BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HỬU TỈ ppsx

Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 17 BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC Các bài tập mẫu minh họa: •      1 dx A = x 2 x+5        1 5 2 1 1 1 1 2 ln 7 2 5 7 5 5 7 5 x x x dx dx c x x x x x                                    1 x 4 x 5 dx 9 x 5 x 2 x 4            2 dx A = x 5 x+2 x+4                      1 1 1 1 2 5 1 4 2 9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4 1 1 1 1 1 1 1 5 1 4 ln ln 63 5 2 18 4 2 63 2 18 2 x x x x dx dx dx x x x x x x x x x x dx dx c x x x x x x                                                         II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC 1. Các bài tập mẫu minh họa:         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx 1 x x 3 1 xdx dx dx 3 3 x x 3 x x 3 x x 3 1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3 ln x 3 ln x c ln c 3 2 x 3 2 6 x 3 x                                                1 3 dx B = x 3x •       4 4 4 3 3 4 3 4 dx 1 x x 10 1 xdx dx dx 10 10 x 10 x x x 10 x x 10                      2 7 3 dx B = x 10x Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 18     2 2 2 3 2 2 2 1 1 d x dx 1 1 x 10 1 ln c 10 2 20 x x 10 x 10 x 10                           2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 1 2 3 4 5 3 9 4 11 5 6 7 dx dx dx dx dx B ;B ; B ;B ; B x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x                6 7 8 3 2 3 2 4 3 2 dx dx dx B ;B ;B x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4                 III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4           2 2 2 2 2 2 dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1 dx ln arctgx c 2 4 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1                    1 4 dx C = x 1        2 2 2 2 2 2 2 2 1 d x 1 1 1 1 x 1 d x ln c 2 4 4 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1                       2 4 xdx C = x 1        2 2 2 2 2 2 2 2 1 x 1 x 1 1 1 1 dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 dx 1 dx 1 x 1 1 ln arctgx c 2 2 4 x 1 2 x 1 x 1                                 2 3 4 x dx C = x 1 •   4 4 4 1 d x 1 1 ln x 1 c 4 4 x 1          3 4 4 x dx C = x 1   4 1 4 4 x 1 1 dx 1 x 1 1 dx dx x C x ln arctgx c 4 x 1 2 x 1 x 1                      4 5 4 x dx C = x 1       2 2 2 2 1 d x 1 arctg x c 2 2 x 1        6 4 xdx C = x + 1   4 4 4 1 d x 1 1 ln x 1 c 4 4 x 1          3 7 4 x dx C = x + 1           2 2 2 2 2 1 1 1 1 d x x 2 1 x x x dx ln c 1 1 2 2 1 x 2 x x 2 x x x                   2 8 4 x 1 C = dx x + 1 •       2 2 2 2 2 2 1 1 1 d x 1 x 1 x x dx arctg c 1 2 x 2 1 x x 2 x x              2 9 4 x + 1 C = dx x + 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 19       2 2 2 2 4 4 4 2 2 9 8 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 C C arctg ln c 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1                                         10 4 dx C = x + 1       2 2 2 2 4 4 4 2 2 9 8 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x 1 x 1 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 C C arctg ln c 2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1                                         2 11 4 x dx C = x + 1   4 2 2 4 2 x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1 dx x arctg ln c 2 x 1 2 x 2 2 2 x x 2 1                         4 12 4 x dx C = x + 1               2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 dx d x x x 1 1 1 1 x 5 x 4 x 5 x 6 x x x x du du 1 1 1 1 x 6x 1 du ln c 7 u 6 u 1 7u 6 u 1 u 5u 6 x x 1                                                  2 13 4 3 2 x -1 dx C = x 5x 4x 5x+ 1 •     2 2 2 2 4 2 4 2 4 2 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 dx dx dx 2 2 x x 1 x x 1 x x 1                         14 4 2 dx C = x + x + 1         2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 dx 1 dx d x d x 1 1 x x x x 1 12 4 1 1 x 1 x 1 x 3 x 1 x x x x                                                                     2 2 2 1 1 x x 1 1 1 1 x 1 1 x x 1 x x arctg ln c arctg ln c 1 4 4 x x 1 2 3 3 2 3 x 3 x 1 x                 IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3 •             22 dx d x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3                    1 3 dx D = x 1           2 2 2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3                          Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 20   2 2 1 dt 1 2t 3 dt 3 dt 3 t 2 2 t 3t 3 t 3t 3                  2 2 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c 6 x x 1 2 3 3         •             22 dx d x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 3 x 1 3                   2 3 dx D = x + 1           2 2 2 2 2 dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt dt 3 3 t t 3t 3 t t 3t 3 t t 3t 3                              2 2 2 1 dt 1 d t 3t 3 3 dt 3 t 2 2 3 t 3t 3 3 t 2 4                        2 2 2 2 1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1 ln 3arctg c ln arctg c 3 2 6 t 3t 3 x x 1 3 2 3 3                    •             2 2 2 2 xdx 1 x x 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1 x 1 x x 1                 3 3 xdx D = x 1 2 1 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1                  2 2 2 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx 3 x 1 2 2 x x 1 3 1 x 2 2                             2 1 1 2x 1 ln x 1 ln x x 1 3arctg c 3 2 3               •             2 2 2 2 xdx 1 x x 1 x 1 dx 3 x 1 x x 1 x 1 x x 1                 4 3 xdx D = x + 1     2 2 2 2 1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx dx 3 x 1 3 x 1 2 2 x x 1 x x 1 3 1 x 2 2                                            2 2 2 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c 3 2 6 x x 1 3 3 3                         V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6 •      1 2 3 3 3 3 dx 1 dx dx 1 D D 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1                    1 6 dx E = x 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 21       2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg ln arctg 2 6 6 x x 1 x x 1 2 3 3 2 3 3 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 ln arctg arctg c 12 4 3 3 3 x 2x 1 x x 1                                                           •     2 1 3 3 2 1 d x 1 du 1 D 2 2 2 u 1 x 1          2 6 xdx E = x 1 2 4 2 2 2 4 2 1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c ln arctg c 2 6 12 u u 1 x x 1 2 3 3 2 3 3                         3 3 3 6 3 3 1 d x 1 1 x 1 1 x 1 ln c ln c 3 3 2 6 x 1 x 1 x 1                2 3 6 x dx E = x 1 •       2 2 6 3 2 1 x d x 1 udu 1 udu 2 2 2 x 1 u 1 u 1 u u 1               3 4 6 x dx E = x 1   2 4 2 2 2 4 2 1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1 ln arctg c ln arctg c 12 12 u u 1 x x 1 2 3 3 2 3 3                       4 2 2 2 4 2 6 2 4 2 x x 1 x 1 2 dx dx dx dx 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1                        4 5 6 x dx E = x 1        2 2 2 2 2 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1 ln arctg arctg arctg c 12 2 3 3 3 x 3 x 2x 1 x x 1                       •   6 6 6 1 d x 1 ln x 1 c 6 6 x 1         5 6 6 x dx E = x 1 •   6 1 6 6 x 1 1 dx dx dx x E x 1 x 1               6 7 6 x dx E = x 1        2 2 2 2 1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x ln arctg arctg c 12 4 3 3 3 x 2x 1 x x 1                      •         2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 1 1 dx x 1 x 1 dx x 1 dx x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x                                4 8 6 x 1 E = dx x + 1       2 2 2 2 1 1 d x x 3 1 1 x x 3 1 x x ln c ln c 1 2 3 2 3 x x 3 1 1 x 3 x 3 x x                  Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 22 •      4 2 2 2 2 6 2 4 2 x x 1 x dx x dx dx x 1 x 1 x 1 x x 1                4 9 6 x + 1 E = dx x + 1     3 3 2 6 dx 1 d x 1 arctgx arctg x c 3 3 x 1 x 1                  4 4 9 8 6 2 3 2 1 x 1 x 1 1 dx E E 2 2 x 1 1 1 1 x x 3 1 arctgx arctg x ln c 2 3 2 3 x x 3 1                            10 6 dx E = x + 1 •       3 2 3 2 6 6 6 1 d x 1 d x 1 d x 1 D 3 2 3 2 x 1 x 1 x 1            2 11 6 x + x E = dx x + 1 (thay x 2 vào D 2 )   4 2 2 3 4 2 1 1 1 x 2x 1 1 2x 1 arctg x ln arctg c 3 2 6 x x 1 2 3 3                VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR • Đa thức P n (x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x  a là:                   n 2 n n n n n n P a P a P a P x P a x a x a x a 1! 2! n!            1. Các bài tập mẫu minh họa: •      4 3 1 50 3x 5x + 7x 8 F = dx x + 2 . Đặt   4 3 4 P x 3x 5x 7x 8                             3 4 2 3 4 4 4 4 4 4 4 P 2 P 2 P 2 P 2 P x P 2 x 2 x 2 x 2 x 2 1! 2! 3! 4!                            2 3 4 4 P x 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2                                         2 3 4 1 50 50 49 48 47 46 49 48 47 46 45 66 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 F dx x 2 66 x 2 149 x 2 48 x 2 29 x 2 3 x 2 dx 66 149 48 29 3 c 49 x 2 48 x 2 47 x 2 46 x 2 45 x 2                                             VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 23 •       99 99 98 99 99 99 1 3 5 3 1 3 5 5 3 5 3 5 3 5                     1 100 dx G = 3x + 5x dx x x dx x dx dx x x x x x x   99 99 99 99 99 1 dx 1 d 3x 5 1 1 1 x ln x ln 3x 5 c ln c 5 x 99 5 99 495 3x 5 3x 5                                              50 50 49 2 2 50 50 50 50 50 49 49 49 2 50 2 50 50 50 50 50 1 2x 7 2x 1 dx 2x dx dx 7 7 x 2x 7 x 2x 7 2x 7 1 1 2x 7 2x 2x dx 1 dx 2x dx 1 2x dx dx 7 7 49 x 7 2x 7 x 2x 7 2x 7 2x 7 1 dx 1 d 2x 7 49 x 50 2x 7                                                              2 2 50 dx G = x 2x +7         50 2 50 50 50 50 50 50 1 d 2x 7 350 2x 7 1 1 1 1 x 1 ln x ln 2x 7 ln c 49 49.50 49.50 2x 7 350 2x 7 350 2x 7                             n n n k k 1 k n n n 1 ax b ax 1 dx 1 d ax b dx b b nb x ax b x ax b ax b                3 k n dx G = x ax + b           n n 2 k 2 2 k 1 k n n n 1 dx 1 d ax b 1 d ax b nb b nb x ax b ax b ax b                             n k k 1 k k 1 n n n k n k 1 k 1 n n 1 1 1 1 1 ln x ln ax b c n b b b ax b b k 1 ax b 1 x 1 1 1 ln c n nb ax b b ax b b k 1 ax b                                                    2000 2000 1999 2000 2000 2000 1000 2000 2000 2000 1 x 2x dx 2x dx dx x x 1 x 1 x dx 1 d 1 x 1 x ln x ln 1 x c ln c x 1000 1000 1 x 1 x                           2000 4 2000 1 x dx G = x 1+ x                       10 9 10 10 10 10 2 2 2 10 10 10 10 10 10 10 2 10 10 1 .10 1 1 3 3 3 10 10 10 3 3 3 1 3 3 1 3 3 ln 3 10 10 3 10 3 3                                   19 5 2 10 x dx G = = 3 + x x x dx x d x x d x x x x d x d x x c x x x Chương II. Nguyên hàm và tích phân  Trần Phương 24                             50 49 50 50 7 7 50 50 50 50 6 7 5 6 50 50 50 50 50 50 6 6 50 50 x .x dx 1 2x 3 3 d 2x 3 200 2x 3 2x 3 1 d 2x 3 d 2x 3 1 1 1 3 c 200 200 2x 3 2x 3 5 2x 3 2 2x 3 1 2 2x 3 5 1 4x c c 200 10 2x 3 2000 2x 3                                                    99 6 7 50 x dx G = 2x 3 •     n n 1 k n x x dx ax b      2n-1 7 k n x dx G = ax + b       n n 2 k n 1 ax b b d ax b na ax b                       n n 2 k 1 k 2 k 2 k 1 n n n n 1 d ax b d ax b 1 1 b b c na na ax b ax b k 2 ax b k 1 ax b                                                  n n 2 k 1 k 1 n 2 n 1 b k 2 k 1 ax b kax b c c na k 1 k 2 ax b na k 1 k 2 ax b                    2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 5 **** 1 2 3 4 5 8 8 8 8 8 xdx x x dx xdx dx G ; G dx ; G ;G ; G x 1 x 1 x 1 x 1 x 1                 VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC •       10 2 3x 5 dx x 2 x 2             10 1 12 3x 5 H = dx x + 2 10 11 1 3x 5 3x 5 1 3x 5 d c 11 x 2 x 2 121 x 2                             •       99 99 2 7x 1 dx 1 7x 1 7x 1 d 2x 1 9 2x 1 2x 1 2x 1                                99 2 101 7x 1 H = dx 2x + 1 100 100 1 1 7x 1 1 7x 1 c c 9 100 2x 1 900 2x 1                      •               5 5 6 2 8 dx 1 1 dx x 3 x 3 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5               3 5 3 dx H = x + 3 x + 5 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 25           6 6 7 5 7 5 1 1 x 3 x 5 1 1 x 3 d u 1 du x 5 x 5 2 2 u x 3 x 5                      6 5 4 3 2 7 5 7 2 3 4 5 2 7 2 3 4 1 u 6u 15u 20u 15u 6u 1 du 2 u 1 15 20 15 6 1 u 6 du u 2 u u u u 1 u 20 15 2 1 6u 15ln u c u 2 2 2u u 4u                                                 2 7 2 3 4 7 1 1 x 3 x 3 x 3 6 15ln x 5 x 5 2 x 5 2 1 x 5 15 x 5 x 5 x 5 1 20 2 c x 3 2 x 3 x 3 4 x 3 2                                    Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: •       1 7 3 dx H = 3x 2 3x+4 ;     1  2 3 4 dx H = 2x 3x-1 ;      3 5 4 dx H = 3x+ 2 4x -1 . Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 17 BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU. THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO 1. Các bài tập mẫu minh họa: Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 23 •       99 99 98 99 99 99 1 3 5. x 1                    1 6 dx E = x 1 Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ 21       2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1