Câu I. 1) Cho hàm số f(x) = 3533615362412 42 2 cos cos sin cos .xx xx aa ++ Với giá trị nào của a thì f(x) > 0 với mọi x ? 2) Xác định tham số a để hệ ph ơng trình sau có nghiệm : xya xy a ++ + = += 12 3 Câu II. 1) Tam giác ABC có các cạnh với độ dài a, b, c, và có diện tích S. Đỷờng tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với các cạnh ở A, B, C (đối diện với các đỉnh A, B, C). Tam giác ABC có các cạnh a, b, c, và diện tích S. Chỷỏng minh các đẳng thỷỏc sau : i) a' a + b' b =2sin C 2 sin A 2 +sin B 2 ; ii) S' S =2sin A 2 sin B 2 sin C 2 . 2) Chứng minh rằng với mọi x, ta đều có cos3x + asin3x + 1 cos3x + 2 1+ 1+3a 3 2 . Câu III. Cho a, b, c, d > 0. Chỷỏng minh rằng 1 < a a+b+c + b b+c+d + c c+d+a + d d+a+b <2 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu I. 1) Biến đổi hàm số: f(x) = 3cos 4 x - 5(4cos 3 x - 3cosx) - 36(1 - cos 2 x) - 15cosx++36+24a-12a 2 . f(x) = 3cos 4 x - 20cos 3 x + 36cos 2 x + 24a - 12a 2 . Đặt t = cosx, (|t| Ê 1) và xét hàm: (t)=3t 4 - 20t 3 + 36t 2 + 24a - 12a 2 . Tìm a để với "t ẻ [-1;1]tađềucój(t)>0.Tacó: (t) = 12t 3 - 60t 2 + 72t = 12t (t 2 -5t+6). (0) = 24a - 12a 2 . Muốn j(t)>0với"t ẻ [-1;1]thìcầnvàđủlà: 24a - 12a 2 >0 0<a<2. 2) Đặt : u= x+1 ,(u 0); v= y+2 ,(v 0) Thì u 2 +v 2 =x+y+3.Do vậy, hệ đã cho đỷợc thay bởi hệ mới: u+v=a (1) u 2 +v 2 =3(a+1)(2) u, v 0. (3) Nhận thấy ngay nếu a Ê 0 thì hệ vô nghiệm. Vậy chỉ cần xét a>0.Thế v=a-uvào (2) sẽ đỷợc: 2u 2 -2au+(a 2 -3a-3)=0. (4) Để hệ có nghiệm thì cần và đủ là (4) có nghiệm u ẻ [0;a] (chú ý u+v=a). www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________________________ Ta tíi: ∆‘ ³ 0 2f(0) ³ 0 víi f(u) = 2u 2 -2au+(a 2 -3a-3); ∆‘=a 2 - 2(a 2 -3a-3)=-a 2 +6a+6. VËy ∆‘ ³ 0 víi 3+ 15 ³ a ³ ↔ 3- 15 . f(0) = a 2 -3a-3³ 0 Û a £ 3- 21 2 hoÆc a ³ 3+ 21 2 . Do xÐt a>0nªn cuèi cïng ta ®ûîc: 3+ 15 a 3+ 21 2 ≥≥ . C©u II. 1) i) Chó ý r»ng: πα 2 - A 2 = 2 = A’. Do ®ã: sin B+C 2 = sinA’. Ta cã: a‘ = 2rsinA’ = 2(p-a)tg A 2 sinA’= =(b+c-a)tg = (b + c - a) sin A 2 . Do vËy: a' a = b+c-a a sin A 2 = sinB + sinC - sinA sinA sin A 2 = www.khoabang.com.vn LuyÖn thi trªn m¹ng ________________________________________________________________________________ = 2sin B+C 2 cos B-C 2 -2sin A 2 cos A 2 2cos A 2 = 2cos A 2 cos B-C 2 -cos B+C 2 2cos A 2 =2sin B 2 sin C 2 . Vậy : a' a =2sin B 2 sin C 2 . (1) Tỷơng tự : b' b =2sin A 2 sin C 2 . (2) Từ (1) và (2) suy ra: a' a + b' b =2sin C 2 sin A 2 +sin B 2 S' S = 1 2 a' b'sinC' 1 2 absinC = a' a . b' b . sin A+B 2 sinC = 4sin 2 C 2 sin A 2 sin B 2 . cos C 2 2sin C 2 cos C 2 =2sin A 2 sin B 2 sin C 2 . 2) Xét hàm số: y= cos3x + asin3x + 1 cos3x + 2 . Số y o thuộc miền giá trị của hàm số ấy khi và chỉ khi phỷơng trình: y o = cos3x + asin3x + 1 cos3x + 2 (1) có nghiệm: (1) y o (cos3x + 2) = cos3x + asin3x + 1 (- y o + 1)cos3x + asin3x+1-2y o = 0. (2) (2) có nghiệm khi và chỉ khi: (1-y o ) 2 +a 2 (2y o -1) 2 3y o 2 -2y o -a 2 Ê 0 1- 1+ 3a 3 y 1+ 1+3a 3 2 o 2 . www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________________________ Từ đó suy ra, với mọi x ta đều có: cos3x + asin3x + 1 cos3x + 2 1+ 1+3a 3 2 . Câu III. Trỷỳỏc hết, ta chứng minh rằng : nếu0<T<Mvà >0thì ta có: T M < T+ M+ . (1) Thực vậy: (1) T(M + ) < M(T + ) T <M T<M. áp dụng: i) S' S = 1 2 a' b'sinC' 1 2 absinC = a' a . b' b . sin A+B 2 sinC = a a+b+c+d < a a+b+c < a+d a+b+c+d . (2) Tỷơng tự có: b a+b+c+d < b b+c+d < b+a b+c+d+a ; (3) c a+b+c+d < c c+d+a < c+b c+d+a+b ; (4) d a+b+c+d < d d+a+b < d+c d+a+b+c . (5) Cộng theo vế (2), (3), (4) và (5): 1< a a+b+c + b b+c+d + c c+d+a + d d+a+b <2. www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng ________________________________________________________________________________ www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 __________________________________________________________ Câu IVa. Nhờ phép biến đổi biến số x = t, ta đợc /2 0 2 f(sin x)dx f(sin t)dt = . Câu Va. () qua p F,0 2 - tiêu điểm của (P) và đờng chuẩn (D) của (P) có phơng trình x = p 2 . Tọa độ các điểm M'(x', y') và M''(x'', y'') là nghiệm của hệ 2 y2px0= 2mx 2y mp = 0 22 2 22 22 mx (m 2)px mp /4 0 y(2p/m)yp0 ++ = = Đờng tròn đờng kính M'M'' có phơng trình 22 xy+ (x' + x'')x (y' + y'')y + x'x'' + y'y'' = 0 và có tọa độ tâm 2 2 (m 2)p p I , m 2m + nên khoảng cách từ I đến (D) là : IH = 2 1 p1 m + = R (bán kính đờng tròn đờng kính M'M''). Câu IVb. 1) Vì AC // 11 AC nên AC // 11 (BA C ) . Gọi d là khoảng cách giữa hai đờng thẳng AC và 1 BC . Khi đó d = d(AC, 11 (BA C ) ) = d(C, 11 (BA C ) ). Xét hình chóp C. 11 ABC ta có : 11 11 CA BC BA C 1 1 1 VS.d(C,(BAC)) 3 = . Từ đó : 11 11 CA BC 11 BA C 3V d(C,(BA C )) S = (1) Mặt khác, ta có : 11 11 1 1 111 CBAC BCAC BAAC AABC ABCABC 1 VVVV V 3 ==== (2) Từ (1) và (2) ta có : www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 __________________________________________________________ 111 11 ABCA B C BA C V d S = (*) Ta có : 111 2 ABCA B C ABC a3 .a a3 2 V S .h .h h 24 == = . (3) Để tính 11 BA C S ta cần tính chiều cao BH của 11 BA C . Ta có 22 1 BC a h=+. Từ đó, 22 222 2 a3a BH a h h 44 =+ = + BH = 2 2 3a h 4 + . 11 2 2 22 22 BA C 3a ah a1 a 4 S . 3a 4h 3a 4h 222 4 + ==+=+ (4) Thay (3) và (4) vào (*) ta đợc 111 11 2 ABCA B C 22 22 BA C V 3a h a 3 ah d:3a4h S44 3a 4h == += + Bây giờ ta tính góc giữa các đờng thẳng AC và 1 BC . Vì AC // 11 AC nên n n 1111 (AC,BC ) (A C ,BC )== Xét 1 BHC ta có n o 1 (BHC 90 )= : 11 HC BC cos= hay 1 1 HC cos BC = . Từ đó : 22 a cos 2a h = + . Vì là góc nhọn nên ta có thể dựng góc khi biết cos. Đáp số : Khoảng cách giữa các đờng thẳng AC và 1 BC là 22 3ah 3a 4h+ và góc giữa chúng là : cos = 22 a 2a h+ . 2) Trớc hết ta dựng thiết diện phụ song song với các đờng thẳng 1 AC và 1 BC . Ta gọi mặt phẳng đó là (P). Giao tuyến của mặt phẳng (P) và 11 (BB CC ) qua C song song với 1 BC . Ta ký hiệu giao điểm của giao tuyến đó với đờng thẳng 1 BB là 1 S . Điểm 1 S là điểm chung của các mặt phẳng (P) và 11 (AA B B). Một điểm chung nữa là 1 A vì (P) song song với 1 AC. Nối 11 AS , ta tìm thấy đỉnh 2 S của thiết diện, thiết diện phụ (P) là tam giác 12 ACS . Bây giờ ta dựng thiết diện mà bài toán đòi hỏi. Ta ký hiệu thiết diện cần xác định là * () . Thiết diện này song song với các đờng thẳng 1 AC và 1 CS của mặt phẳng 11 (A CS ) , vì thế 11 * ()//(ACS) . Từ đó suy ra rằng các cạnh của thiết diện phải tìm song song với các cạnh của thiết diện 12 (A S C). Xuất phát từ đó, ta có thể dựng thiết diện phải tìm. Kẻ qua C B A A B C 1 1 1 2 1 S S www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 __________________________________________________________ điểm M đờng thẳng song song với đờng thẳng 12 AS và tìm thấy giao điểm của nó với các cạnh của lăng trụ là 3 S , 4 S . Sau đó ta kẻ 45 2 SS //SC, 56 1 SS //BC (vì 1 * ()//BC ), 67 1 SS //CA. Hình ngũ giác 34567 SSSSS là thiết diện * () phải tìm (ta nhận xét rằng 45 37 SS //SS ). 3) Ta tìm tỉ số 661 CS :S C . Xét mặt phẳng 11 (AA B B) . Từ các tam giác đồng dạng 4 AS M và 13 BSM ta có 413 1 AS : B S AM : B M 5: 4== . Ta ký hiệu 24 SS x AB = . Chú ý rằng 21324 1 AS AB, A S S S 2 == và 11 AB AB = ta có : 4 1 AS x AB 2 =+ , 13 BS (1 x)AB= . Ta có phơng trình : 1 x 5 2 1x 4 + = . Giải ra ta có 1 x 3 = . Nghĩa là 24 1 SS AB 3 = , từ đó 4224 1 SB SB SS AB 6 = = . Vì 45 2 SS //SC nên 55 244 CS : S B S S : S B 2==, và do 56 1 SS //BC suy ra rằng 661 55 CS :S C CS : S B 2==. Đáp số : Cạnh 1 CC bị mặt phẳng * () chia theo tỷ số 2 : 1 tính từ đỉnh C. C B M A A B C 1 1 2 3 1 7 S S S S S S 6 5 4 www.khoabang.com.vn Luyện thi trên mạng Phiên bản 1.0 ________________________________________________________________________________ Câu IVa. Cho f là một hàm liên tục trên [0 ; 1]. Chứng minh rằng 00 /2 f(sinx) dx = 2 f(sinx) dx. Câu Va. Cho parabol P) : y 2 = 2px và đỷờng thẳng (D):2mx-2y-mp=0. Gọi M, M là các giao điểm của (P) và (D). Chỷỏng tỏ rằng đỷờng tròn đỷờng kính MM tiếp xúc với đỷờng chuẩn của parabol (P). Câu IVb. Cho hình lăng trụ đỷỏng ABC. ABC 111 (đáy là tam giác đều), cạnh đáy bằng a, đỷờng cao bằng h. M là một điểm nằm trên đỷờng chéo A B 1 của mặt AB BA 11 sao cho AM : M B 1 =5:4.Gọi(a) là mặt phẳng qua M và song song với các đỷờng thẳng A 1 CvàB C 1 . 1) Tính khoảng cách và góc giữa hai đỷờng thẳng AC và B C 1 . 2) Xác định thiết diện do mặt phẳng (a) cắt lăng trụ. 3) Cạnh C C 1 bị mặt phẳng (a) chia theo tỉ số nào ? . hàm số: f(x) = 3cos 4 x - 5(4cos 3 x - 3cosx) - 36(1 - cos 2 x) - 15cosx++36+24a-12a 2 . f(x) = 3cos 4 x - 20cos 3 x + 36cos 2 x + 24a - 12a 2 . Đặt t = cosx, (|t| Ê 1) và xét hàm: (t)=3t 4 - 20t 3 +. 36t 2 + 24a - 12a 2 . Tìm a để với "t ẻ [-1 ;1]tađềucój(t)>0.Tacó: (t) = 12t 3 - 60t 2 + 72t = 12t (t 2 -5 t+6). (0) = 24a - 12a 2 . Muốn j(t)>0với"t ẻ [-1 ;1]thìcầnvàđủlà: 24a - 12a 2 >0. tíi: ∆‘ ³ 0 2f(0) ³ 0 víi f(u) = 2u 2 -2 au+(a 2 -3 a-3); ∆‘=a 2 - 2(a 2 -3 a-3)=-a 2 +6a+6. VËy ∆‘ ³ 0 víi 3+ 15 ³ a ³ ↔ 3- 15 . f(0) = a 2 -3 a-3³ 0 Û a £ 3- 21 2 hoÆc a ³ 3+ 21 2 . Do xÐt a>0nªn