Bất đẳng thức luyện thi đại học cao đẳng

www.MATHVN.com www.mathvn.com 1 BT NG THC VÀ CC TR (Chuyên đ LTH 2011)  chng minh các BT ta có th s dng mt s bt đng thc hoc dùng phng pháp đánh giá. I.S dng mt s BT c bn: Các BT c bn  đây là BT Cô-Si: Vi n s không âm bt kì: 1 2 ; ; ( 2) n a a a n ³ ta luôn có: 1 2 1 2 ( ) n n n a a a a a a I n + + + ³ ; du bng xy ra khi và ch khi: 1 2 n a a a = = = . BT Bunhiacôpxki: Vi hai b s thc bt kì 1 2 1 2 ( ; ; ),( ; ; ) n n a a a b b b ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b II + + + £ + + + + + + ; du bng xy ra khi và ch Khi: 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = . BT: 2 2 2 ( ) a b c ab bc ca III + + ³ + + ; du bng xy ra khi . a b c = = BT: 2 1 2 1 2 1 1 1 ( ) n n n IV a a a a a a + + + ³ + + + ; trong đó 1 2 , , n a a a là các s dng; du bng xy ra khi và ch khi các s này bng nhau. Bài 1: Cho 0 a b > > . Chng minh: 2 2 1 4 1 / 3; / 3; / 2 2. ( ) ( )( 1) ( ) a a b a c a b a b a b b b a b + ³ + ³ + ³ - - + - Gii: a/ Theo BT (I) ta có: 3 1 1 ( ) 3 .( ). 3 ( ) ( ) b a b b a b b a b b a b + - + ³ - = - - (đpcm). Du bng xy ra khi 1; 2. b a = = Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Chng minh: 1 1 . a b b a ab - + - £ www.MATHVN.com www.mathvn.com 2 Gii: Theo BT (I) ta có: ( 1) 1 1 ( 1).1 . 2 2 b ab a b a b a - + - = - £ = ; tng t ta cng có: 1 2 ab b a - £ . Cng các v ca các BT này li ta s đc đpcm. Du bng xy ra khi a = b = 2. Bài 2’: a,b,c là ba s không âm có tng bng 1. Chng minh: 8/ 27 ab bc ca abc + + - £ . Gii: Theo BT (I) ta có: 3 (1 ) (1 ) (1 ) 2 (1 )(1 )(1 ) 3 3 a b c a b c - + - + - - - - £ = 1 8/ 27 a b c ab bc ca abc ab bc ca abc Û - - - + + + - = + + - £ (đpcm). Du bng xy ra khi a = b = c =1/3. Bài 3: Cho ba s không âm a,b,c. Chng minh: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab + + ³ + + . Gii: Theo BT (I) ta có: ( ) 4 3 3 3 3 3 3 2 6 4 6 6 a b c a b c a bc + + ³ = ; tng t ta cng có: 3 3 3 2 3 3 3 2 4 6 ;4 6 b c a b ca c a b c ab + + ³ + + ³ cng các v ca các BT này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c. Bài 3’: Cho ba s dng x,y,z. Chng minh: 6 2 3 ( ) / 432 x y z xy z+ + ³ . Bài 4: Tìm GTNN ca biu thc 9 3 6 ( ) / P x y x y = + trong đó x,y là các s dng. Gii: Theo BT (I) ta có: 3 6 9 9 9 9 3 6 3 6 6 ( ) 9 3 3. 6. 9. 3 6 3 6 3 6 2 x y x y x y x y P x y + æ ö æ ö + = + ³ Û = ³ = ç ÷ ç ÷ è ø è ø Vy GTNN ca P bng 9 6 3 / 2 khi y = 2x. Bài 5: Ba s thc a,b,c tha mãn h thc: 6 6 6 3 a b c + + = . Hãy tìm GTLN ca biu thc 2 2 2 S a b c = + + Gii: Theo BT (I) ta có: 6 2 6 2 6 2 1 1 3 ; 1 1 3 ; 1 1 3 9 3 3 a a b b c c S S + + ³ + + ³ + + ³ Þ ³ Û ³ Vy GTLN ca S bng 3 khi a = b = c = 1. Bài 6: x,y là các s thc tha mãn các điu kin: 0 3;0 4 x y £ £ £ £ . Tìm GTLN ca biu thc: www.MATHVN.com www.mathvn.com 3 (3 )(4 )(2 3 ) A x y x y = - - + . Gii: Theo BT (I) ta có: 3 (6 2 ) (12 3 ) (2 3 ) 2(3 ).3(4 ).(2 3 ) 6 3 x y x y x y x y - + - + + - - + £ = 3 6 6 36 A A Û £ Û £ . Vy GTLN ca A bng 36 khi x = 0 và y = 2. Bài 7: x,y,z là các s không âm có tng bng 1. Tìm GTLN ca biu thc: ( )( )( ) P xyz x y y z z x = + + + . Bài 8: a,b,c là các s dng. Chng minh: * ( , ) m n m n m n n n n m m m a b c a b c m n N b c a + + + + + ³ + + Î Gii: Theo BT (I) ta có: ( ) ( ) ( ) n m n m n n n m n m n m m a a n mb m n b m n a b b + + + æ ö + ³ + = + ç ÷ è ø . Tng t ta cng có: ( ) ; ( ) m n m n n n n n m m b c n mc m n b n ma m n c c a + + + ³ + + ³ + . Cng các BT này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c. Chú ý: Nu 1 m n = = thì ta đc BT: 2 2 2 . a b c a b c b c a + + ³ + + Bài 9: Cho 3 s thc dng a,b,c. Chng minh: 3 3 3 . ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c + + + + ³ + + + Gii: Theo BT (I) ta có: 3 3 3 3 3 ( ) 2 4 ( ) 2 4 2 a b c a a b c a a b c a b c a + + + + ³ = + + . Tng t ta cng có: 3 3 3 3 ; ( ) 2 4 2 ( ) 2 4 2 b c a b b c a b c c c a b a b c + + + + ³ + + ³ + + . Cng các v ca các BT này li ri đn gin ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi a = b = c. Bài 10: Các s thc dng x,y,z tha mãn điu kin: 6 x y z + + ³ . Tìm GTNN ca biu thc: 3 3 3 x y z S y z x z y x = + + + + + . www.MATHVN.com www.mathvn.com 4 Bài 11: Cho ba s thc dng a,b,c tha mãn h thc: 6 a b c + + = . Tìm GTNN ca biu thc: 3 3 3 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) P a b c = + + + . Bài 12: Cho x,y,z là ba s thc tho mãn h thc: 0 x y z + + = . Chng minh: 3 4 3 4 3 4 6 x y z S = + + + + + ³ Gii: Theo BT (I) ta có: 4 / 4 3 4 1 1 1 4 4 4 2.2 x x x x + = + + + ³ = . Tng t ta cng có: 3 / 4 /4 / 4 /4 / 4 ( )/ 4 3 4 2.2 ; 3 4 2.2 2(2 2 2 ) 2.3 2 6 y y z z x y z x y z S + + + ³ + ³ Þ ³ + + ³ = (đpcm) Du bng xy ra khi 0 x y z = = = . Bài 13: Cho hai s thc dng x,y có tng bng 1. Tìm GTNN ca biu thc: 1 1 x y S y x = + - - . Gii: D thy S dng. Theo BT (I) ta có: 2 2 2 2 2 x y S x y xy xy y x + + ³ + + + ³ 2 2 2 3 3 3. 3. 3( ) 2 2 x y xy xy x y S S y x + = + Þ ³ Û ³ . Vy 2 MinS = khi x = y = 1/2. Bài 14: Cho ba s dng a,b,c tha mãn điu kin: 3 a b c + + ³ . Tìm GTNN ca biu thc: a b c S b c a = + + . Bài 15: Cho 3 s dng a,b,c tha mãn h thc: 2 2 2 1. a b c + + = Chng minh: 3 ab bc ca S c a b = + + ³ . Bài 16: Cho 3 s dng x,y,z có tng bng 1. Chng minh BT: 3 2 xy yz zx xy z yz x zx y + + £ + + + . www.MATHVN.com www.mathvn.com 5 Gii: Do ( ) ( )( ) xy z xy z x y z x z y z + = + + + = + + nên theo BT (I) ta có: 1 . 2 xy x y x y xy z x z y z x z y z æ ö = £ + ç ÷ + + + + + è ø . Tng t ta cng có: 1 2 yz y z yz x x y x z æ ö £ + ç ÷ + + + è ø ; 1 2 xz x z xz y x y y z æ ö £ + ç ÷ + + + è ø Cng các BT trên ta s đc BT cn chng minh. Du bng xy ra khi 1/3 x y z = = = . Bài 17: Cho hai s thc dng x,y tha mãn điu kin: 6 x y + ³ . Tìm GTNN ca biu thc: 6 8 3 2P x y x y = + + + . Gii: Theo BT (I) ta có: 3 6 8 3 3 3 6 8 3 2. . 2. . .6 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y P x y x y = + + + + + ³ + + 6 4 9 19 = + + = . Vy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4. Bài 18: Cho 3 s thc dng x,y,z tha mãn điu kin: 2 1 xy xz + = . Tìm GTNN ca biu thc: 3 4 5 yz xz xy S x y z = + + . Gii: Theo BT (I) ta có: 2 3 2 4 6 yz xz yz xy xy xz S z y x x y x z z y æ ö æ ö æ ö = + + + + + ³ + + = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø 2( ) 4( ) 4 8 4 x z x y xz xy + + + ³ + = . Vy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3. Bài 19: Cho hai s thc không âm x,y tha mãn các điu kin: 4;3 6 x y x y + £ + £ . Tìm GTLN ca biu thc: 3 9. 4 P x y = + . Gii: Theo BT (I) ta có: 3 2 2 3.3 .1.1 .2 .3 3( 2) ( 3) 3 3 P x y x y = + £ + + + www.MATHVN.com www.mathvn.com 6 2 3 3 9 2 3 ( ) (3 ) 6 2 3 4 6 6 2 3 4. 6. 6 2 3 2 6 a x y b x y a b - - = + + + + + Ê + + + = + + + 9 4 3 = + . ( Do 3 3& 2/ 3 (2 3 3)/ 2 & (9 2 3)/ 6 a b a b a b+ = + = ị = - = - ). Vy 9 4 3 MaxP = + khi 1& 3 x y = = . Bi 20: Cho 3 s dng a,b,c. Chng minh BT: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 a b c a b c a b c a b c ổ ử + + Ê + + ỗ ữ + + + + + + ố ứ . Gii: Theo BT (IV) ng vi n =2 ta cú: 1 1 1 1 1 2 ( ) ( ) 4 a b c a b a c a b a c ổ ử = Ê + ỗ ữ + + + + + + + ố ứ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 4 4 4 16 a b a c a b c ộ ự ổ ử ổ ử ổ ử Ê + + + = + + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ố ứ ố ứ ở ỷ . Tng t ta cng cú: 1 2 a b c + + 1 1 2 1 16 a b c ổ ử Ê + + ỗ ữ ố ứ ; 1 2 a b c + + 1 1 1 2 16 a b c ổ ử Ê + + ỗ ữ ố ứ .Cng cỏc v ca cỏc BT ny li ri n gin ta s c BT cn chng minh. Du bng xy ra khi . a b c = = Bi 21: Cho hai s dng a,b cú tng bng 1. Chng minh cỏc BT sau: 2 2 2 2 1 1 2 3 / 6; / 14. a b ab a b ab a b + + + + Gii: a/ Theo BT (IV) ng vi n =2 ta cú: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 ab a b ab ab a b + = + + + + 2 2 2 2 4 2 4 6 ( ) 2a b ab a b + = + = + + + (pcm). Du bng xy ra khi 1/2. a b = = 1/2. a b = = Bi 22: Cho a,b,c l cỏc s thc dng tha món iu kin: 3/ 2. a b c + + Ê Chng minh: 1/ 1/ 1/ 15/ 2. a b c a b c + + + + + Bi 23: Ba s dng x,y,z cú tớch bng 1. Chng minh: 2 2 2 x y z x y z + + + + . www.MATHVN.com www.mathvn.com 7 Gii: Áp dng BT (II) và (I) ng vi n = 3 ta có: 2 2 2 2 ( ) ( ). 3 x y z x y z x y z + + + + ³ = + + 3 ( ). 3 x y z x y z xyz x y z + + ³ + + = + + (đpcm). Du bng xy ra khi 1 x y z = = = . Chú ý: T BT trên ta suy ra BT: 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + ³ + + vi a,b,c là các s dng. Bài 24: Cho 0; 0 a c b c > > > > . Chng minh: ( ) ( ) c b c c a c ab - + - £ . Gii: Áp dng BT (II) cho hai b s ( ; ) & ( ; ) c a c b c c - - ta đc: 2 ( ( ) ( )) ( )( ) c b c c a c c a c b c c ab - + - £ + - - + = t đó suy ra BT ccm. Du bng xy ra khi ( ) ab c a b = + Bài 25: Cho 4 s dng x,y,a,b tha man các điu kin: ; a x a b x y > + > + . Chng minh: 2 2 2 ( ) x a x a x y a b x y a b - + ³ + + - - + . Gii: Áp dng BT (II) cho hai b s ; & ( ; ) x a x x y a b x y x y a b x y æ ö - + + - - ç ÷ ç ÷ + + - - è ø ta đc: 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x a x x y a b x y x a x x y a b x y æ ö - + + + + - - ³ + - ç ÷ + + - - è ø t đó suy ra BT ccm. Du bng xy ra khi bx = ay. Bài 26: Bn s thc a,b,c,d tha mãn h thc: 2 2 2 2 1 a b c d + + + = ; x là s thc bt kì. Chng minh: 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) (2 1) x ax b x cx d x + + + + + £ + Gii: Áp dng BT (II) ng vi n = 3 ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 )( ); x ax b x x x a b + + £ + + + + www.MATHVN.com www.mathvn.com 8 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 1 )( ) x cx d x x x c d + + £ + + + + Þ 2 2 2 2 ( ) ( ) x ax b x cx d + + + + + £ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1)( ) (2 1) x x a b x c d x + + + + + + = + (đpcm). Du bng xy ra khi b=d=1&x=a=c. Bài 27: Cho 5 s dng x,y,z,p,q bt kì. Chng minh: 3 x y z py qz pz qx px qy p q + + ³ + + + + . Gii: Theo BT (III) ta có: ( ) ( ) ( ) ( )( ) x py qz y pz qx z px qy p q xy yz zx + + + + + = + + + £ 2 ( )( ) /3 p q x y z+ + + (*). Áp dng BT (II) cho hai b s ; ; x y z py qz pz qx px qy æ ö ç ÷ + + + è ø và ( ( ); ( ); ( )) x py qz y pz qx z px qy + + + ta đc: [ ] 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x py qz y pz qx z px qy x y z py qz pz qx px qy æ ö + + + + + + + ³ + + ç ÷ + + + è ø Kt hp vi BT (*) ta s đc BT ccm. Du bng xy ra khi; py qz pz qx px qy + = + = + . Bng cách gii tng t ta s chng minh đc các BT sau: 1/ 3 2 a b c b c a c b a + + ³ + + + vi a,b,c là các s dng bt kì. 2/ 2 a b c d b c d c d a a b + + + ³ + + + + vi a,b,c,d là các s dng bt kì. 3/ 2 2 2 2 a b c a b c b c a c b a + + + + ³ + + + vi a,b,c là các s dng bt kì. 4/ 2 2 2 a b c a b c b c a a c b b a c + + ³ + + + - + - + - vi a,b,c là đ dài ba cnh ca mt tam giác. www.MATHVN.com www.mathvn.com 9 5/ 3 a b c b c a a c b b a c + + + - + - + - vi a,b,c l di ba cnh ca mt tam giỏc. Bi 28: Cho cỏc s thc x,y,u,v tha món iu kin: 2 2 2 2 1 x y u y + = + = . Chng minh: ( ) ( ) 2 u x y v x y- + + Ê Gii: Theo BT (II) : [ ] 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) 2 u x y v x y u v x y x y x y ộ ự - + + Ê + - + + = + = ở ỷ T ú suy ra BT cn chng minh. Du bng xy ra khi ( ) ( ). u x y v x y + = - Bi 29: Cho a,b,c l 3 s dng tha món iu kin: 2 2 2 1. a b c + + Chng minh: 3 3 3 1 2 a b c b c a c b a + + + + + Gii: Theo BT (II) ta cú: [ ] 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c a b c b a c c b a b c a c b a ổ ử + + + + + + + ỗ ữ + + + ố ứ 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) a b c a b c ab bc ca + + + + + + . T ú ta suy ra BT cn chng minh. Du bng xy ra khi 3 /3 a b c= = = . Bi 30: Ba s x,y,z tha món iu kin: ( 1) ( 1) ( 1) 4/3. x x y y z z - + - + - Ê Chng minh: 1 4 x y z - Ê + + Ê . Gii: T iu kin ta suy ra: 2 2 2 ( 1/ 2) ( 1/2) ( 1/ 2) 25/12 x y z- + - + - Ê . p dng BT (II) ta c: [ ] 2 2 2 2 1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 1.( 1/ 2) 3 ( 1/ 2) ( 1/ 2) ( 1/ 2) 25 x y z x y z ộ ự - + - + - Ê - + - + - Ê ở ỷ 3/ 2 5/ 2 5/ 2 3/2 5/ 2 1 4 x y z x y z x y z ị + + - Ê - Ê + + - Ê - Ê + + Ê (pcm). Du bng xy ra khi 4/3 x y z = = = . Bi 31: Hai s a,b tha món iu kin: 2 2 16 8 6 a b a b + + = + . Chng minh: /10 4 3 40; / 7 24 a a b b b a Ê + Ê Ê Gii: a/ T iu kin ta suy ra: 2 2 ( 4) ( 3) 9 a b - + - = . p dng BT (II) ta c: www.MATHVN.com www.mathvn.com 10 [ ] 2 2 2 2 2 4( 4) 3( 3) ( 4) ( 3) (4 3 ) 9.25 4 3 25 15 a b a b a b ộ ự - + - Ê - + - + = + - Ê ở ỷ 15 4 3 25 15 10 4 3 40 a b a b - Ê + - Ê Ê + Ê (pcm). Du bng xy ra khi a = 24/5,b = 24/3 hoc a = 16/5, b = 6/5. Bi 32: Ba s x,y,z tha món iu kin: 2 2 2 4 2 0. x y z x z + + - + Ê Tỡm GTNN v GTLN ca biu thc: 2 3 2 . S x y z = + - Bi 33: Cho a,b,c l ba s khụng õm tha món h thc: 3. a b c+ + = Tỡm GTNN ca biu thc: 2 2 2 2 2 2 S a ab b c cb b a ac c = + + + + + + + + . Gii: Theo BT (II) ta cú: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 ( ). 1 ( ) 3 2 2 2 2 3 b b b b a ab b a a a b ộ ự ộ ự ổ ử ổ ử ổ ử ổ ử ờ ỳ + + = + + + + + = + ờ ỳ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ờ ỳ ố ứ ố ứ ố ứ ờ ỳ ố ứ ở ỷ ở ỷ 2 2 3( ) /2 a ab b a bị + + + . Tng t ta cng cú: 2 2 3( )/ 2 c cb b c b + + + ; 2 2 3( )/ 2 3( ) 3 c ca a c a S a b c + + + ị + + = . Vy MinS = 3 khi 3 /3 a b c= = = . II.S dng phng phỏp ỏnh giỏ: Bi 34: Cho 3 s dng a,b,c. Chng minh cỏc BT sau: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 / ; 1 1 1 / . 2 a a b abc c b abc a c abc abc a b c b a bc b ac c ab abc + + Ê + + + + + + + + + + Ê + + + Gii:a/Ta cú: 3 3 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 0 a b abc a b a ab b abc a b ab abc ab a b c + + = + - + + + + = + + >