Đạ sơ cấp http://mathisthinking.tk/ 1 Phương trình và hệ phương trình A.Vấn lý thuyết I/Các phép biến ñổi -Cộng trừ nhân chia lỹ thừa -Liên hợp ab ab ab − −= + 33 33 22 3 ab ab aabb − −= ++ -Hằng ñẳng thức 333222 ()()3 abcabcabcabbccaabc ++=++++−−−+ 3333 ()3()()() abcabcabbcca ++=++++++ 2 ()()() xaxbxabxab ++=+++ II/Dạng chuẩn -Phương trình bậc 2: 2 0 axbxc ++= PP: Tính 2 4 bac ∆=− và sẽ có 2 b x a −±∆ = VD: 2222 2320(13)220 xxyxyyxyxyy +−−+=⇔+−+−= . Thấy 222 (13)4(22)(1) yyyy −−−=+ Từ ñây ta có 2 h 1 xyxy ==− -Phương trình ñẳng cấp 22 0 axbxycy ++= PP: Chia cho 2 y sẽ quay về bậc 2 với / txy = VD: 2 22 xyxxy +=+. Hãy nhìn mà xem, VT và VP ñều thuần bậc 1 => Bình phương có ñẳng cấp bậc 2 -Hệ phương trình kiểu ñối xứng II PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y) VD. 22 22 23527 46514 xyxy xyxy +=−+ +=++ . Lấy (2)=(1)*2 sẽ ñược nhân tử (x-y) -Hệ ñối xứng loại I PP: Đặt S=x+y và P=xy ta sẽ quy bài toán về ẩn SP VD: 333 ()3030 35335 xyxySP xySSP +== ⇔ +=−= -Phương trình ñối xứng PP: Chứng minh x=y bằng ñánh giá hoặc phân tích ña thức ra nhân tử VD: 3322 ()(1)0 aabbabaabbab +=+⇔−−++=⇔= 3333 33 () () () abtm aabbabaabbL abaabbL = +=+⇔>⇒+>+ <⇒+<+ III/Phương pháp chung -Sử dụng các biến ñổi -Sử dụng ẩn phụ Đưa về các dạng chuẩn hoặc phương trình tích, hệ dễ giải. -Sử dụng BĐT. Ta ñi chứng minh VTaVP ≥≥ hoặc xm = là nghiệm duy nhất IV/Khai thác và áp dụng các phương pháp trong giải toán 1. Biến ñổi trong giải toán a/ Bài toán ñã biết nghiệm.(pp: Đưa về phương trình tích) Đạ sơ cấp http://mathisthinking.tk/ 2 VD1. 2 (612)210 xxxx −+++≤ Dùng fx ta có x=2. Và ñể tạo ra nhân tử x-2 ta làm như sau 2322 1 (612)210(6128)(22)0(2)(2)0 22 xxxxxxxxxx x −+++≤⇔−+−++−≤⇔−−+≤ ++ VD2. 2 748773210 xxx +++−= Bấm máy ñi cho x=0,1428571429. Đừng bao giờ nghĩ ñây là nghiệm vô tỷ mà hãy bấm vào máy 0,142857142857142857 sẽ ñược con 1/7. Xong rồi còn gì ( ) 2 7 48777320(71)70 732 PTxxxxx x ⇔+−++−=⇔−++= ++ VD3. 22 1(2)22 xxxxx +−=+−+ Tiếp tục bấm bạn sẽ có nghiệm x1=3,828427125 haizz. Đây thì quả thật là nghiệm vô tỷ rồi nhưng ñừng vội bỏ cuộc, ở bước shift + stove lúc nãy bạn bấm số mấy ? nếu bấm số dương rồi thì giờ bấm số âm ta sẽ có nghiệm nữa x2=-1,828427125. Tiếp tục tính ñi sẽ có x1x2=-7 và x1+x2=2. Nhân tử 2 27 xx −− ( ) 222 2 2 27(2)223(27)10 223 x PTxxxxxxx xx + ⇔−−=+−+−⇔−−−= −++ VD4. 32 236390 xxxx −−−−+= Có x=2 ngon rồi ( ) 322 6 2366330(2)30 633 xxxxxx x −−+−−−=⇔−−−= −+ Bấm cái trong ngoặc kia giờ ra nghiệm nữa cũng x=2. Đến ñâu có 3 hướng giải • 22 6 30(3)(633)6 633 xxx x −−=⇔−−+= −+ mà 2 x ≥ • Quay lại ( ) 322 6 1632480(1)20 163 xxxxxxx xx +−−+−−+=⇔−++= ++− • Liên hợp tiếp 2 6 410 633 x x −−+= −+ *** Một số kĩ năng trong biến ñổi liên hợp VD5. 2 3 2112144 xxx −+=− Đặt 3 44 tx =− (cho ñỡ công vik thôi) 2 3 2 12 2112144(3)250 2 xxxxx tt −+=−⇔−−−= ++ Hướng 1 biểu diển tiếp 2 1 253 2 xt −=+ thì rồi cm pt bậc 5 vô nghiệm (hay lắm cứ làm ñi các bạn) Hướng 2 sáng tạo hơn ñi 2 12 3251 2 xx tt >⇒−>> ++ rồi tương tự …… VD6. 4323 341(1) xxx −=−+ Nhìn con vế phải mà liên hợp ngay thì …. 64242 222 22 3333 (34)340 11 xxxxx xxxxx tttt ++++ −=−⇔−+= ++++ . (Rất khó làm tiếp) Chẳng dại gì mà ta không liên hợp cụm khác cho dễ cho bậc thấp xuống ( )( ) ( ) 222 432343222 2 21 341(1)341121 11 xxx xxxxxxxx x −+++ −=−+⇔−=−++++= ++ Đạ sơ cấp http://mathisthinking.tk/ 3 ( ) ( ) 2 22 2 22 2 2 2 1152 212 34030 3 11 611 xx xx xxx x x −+++ +++ ⇒−+=⇔−+= ++ ++ b/Dùng hệ số bất ñịnh ñể “mò” nghiệm VD1. 432 36530 xxxx −+−+= Có 43222432 3653()()()()() xxxxxaxbxcxdxacxacbdxadbcxbd −+−+=++++=++++++++ Đồng nhất hệ số có 3 6 5 3 ac acbd addc bd +=− ++= +=− = Ta ñược 1 1 2 3 a b c d =− = =− = Sẽ phân tích thành ( 2 1 xx −+ )( 2 23 xx −+ )=0 VD2. 22 1(2)22 xxxxx +−=+−+ Thay cho việc bấm máy như trên ta vẫn có cách giải thích hợp lý và toán học hơn cho nhân tử 2 27 xx −− . Ta chọn m,n sao cho: m=0 và n=3. c/Các phép biến ñổi thông thường VD1. 222 324254 xxxxxx +++++=++ Dễ lắm rồi nhưng nhớ cho tôi cần xét các khoảng 1 x ≥− và 4 x ≤− VD2. 22 41221 xxxxx −+=−++ ( ) ( ) (21)(21)(21)21212111210 xxxxxxxxxx−++=−++⇔+−−+−−=⇒ VD3. a/ 33 3 23 2 20022003x62002x7x32001xx3 =−−+−−+− b/ Xem HĐT 333222 ()()3 abcabcabcabbccaabc ++=++++−−−+ và 3333 ()3()()() abcabcabbcca ++=++++++ d/Đưa về luỹ thừa cùng bậc Ghi nhớ thật rõ 2 HĐT ñơn giản 222 ()2 ababab +=++ và 33322 ()33 abababab +=+++ VD1. a/ 323 1810820090(6)1793 xxxx+++=⇔+= b/ ( ) 3 323 3 51248640(4)4 xxxxx +++=⇔+=− VD2. 42 283 xxx =++ 22 42422 283(2)83 44 mm xxxxmxmxx =++⇔++=++++ . Để có dạng chính phương cần 2 16(2)30 4 m m −++= .Máy tính có m=2. Vậy thì 222 (1)(22) xx+=+ Đạ sơ cấp http://mathisthinking.tk/ 4 Bằng kĩ thuật tương tự ta có thể giải pt ( ) 2 22 4151004835(23)3358 xxxxx−−=+⇔+=++ . Đạ sơ cấp http://mathisthinking.tk/ 1 Phương trình và hệ phương trình A.Vấn lý thuyết I/Các phép biến ñổi -Cộng trừ nhân chia lỹ thừa -Liên hợp. 2 -Hệ phương trình kiểu ñối xứng II PP: Trừ 2 phương trình cho nhau sẽ có nhân tử (x-y) VD. 22 22 23527 46514 xyxy xyxy +=−+ +=++ . Lấy (2)=(1)*2 sẽ ñược nhân tử (x-y) -Hệ ñối. 1 xyxy ==− -Phương trình ñẳng cấp 22 0 axbxycy ++= PP: Chia cho 2 y sẽ quay về bậc 2 với / txy = VD: 2 22 xyxxy +=+. Hãy nhìn mà xem, VT và VP ñều thuần bậc 1 => Bình phương có ñẳng