SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ I – NĂM 2011 MÔN TOÁN- KHỐI D (Thời gian làm bài 180 phút-không kể thời gian phát ñề) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I : (2 ñiểm) Cho hàm số : 2 1 x y x − = − (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (C). b) Chứng minh rằng: với mọi giá trị của m, ñường thẳng d : y x m= − + luôn cắt ñồ thị (C) tại hai ñiểm A,B phân biệt. Tìm giá trị nhỏ nhất của ñộ dài ñoạn thẳng AB. Câu II : (2 ñiểm) a)Giải bất phương trình: 9 2 2 2 2 1 2 2 1 34.15 25 0 x−x + x−x x−x + − + > b)Tìm a ñể hệ phương trình sau có nghiệm : x+1 1 2 1 y a x y a + − = + = + Câu III : (2 ñiểm) a) Giải phương trình: 2 2 1 8 1 2cos cos ( ) sin 2 3cos( ) sin 3 3 2 3 x x x x x π π + + = + + + + b) Tính : 1 3 1 0 x e dx + ∫ Câu IV: (1 ñiểm) Trong không gian với hệ toạ ñộ Oxyz ,cho ñiểm I(1;5;0) và hai ñường thẳng 1 : 4 1 2 x t y t z t = ∆ = − = − + ; 2 2 : 1 3 3 x y z − ∆ = = − − Viết phương trình tham số của ñường thẳng d ñi qua ñiểm I và cắt cả hai ñường thẳng 1 ∆ và 2 ∆ Viết phương trình mặt phẳng( α ) qua ñiểm I , song song với 1 ∆ và 2 ∆ PHẦN RIÊNG: Thí sinh chỉ ñược làm 1 trong 2 câu V.a hoặc V.b Câu V.a DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN (3 ñiểm) 1)Trong không gian , cho hệ trục toạ ñộ ðề Các vuông góc Oxyz Tìm số các ñiểm có 3 toạ ñộ khác nhau từng ñôi một,biết rằng các toạ ñộ ñó ñều là các số tự nhiên nhỏ hơn 10. Trên mỗi mặt phẳng toạ ñộ có bao nhiêu ñiểm như vậy ? 2) Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng ñường cao, bằng a. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SC và AB 3) Giải phương trình: 2 log 2 3 1 x x = − Câu V.b : DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO ( 3 ñiểm ) 1) Chứng minh rằng phương trình : 5 5 5 0x x− − = có nghiệm duy nhất 2)Viết phương trình các tiếp tuyến của e líp (E): 2 2 1 16 9 x y + = , biết tiếp tuyến ñi qua ñiểmA(4;3) 3) Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau từng ñôi một , trong ñó chữ số 2 ñứng liền giữa hai chữ số 1 và 3. HẾT Họ và tên thí sinh………Số báo danh……………Phòng thi… www.laisac.page.tl ðÁP ÁN CHẤM THI THỬ ðẠI HỌC VÀ CAO ðẲNG LẦN I- KHỐI D Năm học 2009-2010 PHẦN CHUNG (7 ñiểm) Nội dung chính và kết quả ðiểm thành phần a) (1ñiểm) D=R/ { } 1 y ' 2 1 ( 1)x = − > 0 , x D∀ ∈ ⇒ h/số ñồng biến trên D và không có cực trị Các ñường tiệm cận: T/c ñứng x=1; T/c ngang: y =1 Tâm ñối xứng I(1;1) BBT x - ∞ 1 + ∞ y’ + + y + ∞ 1 1 - ∞ ðồ thị f(x)=(x-2)/(x-1) f(x)=1 x(t)=1 , y(t)=t -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 6 4 5 7 x y 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,5 ñiểm Câu I 2 ñiểm b) (1 ñiểm) * Phương trình hoành ñộ giao ñiểm của d ( )C ∩ là: 2 2 0x mx m − + − = (1) ; ñ/k 1 x ≠ Vì 2 4 8 0 (1) 1 0 m m f ∆ = − + > = − ≠ với m ∀ ,nên p/t (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 với m ∀ .Suy ra d ( ) C ∩ tại hai ñiểm phân biệt với m ∀ *Gọi các giao ñiểm của d ( ) C ∩ là: A( ; A A x x m − + ) ; B( ; B B x x m − + );với A x ; B x là các nghiệm của p/t (1) [ [ [ 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 4 . 2 4( 2) 2 ( 2) 4 8 A B A B A B AB x x x x x x m m m = − = + − = − − = − + ≥ Vậy : AB min 2 2 = , ñạt ñược khi m = 2 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm a) (1 ñiểm) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2(2 ) 2 9 34.15 25 0 9.3 34.3 x x x x x x x x x x − + − − + − − − + > ⇔ − . 2 2 2 2(2 ) 5 25.5 0 x x x x − − + > 2 2 2 2 2 2(2 ) 2 2 3 1 5 3 3 9. 34. 25 0 5 5 3 25 5 9 x x x x x x x x − − − − < ⇔ − + > ⇔ > 2 2 0 ( ;1 3) (0;2) (1 3; ) 2 2 x x x x x − > ⇔ ⇔ ∈ −∞ − ∪ ∪ + +∞ − < − KL: Bpt có tập nghiệm là T= ( ;1 3) (0;2) (1 3; ) −∞ − ∪ ∪ + +∞ 0,25ñiểm 0,25ñiểm 0,5 ñiểm Câu II 2 ñiểm b) ( 1 ñiểm ) ñ/k 1; 1 x y ≥ − ≥ .Bất pt ⇔ 2 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 x y a x y a + + − = + + − = + 2 1 1 1 1. 1 (2 1) 2 x y a x y a a + + − = ⇔ + − = − + ; Vậy 1 x + và 1 y − là nghiệm của p/t: T 2 2 1 ( 2 1) 0* 2 aT a a − + − − = .Rõ ràng hệ trên có nghiệm khi p/t* có 2 nghiệm không âm 2 2 2 0 2( 2 1) 0 0 0 1 2 2 6 0 1 ( 2 1) 0 2 a a a S a a P a a ∆ ≥ − − − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ + ≤ ≤ + ≥ − − ≥ 0,25 ñiểm 0,25ñiểm 0,5ñiểm a) (1 ñiểm) 2cosx+ 2 2 1 8 1 os ( ) sin 2 3 os(x+ )+ sin 3 3 2 3 c x x c x π π + = + + 2 osx+ c ⇔ 2 2 1 8 1 os sin 2 3sinx+ sin 3 3 3 c x x x = + − 2 2 6 osx+cos 8 6sinx.cosx-9sinx+sin c x x ⇔ = + 2 6 osx(1-sinx)-(2sin 9sinx+7) 0 c x ⇔ − = 7 6 osx(1-sinx)-2(sinx-1)(sinx- ) 0 2 c ⇔ = (1-sinx)(6cosx-2sinx+7) 0 ⇔ = (1) (2) 1 sinx=0 6cosx-2sinx+7=0 − ⇔ 2 ;( ) 2 x k k Z π π ⇔ = + ∈ (p/t (2) vô nghiệm ) 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,5 ñiểm Câu III 2 ñiểm b) (1 ñiểm) Tính: I= 1 3 1 0 x e dx + ∫ ðặt 3 1 x t + = ; t 0 ≥ 2 2 3 1 . 3 x t dx t dt → + = → = ; 0 1 1 2 x t x t = → = = → = Vậy I= 2 1 2 3 t te dt ∫ ðặt t t u t du dt dv e dt v e = → = = → = . Ta có 2 2 1 2 2 ( ) 3 3 t t I te e dt e = − = ∫ 0,5 ñiểm 0,5 ñiểm Câu Nội dung chính và kết quả ðiểm thành phần Câu IV 1 ñiểm I(1;5;0) , 1 : 4 1 2 x t y t z t = ∆ = − = − + 2 2 : 1 3 3 x y z − ∆ = = − − 1 ∆ có vtcp 1 (1; 1;2) u − ;và 1 ∆ ñi qua ñiểm M 1 (0;4; 1) − 2 ∆ có vtcp 2 (1; 3; 3) u − − ; 2 ∆ ñi qua ñiểm 2 (0;2;0) M • mp(P)chứa 1 ∆ và ñiểm I có vtpt 1 1 , (3; 1; 2) n M I u = = − − r uuuur ur → p/t mp(P) : 3x –y - 2z + 2 = 0 Tương tự mp(Q) chứa 2 ∆ và ñiểm I có vtpt ' n ur (3;-1;2) → p/t mp(Q) : 3x - y + 2z + 2 = 0 *Vì ñường thẳng d qua I , cắt 1 ∆ và 2 ∆ , nên d = (P) ∩ (Q) → ñường thẳng d có vtcp ' , d u n n = ur uur r = (1;3;0); d ñi qua ñiểm I(1;5;0) Nên p/t tham số của d là 1 5 3 0 x t y t z = + = + = *mp( α ) qua ñiểm I và song song với 1 ∆ và 2 ∆ nên ( α ) có vtpt n α uur = 1 2 , u u ur uur =(9;5;-2) → p/t ( α ) : 9x + 5y -2z – 34 = 0 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,5 ñiểm CâuVa 3 ñiểm 1)(1 ñiểm) Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10 : { } 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 *Số ñiểm có 3 toạ ñộ khác nhau ñôi một là: 3 10 720 A = (ñiểm) * Trên mỗi mặt phẳng toạ ñộ,mỗi ñiểm ñều có một toạ ñộ bằng 0, hai toạ ñộ còn lại khác nhau và khác 0.Số các ñiểm như vậy là: 2 9 72 A = (ñiểm) 2) * Xác ñịnh k/c(AB;SC) Vì AB//mp(SDC) → d(AB,SC) = d(AB,mp(SDC)) Lấy M,N lần lượt là trung ñiểm của AB,DC;Gọi O = AC ∩ BD → mp(SMN) ⊥ mp(SDC) Hạ MH ⊥ SN , (H ∈ SN) → MH ⊥ mp(SDC) → MH = d(M;(SDC)) = d(AB;(SDC))= d(AB;SC) * Tính MH : Hạ OI ⊥ SN → MH = 2.OI ∆ SNO vuông có: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 .OS OS OS ON OI OI ON ON = + → = + Với ON = 2 a ; OS = a N O A D B C S M I H ta tính ñược OI = a 5 5 → MH= 2a 5 5 3) (1 ñiểm) 2 log 2 3 1 x x = − * ; ð/k x>0 . ðặt 2 log x t = 2 t x ⇒ = p/t * ⇔ 3 1 3 4 1 1. 4 4 t t t t = − ⇔ + = Nhận thấy p/t này có nghiệm t = 1, và c/m ñược nghiệm ñó là duy nhất. Vậy , ta ñược : 2 log 1 2 x x = ⇔ = KL: p/t có duy nhất nghiệm x = 2 0,5 ñiểm 0,5 ñiểm 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,5 ñiểm 0,5 ñiểm Câu Vb 3 ñiểm 1)(1 ñiểm) ðặt 5 ' 4 2 ( ) 5 5 ( ) 5( 1) 5( 1)( 1)( 1) f x x x f x x x x x = − − ⇒ = − = − + + 1 '( ) 0 1 x f x x = − = ⇔ = .Ta có bảng biến thiên của h/s f(x): x - ∞ -1 1 + ∞ f’(x) + 0 - 0 + f(x) -1 + ∞ - ∞ -9 Nhìn vào bảng biến thiên,ta thấy : ñường thẳng y=0 chỉ cắt ñồ thị của h/s f(x) tại một ñiểm duy nhất. Vậy p/t ñã cho có 1 nghiệm duy nhất 2) (1 ñiểm) Gọi toạ ñộ tiếp ñiểm là ( 0 0 ; x y ), PTTT (d) có dạng: 0 0 1 16 9 x x y y + = * Vì A(4;3) ∈ (d) → 0 0 4 3 1 16 9 x y + = (1) Vì tiếp ñiểm ( ) E ∈ ,nên 2 2 0 0 1 16 9 x y + = (2) . Từ (1),(2) ta có 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 12 3 4; 0 4 0; 3 9 16 144 x y x y x y x y − = = = → = = + = . Từ p/t * , ta thấy có 2 tiếp tuyến của (E) ñi qua ñiểm A(4;3) là : (d 1 ) : x – 4 = 0 ; (d 2 ) : y – 3 = 0 3)(1 ñiểm) 1 TH : Số phải tìm chứa bộ 123: Lấy 4 chữ số ∈ { } 0;4;5;6;7;8;9 : có 4 7 A cách Cài bộ 123 vào vị trí ñầu,hoặc cuối,hoặc giữa hai chữ số liền nhau trong 4 chữ số vừa lấy: có 5 cách → có 5 4 7 A = 5.840 = 4200 số gồm 7 chữ số khác nhau trong ñó chứa bộ 123 Trong các số trên, có 4 3 6 A = 4.120 = 480 số có chữ số 0 ñứng ñầu → Có 5 4 7 A - 4 3 6 A = 3720 số phải tìm trong ñó có mặt bộ 123 2 TH : Số phải tìm có mặt bộ 321 (lập luận tương tự) Có 3720 số gồm 7 chữ số khác nhau , có bặt 321 Kết luận: có 3720.2 = 7440 số gồm 7 chữ số khác nhau ñôi một,trong ñó chữ số 2 ñứng liền giữa hai chữ số 1 và 3 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,5 ñiểm 0,25 ñiểm 0,25 ñiểm 0,5 ñiểm 0,5 ñiểm 0,5 ñiểm Chú ý :- N ếu học sinh làm theo cách khác ñúng thì phải cho ñiểm tối ña http://aotrangtb.com . SỞ GIÁO D C & ðÀO TẠO THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN THỨ I – NĂM 2 011 MÔN TOÁN- KHỐI D (Thời gian làm bài 18 0 phút-không kể thời gian phát. BBT x - ∞ 1 + ∞ y’ + + y + ∞ 1 1 - ∞ ðồ thị f(x)=(x-2)/(x -1 ) f(x) =1 x(t) =1 , y(t)=t -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 6 4 5 7 x y 0,25 ñiểm . b) (1 ñiểm) Tính: I= 1 3 1 0 x e dx + ∫ ðặt 3 1 x t + = ; t 0 ≥ 2 2 3 1 . 3 x t dx t dt → + = → = ; 0 1 1 2 x t x t = → = = → = Vậy I= 2 1 2 3 t te dt ∫ ðặt t t u t du dt dv e dt v