0 x = 2 y = 2 , y = 0. 2) Cho a 1 ; b 1, hãy chứng minh 22 2 ab log a log b 2 log 2 + + . (1) Bất đẳng thức (1) tơng đơng với bất đẳng thức : 22 22 2 ab log a log b 2 log a log b 4log 2 + ++ (2) Vì a 1, b 1 nên theo bất đẳng thức Côsi ta có : ab ab 2 + 22 2 1ab (log a log b) log 22 + + (vì hàm 2 log x đồng biến) hay 22 2 ab log a log b 2log 2 + + (3) Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm 2 log a và 2 log b (vì a 1, b 1) ta có 22 2 2 2 log a log b log a log b+. Do đó theo (3) ta có 22 2 ab 2 log a log b 2log 2 + (4) Cộng từng vế các bất đẳng thức cùng chiều (3) và (4) ta đợc bất đẳng thức (2). Từ đó suy ra bất đẳng thức (1). Dấu bằng xảy ra khi a = b. Câu II. 1) Ta có 2 2 x8x(12p) y' (x 4) + + = y' = 0 1,2 x44p = (điều kiện p < 4). Ta có bảng biến thiên sau x 44p 4 44p + + y' 0 + + 0 y + m + M Dễ dàng tính đợc M = y(4 + 4p ) = 24 p 5, www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ m = y(4 4p ) = 24 p 5 . Do đó m M = 4 44 p 4= 4p = 1 p = 3. Vậy giá trị phải tìm là p = 3. 2) Ta viết y = 2 2 x(m5)x4 khi 1 x 4 x (m 5)x 4 khi x < 1, x > 4 + + + + Muốn giá trị nhỏ nhất của hàm số lớn hơn 1 ta phải có hàm số lớn hơn 1 với mọi x, tức là y 1 = 2 2 x(m5)x50 khi 1 x 4 x (m 5)x 3 0 khi x < 1, x > 4 + + > + +> (1) (2) a) Điều kiện để có (1) là các số 1 và 4 nằm trong khoảng 2 nghiệm của tam thức 2 f(x) x (m 5)x 5 = + + , tức là 1.f(1) 0 1.f(4) 0 < < m10 4m 1 0 > > m > 1 (3) b) Điều kiện để có (2) là một trong 2 trờng hợp sau : Trờng hợp 1 : Tam thức g(x) = 2 x(m5)x3+ + có 523 m 523<<+ (4) Trờng hợp 2 : Tam thức g(x) = 2 x(m5)x3+ + có hai nghiệm nằm trong khoảng (1 ; 4) tức là 0 1.g(1) 0 1.g(4) 0 5m 14 2 2 (m 5) 12 0 m10 4m 1 0 3m3 1m523 (5) Từ (4) và (5) suy ra (2) đợc thỏa mãn khi 1m523<+ (6) Kết luận : Từ (3) và (6) suy ra các giá trị phải tìm của m là : 1 < m < 5 + 23 Câu III. 1) 2 2 3 3tg x sin x + + m (tgx + cotgx) 1 = 0 (1) Điều kiện : sinx 0 x k cosx 0 xk 2 + (1) 22 3(tg x cot g x)+ + m(tgx + cotgx) + 2 = 0 (3) Đặt t = tgx + cotgx thì | t | 2 và (3) trở thành f(t) = 2 3t + mt 4 = 0 (4) Phơng trình lợng giác đã cho có nghiệm khi phơng trình (4) có nghiệm thỏa mãn điều kiện |t| 2. Trớc hết, ta tìm điều kiện để (4) chỉ có nghiệm thỏa mãn điều kiện | t | > 2 hay 12 2t t 2< < , (5) khi đó phơng trình đã cho vô nghiệm . Phơng trình (4) có 2 m48= + > 0 nên nó luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 t , 2 t . Điều kiện (5) đợc thỏa mãn khi và chỉ khi xk 2 = < 2 (m 5) 12 0 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ f(2) 0 f( 2) 0 S 22 2 > > < < 2m 8 0 2m 8 0 m 22 6 +> +> < < | m | < 4 Từ đó suy ra, phơng trình (4) có nghiệm thỏa mãn điều kiện | t | 2 khi |m | 4, tức là phơng trình đã cho có nghiệm khi | m | 4. 2) Hàm số luôn luôn nghịch biến khi và chỉ khi y' = (m 3) + (2m + 1) sinx 0 , x. Đặt t = sinx, bài toán đa về : tìm m để hàm bậc nhất : f(t) = (m 3) + (2m + 1) t 0, t [1 ; 1]. Điều này xảy ra khi và chỉ khi f( 1) 0 f(1) 0 m40 3m 2 0 4 m 2 3 . Vậy các giá trị m phải tìm là : 4 m 2 3 . Câu IVa. Đặt I n = enxdx x a b 2 sin . ũ . u= e x 2 du = 2xe dx x 2 ị dv = sinnx dx v = - 1 n cosnx , ta có I n = -+ ũ 12 22 n enx n xe nxdx x a b x a b cos cos . Ta có: 1) e cosnx = e cosnb - e cosna x a b ba 222 suy ra - 1 n ecosnx 1 n (e + e ) x a b ba 222 Ê - 1 n ecosnx 1 n (e + e ) x a b ba 222 Ê , vậy lim 1 n e cosnx 0 n x a b 2 đƠ ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ = 2) xe nxdx x e dx x a b x a b 22 cos ũũ Ê Ê M(b-a) ở đây ta coi rằng a Ê b, và M = max (|a| e;|b|e) ab 22 . Suy ra lim cos n x a b n xe nxdx đ+Ơ ũ 2 2 =0. Thành thử lim I n+ n đƠ =0. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Câu IVb. 1) Từ các hệ thức: SA.SA = SB.SB = SC.SC = SD.SD = SH 2 suy ra 8 điểm A, B, C, D, A, B, C, D nằm trên mặt cầu ( d ). Đồng thời A, B, C, D nằm trên mặt cầu đỷờng kính SH. Nhỷ vậy các điểm này nằm trên đỷờng tròn giao tuyến của hai mặt cần nói trên, suy ra chúng nằm trên cùng một mặt phẳng và là các đỉnh của một tứ giác nội tiếp. 2) Cố định dây cung AC, ta thấy khi BD quay quanh H, thì (d) là mặt cầu qua (K) và A, C. Vậy (d) không phụ thuộc vào dây cung BD. Do đó cho BD một vị trí đặc biệt (chẳng hạn BD là một đỷờng kính của đỷờng tròn (K) thì (d) là mặt cầu qua (K) và B, D không phụ thuộc vào dây cung AC. Thành thử (d) là một mặt cầu cố định. Vì mặt cầu đỷờng kính HS là cố định, suy ra (ABCD) là mặt phẳng đi qua giao tuyến của hai mặt cầu cố định nói trên, đó là một mặt phẳng cố định. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu Iva. a, b là 2 số cố định. Chỷỏng minh rằng lim e sinnx dx = 0 n+ a b x 2 . Câu IVb. Trong mặt phẳng (P), cho đỷờng tròn (K) và một điểm H nằm bên trong đỷờng tròn ấy. Dỷồng đoạn HS vuông góc với (P). Xét hai dây cung AC và BD của đỷờng tròn (K), đi qua H. Gọi A, B, C, D là hình chiếu vuông góc của H lên SA, SB, SC, SD. 1) Chỷỏng tỏ rằng 4 điểm A, B, C, D nằm trên cùng một mặt phẳng, và ABCD là một tỷỏ giác nội tiếp. 2) Chỷỏng tỏ rằng khi các dây cung AC và BD quay quanh H, thì (ABCD) là một mặt phẳng cố định. . 2 log a+b 2 2 . Câu II. 1) Xác định p sao cho hàm số y= -x + 3x + p x-4 2 có giá trị cỷồc đại M và giá trị cỷồc tiểu m, vớim-M=4. 2) Với nhỷọng giá trị nào của m thì hàm số y=| xx 2 54+ |+mx có giá trị nhỏ. nghiệm: 3 sin x 2 +3 tg 2 x + m(tg x + cotg x )-1 =0. 2) Xác định m để hàm số sau đây luôn luôn nghịch biến: y = (m - 3) x - (2m + 1) cosx. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ . sinnx dx v = - 1 n cosnx , ta có I n = -+ ũ 12 22 n enx n xe nxdx x a b x a b cos cos . Ta có: 1) e cosnx = e cosnb - e cosna x a b ba 222 suy ra - 1 n ecosnx 1 n (e + e ) x a b ba 222 Ê - 1 n ecosnx 1 n (e