1 TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2007 - 2008 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - NĂM HỌC 2007 – 2008 Câu Nội dung Điểm 1,0 1,0 1,0 I- 1 (3,5 đ) Phương pháp: Áp dụng CT biến đổi tổng thành tích. Chuyển về phương trình tích. Điều kiện: x R. Phương trình đã cho tương đương với cosx – cos3x + sin3x + sinx = 0 2sin2x.sinx + 2sin2x.cosx = 0 2sin2x(sinx + cosx) = 0 sin2x = 0 v sinx + cosx = 0 2 . 2 , . t anx = -1 4 k x x k k Z x k Kết luận: x = 2 4 k x v x k , k Z. 0,5 1,0 1,0 1,0 I – 2 (3,5 đ) Phương pháp: Thêm bớt biểu thức trên tử. Tách ra tính hai giới hạn bằng cách nhân biểu thức liên hợp. 3 1 3 1. 2 3 1 3 1 2 lim 1 x x x x x L x = 3 1 1 2 1 3 1 2 lim 3 1 lim 1 1 x x x x x x x = 2 3 3 3 1 1 2 3 3 ( 2 1) (2 ) 2 1 ( 3 1 2)( 3 1 2) lim 3 1 lim ( 1)( 3 1 2) ( 1) (2 ) 2 1 x x x x x x x x x x x x x = 1 1 2 3 3 (2 1) (3 1 4) lim 3 1 lim ( 1)( 3 1 2) ( 1) (2 ) 2 1 x x x x x x x x x x = 1 1 2 3 3 ( 3 1) 3 lim lim ( 3 1 2) (2 ) 2 1 x x x x x x = 1 12 . Kết luận: L = 1 12 . 0,5 1,5 II – 1a (2,0 đ) Phương pháp: Chứng minh 1 . n n v q v , q không đổi, thoả mãn với n N*. Ta có 1 1 2 1 1 1 5 2 2 2 3 3 3 n n n n n n n n n u u v u u u u u v n N*. Từ định nghĩa cấp số nhân. Ta có dãy số (v n ) là một cấp số nhân với số hạng đầu v 1 = u 2 – u 1 = 3 và công bội q = 2 3 . 0,5 II – 1b (2,0 đ) Phương pháp: Tìm công thức số hạng tổng quát u n thông qua cấp số nhân (v n ). Áp dụng công thức lim 0 n q với |q| < 1. Đ ề chính th ứ c 2 0,5 0,5 0,5 Từ câu a) ta có tổng n số hạng đầu của cấp số nhân (v n ) là 1 1 2 2 3 1 3 (1 ) 2 9 1 2 1 3 1 3 n n n n n v q S v v v q Mặt khác ta có: v 1 = u 2 – u 1 . v 2 = u 3 – u 2 . v 3 = u 4 – u 3 . ………… v n - 2 = u n - 1 – u n - 2 . v n - 1 = u n – u n - 1 . Cộng theo vế ta có 1 2 1 1 n n v v v u u . Từ đó suy ra công thức số hạng tổng quát của dãy số (u n ) là: 1 1 1 2 9 1 2006. 3 n n n u S u Do đó giới hạn 1 2 lim lim 9 1 2006 9 2006 2015. 3 n n u Kết luận: lim u n = 2015. 0,5 0,5 0,5 0,5 II-2 (2,0 đ) Phương pháp: Áp dụng công thức nhân đôi, công thức nhân ba đối với tan. Điều kiện: x, y R. Nhận xét y = ± 1 không thoả mãn phương trình (1), x = ± 1 3 , không thoả mãn phương trình (2). Vì vậy hệ phương trình tương đương với 2 3 2 2 (1) 1 (2) 3 1 3 y x y x x y x . Đặt y = tan với ( ; ) 2 2 . Từ phương trình (1) ta có 2 2tan tan 2 1 tan x x . Từ phương trình (2) ta có y = 3 2 3tan 2 tan 2 tan6 1 3tan 2 y . Từ đó ta có phương trình: tan = tan 6 6 = + k 5 k , k Z. Do ( ; ) 2 2 nên ta chọn được k = 0, k = ± 1, k = ± 2. Vì vậy hệ phương trình cáo các nghiệm (0;0), 2 2 4 2 4 2 tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan 5 5 5 5 5 5 5 5 Kết luận: Hệ phương trình có 5 nghiệm (0;0), 2 2 4 2 4 2 tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan , tan ;tan 5 5 5 5 5 5 5 5 0,5 3 1,0 1,0 1,0 III-1 (3,5 đ) Phương pháp: Chứng minh SH BC, CH SB. * Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Do ABC đều, G là trọng tâm của ABC nên ta có AM BC. Do SA (ABC) nên AM là hình chiếu vuông góc của SM lên (ABC). Theo Định lí ba đường vuông góc ta có SM BC. Mặt khác do H là hình chiếu vuông góc của O lên (SBC) nên OH BC và OM BC Suy ra HM BC. Suy ra SH BC (1) * Do ABC đều nên ta có CO AB Do SA (ABC) nên SA OC. Từ đó suy ra OC (SAB). Suy ra SB OC. Mặt khác OH (SBC) OH SB Từ đó ta có SB (COH). Suy ra CH SB (2) Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm của SBC. 0,5 1,0 1,0 0,5 III-2 (3,5 đ) Phương pháp: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng d và đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d lên mặt phẳng (P). Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm A lên (SBC). Do đó ta có OH // AK. Ta có đường thẳng AM là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AK lên (ABC). Vì vậy góc giữa đường thẳng OH và (ABC) bằng góc giữa đường thẳng AK và (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng (AK, AM) bằng góc · KAM Do · · 0 90 KAM AMS và · · 0 90 ASM AMS nên · · SM KAM A Xét SAM vuông tại A có AM = a 3 , SA = 3a. Suy ra · · · 0 3 tan SM tan SM SM 30 S 3 AM A A A A Từ đó ta có góc (OH,(ABC)) = 30 0 . Kết luận: (OH,(ABC)) = 30 0 . 1,0 Thanh Chương, ngày 15tháng 3 năm 2008. Giáo viên Trần Đình Hiền. S A K O B C H 2a 3a M . 1 TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG NĂM HỌC 2007 - 2008 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 11 - NĂM HỌC 2007 – 2008 Câu. v 1 = u 2 – u 1 . v 2 = u 3 – u 2 . v 3 = u 4 – u 3 . ………… v n - 2 = u n - 1 – u n - 2 . v n - 1 = u n – u n - 1 . Cộng theo vế ta có 1 2 1 1 n n v v v u u . Từ. 2sin2x.cosx = 0 2sin2x(sinx + cosx) = 0 sin2x = 0 v sinx + cosx = 0 2 . 2 , . t anx = -1 4 k x x k k Z x k Kết luận: x = 2 4 k x v x k