CÁC BÀI TOÁN KHÓ CHỌN LỌC TỪ CÁC ĐỀ THI 2010– 2011_1 docx

CCBITONKHểCHNLCTCC THI2010 2011 Bài 5. Tìm x để y đạt giá trị lớn nhất thoả mãn: x 2 + 2y 2 + 2xy - 8x 6y = 0. Bi 5. iu kin tn ti x khi PT: x 2 + 2(y 4)x + 2y 2 - 6y = 0 cú nghim => (y 4) 2 2y 2 + 6y 0 y 2 + 2y 17 0 (y+1) 2 17 . T dú +> du bng xy ra tỡm y thay vo phng trỡnh tỡm x Cõu V: ( 0,5 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca : y= x 3 x 1 1 ;(x 1) x 4 x 1 2 Cõu V: ( 0,5 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca : y= 2 2 x 1 3 x 1 2 x 3 x 1 1 ( x 1 1)( x 1 2) y x 4 x 1 2 ( x 1 1)( x 1 3) x 1 4 x 1 3 x 1 2 1 1 x 1 3 x 1 3 0.25 min 1 1 x 1 0 x 1 x 1 3 3 3 x 1 3 1 2 2 y 1 y khi x=1 3 3 3 0.25 Bài 4 (0,75 điểm): Cho x xy +1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 3xy P x y Bài 4: Từ giả thiết suy ra x 0 1. Nếu y = 0 thì P = 0 0,25 đ 2. Nếu y 0 thì P 0 Nếu x, y trái dấu thì P < 0 Nếu x, y cùng dấu TH1: x < 0, y < 0 thì xy + 1 > 0 nên x < xy +1 Trái với giả thiết x xy +1 0,25 đ TH2: x > 0, y > 0. Từ x xy +1 suy ra 1 y y 1 1 y 2 x x x 4 Đặt 2 y 1 3t t = 0 < t P = x 4 1+ t Xét 2 2 2 2 3 17t 4t 4 12 3t 12 3(4 t)(4t 1) P = 0 17 t 1 17 17 t 1 17 t 1 (Vì 1 0 < t 4 ) Do đó: 12 P 17 . Kết hợp lại ta đợc 12 P 17 Vậy giá trị lớn nhất của P = 12 17 Đạt đợc khi chỉ khi t = 1 4 1 x;y 2; . 2 0,25 đ Cõu 5 (1 im). Cho hai s thc dng x, y tha món 4xy = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = 2 2 2 2 12 x y xy x y Cõu 5 (1 im). Cho hai s thc dng x, y tha món 4xy = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: A = 2 2 2 2 12 x y xy x y Ta cú A = 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 3 2 2 3.4 2 2 3 2.( ) 4 3 x y xy x y xy x y x y xy x y x y x y x y 2 2 2 2 2 2. ( ) 1 2.( ) 1 3 2.( ) 1 3 2.( ) 2 2( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 2( )x y x y     = 1 2 ( )x y x y          Xét 1 ( )x y x y    Áp dụng Cosi cho 2 số (x+y) và ( 1 x y  ) ta có: (x+y) + ( 1 x y  ) ≥ 2   1 x y .( ) x y   = 2 Do đó: A = 1 2 ( )x y x y          ≥ 4 Vậy Min A = 4  (x+y) = ( 1 x y  )  (x+y) 2 =1  x + y = ±1 Kết hợp với điều kiện 4xy = 1 ta được x = y = - 1 2 x = y = 1 2 Bài 5:(1,0 điểm). Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng: a b cba    > 3 Bài 5:(1,0 điểm). Cho các số a, b, c thỏa mãn các điều kiện 0 < a < b và phương trình ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm. Chứng minh rằng: a b cba    > 3 Ta có (b-c) 2 ≥ 0  b 2 ≥ 2bc - c 2 Vì pt ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm nên có ∆ = b 2 - 4ac < 0(do a>0 ;b>0 nên c>0) b 2 < 4ac 2bc - c 2 < 4ac 4a > 2b-c a+b+c > 3b - 3a a b cba > 3 (pcm) Bi 5: (1 im) Chng minh rng phng trỡnh 02 62856244 baaxabaxba luụn luụn cú nghim vi mi a, b. Bi5 (1) Cn chng minh p/t ( a 4 b 4 ) x 2 -2(a 6 ab 5 )x +a 6 a 2 b 6 = 0 luụn cú nghim vi mi a ,b . Ta cú a 4 b 4 = (a 2 ) 2 (b 2 ) 2 = 0 ba ba khi a = b thỡ p/t cho cú dng 0x = 0 => p/t cho cú vụ s nghim s vi mi x R (1) Khi a= -b ta cú p/t : 4a 6 x = 0 x = 0 khi a 0 (2) Khi a = 0 thỡ p/t cú dng 0x = 0 x R. (3) T (1) ,(2) v (3) => P/ T cho luụn cú nghim vi a =b hay a = -b (*) Khi a b thỡ p/t cho cú = a 6 b 4 (b-a) 2 0 Vy khi a b p/t cho luụn cú nghim (**) T (*) v (**) => p/t cho luụn cú nghieemk vi mi a, b . 0,25 0,25 0,5 Câu 5. (1,0 im) Tìm tất cả các cặp số (x;y) thoả mãn điều kiện 2 ( 4 4) x y y x xy Câu 5 : Đk x 4;4 y PT 04444 xyxyxyyx 0)4444()4444( yyxxxy 0)24()24( 22 yxxy ( Vì x > 0 và y >0 ) 024 x x=8 024 y y=8 VËy cã duy nhÊt cÆp sè (x;y) = (8;8) tho¶ m·n ycbt Bài V ( 1,0 điểm) Cho x,y l à c ác s ố d ư ơng tho ả m ãn : x + y = 4 T ìm gi á tr ị nh ỏ nh ất c ủa : 2 2 33 P x y xy    Từ x+y=4 Áp dụng BĐT Côsi ta có: xy 2 ( ) 4 4 x y   Do đó 33 33 4 xy  Mặt khác: x 2 +y 2 = 2 ( ) x y  -2xy=16-2xy 16 2.4   =8( do xy  4) Vậy P 33 65 8 4 4    Do đó : MinP= 65 4 , đạt được khi x=y=2. Câu 9 (1,0 điểm). Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Có 2 2 2 ( ) ( )( ) a a b c a b c a b c         (1) , 2 2 2 ( ) ( )( ) b b c a b c a b c a         (2) 2 2 2 ( ) ( )( ) c c a b c a b c a b         (3) . Dấu ‘=’ xảy ra a b c    Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên các vế của (1), (2), (3) đều dương. Nhân vế với vế của (1), (2), (3) ta có : ( )( )( ) abc a b c b c a c a b        (*) 0,25 Từ 2 a b c    nên (*) (2 2 )(2 2 )(2 2 ) abc a b c      8 8( ) 8( ) 9 0 a b c ab bc ca abc          8 9 8( ) 0 9 8( ) 8 abc ab bc ca abc ab bc ca             (*) 0,25 Ta có 3 3 3 3 ( ) 3( )( ) 3 8 6( ) 3 a b c a b c a b c ab bc ca abc ab bc ca abc                 0,25 Từ đó   3 3 3 4( ) 15 27 24( ) 32 3 9 8( ) 32 a b c abc abc ab bc ca abc ab bc ca              (**) Áp dụng (*) vào (**) cho ta 3 3 3 4( ) 15 3.( 8) 32 8 a b c abc        Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2 3 a b c    . Từ đó giá trị nhỏ nhất của P là 8 đạt được khi và chỉ khi 2 3 a b c    0,25 Câu 5: ( 1,0 điểm) : Cho các số dương x và y thay đổi thoả mãn điều kiện : x – y  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 4 1 x y  . Câu 5 : Vì x , y là các số dương thoả mãn x – y  1 nên ta có : P = 4 1 x y   P .1  ( x – y ) 4 1 x y         P  4 - 4 x y y x  + 1  P  5 - 4 x y y x        Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương ta có : 4 x y y x   2 4 . x y y x  4 x y y x   4 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  x =  2y => P  5 – 4 => P  1 Dấu ‘‘=’’ xảy ra  x =  2y Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x =  2y. Bµi 5 . (1,0 ®iÓm) Cho biÓu thøc : P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x 2 – 24x + 3y 2 + 18y + 36. Chøng minh P lu«n d¬ng víi mäi x;y thuéc R . C©u V 1 ®iÓm P = xy(x – 2)(y + 6) + 12x 2 – 24x + 3y 2 + 18y + 36. = xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36 0,25 =x(x – 2).     6 12 3 6 12 y y y y             0,25 =     2 2 6 12 2 3 y y x x     0,25 Mµ   2 2 6 12 3 3 0 y y y         2 2 2 3 1 2 0 x x x       VËy P > 0 víi mäi x;y thuéc R 0,25 Bài 5. (0,5 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng : (a – 1) 3 + (b – 1) 3 + (c – 1) 3  3 4  Bài 5. (0,5 điểm) Cách 1. Không giảm tổng quát, có thể giả sử c = min(a ; b ; c). Từ giả thiết a + b + c = 3  3c  a + b + c  c  1. Do đó 0  c  1. Đặt a = 1 + x, b = 1 + y thì c = 1 – x – y. Do 0  c  1 nên 0  x + y  1. Ta có : (a – 1) 3 + (b – 1) 3 + (c – 1) 3 = x 3 + y 3 + (-x – y) 3 = -3xy(x + y). Mặt khác (x – y) 2  0 x, y  xy  2 (x y) 4   xy(x + y)  3 (x y) 4   1 4 (vì 0  x + y  1)  -3xy(x + y)  3 4  . Dấu bằng xảy ra  x = y = 1 2 (khi đó a = b = 3 2 , c = 0) Vậy (a – 1) 3 + (b – 1) 3 + (c – 1) 3  3 4  . Cách 2. Ta có: 2 3 3 2 2 3 3 (a 1) a 3a 3a 1 a(a 3a 3) 1 a a a 1 2 4                     3 3 (a 1) a 1 4    (1) (do a  0 và 2 3 a 0 2         ) Tng t: 3 3 (b 1) b 1 4 (2) 3 3 (c 1) c 1 4 (3) Cng (1), (2) v (3) v theo v ta c : (a 1) 3 + (b 1) 3 + (c 1) 3 3 3 3 (a b c) 3 3 3 4 4 4 Vy (a 1) 3 + (b 1) 3 + (c 1) 3 3 4 . Du ng thc xy ra khi v ch khi : 2 2 2 3 3 0 0 3 2 0, 2 2 3 3 0 0 3 0, 2 2 2 3 3 0 3 0 0, 2 2 2 3 3 a a a a a b c b b b b b a c c c c c c a b a b c a b c Cõu 5: (1.00 im) Cho a, b, c l cỏc s thc tha món: abc = 1. Tớnh: 1 1 1 1 1 1 A a ab b bc c ca Câu 5: 1điểm Với a.b.c=1 ta có: 1 )1( )1( )1( )1( )1()1( 1 )1( 1 )1()1()1( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abac abac abac abac abac abccac abac cac abacabac ca abac c abacaababa abcaccaabcab a abaaccbcbaba A Bài 5: (1, 0 điểm) Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a 2 + 2 2 1 4 b a = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009. Bài 5: Từ 2a 2 + 2 4 b + 2 1 a = 4 (ab) 2 = - 8a 4 + 16a 2 4 = 4 8(a 4 2a 2 +1) 4 -2 ab 2 2007 S 2011 MinS = 2007 ab = -2 và a 2 = 1 a = 1 , b = 2 Cõu 5: (1) Cho b,c l hai s tho món h thc: 1 1 1 2 b c Chng minh rng ớt nht 1 trong hai phng trỡnh sau phi cú nghim: x 2 +bx+c=0 (1) ; x 2 +cx+b=0 (2) Cõu 5: (1) 1 1 1 2 b c => 2(b+c)=bc(1) x 2 +bx+c=0 (1) Cú 1 =b 2 -4c; x 2 +cx+b=0 (2) ;Cú 2 =c 2 -4b Cng 1+ 2 = b 2 -4c+ c 2 -4b = b 2 + c 2 -4(b+c)= b 2 + c 2 -2.2(b+c)= b 2 + c 2 - 2bc=(b-c) 0. (thay2(b+c)=bc ) Vy trong 1; 2 cú mt biu thc dng hay ớt nht 1 trong hai phng trỡnh x 2 +bx+c=0 (1) ; x 2 +cx+b=0 (2) phi cú nghim: Câu VI:(0,5 điểm) Tìm số nguyên x; y thoả mãn đẳng thức: x 2 + xy +y 2 - x 2 y 2 = 0 Ta có: x 2 + xy +y 2 - x 2 y 2 = 0 <=> 4x 2 + 4xy +4y 2 - 4x 2 y 2 = 0 <=> 4x 2 + 8xy +4y 2 - (4x 2 y 2 + 4xy +1) - 1 = 0 <=> (2x + 2y) 2 - (2xy + 1) 2 = 1 <=> (2x + 2y - 2xy - 1)(2x + 2y + 2xy + 1) = 1 => 11 2xy 2y 2x -11 2xy 2y 2x -11 2xy 2y 2x 1 1 -2xy -2y 2x Giải hệ PT ta đợc (x; y) = (0; 0) hoặc x = - y Thay x = - y vào (1) ta tìm đợc (x; y) = (1; -1); (x; y) = (-1; 1) Vậy các cặp số x; y nguyên thoả mãn (1) là:(0; 0); (1; -1); (-1; 1) [...]... Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz - 16 0 x y z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x+y)(x+z) Câu VI Cách 1: Vì xyz - 16 0 => xyz(x+y+z) = 16 x y z 2 P = (x+y)(x+z) = x +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz áp dụng BĐT Côsy cho hai số thực dương là x(x+y+z) và yz ta có P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz 2 xyz ( x y z ) 2 16 8 ; dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 Cách . (1. 00 im) Cho a, b, c l cỏc s thc tha món: abc = 1. Tớnh: 1 1 1 1 1 1 A a ab b bc c ca Câu 5: 1 iểm Với a.b.c =1 ta có: 1 )1( )1( )1( )1( )1( )1( 1 )1( 1 )1( )1( )1( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abac abac abac abac abac abccac abac cac abacabac ca abac c abacaababa abcaccaabcab a abaaccbcbaba A . 2 2 x 1 3 x 1 2 x 3 x 1 1 ( x 1 1)( x 1 2) y x 4 x 1 2 ( x 1 1)( x 1 3) x 1 4 x 1 3 x 1 2 1 1 x 1 3 x 1 3 0.25 min 1 1 x 1 0 x 1 x 1 3 3 3 x 1 3 1 2 2 y 1. = x 4 1+ t Xét 2 2 2 2 3 17 t 4t 4 12 3t 12 3(4 t)(4t 1) P = 0 17 t 1 17 17 t 1 17 t 1 (Vì 1 0 < t 4 ) Do đó: 12 P 17 . Kết hợp lại ta đợc 12 P 17 Vậy