http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 83 )3( 5 )22( )1( )2()2()3()1( )1()1()1( 2 00 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 yx zyx zyxzyx zyxzyx Từ (1) và (2) suy ra 00 00 3 xz xy . Thay vào (3) ta được 2 00 2 0 )23()1083(5 xxx 3 23 1 0 0 x x ). 3 14 ; 3 23 ; 3 23 ( )2;1;1( M M 0,5 Ta có nnnnnn n nCC nn 1 )2)(1( !3.7 )1( 2 3 171 32 .9 0365 3 2 n nn n 0,5 VIIb. (1,0 điểm) Suy ra 8 a là hệ số của 8 x trong biểu thức .)1(9)1(8 98 xx Đó là .89.9.8 8 9 8 8 CC 0,5 ĐỀ 15 I.Phần chung (7 điểm) :dành cho tất cả các thí sinh Câu I(2 điểm) :Cho hàm số 3 2 y x 2mx (m 3)x 4 có đồ thị là (C m ) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C 1 ) của hàm số trên khi m = 2. 2) Cho E(1; 3) và đường thẳng ( ) có phương trình x-y + 4 = 0. Tìm m để ( ) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A, B, C ( với x A = 0) sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4. Câu II (2 điểm):a.Giải phương trình: 2 3 2 sin 2 1 1 3 2cos sin 2 tanx x x x . b.Giải hệ phương trình : 3 2 4 3 2 2 x y x xy 1 x x y x y 1 Câu III (1 điểm). Tính tính phân sau: π 2 2 0 dx I cos x 3cosx 2 . Câu IV (1 điểm): Cho hình lăng trụ đứng / / / ABC. A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên 2a .Gọi E là trung điểm của / BB .Xác định vị trí của điểm F trên đoạn / AA sao cho khoảng cách từ F đến C / E là nhỏ nhất. Câu V (1 điểm):Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1 1 1 1 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2 b c c a a b T a b c II. Phần riêng (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2) Phần 1: Theo chương trình chuẩn Câu VIa: ( 2 điểm) www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 84 1/.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho đường thẳng (d) : 3 7 0 x y và điểm A(3;3). Tìm toạ độ hai điểm B, C trên đường thẳng (d) sao cho ABC vuông, cân tại A. 2/. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x y 5z 1 0 . Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Oz và tạo với mặt phẳng (P) một góc 60 0 Câu VIIa:( 1 điểm) Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm của hệ sau: 2 2 1 3 1 9 19 2 2 720 m m n m n C C A P Phần 2: Theo chương trình nâng cao Câu VIb:( 2 điểm) 1/. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3), B( )0;2(),0; 4 1 C 2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK. Câu VII:( 1 điểm) Giải hệ phương trình : 2 2 3 3 2 2 2 2 log log 4 y x y x x xy y x y ĐÁP ÁN ĐỀ 15 Câu ĐÁP ÁN Điểm Ia -Tập xác định , tính y / -Nghiệm y / và lim -Bảng biến thiên -Đồ thị 0,25 0,25 0,25 0,25 Ib PT hoành độ giao điểm : 3 2 x 2mx (m 3)x 4 x 4 (1) 2 x(x 2mx m 2) 0 2 x 0 g(x) x 2mx m 2 0 (2) (d) cắt (C m ) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0. / 2 m 1 m 2 m m 2 0 (a) m 2 g(0) m 2 0 Δ Diên tích 1 S BC.d(E,BC) 2 Khoảng cách d(E, BC) 2 Suy ra BC = 4 2 2 B C B C (x x ) 4x x 16 2 4m 4(m 2) 16 Giải pt m = 3, m = -2 (loại) 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 85 II a . Đk: 2 x k Phương trình đã cho tương đương với: 2 3 2 1 3 2 sin 2 tan cot x x x 2 2 2 2 2(sin cos ) 3 3 2 sin cos 3 2 3 0 tan cot tan tan x x x x x x x x 3 3 1 3 6 tan tan x x k x x k ,kZ KL: So sánh với điều kiện phương trình có nghiệm : 6 2 x k ; kZ 0,25 0,25 0,25 0,25 IIb. Hệ tương đương : 3 2 3 x y x(y x) 1 [x(y x)] x y 1 Đặt 3 u x y, v x(y x) Hệ trở thành 2 u v 1 u v 1 Giải hệ u 0 v 1 , u 3 v 2 Với u 0 v 1 giải hệ được x 1 y 0 Với u 3 v 2 giải hệ (vô nghiệm) Nghiệm của hệ : x 1 y 0 , x 1 y 0 0,25 0,25 0,25 0,25 III π π 2 2 0 0 1 1 I dx dx 1 cos x 2 cos x Tính π π 2 2 0 0 2 dx dx 1 x 1 cos x 2cos 2 Tính 2 π π 2 2 0 0 2 x 1 tan dx 2 .dx x cos x 2 3 tan 2 . Đặt 2 2 x x 3 tan 3 tan t (1 tan )dx (1 tan t).dt 2 2 2 x = 0 => t = 0 x = π 2 => t = π 6 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 86 2 π π 2 2 0 0 2 x 1 tan dx 2 .dx x cos x 2 3 tan 2 = π 6 0 2 dt 3 = π 3 3 Vây π π 2 2 0 0 1 1 I dx dx 1 cos x 2 cos x = 1 - π 3 3 0,25 IV + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho AO; BOy; A / Oz. Khi đó: A(0;0;0), B(0;a;0); A / (0;0;2a),, / 3 ; ;2 2 2 a a C a và E(0;a;a) F di động trên AA / , tọa độ F(0;0;t) với t [0;2a] Vì C / E có độ dài không đổi nên d(F,C / E ) nhỏ nhất khi / ΔFC E S nhỏ nhất Ta có : / / 1 , 2 FC E S EC EF Ta có: / 3 ; ; 2 2 EF 0; ; a a EC a a t a / , EC EF ( 3 ; 3( ); 3) 2 a t a t a a / 2 2 2 , ( 3 ) 3( ) 3 2 a EC EF t a t a a / 2 2 2 2 ΔFC E a 4t 12at 15a 2 1 a S . . 4t 12at 15a 2 2 Giá trị nhỏ nhất của / FC E S tùy thuộc vào giá trị của tham số t. Xét f(t) = 4t 2 12at + 15a 2 f(t) = 4t 2 12at + 15a 2 (t [0;2a]) f '(t) = 8t 12a 3 '( ) 0 2 a f t t / FC E S nhỏ nhất f(t) nhỏ nhất 3 2 a t F(0;0;t) , hay FA=3FA / ( có thể giải bằng pp hình học thuần túy ) 0,25 0,25 0,25 0,25 V Đặt 1 x a , 1 y b , 1 z c .vì 1 1 1 1 a b c nên x +y +z = 1 Và 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) T x y z y z z x x y +) Aùp dụng BĐT C.S ta có: 2 1 ( ) x y z 2 x y z . y z . z x . x y y z z x x y 2 2 2 2 2 2 x y z x y z (2x 2y 2z) 2( ) y z z x x y y z z x x y 0,25 0,25 z x C C / F A A / B / B E www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 87 +) Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 4 ( ) x x x y z y z y z y z y z Tương tự Do đó 2 2 2 x y z T 4 y z z x x y 2 Đẳng thức xảy ra khi 1 3 x y z hay 3 a b c 0,25 0,25 VIa:1 Cho ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2 1 0 x y và phân giác trong CD: 1 0 x y . Viết phương trình đường thẳng BC. Điểm : 1 0 ;1 C CD x y C t t . Suy ra trung điểm M của AC là 1 3 ; 2 2 t t M . Điểm 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C Từ A(1;2), kẻ : 1 0 AK CD x y tại I (điểm K BC ). Suy ra : 1 2 0 1 0 AK x y x y . Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0 0;1 1 0 x y I x y . Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK tọa độ của 1;0 K . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y 0,25 0,25 0,25 0,25 VIa:2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) và đường thẳng d có phương trình x 1 2t y t z 1 3t . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất. Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P). Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có HI AH => HI lớn nhất khi I A Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. )31;;21( tttHdH vì H là hình chiếu của A trên d nên )3;1;2((0. uuAHdAH là véc tơ chỉ phương của d) )5;1;7()4;1;3( AHH Vậy (P): 7(x – 10) + (y – 2) – 5(z + 1) = 0 7x + y -5z -77 = 0 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIa Cho m bông hồng trắng và n bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5 bông hồng trong đó có ít nh ất 3 bông hồng nhung?. Biết m, n là nghiệm của hệ sau: 2 2 1 3 1 9 19 2 2 720 m m n m n C C A P <=> 720 2 19 2 9 1 12 3 2 n mn m m P AcC www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 88 Từ (2): 761!6720)!1( nnn Thay n = 7 vào (1) m(m 1) 9 19 45 m 2 2 2 2 m m 90 9 19m 2 m 20m 99 0 119 m vì 10 mm Vậy m = 10, n = 7. Vậy ta có 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung, để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau: TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có: 1575. 2 10 3 7 CC cách TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có: 350. 1 10 4 7 CC cách TH3: 5 bông hồng nhung có: 21 5 7 C cách có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách. Số cách lấy 4 bông hồng thường %45,31 6188 1946 6188 5 17 P C 0,25 0,25 0,25 0,25 VIb1 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các đỉnh: A(-2;3),B( )0;2(),0; 4 1 C Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC là chân đường phân giác trong của góc A khi và chỉ khi 2 2 2 2 9 1 3 4 4 2 4 3 81 225 9 3 16 16 4 1 6 3 1. 4 16 9 25 d DB AB DC AC d d d d Đường thẳng AD có phương trình: 2 3 3 6 3 9 1 3 3 x y x y x y , và đường thẳng AC: 2 3 3 6 4 12 3 4 6 0 4 3 x y x y x y Giả sử tâm I của đường tròn nội tiếp có tung độ là b. Khi đó hoành độ là 1 b và bán kính cũng bằng b. Vì khoảng cách từ I tới AC cũng phải bằng b nên ta có: 2 2 3 1 4 6 3 5 ; 3 4 4 ) 3 5 ; 3 1 ) 3 5 . 2 b b b b b a b b b b b b b Rõ ràng chỉ có giá trị 1 2 b là hợp lý. Vậy, phương trình của đường tròn 0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com http://tranduythai.violet.vn Biên soạn: Trần Duy Thái 89 nội tiếp ABC là: 2 2 1 1 1 2 2 4 x y . VIb2 2/.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4;5;6). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A; cắt các trục tọa độ lần lượt tại I; J; K mà A là trực tâm của tam giác IJK. . Ta có I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) ( ) : 1 x y z P a b c Ta có (4 ;5;6), (4;5 ;6) (0; ; ), ( ;0; ) IA a JA b JK b c IK a c Ta có: 4 5 6 1 5 6 0 4 6 0 a b c b c a c 77 4 77 5 77 6 a b c ptmp(P) 0,25 0,25 0,25 KL: 0,25 VII b Giải hệ phương trình : 2 2 3 3 2 2 2 2 log log . * 4 y x y x x xy y x y Điều kiện : x > 0 ; y > 0 . Ta có : 0 4 3 2 2 2 22 y y xyxyx yx, >0 Xét x > y 3 3 2 2 VT(*) 0 log log VP(*) 0 x y (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm Xét x < y 3 3 2 2 VT(*) 0 log log VP(*) 0 x y (*) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm. Khi x = y hệ cho ta 2 2 0 0 2 2 4 x y x = y = 2 ( do x, y > 0). Vậy hệ có nghiệm duy nhất ; 2; 2 x y 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ 16 I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 y x m x m m x 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi 0 m . 2. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Câu II (2 điểm) 1. Giải phương trình: tan 3 2tan 4 tan 5 0 x x x với (0;2 ) x . 2. Giải bất phương trình: 1 2 3 1 3 3 log (2 1).log (2 2) 2log 2 0 x x . Câu III (1 điểm) www.VNMATH.com . y x y x x xy y x y ĐÁP ÁN ĐỀ 15 Câu ĐÁP ÁN Điểm Ia -Tập xác định , tính y / -Nghiệm y / và lim -Bảng biến thi n - ồ thị 0,25 0,25 0,25 0,25 Ib PT hoành. E a 4t 12at 15a 2 1 a S . . 4t 12at 15a 2 2 Giá trị nhỏ nhất của / FC E S tùy thuộc vào giá trị của tham số t. Xét f(t) = 4t 2 12at + 15a 2 f(t) = 4t 2 12at + 15a 2 (t. 8 a là hệ số của 8 x trong biểu thức .)1(9)1(8 98 xx Đó là .89.9.8 8 9 8 8 CC 0,5 ĐỀ 15 I.Phần chung (7 điểm) :dành cho tất cả các thí sinh Câu I(2 điểm) :Cho hàm số 3 2 y