www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. (P) là parabol có phỷơng trình y=x 2 -1. 1) O là gốc tọa độ. Xác định điểm M trên (P) sao cho đoạn OM là ngắn nhất. 2) Chứng tỏ rằng nếu đoạn OM là ngắn nhất, thì đỷờng thẳng OM vuông góc với tiếp tuyến tại M của (P). Câu II. 1) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = sinx + 3sin2x. 2) Cho đỷờng tròn bán kínhR=1.Trên tiếp tuyến tại một điểm A của đỷờng tròn, lấy điểm T với AT = 1. Đỷờng thẳng (d) quay quanh T cắt đỷờng tròn tại B và C. Xác định góc nhọn giữa đỷờng thẳng (d) và tiếp tuyến AT, sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất. Câu III. 1) Giải và biện luận theo a, b phỷơng trình a|x+2|+a|x-1|=b. 2) Giải hệ x 2 =y+1 y 2 =z+1 z 2 =x+1. Câu I. 1) Gọi a là hoành độ của M, vậy M có tung độ a 2 -1.Dođó OM 2 =a 2 +(a 2 -1) 2 =a 4 -a 2 +1= = a- 1 2 + 3 4 2 2 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ , suy ra OM ngắn nhất khi a 2 = 1 2 ị a= 1 2 . 2) Với a= 1 2 đỷờng thẳng OM có hệ số góc k= y x =- 1 2 M M . Tại M, tiếp tuyến của (P) có hệ số góc y M =2x M = 2 ; vậy tiếp tuyến ấy vuông góc với OM. Câu II. 1) Hàm y đỷợc xác định với mọi x, và có đạo hàm y = cosx + 6cos2x = 12cos 2 x+cosx-6. Ta có y=0 cosx = 2 3 ,cosx=- 3 4 . Vì y có đạo hàm với mọi x, nên y đạt giá trị lớn nhất tại một điểm tại đó y=0. a) Với cosx = 2 3 , sinx = 5 3 ị y = sinx + 6sinxcosx = = sinx (1 + 6cosx) = 55 3 . b) Với cosx = - 3 4 , sinx = 7 4 ; y = sinx(1 + 6cosx) = 77 8 . Suy ra y đạt giá trị lớn nhất y max = 55 3 khi cosx = 2 3 , sinx = 5 3 . 2)VìTA=R=1,nênđểđỷờng thẳng d cắt đỷờng tròn tại B và C, ta phải có 0 <a< p 2 . Với kí hiệu trên hình ve, ta tính đỷợc các góc của tam giác ABC: B=a +C,A=p -(B+C)=p -(a + 2C) rồi áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ấy (R = 1) thì đỷợc a = 2sin(a + 2C), c = 2sinC. Gọi S là diện tích tam giác ABC, ta có S= 1 2 BC.TA.sina = sin(a + 2C)sina. Mặt khác áp dụng định lí hàm sin cho tam giác ATB: www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ C sin = AT sin^ ABT 2sinC sin = 1 sin( + C)aaa ị sina = 2sinCsin(a +C)=cosa - cos(a + 2C) ị cos(a + 2C) = cosa - sina. Vì vậy S 2 = sin 2a sin 2 (a + 2C) = sin 2a [1 - (cosa - sina) 2 ] =2sin 3a cosa hay S 4 = 4sin 6a cos 2a = 4sin 6a (1 - sin 2a )= 4 3 sin 2a .sin 2a .sin 2a .(3 - 3sin 2a ) Ê Ê 4 3 sin + sin + sin + 3 - 3sin 4 = 27 64 222 2 4 aaa a ổ ố ỗ ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ữ . Dấu = xảy ra khi sin 2a = 3 - 3sin 2a ị sina = 3 2 ịa= p 3 . Câu III. 1) Viết phỷơng trình đã cho dỷới dạng a(|x+2|+|x-1|)=b. Xét hàm y=|x+2|+|x-1|= 2 1 3 2 32 1 211 x khix khi x x khi x -Ê- -Ê Ê +Ê ỡ ớ ù ù ù ù ù ù ợ ù ù ù ù ù ù . Vẽ đồ thị của hàm y và xét giao điểm của đồ thị với đỷờng thẳng y= b a (a ạ 0), suy ra kết quả nhỷ sau : a)a=0,bạ 0:phỷơng trình vô nghiệm. Vớia=0,b=0phỷơng trình có nghiệm x tùy ý. b) Với a ạ 0 i)nếub/a>3:phỷơng trình có hai nghiệm x=- 1 2 b a +1 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ,x= 1 2 b a -1 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ; ii)nếub/a=3:phỷơng trình có nghiệm : -2 Ê x Ê 1; iii) nếu b/a<3:phỷơng trình vô nghiệm. 2) Để ý nếu chẳng hạn x=yị x 2 =y 2 ị y=z,và ta đỷợc các nghiệm www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ x=y=z= 1- 5 2 ,x=y=z= 1+ 5 2 . Ta hãy chứng tỏ hệ không còn có nghiệm nào khác. Quả vậy giả sử (x, y, z) là một nghiệm trong đó x, y, z khác nhau từng đôi một. Hệ bất biến đối với phép hoán vị vòng quanh, nên có thể coi rằng x là số lớn nhất. Vì thế chỉ cần xét hai khả năng:x>y>zvàx>z>y. a) x > y > z. So sánh các vế trái của hệ, ta đỷợc z 2 > x 2 > y 2 . Vậy phải có x > 0 (nếu x Ê0thì 0 x > y > z ị x 2 < y 2 < z 2 ) và z < 0(nếu z 0 thì x > y > z 0 ị x 2 > y 2 > z 2 ). Từ x > 0 ị z 2 =x+1> 1 ị z < -1. Nhỷng khi đó y 2 =z+1< 0:mâu thuẫn. b) x > z > y. Nhỷ trên, ta đỷợc z 2 > y 2 > x 2 , vậy phải có x > 0, y < 0. Vì x > 0 ị z 2 > 1.Doz+1=y 2 > 0 ị z > -1, vậy z > 1 ị y 2 =z+1> 2, mà y < 0 nên y < -2 . Khi đó x 2 =y+1< 0:mâu thuẫn. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng __________________________________________________________________ Câu IVa. xx 11 dt 1 1 I(x) dt t(t 1) t t 1 === ++ x x 1 1 t [ln | t | ln | t 1|] ln t1 =+= = + x12x ln ln ln x1 2 x1 == + + (x < 1). Vậy : xx x 2x 2x lim I(x) lim ln ln lim ln 2 x1 x1 === ++ . Câu Va. 1) Gọi oo (x ,y ) là tọa độ giao điểm của 1 (D ) và 2 (D ) . Khi đó o o x2t3t'1 y3t6t'3. = = + = = + Từ đó ta có hệ 2t 3t' 1 3t 6t ' 3, = = suy ra t = 1 (t' = 1). Vậy 1 (D ) và 2 (D ) cắt nhau tại A ( - 2, - 3). Ghi chú : Có thể giải bằng cách đa về phơng trình tổng quát 3 yx 2 = cho 1 (D ) , y2x1=+cho 2 (D ) 2) 1 (D ) có vectơ chỉ phơng 1 v(2;3)= JJG , 2 (D ) có vectơ chỉ phơng 2 v(3;6)= J JG . Gọi là góc nhọn hợp bởi 1 (D ) và 2 (D ) . 12 1 2 12 v.v |v |.|v |cos(v,v )= JJGJJG JJGJJG JJGJJG 12 618 13.45cos(v,v) = JJGJJG 12 24 24 8 cos(v , v ) 13.45 13.5.9 65 = = = JJGJJG . 12 8 cos | cos(v ,v ) | 65 = = JJGJJG Chú ý : cos 0 vì là góc nhọn. Câu IVb. 1) Ta hãy chứng tỏ rằng B', C' nhìn AD' dới góc vuông, từ đó suy ra AB'C'D' là một tứ giác nội tiếp. Quả vậy CD SA, CD CA CD (SAC) CD AC'. Vì AC' trong mặt phẳng (P), nên AC' SD. Suy ra AC' (SCD) AC' C'D'. Tơng tự AB' B'C' . 2) Từ AC' (SCD) AC' SC, và tơng tự AB' SB. Suy ra 2 SA SB.SB' SC.SC' SD.SD'=== . Ta có : S.AB' C' D' S.AB' C ' S.AC' D' VVV=+, 4 S.AB' C ' 2222 S.ABC V SB' SC' SB.SB' SC.SC' SA VSBSC SB SC SB .SC == = , www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng __________________________________________________________________ 4 S.AC 'D ' 2222 S.ACD V SC' SD' SC.SC' SD.SD' SA VSCSD SC SD SC .SD == = . §Ó ý r»ng 22222 SB SA AB h a=+=+, 22222 SC SA AC h 3a=+ =+, 22 222 SD SA AD h 4a=+ =+, S.ABC S.ABCD 1 VV 3 = , S.ACD S.ABCD 2 VV 3 = , 2 S.ABCD ah 3 V 4 = suy ra 25 2 2 S.AB'C'D' 222 22 2 3a h (h 2a ) V 4(h a )(h 3a )(h 4a ) + = ++ + . 3) 22 22 SA h SD' SD h4a == + , vËy 23 2 2 S.AB'C'D' 222 2 2 2 3V 33ah(h 2a) dt(AB' C' D') SD' 4(h a )(h 3a ) h 4a + == ++ + . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Đặt I(x) = 1 x dt t(t + 1) (x >1). Tìm lim x I(x). Câu Va. Cho hai đỷờng thẳng (D 1 )và(D 2 )cóphỷơng trình tham số (D 1 ): xt yt = = 2 3 (D 2 ): xt yt =+ =+ 31 63 ' ' 1) Xác định giao điểm của (D 1 )và(D 2 ). 2) Tính côsin góc nhọn tạo bởi (D 1 )và(D 2 ). Câu IVb. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là nửa lục giác đều với AD = 2a, AB = BC = CD = a. Cạnh SA = h của hình chóp vuông góc với đáy. Mặt phẳng (P) đi qua A, vuông góc với SD cắt SB, SC, SD, tại B, C, D. 1) Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp. 2) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. 3) Tính diện tích tứ giác ABCD. . phỷơng trình a|x+2|+a|x-1|=b. 2) Giải hệ x 2 =y+1 y 2 =z+1 z 2 =x+1. Câu I. 1) Gọi a là hoành độ của M, vậy M có tung độ a 2 -1 .Dođó OM 2 =a 2 +(a 2 -1 ) 2 =a 4 -a 2 +1= = a- 1 2 + 3 4 2 2 ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ,. 2C) = cosa - sina. Vì vậy S 2 = sin 2a sin 2 (a + 2C) = sin 2a [1 - (cosa - sina) 2 ] =2sin 3a cosa hay S 4 = 4sin 6a cos 2a = 4sin 6a (1 - sin 2a )= 4 3 sin 2a .sin 2a .sin 2a .(3 - 3sin 2a ). nên y < -2 . Khi đó x 2 =y+1< 0:mâu thuẫn. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng