www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= 2x - x + 1 x-1 2 . 2) Có nhận xét gì về các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đỷờng thẳngy=7? 3) Chứng tỏ rằng trên đỷờng thẳngy=7,có4điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau góc 45 0 . Câu II. Cho hệ phỷơng trình x 2 -4xy+y 2 =k y 2 -3xy=4. 1) Giải hệ vớik=1. 2) Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k. Câu III. 1) Giải phỷơng trình 2 (2sinx-1) = 4(sinx-1) - cos(2x+ 4 ) - sin(2x+ 4 ). 2) Tìm số k lớn nhất để trong mọi tam giác ABC ta đều có sin 2 A + sin 2 B>ksin 2 C. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu I. 1) 2 y2x1 x1 =++ . Miền xác định : x 1. Tiệm cận đứng : x = 1 ; tiệm cận xiên y = 2x + 1. Đạo hàm 22 22x(x2) y' 2 (x 1) (x 1) = = . Bảng biến thiên x 0 1 2 + y' + 0 0 + y 1 + 7 + Đồ thị (Hình vẽ). 2) Đờng thẳng y = 7 tiếp xúc với đồ thị tại điểm (2, 7), vậy nó là một tiếp tuyến của đồ thị. Do đó trong các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C) từ các điểm trên đờng thẳng y = 7, thì đờng thẳng này là một tiếp tuyến cố định. 3) Giả sử A(a, 7) là một điểm trên đờng thẳng y = 7, từ đó có thể kẻ đến đồ thị hai tiếp tuyến lập với nhau góc o 45 . Vì y = 7 đã là một tiếp tuyến, và là đờng thẳng nằm ngang, nên tiếp tuyến kia phải có hệ số góc 1. Gọi oo M(x , y ) là tiếp điểm của tiếp tuyến thứ hai này với đồ thị. Ta có o 2 o 2 1y'(x)2 (x 1) = = o x12= , = o 2 x 3 . Nh vậy trên đồ thị có 4 điểm tại đó tiếp tuyến có hệ số góc 1. Bốn tiếp tuyến này cắt đờng thẳng y = 7 tại 4 điểm phải tìm. Câu II. 1) Với k = 1 ta có hệ 22 2 x4xyy1 y3xy4 += = 222 4(x 4xy y ) y 3xy+= 22 4x 13xy 3y 0+= x = 3y, x y 4 = . Với x = 3y phơng trình thứ 2 trở thành 2 8y 4= : vô nghiệm Với y x 4 = phơng trình thứ hai trở thành 2 y16 = , vậy hệ có nghiệm x1 y4, = = x1 y4 = = 2) Trong trờng hợp tổng quát, từ phơng trình thứ hai suy ra y 0, vậy 2 y4 x 3y = . Thế vào phơng trình đầu và rút gọn ta đợc www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ 42 11y (9k 49)y 16 0 + =. Với mọi k, phơng trình luôn có nghiệm 2 y > 0. Tính đợc y, suy ra x. Vậy hệ luôn có nghiệm. Câu III. 1) Biến đổi 2 (2sinx 1) = 4(sinx 1) 2 cos2x == 4(sinx 1) 2 (1 2 2sin x) thì đi đến 2 sin x ( 2 1)sin x 2 0 + = sinx = 2 loại, sinx = 1 x2k 2 = + (k Z). 2) Ta cần tìm số k lớn nhất để ta có 22 2 abkc+> (1) với mọi tam giác ABC. Để ý rằng c < a + b 2222 c(ab)(ab)<+ + 2 22 c ab 2 < + , suy ra 1 k 2 . Mặt khác xét tam giác cân có a = b, thế thì (1) trở thành 222 2a k(2a 2a cosC)> 2 1 k C 2sin 2 < bất đẳng thức này phải đúng cho mọi góc C trong tam giác cân ABC. Cho C , suy ra 1 k 2 . Vậy 1 k 2 = . Câu IVa. 1) f(x) = 2x - 8x (8x + 1) 4 32 , vậy hàm số có bảng biến thiên trên [0;+Ơ) x0 1 34 +Ơ f 0 + 0 - f 1 62 3 00 Tiệmcậnlày=0 2) Diện tích phải tìm là 0 1 2 3 0 1 3 3 3 0 1 xdx 8x + 1 = 1 24 d(8x + 1) 8x + 1 = 1 24 ln(8x + 1) = ln ũũ 9 24 . Câu IVb. 1) SAB, SAC là những tam giác vuông tại A ; AB, AC là các đỷờng cao hạ xuống cạnh huyền của các tam giác ấy, vậy SB.SB =SA 2 = = SC.SC (1), từ đó suy ra BCCB là tứ giác nội tiếp. Từ (1) ta có SB' SB .SB = SC' SC .SC 22 , nên nếu BC//BC, thì SB' SB = SC' SC , suy ra SB = SC ị AB = AC, trái với giả thiết ABC không phải là tam giác cân. 2) Xét đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC và đỷờng kính AD : AB ^ SB ị AB ^ (SBD) ị AB^ SD. Tỷơng tự AC ^ SD. Vậy (ABC) là mặt phẳng vuông góc với SD ị AI ^ SD. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Vì AI ^ SA nên AI ^ (SAD) ị AI ^ AD. Vậy AI là tiếp tuyến tại A của đỷờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra IAB ICA ^^ = (để ý rằng kết quả không phụ thuộc vào việc B nằm giữa I, C hay C nằm giữa I, B). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Cho hàm số f(x) = x 2 81 3 x + với tập xác định R + =[0;+Ơ). 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm y = f(x). 2) Tính diện tích của tam giác cong chắn bởi trục hoành, đồ thị hàm y = f(x) và đỷờng thẳng x=1. Câu IVb. Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy ; đáy ABC không phải là một tam giác cân. Gọi B, C là các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC. 1) Chứng tỏ rằng BCCB là một tứ giác nội tiếp, có các cạnh BC, BC không song song với nhau. 2) Gọi I là giao điểm của các đỷờng thẳng BC, BC. Chứng minh rằng : IAB = ICA . . trình x 2 -4 xy+y 2 =k y 2 -3 xy=4. 1) Giải hệ vớik=1. 2) Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k. Câu III. 1) Giải phỷơng trình 2 (2sinx-1) = 4(sinx-1) - cos(2x+ 4 ) - sin(2x+ 4 ). 2) Tìm số k lớn. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= 2x - x. suy ra 1 k 2 . Vậy 1 k 2 = . Câu IVa. 1) f(x) = 2x - 8x (8x + 1) 4 32 , vậy hàm số có bảng biến thi n trên [0;+Ơ) x0 1 34 +Ơ f 0 + 0 - f 1 62 3 00 Tiệmcậnlày=0 2) Diện tích phải tìm là 0 1 2 3 0 1 3 3 3 0 1 xdx 8x