http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 68 r 0 5 1 2 l l y'(r) y(r) y max +) Ta có max S cầu đạt y(r) đạt max 5 1 2 r l V +) Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( ) ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 3 2 2 P x y z x y z xy yz zx x y z x y z P x y z x y z x y z x y z P x y z x y z +) Đặt x +y + z = t, 6( cov ) t Bunhia xki , ta được: 3 1 ( ) 3 2 P t t t +) '( ) 0 2 P t t , P( 6 ) = 0; ( 2) 2 2 P ; ( 2) 2 2 P +) KL: ax 2 2; 2 2 M P MinP 1 điểm VI +) 5 ( , ) 2 d I AB AD = 5 AB = 2 5 BD = 5. +) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2) 2 + y 2 = 25/4 +) Tọa độ A, B là nghiệm của hệ: 2 2 2 1 25 2 ( ) ( 2;0), (2;2) 2 4 2 2 2 0 0 x y x y A B x x y y (3;0), ( 1; 2) C D VII 2 2 2 2 3 2 2010 2009 (1) 2010 3 log ( 2 6) 2 log ( 2) 1(2) y x x y x y x y +) ĐK: x + 2y = 6 > 0 và x + y + 2 > 0 +) Lấy loga cơ số 2009 và đưa về pt: 2 2 2 2 2009 2009 log ( 2010) log ( 2010) x x y y +) Xét và CM HS 2009 ( ) log ( 2010), 0 f t t t t đồng biến, từ đó suy ra x 2 = y 2 x= y, x = - y +) Với x = y thế vào (2) và đưa về pt: 3log 3 (x +2) = 2log 2 (x + 1) = 6t Đưa pt về dạng 1 8 1 9 9 t t , cm pt này có nghiệm duy nhất t = 1 x = y =7 +) Với x = - y thế vào (2) được pt: log 3 (y + 6) = 1 y = - 3 x = 3 ĐỀ 13 PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH . www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 69 Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số : y = x 3 – 3x 2 + 2 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 2 2 2 1 m x x x Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình : 5 2 2 os sin 1 12 c x x 2) Giải hệ phương trình: 2 8 2 2 2 2 log 3log ( 2) 1 3 x y x y x y x y . Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân: /4 2 /4 sin 1 x I dx x x Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a . Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy một góc 60 0 .Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho AM = 3 3 a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD tại N .Tính thể tích khối chóp S.BCNM Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 .Chứng minh rằng 25 25 25 25 5 5 5 5 5 x y z x y z y z x z x y 5 5 5 4 x y z PHẦN B ( THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN 1 HOẶC PHẦN 2) PHẦN 1 ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn ) Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao : 1 0 CH x y , phân giác trong : 2 5 0 BN x y .Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC 2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d 2 1 4 6 8 x y z và hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA +IB đạt giá trị nhỏ nhất Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức C: 2 4 3 1 0 2 z z z z PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao ) Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là giao điểm của đường thẳng 03: 1 yxd và 06: 2 yxd . Trung điểm của một cạnh là giao điểm của d 1 với trục Ox. Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 2. (1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng : D 1 : 2 1 1 1 2 x y z , D 2 : 2 2 3 x t y z t Viết phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn vuông góc chung của D 1 và D 2 CâuVII.b ( 1,0 điểm) Tính tổng: 0 4 8 2004 2008 2009 2009 2009 2009 2009 S C C C C C ĐÁP ÁN ĐỀ 13 Câu I 2 điểm a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2 3 2 y x x . www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 70 Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R. Sự biến thiờn: 2 3 6 y' x x. Ta có 0 0 2 x y' x 0,25 0 2 2 2 CD CT y y ; y y . 0,25 Bảng biến thiên: x 0 2 y' 0 0 y 2 2 0,25 Đồ thị: f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 x m xx theo tham số m. Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 m x x x x x m,x . x Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của 2 2 2 1 y x x x , C' và đường thẳng 1 y m,x . 0,25 b) Vỡ 2 1 2 2 1 1 f x khi x y x x x f x khi x nờn C' bao gồm: + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1 x . + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1 x qua Ox. 0,25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 71 hình f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 Dựa vào đồ thị ta có: + 2 m : Phương trình vụ nghiệm; + 2 m : Phương trình có 2 nghiệm kộp; + 2 0 m : Phương trình có 4 nghiệm phõn biệt; + 0 m : Phương trình có 2 nghiệm phõn biệt. 0,25 2) Đồ thị hàm số y = 2 ( 2 2) 1 x x x , với x 1 có dạng như hình vẽ : II 1) 5 2 2 os sin 1 12 c x x 5 5 2 sin 2 sin 1 12 12 x 1+ 3 1- 3 - 2 m 1 2 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 72 1) 0.25 5 5 1 5 5 sin 2 sin sin sin 2 sin sin 12 12 4 12 4 12 2 2cos sin sin 3 12 12 x x 0.25 5 2 2 5 6 12 12 sin 2 sin 5 13 312 12 2 2 12 12 4 x k x k x k x k x k 0.5 2.) Giải hệ phương trình: 2 8 2 2 2 2 log 3log ( 2) 1 3 x y x y x y x y . Điều kiện: x+y>0, x-y>0 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 log 3log (2 ) 2 1 3 1 3 x y x y x y x y x y x y x y x y 0,25đ Đặt: u x y v x y ta có hệ: 2 2 2 2 2 ( ) 2 4 2 2 3 3 2 2 u v u v u v uv u v u v uv uv 0,25đ 2 2 4 (1) ( ) 2 2 3 (2) 2 u v uv u v uv uv . Thế (1) vào (2) ta có: 2 8 9 3 8 9 (3 ) 0 uv uv uv uv uv uv uv . 0,25đ Kết hợp (1) ta có: 0 4, 0 4 uv u v u v (vỡ u>v). Từ đó ta có: x =2; y =2.(T/m) KL: Vậy nghiệm của hệ là: (x; y)=(2; 2). 0,25đ Câu III 1 Tính tích phân : /4 2 /4 sin 1 x I dx x x /4 /4 /4 2 1 2 2 /4 /4 /4 sin 1 sin sin 1 x I dx x xdx x xdx I I x x Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì 1 0 I , tích phân từng phần 2 I được kết quả. 0.5đ Áp dụng hàm lẻ, đặt x=-t thì 1 0 I , tích phân từng phần 2 I được kết quả. 0.5đ Câu IV : S M N www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 73 Tính thể tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng này cắt mp( SAD) theo giao tuyến MN // AD Ta có : BC AB BC BM BC SA . Tứ giác BCMN là hình thang vuông có BM là đường cao Ta có SA = AB tan60 0 = a 3 , 3 3 2 3 2 3 3 a a MN SM MN AD SA a a Suy ra MN = 4 3 a . BM = 2 3 a Diện tích hình thang BCMN là : S = 2 4 2 2 10 3 2 2 3 3 3 a a BC MN a a BM Hạ AH BM . Ta có SH BM và BC (SAB) BC SH . Vậy SH ( BCNM) SH là đường cao của khối chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM SB MS = 1 2 . Vậy BM là phân giác của góc SBA 0 30 SBH SH = SB.sin30 0 = a Gọi V là thể tích chóp SBCNM ta có V = 1 .( ) 3 SH dtBCNM = 3 10 3 27 a 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu V Cho x , y , z là ba số thực thỏa mãn : 5 -x + 5 -y +5 -z = 1 .Chứng minh rằng : 25 25 25 25 5 5 5 5 5 x y z x y z y z x z x y 5 5 5 4 x y z Đặt 5 x = a , 5 y =b , 5 z = c . Từ giả thiết ta có : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng : 2 2 2 4 a b c a b c a bc b ca c ab ( *) ( *) 3 3 3 2 2 2 4 a b c a b c a abc b abc c abc 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 a b c a b c a b a c b c b a c a c b 0,25đ 0,25đ www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 74 Ta có 3 3 ( )( ) 8 8 4 a a b a c a a b a c ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) Tương tự 3 3 ( )( ) 8 8 4 b b c b a b b c b a ( 2) 3 3 ( )( ) 8 8 4 c c a c b c c a c b ( 3) . Cộng vế với vế các bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy ra điều phải chứng minh 0,25đ 0,25đ Phần B. (Thí sinh chỉ được làm phần I hoặc phần II) Phần I. (Danh cho thí sinh học chương trình chuẩn) 1. Chương trình Chuẩn. Cõu Ph ần Nội dung Điểm CâuVI a. (1,0) 1(1, 0) + Do AB CH nờn AB: 1 0 x y . Giải hệ: 2 5 0 1 0 x y x y ta có (x; y)=(-4; 3). Do đó: ( 4;3) AB BN B . + Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ ' A BC . - Phương trình đường thẳng (d) qua A và Vuụng gúc với BN là (d): 2 5 0 x y . Gọi ( ) I d BN . Giải hệ: 2 5 0 2 5 0 x y x y . Suy ra: I(-1; 3) '( 3; 4) A + Phương trình BC: 7 25 0 x y . Giải hệ: 7 25 0 1 0 x y x y Suy ra: 13 9 ( ; ) 4 4 C . + 2 2 450 ( 4 13 / 4) (3 9 / 4) 4 BC , 2 2 7.1 1( 2) 25 ( ; ) 3 2 7 1 d A BC . Suy ra: 1 1 450 45 ( ; ). .3 2. . 2 2 4 4 ABC S d A BC BC 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu VIIA 1) Véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng lần lượt là: 1 u (4; - 6; - 8) 2 u ( - 6; 9; 12) +) 1 u và 2 u cùng phương 0,25đ +) M( 2; 0; - 1) d 1 ; M( 2; 0; - 1) d 2 Vậy d 1 // d 2 0,25đ *) Véc tơ pháp tuyến của mp (P) là n = ( 5; - 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + 9 = 0 2) AB = ( 2; - 3; - 4); AB // d 1 Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d 1 . Ta có: IA + IB = IA 1 + IB A 1 B IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất bằng A 1 B Khi A 1 , I, B thẳng hàng I là giao điểm của A 1 B và d Do AB // d 1 nên I là trung điểm của A 1 B. 0,25đ B C A H N www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 75 *) Gọi H là hình chiếu của A lên d 1 . Tìm được H 36 33 15 ; ; 29 29 29 A’ đối xứng với A qua H nên A’ 43 95 28 ; ; 29 29 29 I là trung điểm của A’B suy ra I 65 21 43 ; ; 29 58 29 0,25đ Cõu Nội dung Điểm Câu VIIa (1,0) Cõu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trờn tập số phức C: 2 4 3 1 0 2 z z z z (1) Nhận xét z=0 không là nghiệm của phương trình (1) vậy z 0 Chia hai vế PT (1) cho z 2 ta được : ( 0 2 1 ) 1 () 1 2 2 z z z z (2) 0.25đ Đặt t=z- z 1 Khi đó 2 1 2 22 z zt 2 1 2 2 2 t z z Phương trình (2) có dạng : t 2 -t+ 0 2 5 (3) 2 99 2 5 .41 i PT (3) có 2 nghiệm t= 2 31 i ,t= 2 31 i 0.25đ Với t= 2 31 i ta có 02)31(2 2 311 2 ziz i z z (4) Có 222 )3(696816)31( iiiii PT(4) có 2 nghiệm : z= i ii 1 4 )3()31( ,z= 2 1 4 )3()31( iii 0.25đ Với t= 2 31 i ta có 02)31(2 2 311 2 ziz i z z (4) Có 222 )3(696816)31( iiiii PT(4) có 2 nghiệm : z= i ii 1 4 )3()31( ,z= 2 1 4 )3()31( iii Vậy PT đã cho có 4 nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= 2 1 i ; z= 2 1 i 0.25đ Phần II. Câu VIb. 1) I d 1 H A B A 1 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 76 Ta có: Idd 21 . Toạ độ của I là nghiệm của hệ: 2/3y 2/9x 06yx 03yx . Vậy 2 3 ; 2 9 I Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD OxdM 1 Suy ra M( 3; 0) 0,25đ Ta có: 23 2 3 2 9 32IM2AB 22 Theo giả thiết: 22 23 12 AB S AD12AD.ABS ABCD ABCD Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d 1 ADd 1 Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d 1 nhận )1;1(n làm VTPT nên có PT: 03yx0)0y(1)3x(1 . Lại có: 2MDMA 0,25đ Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT: 2y3x 03yx 2 2 13x x3y 2)x3(3x 3xy 2y3x 3xy 2 2 2 2 1y 2x hoặc 1y 4x . Vậy A( 2; 1), D( 4; -1) 0,25đ Do 2 3 ; 2 9 I là trung điểm của AC suy ra: 213yy2y 729xx2x AIC AIC Tương tự I cũng là trung điểm của BD nên ta có B( 5; 4) Vậy toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật là: (2; 1), (5; 4), (7; 2), (4; -1) 0,25đ Cõu Phần Nội dung Điểm CâuVIb. (1,0) 2.a) Các véc tơ chỉ phương của D 1 và D 2 lần lượt là 1 u ( 1; - 1; 2) và 2 u ( - 2; 0; 1) Có M( 2; 1; 0) D 1 ; N( 2; 3; 0) D 2 0,25đ Xét 1 2 ; . u u MN = - 10 0 Vậy D 1 chéo D 2 0,25đ Gọi A(2 + t; 1 – t; 2t) D 1 B(2 – 2t’; 3; t’) D 2 1 2 . 0 . 0 AB u AB u 1 3 ' 0 t t A 5 4 2 ; ; 3 3 3 ; B (2; 3; 0) Đường thẳng qua hai điểm A, B là đường vuông góc chung của D 1 và D 2 . Ta có : 2 3 5 2 x t y t z t 0,25đ 0,25đ www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 77 PT mặt cầu nhận đoạn AB là đường kính có dạng: 2 2 2 11 13 1 5 6 6 3 6 x y z 0,25đ CâuVIIb (1,0) Ta có: 2009 0 1 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) i C iC i C 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 3 5 7 2007 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 ( ) C C C C C C C C C C C C i Thấy: 1 ( ) 2 S A B , với 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 A C C C C C C 0 2 4 6 2006 2008 2009 2009 2009 2009 2009 2009 B C C C C C C + Ta có: 2009 2 1004 1004 1004 1004 (1 ) (1 )[(1 ) ] (1 ).2 2 2 i i i i i . Đồng nhất thức ta có A chớnh là phần thực của 2009 (1 ) i nờn 1004 2 A . + Ta có: 2009 0 1 2 2 2009 2009 2009 2009 2009 2009 (1 ) x C xC x C x C Cho x=-1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 C C C C C C Cho x=1 ta có: 0 2 2008 1 3 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 ( ) ( ) 2 C C C C C C . Suy ra: 2008 2 B . + Từ đó ta có: 1003 2007 2 2 S . 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ĐỀ 14 A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I. (2,0 điểm) Cho hàm số mxxmxy 9)1(3 23 , với m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với 1 m . 2. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại 21 , xx sao cho 2 21 xx . Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình: ) 2 sin(2 cossin 2sin cot 2 1 x xx x x . 2. Giải phương trình: )12(log1)13(log2 3 5 5 xx . Câu III. (1,0 điểm) Tính tích phân 5 1 2 13 1 dx xx x I . Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều '''. CBAABC có ).0(',1 mmCCAB Tìm m biết rằng góc giữa hai đường thẳng ' AB và 'BC bằng 0 60 . Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm z y x , , thoả mãn 3 222 zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức zyx zxyzxyA 5 . B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần a, hoặc b). a. Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa. (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy cho tam giác ABC có )6;4(A , phương trình các đường thẳng chứa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh C lần lượt là 0132 yx và 029136 yx . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . www.VNMATH.com . 0,25 Đồ thị: f(x)=(x^3 )-3 *(x)^2+2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 Biện luận số nghiệm của phương trình 1 22 2 x m xx theo tham số m. Ta có 2 2 2. www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 71 hình f(x)=abs(x-1)(x^ 2-2 *x-2) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -5 5 x y 0,25 Dựa vào đồ thị ta có: + 2 m : Phương. nghiệm duy nhất t = 1 x = y =7 +) Với x = - y thế vào (2) được pt: log 3 (y + 6) = 1 y = - 3 x = 3 ĐỀ 13 PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH . www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn