http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 89 nội tiếp ABC là: 2 2 1 1 1 2 2 4 x y . VIb2 2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK. . Ta có I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ( ) : 1 x y z P a b c Ta có (4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; ) IA a JA b JK b c IK a c Ta có: 4 5 6 1 5 6 0 4 6 0 a b c b c a c 77 4 77 5 77 6 a b c ptmp(P) 0,25 0,25 0,25 KL: 0,25 VII b Giải hệ phương trình : 2 2 3 3 2 2 2 2 log log . * 4 y x y x x xy y x y Điều kiện : x > 0 ; y > 0 . Ta có : 0 4 3 2 2 2 22 y y xyxyx yx, >0 Xét x > y 3 3 2 2 VT(*) 0 log log VP(*) 0 x y (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Xét x < y 3 3 2 2 VT(*) 0 log log VP(*) 0 x y (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Khi x = y hệ cho ta 2 2 0 0 2 2 4 x y x = y = 2 ( do x, y > 0). Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; 2; 2 x y 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ 16 I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 0 m . 2. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: tan 3 2 tan 4 tan 5 0 x x x với (0;2 ) x . 2. Giải bất phương trình: 1 2 3 1 3 3 log (2 1).log (2 2) 2log 2 0 x x . Câu III (1 điểm) www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 90 Tính tích phân 2 3 0 sin 2 (2 cos ) x I dx x . Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ), ABCD SA a . Đáy ABCD là hình bình hành có 0 , 2 , 60 AB b BC b ABC . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , BC SD . Chứng minh //( ) MN SAB và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo , . a b Câu V (1 điểm) Cho , , x y z là các số thực thoả mãn 1, 2, 3 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 2 3 3 1 1 2 ( , , ) x y z y z x z x y f x y z xyz II- PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: phần 1 hoặc phần 2) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a 1. Trong hệ trục toạ độ Ox y cho tam giác ABC có ( 2;3) C . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3 2 25 0, 0 x y x y . Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 11 0 S x y z x y z và điểm ( 1; 2;3) I . Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I. Câu VII.a Tìm số nguyên dương n thoả mãn: 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 .2 2. .3.2 3. .3 .2 2 . .3 .2 (2 1) .3 2009 n n n n n n n n n n n n C C C n C n C . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b 1. Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết CD có phương trình 4 3 4 0 x y . Điểm (2;3) M thuộc cạnh BC, (1;1) N thuộc cạnh AB. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AD. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường tròn (C) có tâm (1; 2;3) K , nằm trên mặt phẳng ( ) : 3 2 2 5 0 P x y z , và đi qua điểm (3;1; 3) M . Viết phương trình mặt cầu (S) chứa đường tròn (C) và có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : 5 0 Q x y z . Câu VII.b Từ bộ bài tú lơ khơ 52 con bài (gồm 13 bộ, mỗi bộ có 4 con với 4 chất: Rô, Cơ, Bích, Nhép) người ta rút ra 5 con bài bất kỳ. Tính xác suất để rút được 2 con thuộc một bộ, 2 con thuộc bộ thứ hai và con thứ năm thuộc bộ khác. ĐÁP ÁN ĐỀ 16 Câu Nội dung Điểm I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 1điểm Khi m = 0 hàm số trở thành 3 2 2 3 1 y x x TXĐ: D Sự biến thiên: 2 0 6 6 , ' 0 1 x y x x y x Ta có (0) 1; (1) 0 CD CT y y y y Bảng biến thiên: 0.25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 91 x 0 1 y' + 0 - 0 + y 1 0 Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 , 1; ,nghịch biến trên 0;1 Đồ thị : f(x)=2*x*x*x-3*x*x+1 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x y 0.25 0.25 0.25 2 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 1điểm Ta có 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1) y x m x m m 2 2 ' 0 6 6(2 1) 6 ( 1) 0 (2 1) ( 1) 0 1 y x m x m m x m x m m x m x m Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng 2; 1 2 1 m m Vậy với 1 m thì hàm số đồng biến trên khoảng 2; 0.25 0.25 0.25 0.25 II 1 Giải phương trình tan 3 2 tan 4 tan 5 0 x x x với (0;2 ) x 1điểm ĐK: cos3 0;cos4 0;cos5 0 x x x . Phương trình cho 2 2 sin8 2sin 4 0 cos3 .cos5 cos4 cos 4 cos3 .cos5 2sin4 0 cos3 .cos4 .cos5 1 cos8 cos2 cos8 sin 4 0 cos3 .cos4 .cos5 2sin sin 4 0 cos3 .cos4 .cos5 sin 4 0 , 4 sin 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k x x k , 4 k x k k Do (0;2 ) x nên phương trình cho có nghiệm là 5 3 7 ; ; ; ; 4 4 2 4 x x x x x 0.25 0.25 0.25 0.25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 92 2 Giải bất phương trình: 1 2 3 1 3 3 log (2 1).log (2 2) 2log 2 0 x x 1điểm Bất phương trình 2 3 3 3 2 3 3 3 3 log (2 1).log 2(2 1) 2log 2 0 log (2 1). log (2 1) log 2 2log 2 0 x x x x Đặt 3 log (2 1), 0 x t t . BPT trở thành 2 3 3 3 3 3 3 log 2 2log 2 0 (log 2 )(2log 2 ) 0 2log 2 log 2 t t t t t Do t > 0 nên ta có 3 0 log 2 t . Suy ra: 3 3 0 log (2 1) log 2 2 1 2 0 x x x 0.25 0.25 0.25 0.25 III Tính tích phân 2 3 0 sin 2 (2 cos ) x I dx x 1điểm Đặt 2 cos cos 2 sin . t x x t x dx dt Khi 0 3; 2 2 x t x t . Ta có 3 3 3 2 3 3 2 3 0 2 2 2 3 3 2 2 2 sin .cos 2 1 1 2 2 2 2 (2 cos ) 1 1 1 5 1 2 3 18 18 x x t I dx dt dt dt x t t t t t 0.25 0.5 0.25 IV Cho hình chóp . S ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng ( ), ABCD SA a . Đáy ABCD là hình bình hành có 0 , 2 , 60 AB b BC b ABC . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh , BC SD . Chứng minh ( ) MN SAB và tính thể tích của khối tứ diện AMNC theo a, b. 1điểm www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 93 H N M S C D B A +) Gọi H là trung điểm của AD. Khi đó / / ( ) / /( ) / /( ) / / HM AB MNP SAB MN SAB HN AS +) Có , NH AD H AD . Khi đó 1 2 2 a NH AD Mặt khác dễ thấy ABM đều cạnh b. Do M là trung điểm BC nên 2 3 ( ) ( ) 4 a dt MAC dt ABM Vậy thể tích của khối tứ diện AMCN là V với 2 2 1 1 3 3 . . ( ) . 3 3 2 4 24 a b ab V NH dt MAC (đvtt). 0.25 0.25 0.25 0.25 V Cho , , x y z là các số thực thoả mãn 1, 2, 3 x y z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 3 3 1 1 2 x y z y z x z x y M xyz 1điểm Ta có 2. 3 1. 2 3 1 y z x y z x M yz zx xy Mặt khác 1 1. 1 1 1 1 0 2 2 x x x x x x 2 2. 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 y y y y y y 3 3. 3 3 3 1 0 3 2 3 2 3 z z z z z z Suy ra 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . 2 2 4 2 2 2 3 2 3 2 2 6 3 2 M 0.25 0.25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 94 Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 1 2 2 2 4 6 3 3 x x y y z z Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1 1 1 1 4 6 3 2 khi 2, 4, 6 x y z 0.25 0.25 1 Trong hệ trục toạ độ Ox y cho tam giác ABC có ( 2;3) C . Đường cao của tam giác kẻ từ đỉnh A và đường phân giác trong góc B có phương trình lần lượt là: 3 2 25 0, 0 x y x y . Hãy viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác. 1điểm Gọi đường cao kẻ từ A là AH: 3 2 25 0 x y Đường phân giác trong góc B là BE: 0 x y BC có phương trình : 2 3 5 0 x y Toạ độ B là nghiệm của hệ 2 3 5 0 1 (1;1) 0 1 x y x B x y y Gọi F là điểm đối xứng của C qua BE. Do BE là phân giác nên F thuộc AB. Xác định toạ độ F được F(3; -2). Đường thẳng chứa cạnh AB là đường thẳng đi qua B, F. Phương trình AB là: 3x + 2y -5 = 0. Toạ độ A là nghiệm của hệ 3 2 5 0 5 (5; 5) 3 2 25 0 5 x y x A x y y Vậy phương trình AC là: 8x + 7y - 5 = 0 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 6 4 11 0 S x y z x y z và điểm ( 1; 2;3) I . Chứng minh điểm I nằm bên trong mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm I đồng thời mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn tâm I. 1điểm VIa Mặt cầu (S) có tâm J(1; -3; 2) bán kính R = 5. Ta có 2 2 2 2 1 ( 1) 6 IJ R . Chứng tỏ I nằm bên trong hình cầu (S). Mặt phẳng (P) thoả mãn ĐK của bài toán sẽ đi qua I và vuông góc với IJ. Mp(P) có vectơ pháp tuyến (2; 1; 1) n IJ . Vậy phương trình của mp(P) là: 2x – y – z + 3 = 0 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIa Tìm số nguyên dương n thoả mãn: 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 .2 2. .3.2 3. .3 .2 2 . .3 .2 (2 1) .3 2009 n n n n n n n n n n n n C C C n C n C 1điểm Xét khai triển của 2 1 (2 ) n x ta có : 2 1 0 2 1 1 2 2 2 1 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (2 ) .2 .2 . .2 . .2 . .2. . n n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x C x Lấy đạo hàm 2 vế ta có: 2 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (2 1)(2 ) .2 2. .2 . 3. .2 . 2 . .2. (2 1) . n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x n C x n C x Thay x = -3 ta có 1 2 2 2 1 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (2 1) .2 2. .2 .3 3. .2 .3 2 . .2.3 (2 1) .3 n n n n n n n n n n n n n C C C n C n C 0.25 0.25 0.25 0.25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 95 Phương trình cho 2 1 2009 1004 n n VIb 1 Lập pt cạnh AD :3 4 0 AD CD AD x y C ABCD là hình vuông nên ( , ) ( , ) d M AD d N CD tức là | 6 12 | | 4 3 4 | 13; 23. 5 5 C C ĐS: PT :3 4 13 0;3 4 23 0 AD x y x y 0.25 0.25 0.25 0.25 2 Viết pt mặt cầu chứa (C) và có tâm thuộc (Q). + Tâm I của mặt cầu thuộc đt d qua K và vuông góc với (P). + Ptts của d là: 1 3 2 2 3 2 x t y t z t + Mặt khác: ( ) 1 3 2 2 3 2 5 0 1 ( 2; 4;1) I Q t t t t I + Bán kính mặt cầu: 2 2 2 66 ( ) : 2 4 1 66 R IM pt S x y z 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIb Tính xác suất - Chọn tuỳ ý 5 cây từ bộ bài 52 cây có 5 52 C cách - Chọn 2 cây đầu tiên từ 1 bộ (trong 13 bộ) có 2 4 13 C cách - Chọn tiếp 2 cây nữa, từ 1 trong 12 bộ còn lại có 2 4 12 C cách - Chọn nốt cây cuối cùng, từ 1 bộ trong 11 bộ còn lại có 1 4 11 C cách - Đáp số 2 2 1 4 4 4 5 52 13 .12 .11 ( ) C C C p A C 0.25 0.25 0.25 0.25 ĐỀ 17 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm) Câu I (2.0 điểm). Cho hàm số 4 2 5 4, y x x có đồ thị (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình 4 2 2 | 5 4 | log x x m có 6 nghiệm phân biệt. Câu II (2.0 điểm). 1. Giải phương trình 1 1 sin 2x sin x 2cot 2x 2sin x sin 2x . 2. Tìm m để phương trình 2 m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (2) có nghiệm x 0; 1 3 . Câu III (1.0 điểm). Tính tích phân dx. .cos.sin. 3 2 0 sin 2 xxe x Câu IV (1.0 điểm). Cho lăng trụ đứng ABCA 1 B 1 C 1 có AB = a, AC = 2a, AA 1 2a 5 và o 120BAC . Gọi M là trung điểm của cạnh CC 1 . Chứng minh MB MA 1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A 1 BM). A B D C N M K M I www.VNMATH.com . Đồ thị : f(x)=2*x*x*x-3*x*x+1 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0.5 1 1.5 2 2.5 -2 -1 .5 -1 -0 .5 0.5 1 1.5 2 2.5 x y 0.25 0.25 0.25 2 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng. khác. ĐÁP ÁN ĐỀ 16 Câu Nội dung Điểm I 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0 1điểm Khi m = 0 hàm số trở thành 3 2 2 3 1 y x x TXĐ: D Sự biến thi n: 2 0 6. 0,25 ĐỀ 16 I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 0 m .