www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. Cho hàm số bậc hai f(x) = 2x 2 +2(m+1)x+m 2 +4m+3. 1)Vớigiátrịnàocủamthìf(x)=0cónghiệm ? 2) Tìm m để f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1. 3) Gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của f(x). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=|x 1 x 2 - 2(x 1 +x 2 )|. Câu II. Xem hàm số y = -2x + kx+1. 2 1)Vớik=3hãylậpbảng biến thiên của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị. 2) Với giá trị nào của k thì hàm số có cực tiểu? Câu III. 1) Chứng minh rằng tg 30 o +tg40 o +tg50 o +tg60 o = 83 3 cos 20 o . 2) Chứng tỏ rằng nếu trong tam giác ABC ta có tgA+tgB=2cotg C 2 , thì ABC là một tam giác cân. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ Câu I. 1) Để f(x) = 0 có nghiệm, ta phải có : 22 '(m1) 2(m 4m3)= + + + = 2 m6m50= 5 m 1. 2) Với điều kiện trên, gọi 1 x , 2 x là các nghiệm của f(x) = 0, 12 xx . Thế thì 1 (m 1) ' x 2 + = , 2 (m 1) ' x 2 ++ = . Điều kiện của bài toán đợc nghiệm nếu 2 x1 , suy ra 2 (m 6m 5) m 3 +++. Nếu m 3 bất phơng trình đợc nghiệm. Với m 3, bình phơng hai vế, đi đến 2 02m 12m14++ 622 622 m 22 + . Kết hợp các điều kiện ta đợc : 622 5m 2 + . 3) Theo hệ thức Vi ét 22 12 1 2 m4m3 m8m7 xx 2(x x ) 2(m 1) 22 + +++ += ++= Xét hàm g(m) = 2 m + 8m + 7 trên đoạn [ 5 ; 1]. Đồ thị của parabol có đỉnh tại o m = 4, suy ra 5m 1 min g(m) g( 4) 9 = = 5m 1 max g(m) g( 1) 0 = = Vậy 5m 1 max | g(m) | 9 = . Vì |g(m)| A 2 = , vậy max A = 9 2 đạt đợc khi m = 4. Câu II. 1) Với k = 3, ta có hàm số y = 2x + 3 2 x1 + Hàm số đợc xác định với mọi x và có đạo hàm 2 22 3x 3x 2 x 1 y' 2 x1 x1 + = + = ++ . Ta có y' > 0 3x > 2 2x 1+ , suy ra x > 0, bình phơng hai vế thì đợc 22 9x 4x 4>+ x > 2 5 , từ đó lập đợc bảng biến thiên x 2 5 + y' 0 + y + 5 + Các tiệm cân xiên của đồ thị : www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ___________________________________________________________________ Tiệm cận xiên về bên trái y = 5x ; Tiệm cận xiên về bên phải y = x . 2) Trong trờng hợp tổng quát hàm số có đạo hàm 2 kx y' 2 x1 = + + , 23/2 k y'' (x 1) = + Hàm số đạt cực tiểu tại o xx= nếu o y'(x ) 0= và o y''(x ) 0> , suy ra k > 0 và 2 oo kx 2 x 1=+ o x > 0 và 22 2 oo kx 4x 4 = + 22 o (k 4)x 4 = . Phơng trình này phải có nghiệm, vậy 2 k40 > k > 2. Tóm lại với k > 2 thì hàm số có cực tiểu, khi đó hoành độ điểm cực tiểu là o 2 2 x k4 = Câu III. 1) oo oo (tg30 tg60 ) (tg40 tg50 )+++= oo oo 11 cos30 cos60 cos 40 cos50 =+= oo o 4142 33 sin 50 cos50 cos10 =+ =+ = ooo o oo 4cos10 2 3 4(cos10 cos30 ) 8 3 cos20 3 3cos10 3cos10 ++ == = 2) Hệ thức đã cho có thể viết CCC 2cos 2sin cos sin(A B) sinC 222 C cos AcosB cos AcosB cosA cosB sin 2 + === Vì C cos 0 2 > , suy ra 2cosAcosB = 2 2 C sin 2 cos (A + B) + cos (A - B) = 1 cos C cos (A B) = 1. Do < A B < , ta phải có A B = 0 A = B. Câu IV. Mỗi mặt của tứ diện cắt mặt cầu theo giao tuyến là đỷờng tròn nội tiếp trong tam giác đó (chẳng hạn mặt BCD) tại các trung điểm (K, M, L) của các cạnh các tam giác đó. N là trung điểm của AD thì N cũng là một tiếp điểm và MN là một đỷờng kính của mặt cầu. Ta có :MN 2 =AM 2 -AN 2 = a 2 MN = a2 2 2 ; vậy R= a2 4 (bán kính). Ta lại có :OE 2 =OM 2 -EM 2 = a 24 2 ị OE = a6 12 . Suy ra chiều cao của chỏm cầu ngoài mặt (BCD) là: EH=OH-OE= a2 12 (3 - 3) Suy ra thể tích chỏm cầu: V c =pEH 2 R- EH 3 = ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ pa2(9-43) 432 3 và thể tích cần tính là 4V c . Câu Va. 1) Hypebol có 2 tiêu điểm F 1 (c , 0), F 2 (-c,0)với c= a+b 22 . Hai đỷờng chuẩn tỷơng ứng là D 1,2 :x= a c a ab 22 22 = + . Hai đỷờng tiệm cận của hypebol là y= b a x . Theo Hình vẽ, gọi H là giao điểm của đỷờng chuẩn D 1 với tiệm cận y= b a x .Tacó x H = a a+b 2 22 ,y H = ab a+b 22 , www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ bởi vậy OH = x+y=a H 2 H 2 suy ra KH = 2OH = 2a. 2) Gọi d là khoảng cách từ F 1 (c ; 0) đến tiệm cận y= b a x (hay bx - ay = 0). Tacó d= |bc - 0| a+b =b 22 . 3) Theo Hình vẽ, ta cần chứng minh OH ^ F 1 H. Ta có OH đ =(x H ;y H ), = FH 1 đ =(x H -c;y H ) suy ra OH.FH=x(x-c)+y= 1HH H 2 đđ =x +y -cx =a -a =0 H 2 H 2 H 22 . Câu Vb. 1) mp (MCD 1 ) cắt mp(ABB 1 A 1 ) theo giao tuyến D qua M song song với CD 1 //BA 1 . Gọi N và P là giao điểm củaDvàBB 1 ,AA 1 ; khi đó I là giao điểm của BC 1 và CN, J là giao điểm của DA 1 và D 1 P. Để chứng minh I, M, J thẳng hàng ta chứng minh IN JP = MN MP . Thật vậy : IN IC = BN CC 1 . ĐặtNB=x,CC 1 =a, tacóIN= x a .IC= x a (CN - IN); đặtCN=ytacóIN = x a (y - IN) hay 1+ x a IN = xy a ổ ố ỗ ỗ ỗ ử ứ ữ ữ ữ ữ ị IN = xy a+x . Tỷơng tự nhỷ trên, ta tính đỷợc :JP= xy a-x ; suy ra IN JP = a-x a+x . Ngoài ra : MN MP = NB PA = a-x a+x 1 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ Nhỷ vậy : IN JP = MN MP . Vậy I, M, J thẳng hàng. 2)TừIkẻđỷờng thẳng song song với BB 1 cắt B 1 C 1 tại I. Từ J kẻ đỷờng thẳng song song với A 1 P cắt D 1 A 1 tại J. Khi trung điểm K của IJ nằm trong mp (A 1 B 1 C 1 D 1 ) thì II = JJ, ta có: II' BB = CI CB = CI/IB CB/IB = CI/IB (C I + IB) / IB = 1 1 1 1 1 1 1 CI/IB (C I / IB) + 1 = a a+x 1 1 ị II' = a a+x 2 và JJ' DD = AJ AD = AJ JD - JA = 1 JD JA -1 = x a-x 1 1 1 1 1 1 ị JJ = ax a-x . II = JJ a a+x = ax a-x 2 x 2 +2ax-a 2 =0 x=-a a2 . Do x > 0 nên chọnx= a( 2 - 1) . Vậy vị trí của M đỷợc chọn nhỷ sau: MB OM = BN BB = a-x a = a-a(2-1) a( 2 - 1) =2 11 1 hay MB AB = (2 - 2) 2 1 1 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IV. Một hình cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của khối tứ diện đều. Tính thể tích của phần hình cầu nằm ngoài khối tứ diện, biết các cạnh của tứ diện đều bằng a. Câu Va. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn, xem hypebol x a - y b =1 2 2 2 2 . 1) Tính độ dài của phần đuờng tiệm cận chắn bởi hai đỷờng chuẩn. 2) Tìm khoảng cách từ tiêu điểm của hypebol tới các đỷờng tiệm cận. 3) Chứng minh rằng chân đỷờng vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đỷờng tiệm cận nằm trên đỷờng chuẩn ứng với tiêu điểm đó. Câu Vb. Cho hình hộp xiên ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Lấy M là một điểm tùy ý trên đỷờng chéo AB 1 của mặt bên (AA 1 B 1 B). Gọi I, J lần l ợt là các giao điểm của mặt phẳng (MCD 1 ) với các đỷờng thẳng BC 1 và DA 1 . 1) Chứng minh ba điểm M, I, J thẳng hàng. 2) Xác định vị trí của M trên đoạn AB 1 để trung điểm của đoạn IJ nằm trên mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 D 1 ). . = a a+x 2 và JJ' DD = AJ AD = AJ JD - JA = 1 JD JA -1 = x a-x 1 1 1 1 1 1 ị JJ = ax a-x . II = JJ a a+x = ax a-x 2 x 2 +2ax-a 2 =0 x=-a a2 . Do x > 0 nên chọnx= a( 2 - 1) . Vậy vị trí của M đỷợc. 1) . Vậy vị trí của M đỷợc chọn nhỷ sau: MB OM = BN BB = a-x a = a-a( 2-1 ) a( 2 - 1) =2 11 1 hay MB AB = (2 - 2) 2 1 1 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng _______________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn. thức A=|x 1 x 2 - 2(x 1 +x 2 )|. Câu II. Xem hàm số y = -2 x + kx+1. 2 1)Vớik=3hãylậpbảng biến thi n của hàm số và xác định các tiệm cận của đồ thị. 2) Với giá trị nào của k thì hàm số có cực tiểu? Câu