Lí thuyết đồ thị part 2 pptx

1.3 T´ınh liˆen thˆong 1.3.1 Dˆay chuyˆe ` n v`a chu tr`ınh Gia ˙’ su . ˙’ v 0 , v k l`a c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G := (V, E). Dˆay chuyˆe ` n µ t`u . v 0 d¯ˆe ´ n v k d¯ˆo . d`ai k l`a mˆo . t d˜ay xen k˜e (k + 1) d¯ı ˙’ nh v`a k ca . nh bˇa ´ t d¯ˆa ` u t`u . v 0 v`a kˆe ´ t th´uc ta . i v k , µ := {v 0 , e 1 , v 1 , e 2 , v 2 , . . . , v k−1 , e k , v k }, trong d¯´o ca . nh e i liˆen thuˆo . c c´ac d¯ı ˙’ nh v i−1 v`a v i , i = 1, 2, . . . , k. D - ˆe ˙’ gia ˙’ n tiˆe . n, ta thu . `o . ng viˆe ´ t µ := {e 1 , e 2 , . . . , e k }. Dˆay chuyˆe ` n d¯u . o . . c go . i l`a d¯o . n gia ˙’ n (tu . o . ng ´u . ng, so . cˆa ´ p) nˆe ´ u n´o khˆong d¯i hai lˆa ` n qua c`ung mˆo . t ca . nh (tu . o . ng ´u . ng, d¯ı ˙’ nh). Chu tr`ınh l`a mˆo . t dˆay chuyˆe ` n trong d¯´o d¯ı ˙’ nh d¯ˆa ` u tr`ung v´o . i d¯ı ˙’ nh cuˆo ´ i. Chu tr`ınh qua mˆo ˜ i ca . nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n go . i l`a d¯o . n gia ˙’ n. Chu tr`ınh l`a so . cˆa ´ p nˆe ´ u n´o d¯i qua mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n tr`u . d¯ı ˙’ nh d¯ˆa ` u tiˆen hai lˆa ` n (mˆo . t lˆa ` n l´uc xuˆa ´ t ph´at v`a mˆo . t l´uc tro . ˙’ vˆe ` ). D - ˆo ` thi . trong H`ınh 1.11 c´o (a, e 1 , b, e 2 , c, e 3 , d, e 4 , b) l`a dˆay chuyˆe ` n t`u . d¯ı ˙’ nh a d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh b c´o d¯ˆo . d`ai bˆo ´ n. C´ac chu tr`ınh sau l`a so . cˆa ´ p (b, e 2 , c, e 3 , d, e 4 , b), v`a (b, e 5 , f, e 7 , e, e 6 , b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e f g •• • • •• • e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 H`ınh 1.11: Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . khˆong c´o ca . nh song song (t´u . c l`a hai d¯ı ˙’ nh c´o nhiˆe ` u nhˆa ´ t mˆo . t ca . nh liˆen thuˆo . c ch´ung), d¯ˆe ˙’ d¯o . n gia ˙’ n dˆay chuyˆe ` n µ d¯u . o . . c viˆe ´ t la . i µ = {v 0 , v 1 , v 2 , . . . , v k }. 23 1.3.2 D - u . `o . ng d¯i v`a ma . ch Gia ˙’ su . ˙’ v 0 , v k l`a c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G := (V, E). D - u . `o . ng d¯i µ t`u . v 0 d¯ˆe ´ n v k d¯ˆo . d`ai k l`a mˆo . t d˜ay xen k˜e (k + 1) d¯ı ˙’ nh v`a k cung bˇa ´ t d¯ˆa ` u t`u . v 0 v`a kˆe ´ t th´uc ta . i v k , µ := {v 0 , e 1 , v 1 , e 2 , v 2 , . . . , v k−1 , e k , v k }, trong d¯´o cung e i liˆen thuˆo . c c´ac d¯ı ˙’ nh v i−1 v`a v i , i = 1, 2, . . . , k. D - ˆe ˙’ gia ˙’ n tiˆe . n, ta c´o thˆe ˙’ k´y hiˆe . u d¯u . `o . ng d¯i µ l`a {e 1 , e 2 , . . . , e k }. Do d¯´o trong H`ınh 1.12 d˜ay c´ac cung µ 1 := {e 6 , e 5 , e 9 , e 8 , e 4 } µ 2 := {e 1 , e 6 , e 5 , e 9 } µ 3 := {e 1 , e 6 , e 5 , e 9 , e 10 , e 6 , e 4 } l`a c´ac d¯u . `o . ng d¯i. D - u . `o . ng d¯i l`a d¯o . n gia ˙’ n nˆe ´ u khˆong ch´u . a cung n`ao qu´a mˆo . t lˆa ` n. Suy ra c´ac d¯u . `o . ng d¯i µ 1 , µ 2 l`a d¯o . n gia ˙’ n, nhu . ng d¯u . `o . ng d¯i µ 3 khˆong d¯o . n gia ˙’ n do n´o su . ˙’ du . ng cung e 6 hai lˆa ` n. D - u . `o . ng d¯i l`a so . cˆa ´ p nˆe ´ u khˆong d¯i qua d¯ı ˙’ nh n`ao qu´a mˆo . t lˆa ` n. Khi d¯´o d¯u . `o . ng d¯i µ 2 l`a so . cˆa ´ p nhu . ng c´ac d¯u . `o . ng d¯i µ 1 v`a µ 3 l`a khˆong so . cˆa ´ p. Hiˆe ˙’ n nhiˆen, d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p l`a d¯o . n gia ˙’ n nhu . ng ngu . o . . c la . i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t d¯´ung. Chˇa ˙’ ng ha . n, ch´u ´y rˇa ` ng d¯u . `o . ng d¯i µ 1 l`a d¯o . n gia ˙’ n nhu . ng khˆong so . cˆa ´ p, d¯u . `o . ng d¯i µ 2 v`u . a d¯o . n gia ˙’ n v`a v`u . a so . cˆa ´ p, d¯u . `o . ng d¯i µ 3 khˆong d¯o . n gia ˙’ n c˜ung khˆong so . cˆa ´ p. Ch´u ´y rˇa ` ng, kh´ai niˆe . m dˆay chuyˆe ` n l`a ba ˙’ n sao khˆong c´o hu . ´o . ng cu ˙’ a d¯u . `o . ng d¯i v`a ´ap du . ng cho c´ac d¯ˆo ` thi . m`a khˆong d¯ˆe ˙’ ´y d¯ˆe ´ n hu . ´o . ng cu ˙’ a c´ac cung. D - u . `o . ng d¯i c˜ung c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i d˜ay c´ac d¯ı ˙’ nh m`a ch´ung d¯i qua trong tru . `o . ng ho . . p khˆong c´o cung song song (t´u . c hai cung c´o c`ung gˆo ´ c v`a c`ung ngo . n). Do d¯´o, d¯u . `o . ng d¯i µ 1 c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i d˜ay d¯ı ˙’ nh {v 2 , v 5 , v 4 , v 3 , v 5 , v 6 }. Ma . ch l`a mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i {e 1 , e 2 , . . . , e k } trong d¯´o d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c cu ˙’ a cung e 1 tr`ung v´o . i d¯ı ˙’ nh ngo . n cu ˙’ a cung e k . Do d¯´o d¯u . `o . ng d¯i {e 5 , e 9 , e 10 , e 6 } trong H`ınh 1.12 l`a ma . ch. 1.3.3 T´ınh liˆen thˆong D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng go . i l`a liˆen thˆong nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cˇa . p d¯ı ˙’ nh v i v`a v j tˆo ` n ta . i dˆay chuyˆe ` n t`u . v i d¯ˆe ´ n v j . Quan hˆe . v i Rv j nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u v i = v j hoˇa . c tˆo ` n ta . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n nˆo ´ i hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j l`a quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng (pha ˙’ n xa . , d¯ˆo ´ i x´u . ng v`a bˇa ´ c cˆa ` u). 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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Sˆo ´ p go . i l`a sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Theo d¯i . nh ngh˜ıa, d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong bˇa ` ng mˆo . t. C´ac d¯ˆo ` thi . con G 1 , G 2 , . . . , G p sinh bo . ˙’ i c´ac tˆa . p con V 1 , V 2 , . . . , V p go . i l`a c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Mˆo ˜ i th`anh phˆa ` n liˆen thˆong l`a mˆo . t d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong. H`ınh 1.13 minh ho . a d¯ˆo ` thi . c´o ba th`anh phˆa ` n liˆen thˆong. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 v 2 v 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 5 v 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 8 v 3 v 6 • • • • • • • • H`ınh 1.13: D - ˆo ` thi . c´o ba th`anh phˆa ` n liˆen thˆong. X´ac d¯i . nh sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . l`a mˆo . t trong nh˜u . ng b`ai to´an co . ba ˙’ n cu ˙’ a l´y thuyˆe ´ t d¯ˆo ` thi . v`a c´o nhiˆe ` u ´u . ng du . ng trong thu . . c tiˆe ˜ n; chˇa ˙’ ng ha . n, x´ac d¯i . nh t´ınh liˆen thˆong cu ˙’ a ma . ch d¯iˆe . n, ma . ng d¯iˆe . n thoa . i, v.v. Ch´ung ta s˜e tr`ınh b`ay mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an c´o th`o . i gian O(m) gia ˙’ i b`ai to´an n`ay v`ı n´o 25 cho ph´ep t`ım l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a mˆo . t sˆo ´ b`ai to´an kh´ac. Bˇa ´ t d¯ˆa ` u v´o . i d¯ı ˙’ nh n`ao d¯´o cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . , ch´ung ta liˆe . t kˆe c´ac d¯ı ˙’ nh theo th´u . tu . . cu ˙’ a thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau, t´u . c l`a ch´ung ta d¯i, d¯ˆa ` u tiˆen, xa nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c trˆen d¯ˆo ` thi . m`a khˆong ta . o th`anh chu tr`ınh, v`a sau d¯´o tro . ˙’ vˆe ` vi . tr´ı r˜e nh´anh gˆa ` n d¯ˆay nhˆa ´ t m`a ch´ung ta d¯˜a bo ˙’ qua, v`a tiˆe ´ p tu . c cho d¯ˆe ´ n khi tro . ˙’ vˆe ` d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at. Do d¯´o tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh bˇa ´ t gˇa . p s˜e ta . o th`anh th`anh phˆa ` n liˆen thˆong d¯ˆa ` u tiˆen. Nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c duyˆe . t th`ı d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong; ngu . o . . c la . i, ch´ung ta kho . ˙’ i d¯ˆa ` u la . i thu ˙’ tu . c trˆen v´o . i mˆo . t d¯ı ˙’ nh m´o . i chu . a d¯u . o . . c viˆe ´ ng thˇam; do d¯´o ta xˆay du . . ng d¯u . o . . c th`anh phˆa ` n liˆen thˆong th´u . hai, v`a vˆan vˆan. Thuˆa . t to´an du . ´o . i d¯ˆay tr`ınh b`ay giai d¯oa . n d¯ˆa ` u tiˆen, t´u . c l`a t`ım th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ch´u . a mˆo . t d¯ı ˙’ nh d¯˜a cho-nˆe ´ u th`anh phˆa ` n n`ay ch´u . a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . th`ı d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong. K´y hiˆe . u num(i) l`a sˆo ´ hiˆe . u cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i trong qu´a tr`ınh t`ım kiˆe ´ m. Nˆe ´ u ta bˇa ´ t d¯ˆa ` u bˇa ` ng d¯ı ˙’ nh s th`ı d¯ˇa . t num(s) = 1 . K´y hiˆe . u P (i) l`a d¯ı ˙’ nh d¯´u . ng liˆe ` n tru . ´o . c d¯ı ˙’ nh v i trong cˆay c´o gˆo ´ c (xem Chu . o . ng 4) d¯u . o . . c xˆay du . . ng trong qu´a tr`ınh thu . . c hiˆe . n thuˆa . t to´an. X´et d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i ´anh xa . d¯a tri . Γ. D - ˇa . t d + i l`a sˆo ´ c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` d¯ı ˙’ nh v i : d + i := #Γ(v i ). V´o . i mˆo ˜ i k = 1, 2, . . . , n, k´y hiˆe . u Γ k (v i ) l`a d¯ı ˙’ nh th´u . k trong tˆa . p Γ(v i ). D - ˆe ˙’ thu . . c hiˆe . n t`ım kiˆe ´ m trˆen d¯ˆo ` thi . , ch´ung ta cˆa ` n mˆo ˜ i giai d¯oa . n cu ˙’ a thuˆa . t to´an chı ˙’ sˆo ´ n(i) cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c viˆe ´ ng thˇam cuˆo ´ i c`ung t`u . d¯ı ˙’ nh v i . Do d¯´o ta bˇa ´ t d¯ˆa ` u v´o . i n(i) = 0. Du . ´o . i d¯ˆay l`a thuˆa . t to´an (da . ng khˆong d¯ˆe . qui) cu ˙’ a Tr´emaux d¯u . a ra nˇa ` m 1882 v`a sau d¯´o d¯u . o . . c Tarjan ca ˙’ i tiˆe ´ n [53]. Thuˆa . t to´an Tr´emaux-Tarjan t`ım th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ch´u . a d¯ı ˙’ nh s. 1. [Kho . ˙’ i ta . o] D - ˇa . t P (i) = 0, d + i := #Γ(v i ) v`a n(i) = 0 v´o . i mo . i d¯ı ˙’ nh v i , i = 1, 2, . . . , n; k = 0, num(s) = 1, P(s) = s (tu`y ´y, kh´ac khˆong), i = s. 2. [Bu . ´o . c lˇa . p] Trong khi (n(i) = d(i)) hoˇa . c (i = s) thu . . c hiˆe . n • Nˆe ´ u n(i) = d(i) d¯ˇa . t i = P (i) (lˆa ` n ngu . o . . c); • ngu . o . . c la . i, d¯ˇa . t n(i) = n(i) + 1 (viˆe ´ ng thˇam d¯ı ˙’ nh kˆe ´ tiˆe ´ p trong Γ(v i )), v`a j = Γ n(i) (v i ). Nˆe ´ u P (j) = 0 th`ı g´an P(j) = i, i = j, k = k + 1, num(i) = k. Kˆe ´ t th ´uc thuˆa . t to´an, nˆe ´ u k = n th`ı d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong; ngu . o . . c la . i th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ch´u . a d¯ı ˙’ nh s gˆo ` m k d¯ı ˙’ nh m`a num(i) nhˆa . n c´ac gi´a tri . t`u . 1 d¯ˆe ´ n k. 26 V´ı du . 1.3.1 X´et d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 1.14. C´ac d¯ı ˙’ nh s˜e d¯u . o . . c viˆe ´ ng thˇam theo th´u . tu . . 1, 4, 2, 3 v`a 5. Qu´a tr`ınh t`ım kiˆe ´ m c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n th`anh cˆay c´o gˆo ´ c (d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c l`a v 1 ) trong H`ınh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 v 4 v 2 v 3 v 5 • • • • • H`ınh 1.14: 1.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 5 v 1 v 4 v 2 v 3 v 5 • • • • • H`ınh 1.15: Thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau 1. Thˇam d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at s. 2. V´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh w kˆe ` v´o . i v (c´o hu . ´o . ng t`u . v d¯ˆe ´ n w) l`am c´ac bu . ´o . c sau: Nˆe ´ u w chu . a d¯u . o . . c thˇam, ´ap du . ng thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau v´o . i w nhu . l`a d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at. Trong c´ach t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau, ta d¯i theo d¯u . `o . ng t`u . d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at cho d¯ˆe ´ n khi d¯a . t d¯ˆe ´ n mˆo . t d¯ı ˙’ nh c´o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` n´o d¯˜a d¯u . o . . c viˆe ´ ng thˇam. Sau d¯´o ta quay la . i d¯ı ˙’ nh 27 cuˆo ´ i c`ung v`u . a d¯u . o . . c thˇam do . c theo d¯u . `o . ng n`ay sao cho c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` v´o . i n´o (c´o hu . ´o . ng t`u . n´o d¯i ra trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng) c´o thˆe ˙’ thˇam d¯u . o . . c. D - ˆe ˙’ c´o thˆe ˙’ quay tro . ˙’ la . i, ta lu . u tr˜u . c´ac d¯ı ˙’ nh do . c theo d¯u . `o . ng n`ay trong mˆo . t ngˇan xˆe ´ p. Nˆe ´ u thu ˙’ tu . c d¯u . o . . c viˆe ´ t da . ng d¯ˆe . quy th`ı ngˇan xˆe ´ p n`ay d¯u . o . . c ba ˙’ o tr`ı mˆo . t c´ach tu . . d¯ˆo . ng; trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i, cˆa ` n mˆo . t ma ˙’ ng d¯´anh dˆa ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh d¯˜a d¯u . o . . c viˆe ´ ng thˇam. Thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng Trong thuˆa . t to´an n`ay, ch´ung ta thˇam c´ac d¯ı ˙’ nh theo t`u . ng m´u . c mˆo . t, v`a khi thˇam mˆo . t d¯ı ˙’ nh o . ˙’ m´u . c n`ao d¯´o, ta pha ˙’ i lu . u tr˜u . n´o d¯ˆe ˙’ c´o thˆe ˙’ tro . ˙’ la . i khi d¯i hˆe ´ t mˆo . t m´u . c, v`ı vˆa . y c´o thˆe ˙’ thˇam c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` cu ˙’ a n´o. Thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng du . ´o . i d¯ˆay d`ung mˆo . t h`ang d¯o . . i theo c´ach n`ay. 1. Thˇam d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at. 2. Kho . ˙’ i d¯ˆo . ng mˆo . t h`ang d¯o . . i chı ˙’ ch´u . a d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at. 3. Trong khi h`ang d¯o . . i khˆong rˆo ˜ ng l`am c´ac bu . ´o . c sau: Lˆa ´ y mˆo . t d¯ı ˙’ nh v t`u . h`ang d¯o . . i. V´o . i tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh w kˆe ` v´o . i v, l`am c´ac bu . ´o . c sau: Nˆe ´ u (w chu . a d¯u . o . . c thˇam) th`ı: Thˇam w. Thˆem w v`ao h`ang d¯o . . i. C´ac thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng v`a t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau l`a rˆa ´ t co . ba ˙’ n cho nhiˆe ` u thuˆa . t to´an kh´ac d¯ˆe ˙’ xu . ˙’ l´y d¯ˆo ` thi . . V´ı du . , d¯ˆe ˙’ duyˆe . t mˆo . t d¯ˆo ` thi . , ta c´o thˆe ˙’ ´ap du . ng nhiˆe ` u lˆa ` n mˆo . t trong c´ac c´ach n´oi trˆen, cho . n c´ac d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at m´o . i nˆe ´ u cˆa ` n thiˆe ´ t, cho d¯ˆe ´ n khi tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c thˇam. 1.3.4 Cˆa ` u, k−liˆen thˆong D - iˆe ˙’ m kh´o . p cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . l`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh m`a xo´a n´o s˜e tˇang sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong; cˆa ` u l`a ca . nh m`a xo´a n´o c˜ung c´o a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng tu . o . ng tu . . . D - ˆo ` thi . trong H`ınh 1.14 c´o mˆo . t d¯iˆe ˙’ m kh´o . p l`a d¯ı ˙’ nh v 4 v`a hai cˆa ` u l`a c´ac ca . nh (v 1 , v 4 ) v`a (v 4 , v 5 ). V´ı du . 1.3.2 Trong mˆo . t d¯ˆo ` thi . khˆong c´o chu tr`ınh, c´ac d¯ı ˙’ nh khˆong pha ˙’ i l`a d¯ı ˙’ nh treo, t´u . c d¯ı ˙’ nh c´o bˆa . c ≥ 2, l`a d¯iˆe ˙’ m kh´o . p. Ngu . o . . c la . i, d¯ˆo ` thi . c´o chu tr`ınh Hamilton (xem Phˆa ` n 5.3) khˆong c´o d¯iˆe ˙’ m kh´o . p. 28 V´ı du . 1.3.3 [Ma . ng thˆong tin] Gia ˙’ su . ˙’ V l`a tˆa . p ho . . p nh˜u . ng ngu . `o . i thuˆo . c mˆo . t tˆo ˙’ ch´u . c n`ao d¯´o; ta d¯ˇa . t (a, b) ∈ E nˆe ´ u ngu . `o . i a v`a b c´o thˆe ˙’ b´ao tin v´o . i nhau. Nh˜u . ng ngu . `o . i liˆen la . c l`a nh˜u . ng d¯iˆe ˙’ m kh´o . p. Nh˜u . ng ngu . `o . i d¯´o l`a nh˜u . ng mˇa ´ t x´ıch quan tro . ng, v`ı mˆa ´ t ho . s˜e ph´a v˜o . t´ınh thˆo ´ ng nhˆa ´ t v`a su . . liˆen kˆe ´ t cu ˙’ a tˆo ˙’ ch´u . c. D - i . nh l´y 1.3.4 Gia ˙’ su . ˙’ G = (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong. Khi d¯´o d¯ı ˙’ nh v ∈ V l`a d¯iˆe ˙’ m kh´o . p nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u tˆo ` n ta . i hai d¯ı ˙’ nh a v`a b sao cho mo . i dˆay chuyˆe ` n nˆo ´ i a v´o . i b d¯ˆe ` u d¯i qua v. Ch´u . ng minh. D - iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n. Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . con sinh bo . ˙’ i tˆa . p ho . . p V \ {v} khˆong liˆen thˆong th`ı n´o ch´u . a ´ıt nhˆa ´ t hai th`anh phˆa ` n C v`a C; gia ˙’ su . ˙’ a l`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh n`ao d¯´o cu ˙’ a C v`a b l`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh n`ao d¯´o cu ˙’ a C. Trong d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong ban d¯ˆa ` u G mo . i dˆay chuyˆe ` n bˆa ´ t k`y nˆo ´ i a v´o . i b d¯ˆe ` u pha ˙’ i d¯i qua v. D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . Nˆe ´ u mˆo . t dˆay chuyˆe ` n bˆa ´ t k`y nˆo ´ i a v´o . i b d¯ˆe ` u d¯i qua v th`ı d¯ˆo ` thi . con sinh ra bo . ˙’ i V \ {v} khˆong thˆe ˙’ liˆen thˆong; bo . ˙’ i vˆa . y d¯ı ˙’ nh v l`a d¯iˆe ˙’ m kh´o . p.  Ta c´o thˆe ˙’ d¯i . nh ngh˜ıa: d¯ˆo ` thi . n d¯ı ˙’ nh (n ≥ 3) l`a 2−liˆen thˆong hay d¯ˆo ` thi . khˆong t´ach d¯u . o . . c nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u n´o liˆen thˆong v`a khˆong c´o d¯iˆe ˙’ m kh´o . p. C´ac d¯ˆo ` thi . con 2−liˆen thˆong cu . . c d¯a . i cu ˙’ a G ta . o th`anh mˆo . t phˆan hoa . ch cu ˙’ a G, v`a go . i l`a c´ac th`anh phˆa ` n 2−liˆen thˆong cu ˙’ a G. D - ˆe ˙’ t`ım c´ac d¯iˆe ˙’ m kh´o . p v`a c´ac th`anh phˆa ` n 2−liˆen thˆong ta c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau. V´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v i , x´et tˆa . p D(i) c´ac d¯ı ˙’ nh d¯´u . ng liˆe ` n tru . ´o . c d¯ı ˙’ nh v i trong cˆay T x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau. Khi d¯´o, v´o . i mo . i d¯ı ˙’ nh v j ∈ D(i) ta c´o l ( j) = min k∈Γ(v j ) (num(k)) l`a sˆo ´ nho ˙’ nhˆa ´ t d¯u . o . . c g´an cho d¯ı ˙’ nh kˆe ` v´o . i d¯ı ˙’ nh v j trong G. Bˆay gi`o . ta d¯i . nh ngh˜ıa mˆo . t chı ˙’ sˆo ´ m´o . i inf(i) := min v j ∈D(i) l(j). Do d¯´o chı ˙’ sˆo ´ n`ay tu . o . ng ´u . ng cu . . c tiˆe ˙’ u cu ˙’ a num(i) v`a sˆo ´ nho ˙’ nhˆa ´ t d¯u . o . . c g´an cho c´ac d¯ı ˙’ nh m`a c´o thˆe ˙’ d¯ˆe ´ n d¯u . o . . c bˇa ` ng d¯´ung mˆo . t ca . nh t`u . mˆo . t trong c´ac hˆa . u duˆe . cu ˙’ a v i trong cˆay T. Do d¯´o, trong V´ı du . 1.3.1 (H`ınh 1.15), d¯ı ˙’ nh v 2 c´o d¯´ung mˆo . t d¯ı ˙’ nh tru . ´o . c liˆe ` n kˆe ` l`a d¯ı ˙’ nh v 4 , v`a do d¯´o inf(2) = num(4) = 2. Ch´u ´y rˇa ` ng inf(i) ≤ num(i) v`ı kho . ˙’ i d¯ˆa ` u t`u . tiˆe ` n bˆo ´ i cu ˙’ a v i n´o c´o thˆe ˙’ tro . ˙’ vˆe ` v i . 29 Ho . n n˜u . a, dˆe ˜ d`ang chı ˙’ ra rˇa ` ng, nˆe ´ u inf(i) = num(i) th`ı d¯ı ˙’ nh v i l`a d¯iˆe ˙’ m kh´o . p cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Ngo`ai ra, c´ac d¯ı ˙’ nh bˇa ´ t gˇa . p khi duyˆe . t tro . ˙’ la . i d¯ı ˙’ nh v i ta . o th`anh mˆo . t th`anh phˆa ` n 2−liˆen thˆong. Thuˆa . t to´an du . ´o . i d¯ˆay tr`ınh b`ay phu . o . ng ph´ap x´ac d¯i . nh c´ac d¯iˆe ˙’ m kh´o . p cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong xuˆa ´ t ph´at t`u . d¯ı ˙’ nh s. Thuˆa . t to´an Tarjan t`ım d¯iˆe ˙’ m kh´o . p cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong xuˆa ´ t ph´at t`u . d¯ı ˙’ nh s 1. [Kho . ˙’ i ta . o] D - ˇa . t P (i) = 0, d + i := #Γ(v i ), n(i) = 0 v`a inf(i) = ∞ v´o . i mo . i d¯ı ˙’ nh v i , i = 1, 2, . . . , n; k = 0, num(s) = 1, P(s) = s, i = s. 2. [Bu . ´o . c lˇa . p] Trong khi (n(i) = d(i)) hoˇa . c (i = s) thu . . c hiˆe . n • Nˆe ´ u n(i) = d(i) d¯ˇa . t q = inf(i), i = P (i), inf(i) = min(q, inf(i)). Nˆe ´ u inf(i) =num(i) th`ı v i l`a d¯iˆe ˙’ m kh´o . p (v`a ta c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh th`anh phˆa ` n 2−liˆen thˆong). • Ngu . o . . c la . i, t´u . c l`a n(i) = d(i) (viˆe ´ ng thˇam d¯ı ˙’ nh kˆe ´ tiˆe ´ p trong Γ(v i )) Nˆe ´ u j = P(i) th`ı g´an n(i) = n(i) + 1, j = Γ n(i) (i). Nˆe ´ u P (j) = 0 th`ı g´an inf(i) = min(inf(i), num(i)), P(j) = i, i = j, k = k + 1, num(i) = k. Ngu . o . . c la . i nˆe ´ u P (j) = 0 g´an inf(i) = min(inf(i), num(j)). Dˆe ˜ d`ang kiˆe ˙’ m tra v´o . i v´ı du . tru . ´o . c, d¯ı ˙’ nh v 4 l`a d¯iˆe ˙’ m kh´o . p. Ch´u ´y rˇa ` ng c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh th`anh phˆa ` n 2−liˆen thˆong bˇa ` ng c´ach su . ˙’ a d¯ˆo ˙’ i Bu . ´o . c 2 trong Thuˆa . t to´an Tarjan. Mˆe . nh d¯ˆe ` sau l`a hiˆe ˙’ n nhiˆen: Mˆe . nh d¯ˆe ` 1.3.5 C´ac thuˆa . t to´an Tr´emaux-Tarjan v`a Tarjan c´o th`o . i gian O(m). Thiˆe ´ t diˆe . n A ⊂ V cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong G l`a tˆa . p con A c´ac d¯ı ˙’ nh sao cho d¯ˆo ` thi . con G V \A nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach xo´a c´ac d¯ı ˙’ nh trong A (v`a c´ac ca . nh liˆen thuˆo . c n´o) khˆong liˆen thˆong. D - ˆo ` thi . go . i l`a k−liˆen thˆong nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u n´o liˆen thˆong, c´o sˆo ´ d¯ı ˙’ nh n ≥ k+1, v`a khˆong ch´u . a mˆo . t thiˆe ´ t diˆe . n c´o lu . . c lu . o . . ng (k − 1). 30 C´ac d¯ˆo ` thi . con k−liˆen thˆong cu . . c d¯a . i cu ˙’ a G ta . o th`anh mˆo . t phˆan hoa . ch cu ˙’ a G v`a go . i l`a c´ac th`anh phˆa ` n k−liˆen thˆong. C´ac th`anh phˆa ` n 3−liˆen thˆong cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . c´o thˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c trong th`o . i gian O(m) bˇa ` ng thuˆa . t to´an tu . o . ng tu . . cu ˙’ a Tarjan. D - a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong G go . i l`a k−ca . nh liˆen thˆong nˆe ´ u n´o vˆa ˜ n c`on liˆen thˆong khi xo´a d¯i ´ıt ho . n k ca . nh. Do d¯´o, d¯a d¯ˆo ` thi . l`a 2−liˆen thˆong nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u n´o liˆen thˆong v`a khˆong ch´u . a cˆa ` u. Bˇa ` ng c´ach su . ˙’ a d¯ˆo ˙’ i la . i thuˆa . t to´an Tarjan, ta c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh c´ac cˆa ` u trong th`o . i gian O(m). X´et t´ınh 2−ca . nh liˆen thˆong c´o nhiˆe ` u ´u . ng du . ng trong thu . . c tˆe ´ : ma . ng d¯iˆe . n, d¯iˆe . n thoa . i, v.v., pha ˙’ i 2−ca . nh liˆen thˆong! 1.3.5 D - ˆo ` thi . liˆen thˆong ma . nh D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng go . i l`a liˆen thˆong ma . nh nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cˇa . p d¯ı ˙’ nh v i v`a v j tˆo ` n ta . i d¯u . `o . ng d¯i t`u . v i d¯ˆe ´ n v j . X´et quan hˆe . v i Rv j nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u hoˇa . c v i = v j hoˇa . c tˆo ` n ta . i d¯u . `o . ng d¯i t`u . d¯ı ˙’ nh v i d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v j v`a d¯u . `o . ng d¯i t`u . d¯ı ˙’ nh v j d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v i . Dˆe ˜ thˆa ´ y d¯ˆay l`a quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng (pha ˙’ n xa . , d¯ˆo ´ i x´u . ng v`a bˇa ´ c cˆa ` u). L´o . p tu . o . ng d¯u . o . ng trˆen V x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i quan hˆe . tu . o . ng d¯u . o . ng R phˆan hoa . ch tˆa . p V th`anh c´ac tˆa . p con r`o . i nhau V 1 , V 2 , . . . , V p . Sˆo ´ p go . i l`a sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . C´ac d¯ˆo ` thi . con G 1 , G 2 , . . . , G p sinh bo . ˙’ i c´ac tˆa . p con V 1 , V 2 , . . . , V p go . i l`a c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh cu ˙’ a G. Theo d¯i . nh ngh˜ıa, d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong ma . nh nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh bˇa ` ng mˆo . t. Nhˆa . n x´et rˇa ` ng, th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh C l ch´u . a d¯ı ˙’ nh v l d¯u . o . . c cho bo . ˙’ i C l = ˆ Γ v l ∩ ˆ Γ −1 v l , v`a t`u . d¯´o suy ra mˆo . t thuˆa . t to´an rˆa ´ t d¯o . n gia ˙’ n th`o . i gian d¯a th´u . c O(m) du . . a trˆen thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau m`a c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng n´o d¯ˆe ˙’ t`ım C l . Do d¯´o t´ınh liˆen thˆong ma . nh dˆe ˜ d`ang kiˆe ˙’ m tra. Chı ˙’ cˆa ` n x´et khi n`ao C l ≡ V. (H˜ay gia ˙’ i b`ai to´an n`ay bˇa ` ng ma trˆa . n). Nˆe ´ u mˇa . t kh´ac, ch´ung ta muˆo ´ n t`ım tˆa ´ t ca ˙’ c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh, ta s˜e su . ˙’ du . ng Thuˆa . t to´an Tarjan. 31 Thˆa . t vˆa . y ta s˜e ch´u . ng minh rˇa ` ng, thuˆa . t to´an Tarjan ´ap du . ng v´o . i c´ac d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, cho ph´ep t`ım c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh. Ch´ung ta kho . ˙’ i d¯ˆa ` u v´o . i thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau, nhu . trong c´ac thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau v`a Tarjan. V´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v i x´et mˆo . t chı ˙’ sˆo ´ m´o . i l`a sˆo ´ nho ˙’ nhˆa ´ t cu ˙’ a chı ˙’ sˆo ´ d¯ı ˙’ nh m`a c´o thˆe ˙’ d¯ˆe ´ n n´o bˇa ` ng chı ˙’ mˆo . t cung t`u . mˆo . t hˆa . u duˆe . cu ˙’ a v i trong cˆay gia pha ˙’ . Chı ˙’ sˆo ´ m´o . i n`ay d¯u . o . . c k´y hiˆe . u l`a inf(i). Nhˆa . n x´et rˇa ` ng ch´ung ta luˆon luˆon c´o inf(i) ≤ num(i). Dˆe ˜ d`ang chı ˙’ ra rˇa ` ng khi ch´ung ta tro . ˙’ la . i trong cˆay gia pha ˙’ , th`ı mˆo . t d¯ı ˙’ nh m`a xa ˙’ y ra d¯ˇa ˙’ ng th´u . c inf(i) = num(i) s˜e phˆan hoa . ch d¯ˆo ` thi . th`anh ´ıt nhˆa ´ t hai th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh, v`a mˆo . t trong ch´ung tu . o . ng ´u . ng tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh m`a d¯˜a d¯u . o . . c viˆe ´ ng thˇam tru . ´o . c khi t´o . i d¯ı ˙’ nh v i . D - ˆo ` thi . trong H`ınh 1.16 c´o ba th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh: C 1 = {a, b, c, d, e}, C 6 = {g, f}, C 8 = {h}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d e f g h • • • • • • • • H`ınh 1.16: Ch´ung ta su . ˙’ du . ng thuˆa . t ng˜u . d¯ˆo ` thi . thu go . n d¯ˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n d¯ˆo ` thi . G qua quan hˆe . liˆen thˆong ma . nh G r := G/R. Do d¯´o c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G r l`a c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh cu ˙’ a G v`a tˆo ` n ta . i cung gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh C i v`a C j nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u tˆo ` n ta . i ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t cung gi˜u . a mˆo . t d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a C i v`a C j trong G. Hiˆe ˙’ n nhiˆen d¯ˆo ` thi . G r khˆong c´o ma . ch. H`ınh 1.17 l`a d¯ˆo ` thi . thu go . n cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng trong H`ınh 1.16. Nghiˆen c´u . u c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong ma . nh v`a t`ım d¯ˆo ` thi . thu go . n l`a nh˜u . ng b`ai to´an thu . . c tiˆe ˜ n quan tro . ng; chˇa ˙’ ng ha . n trong mˆo ´ i liˆen hˆe . v´o . i x´ıch Markov, trong phˆan t´ıch cˆa ´ u tr´uc cu ˙’ a mˆo . t hˆe . thˆo ´ ng (xem [30]). Phˆa ` n tiˆe ´ p theo ch´ung ta s˜e d¯ˆe ˙’ cˆa . p thˆem vˆe ` vˆa ´ n d¯ˆe ` n`ay. 32 [...]... v2 • v6 • • v3 • v7 • v4 • v5 H` 1.18: ınh ˙ C´c tˆp pham vi c´ thˆ’ x´c d nh t` Phu.o.ng tr` (1.1) nhu sau a a o e a ¯i u ınh R(v1 ) = = R(v2 ) = = R(v3 ) = = R(v4 ) = = R(v5 ) = = R(v6 ) = = R(v7 ) = = {v1 } ∪ {v2 , v5 } ∪ {v2 , v4 , v5 } ∪ {v2 , v4 , v5 } {v1 , v2 , v4 , v5 }, {v2 } ∪ {v2 , v4 } ∪ {v2 , v4 , v5 } ∪ {v2 , v4 , v5 } {v2 , v4 , v5 }, {v3 } ∪ {v4 } ∪... • • • • H` 1 .21 : ınh 42 c • • • ˙ So s´nh d` thi khˆng liˆn thˆng trong H` 1 .22 v` d` thi trong H` 1 .21 Hiˆ’n nhiˆn a ¯o o ˆ e o ınh a ¯o ˆ ınh e e ng ch´ng c´ mˆi liˆn hˆ ˙ ’ ´ ´ ’ ´ u o o e e hai d` thi n`y khˆng d ang cˆ u (ch´ng c´ sˆ d ınh kh´c nhau); nhu ¯ˆ a o o ¯ˇ a u o o ¯˙ a ˙ ’ ´ ´ ` ˙ ¯o ’ ˆ l` c´c khˆi trong H` 1 .21 d ˇng cˆ u v´.i c´c th`nh phˆn cua d` thi trong H` 1 .22 C´c a a o... hai th`nh phˆn cua H` 1 .22 bˇ ng c´ch “d´n” hai d ınh e ı e ˙ o a a ınh a a a ¯˙ o.c d` thi trong H` 1 .23 ˙ ’ (chˇng han x v` y)? Ch´ng ta nhˆn d u ¯ˆ a a u a ¯ o ınh ˙ ˙ ’ ´ Hiˆ’n nhiˆn c´c d` thi trong H` 1 .23 l` 1−d ˇng cˆ u v´.i d` thi trong H` 1 .22 V` e e a ¯ˆ o ınh a ¯a a o ¯ˆ o ınh ı ˙ ’ ´i cua d` thi trong H` 1 .23 d ang cˆ u v´.i c´c khˆi cua d` thi trong H` 1 .21 , nˆn ´ o a ´ ˙ ¯ˆ ˙... • v13 v2 • v5 v3 • • v8 v7 • • • v 12 • v9 • v4 -ˆ H` 1.19: D` thi G ınh o T` c´c phu.o.ng tr` (1.1) v` (1 .2) ta c´ u a ınh a o R(v1 ) = {v1 , v2 , v4 , v5 , v6 , v7 , v8 , v9 , v10 } v` a Q(v1 ) = {v1 , v2 , v3 , v5 , v6 } ` ’ Do d o th`nh phˆn liˆn thˆng manh ch´.a d ınh v1 l` d` thi con ¯´ a a e o u ¯˙ a ¯ˆ o R(v1 ) ∩ Q(v1 ) = {v1 , v2 , v5 , v6 } 37 ` ’ Tu.o.ng tu.,... thi trong H` 1 .21 , nˆn ´ o a ´ ˙ ¯ˆ ˙ ¯ˆ ’ o ’ o c´c khˆ a o ınh ¯ˇ a o ınh e ˙ ’ ´ hai d` thi n`y l` 1−d ˇng cˆ u Do d ´ ba d` thi trong c´c H` 1 .21 , 1 .22 v` 1 .23 l` d ˆi mˆt ¯o a a ˆ ¯a a ¯o ¯ˆ o a ınh a a ¯o o ˙ ’ ´ 1−d ˇng cˆ u ¯a a 1.5 .2 ˙ ’ ´ 2 d a ng cˆ u ¯ˇ a ˙ ˙ ’ ˙ ’ ` ´ ` Trong phˆn trˆn ch´ng ta d ˜ tˆ’ng qu´t ho´ kh´i niˆm d ˇng cˆ u bˇ ng kh´i niˆm 1−d ang a e u ¯a o a a a e ¯a a... a1 • xy • • a3 • • c1 b2 a2 • • c2 • • b1 • • • H` 1 .23 : ınh ˙ ’ Ch´ng ta c`n c´ thˆ’ mo rˆng kh´i niˆm n`y cho c´c d` thi 2 liˆn thˆng nhu sau u o o e ˙ o a e a a ¯o ˆ e o ’ Trong d` thi 2 liˆn thˆng G x´t hai d ınh x v` y m` xo´ ch´ng (v` c´c canh liˆn thuˆc... ’ Ph´p to´n 2 “T´ch” d ınh x th`nh x1 v` x2 v` d ınh y th`nh y1 v` y2 sao cho ta thu e a a ¯˙ a a a ¯˙ a a o.c t` G hai th`nh phˆn g v` g Gia su c´c d ınh x v` y thuˆc th`nh phˆn g v` x ` ` ’ ˙ ˙ a ¯˙ ’ ’ o a a 1 a 2 du u ¯ a a 1 a ¯1 1 a 1 nˆi hai d` thi g v` g bˇ ng c´ch ho.p nhˆ t d ınh x v´.i d ınh y v` ´ ’ ’ v` y2 thuˆc g1 Bˆy gi` o a o ¯ a o ´ ¯ˆ 1 a ¯1 ` o a a a ¯˙ o ¯˙ 1 2 a i d ınh... ¯ ˙ e ta c˜ng c´ u o Q(vi ) = {vi } ∪ Γ−1 (vi ) ∪ Γ 2 (vi ) ∪ · · · ∪ Γ−p (vi ), (1 .2) trong d o Γ 2 (vi ) = Γ−1 (Γ−1 (vi )), ¯´ ˙ T` d nh ngh˜ hiˆ’n nhiˆn c´ Q = Rt u ¯i ıa, e e o V´ du 1.4.1 X´t d` thi G trong H` 1.18 Ma trˆn kˆ cua G l` ı e ¯o ˆ ınh a ` ˙ a e ’ v  1 v1  v2   v3   A = v4    v5   v6   v7 0 0 0 0 0 0 0 v2 1 1 0 0 0 0 0 v3 0 0 0 0 0 1 0 34 v4 0 1 1 0 0 0 1 v5... a1 • • x a2 • y • b1 • • a3 • • • • c1 b2 • c2 • • • H` 1 .22 : ınh ˙ ` ˙ ’ ´ ´ ’ ıa a ¯ˆ o o o ¯e o a ¯a a e a ˙ T` d nh ngh˜ suy ra... sau mˆt sˆ lˆn thu e a a ˙ e a o o ` e ınh ¯o ˆ ´ a ˙ ’ ` ´ ’ ’ trong H` 1 .24 (a) v` (d) l` 2 d ang cˆ u Ch´ y rˇ ng trong H` 1 .24 (a), bˆc cua d ınh x ınh a a ¯ˇ a u´ a ınh a ˙ ¯˙ ` ´ o ´ ’ bˇ ng bˆn, c`n trong H` 1 .24 (d) khˆng c´ d ınh n`o bˆc bˆn a o ınh o o ¯˙ a a o ˙ ’ ˙ ’ ´ ´ ´ T` d nh ngh˜ suy ra 1−d ang cˆ u l` 2 d ˇng cˆ u, nhu.ng ngu.o.c lai chu.a chˇc d ung u ¯i ıa, ¯ˇ a a ¯a a a ¯´ . {v 2 , v 4 , v 5 } ∪ {v 2 , v 4 , v 5 } = {v 1 , v 2 , v 4 , v 5 }, R(v 2 ) = {v 2 } ∪ {v 2 , v 4 } ∪ {v 2 , v 4 , v 5 } ∪ {v 2 , v 4 , v 5 } = {v 2 , v 4 , v 5 }, R(v 3 ) = {v 3 } ∪ {v 4 } ∪ {v 5 }. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • • • v 5 v 7 v 6 v 4 v 1 v 2 v 3 H`ınh 1.18: C´ac tˆa . p pha . m vi c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh t`u . Phu . o . ng tr`ınh (1.1) nhu . sau R(v 1 ) = {v 1 } ∪ {v 2 , v 5 } ∪ {v 2 , v 4 , v 5 } ∪ {v 2 , v 4 , v 5 } =. =                            v 1 v 2 v 5 v 6 v 8 v 10 v 4 v 7 v 9 v 11 v 12 v 13 v 3 v 1 1 1 1 1 v 2 1 1 1 1 v 5 1 1 1 1 v 6 1 1 1 1 v 8 1 1 v 10 1 1 v 4 1 1 1 v 7 1 1 1 v 9 1 1 1 v 11 1 1 1 v 12 1 1 1 v 13 1 1