www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hệ phỷơng trình x 2 +y 2 =2(1+a) (x+y) 2 =4. 1) Giải hệ vớia=1. 2) Tìm các giá trị của a để hệ có đúng 2 nghiệm. Câu II. 1) Xác định tất cả các tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: c = ccos2B + bsin2B. 2) a, b, c là các độ dài cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng p < p-a + p-b + p-c 3p . Câu III. Cho hàm số y = x 4 - 6bx 2 +b 2 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng vớib=1. 2) Với b là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 ; 1]. Câu I. GọiRvàltỷơng ứng là bán kính đáy và đỷờng sinh, ta có: V= 1 3 Rl-R 22 2 p (0 < R < l); S = pRl. Thay vào bất đẳng thức đã cho: 4R 4 (l 2 -R 2 ) Ê 8R l 33 33 . Chia cả hai vế cho 4R 3 l 3 : R l - R l 2 33 3 3 Ê . (1) Đặtx= R l thì0<x<1;vàtacầnchứng minh rằng:x-x 3 Ê 2 33 với x ẻ (0 ; 1). Xét hàm f(x)=x-x 3 .Tacó f(x)=1-3x 2 . Qua bảng biến thiên, nhận thấy: max f(x) = f 1 3 = 1 3 - 1 33 = 2 33 x(0;1)ẻ ổ ố ỗ ỗ ử ứ ữ ữ . Vậy : f(x) Ê 2 33 với x ẻ (0 ; 1). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x= 1 3 R l = 1 3 l= 3R . Câu II. 1) Biểu diễn qua cosx, ta đ ợc hệ t ỷơng đỷơng 10cos 3 x - 9cos 2 x + 7cosx-2=0 5cos 3 x + 3cos 2 x + 8cosx-4=0. Nhân phỷơng trình thứ 2 với -2, rồi cộng các vế tỷơng ứng của hai phỷơng trình (để khử cos 3 x) ta đỷợc phỷơng trình hệ quả www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ 5cos 2 x + 3cosx-2=0, có các nghiệm : cosx = -1 và cosx = 2 5 . Kiểm tra lại vào các phỷơng trình của hệ, ta thấy chỉ có cosx = 2 5 là thích hợp. Vậy đáp số là x=arc cos 2 5 +2kp (kẻ Z). 2) Nhận thấy rằng tg 2 x=tg 2 |x|.Đặt t = |x| thì có: tg 2 t= 1-cost 1-sint . (1) Đặt điều kiện: cost ạ 0(2) (chú ý : cost ạ 0 thì sint ạ 1). (1) sin t cos t = 1-cost 1-sint 2 2 cos 3 t - sin 3 t + sin 2 t - cos 2 t=0 (với điều kiện (2)), hoặc : (cost - sint) (1 - cost) = 0. Giải tiếp và chú ý tới (2),t 0 sẽ đỷợc ba họ nghiệm: x 1 = p 4 +kp ; x 2 =- p p 4 +k ổ ố ỗ ử ứ ữ ; x 3 =2mp (k=0;1;2;3; và m=0; 1; 2 ; ). Câu III. 1) Trừ theo vế ta đỷợc (x - y)[x 2 +xy+y 2 -3(x+y)+a]=0. Bởi vậy, hệ phỷơng trình (1), (2) tỷơng đỷơng với hai hệ sau: x-y=0 (3) x 2 =y 3 -4y 2 +ay; (4) x 2 +xy+y 2 -3(x+y)+a=0(5) x 2 =y 3 -4y 2 + ay. (6) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ Giải hệ(3) - (4). Thếy=xvào(4): x(x 2 -5x+a)=0. (7) Để (3) - (4) có nghiệm duy nhất thì cần và đủ là x 2 -5x+a=0không có nghiệm a> 25 4 .(Khi đó (3) - (4) có nghiệm duy nhất là (0 , 0)). Ta sẽ chứng minh rằng với a > 25 4 thì hệ (5) - (6) vô nghiệm. Ta xét phỷơng trình (5) nhỷ là một phỷơng trình bậc hai với ẩn số là x : x 2 +(y-3)x+(y 2 -3y+a)=0; D x = -3y 2 +6y+9-4a. Lại tính biệt số D y của tam thức này: D y =36-12a=12(3-a)< 0 (vì a > 25 4 ) . Vậy D x < 0 với mọi y (và với mọi a > 25 4 );tức (5) vô nghiệm. Kết luận : Với a > 25 4 thì hệ ban đầu có nghiệm duy nhất . 2) Giải (2) ta đ ợc nghiệm là: -2 < x < -1 hoặc 1 < x < 2. Để hệ có nghiệm duy nhất thì cần chọn a thế nào để (1) có đúng một nghiệm thuộc một trong hai khoảng : (-2 ; -1) ; (1 ; 2). Nhận xét rằng tam thức f(x) = x 2 +(2a+1)x+a 2 +a-2có biệt số D =9 nên để thỏa mãn yêu cầu ta cần có: f(-2)f(-1) < 0 (3) I) f(1)f(2) 0 (4) hoặc f(-2)f(-1) 0 (5) II) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ f(1)f(2) < 0. (6) (Giải thích : (3), (4) để trong (-2 ; -1) (1) có đúng một nghiệm và (1) không có nghiệm trong (1 ; 2)). Giải hệ (3) - (4) sẽ đỷợc : 2 < a < 3. Giải hệ (5) - (6) sẽ đỷợc :-4< a < -3. Kết luận : -4 < a < -3 hoặc 2 < a < 3. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu IVa. 1) Ta có : 2 42 1cos2x 1 cos x (1 2cos2x cos 2x) 24 + ==++= 31 1 cos2x cos4x 82 8 =+ + , suy ra 4 000 0 31 1 cos xdx dx cos2xdx cos4xdx 82 8 =+ + = 33 00 88 = + + = . 2) Ta có : 11 1 32 3 00 0 xdx 1 1 dx dx (x 1) (x 1) (x 1) == ++ + 1 1 2 0 0 11131 x1 2 8 8 2(x 1) = = = + + Câu Va. Hypebol (H) có phơng trình (1) 22 22 xy 1 ab = ; hoặc (2) 22 22 yx 1 b a = . Trờng hợp (1). Tiếp tuyến tại điểm oo (x ,y ) (H) có phơng trình oo 22 xx yy 1 ab = . Theo đề toán, ta có các tiếp tuyến tại oo (x ,y ) và 11 (x ,y ) : 53 xy1 16 8 = và 13 5 xy1 48 24 = suy ra 2 o 5a x 16 = ; 2 o 3b y 8 = ; 2 1 13a x 48 = ; 2 1 5b y 24 = . Thế oo (x ,y ) và 11 (x ,y ) vào (1), ta đợc hệ 22 22 53 ab1 16 8 = 22 22 13 5 ab1 48 24 = , giải ra thì đợc 2 a16= , 2 b 4= , và (1) trở thành 22 xy 1 16 4 = . Trờng hợp (2). Tiếp tuyến tại điểm oo (x ,y ) (H) có phơng trình oo 22 yy xx 1 b a = . Lập luận nh trên, ta đợc hệ 22 22 35 b a1 816 = 22 22 513 b a1 24 48 = www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ cho ta : 2 a16= , 2 b 4= : loại. Câu IVb. 1) Mặt cầu đờng kính BM tiếp xúc với Cy khi và chỉ khi khoảng cách giữa Bx và Cy là bán kính của nó. Từ đó : BM = 4a. Nhận thấy có hai điểm 12 M,M Bx thỏa mãn điều kiện đó. 2) Muốn có N Cy để n BNL 2 = thì mặt cầu đờng kính BL phải cắt Cy BL 4a, Vậy L phải ngoài khoảng 12 (M ,M ). 3) Hình chóp A.BLNC có đáy là hình thang vuông BLNC và đờng cao AH (AH cũng chính là đờng cao của ABC). Vì vậy thể tích của chóp A.BLNC nhỏ nhất khi và chỉ khi diện tích đáy BLNC nhỏ nhất BL + CN nhỏ nhất (chiều cao của hình thang BLNC là BC = 2a). Đặt BL = y ; CN = x. Do tam giác BNL vuông ở N ta có : 222 BL BN NL=+, tức là : 2222 2 y4ax4a(yx)=+++ Từ đó : 22 8a 2x 2xy 0+= (1) Vì x = 0 không thỏa mãn (1) nên ta có thể chia hai vế của (1) cho x : y = 2 4a x x + . Khi đó : 2 4a BL CN y x 2x x +=+=+ . Vì 2 2 4a 2x. 8a x = không đổi nên theo bđt Côsi 2 4a 2x x + nhỏ nhất 2 4a 2x x = xa2= y3a2= . Vậy có 2 vị trí của L trên Bx đối xứng qua B sao cho BL 3a 2= . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Tính các tích phân 1) 0 4 cos x dx , 2) 0 1 3 xdx (x + 1) . Câu Va. Hypebol (H) có các trục trùng với các trục tọa độ, và tiếp xúc với các đỷờng thẳng 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0. Hãy xác định phỷơng trình của hypebol (H). Câu IVb. Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC có $ A =90 0 , $ C =60 0 ,BC=2a. Dựng các đỷờng thẳng Bx, Cy vuông góc với (P). 1) Xác định điểm M trên Bx sao cho mặt cầu đỷờng kính BM tiếp xúc với Cy. 2) L là điểm di động trên Bx. Hỏi L phải ở vị trí nào để trên Cy có thể tìm đỷợc điểm N sao cho tam giác BLN có góc N vuông. 3) Trong các vị trí của L nói ở phần 2), hãy xác định L sao cho hình chóp A.BLNC có thể tích nhỏ nhất. . p-a + p-b + p-c 3p . Câu III. Cho hàm số y = x 4 - 6bx 2 +b 2 . 1) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số ứng vớib=1. 2) Với b là tham số, tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-2 . f(x) = x 2 +(2a+1)x+a 2 +a-2có biệt số D =9 nên để thỏa mãn yêu cầu ta cần có: f (-2 )f (-1 ) < 0 (3) I) f(1)f(2) 0 (4) hoặc f (-2 )f (-1 ) 0 (5) II) www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ f(1)f(2). trong (-2 ; -1 ) (1) có đúng một nghiệm và (1) không có nghiệm trong (1 ; 2)). Giải hệ (3) - (4) sẽ đỷợc : 2 < a < 3. Giải hệ (5) - (6) sẽ đỷợc :-4 < a < -3 . Kết luận : -4 < a < -3