¯e 1 , ¯e 2 , . . . , ¯e q cu ˙’ a ¯e 1 , ¯e 2 , . . . , ¯e q ta nhˆa . n d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . Euler m´o . i c´o tˆo ˙’ ng tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ ho . n, mˆau thuˆa ˜ n. Bˆay gi`o . x´et d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K(V 1 ) trˆen tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh V 1 trong d¯´o c´ac ca . nh thˆem v`ao (v i , v j ) c´o tro . ng lu . o . . ng w ij bˇa ` ng d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a dˆay chuyˆe ` n nho ˙’ nhˆa ´ t trong G gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j . Khi d¯´o mˆo ˜ i ca . nh cu ˙’ a K(V 1 ) tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n trong G. V`ı w(e) ≥ 0 v´o . i mo . i ca . nh e ∈ E nˆen w ij c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bˇa ` ng thuˆa . t to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t, chˇa ˙’ ng ha . n Floyd (xem 3.3.2) hay Dantzig [16]. D - i . nh l´y 5.2.3 Tˆo ` n ta . i tu . o . ng ´u . ng mˆo . t-mˆo . t gi˜u . a l`o . i gia ˙’ i tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa v´o . i mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t trong d¯ˆo ` thi . K(V 1 ). Ch´u . ng minh. X´et mˆo . t l`o . i gia ˙’ i tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa v`a d¯ˇa . t E l`a tˆa . p c´ac ca . nh thˆem v`ao G. Theo Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.1 ta c´o thˆe ˙’ thiˆe ´ t lˆa . p tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v i ∈ V 1 v´o . i mˆo . t d¯ı ˙’ nh v j ∈ V 1 bˇa ` ng mˆo . t dˆay chuyˆe ` n so . cˆa ´ p µ ij m`a c´ac ca . nh thuˆo . c E . Theo Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.2, µ ij c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. Trong d¯ˆo ` thi . K(V 1 ) c´ac dˆay chuyˆe ` n µ ij tu . o . ng ´u . ng ca . nh (v i , v j ). Do d¯´o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a V 1 d¯u . o . . c kˆe ´ t ho . . p, hai v´o . i hai, v`a c´ac ca . nh (v i , v j ) tu . o . ng ´u . ng dˆay chuyˆe ` n µ ij cu ˙’ a G , ta . o th`anh mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o K cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . K(V 1 ). (Trong d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ v´o . i sˆo ´ chˇa ˜ n d¯ı ˙’ nh luˆon luˆon tˆo ` n ta . i mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o; xem Phˆa ` n 7.5). V`ı tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o K bˇa ` ng tˆo ˙’ ng c´ac tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a c´ac ca . nh cu ˙’ a E nˆen l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa l`a tˆo ´ i u . u nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u K l`a mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o v´o . i tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t. Ta c´o d¯iˆe ` u pha ˙’ i ch´u . ng minh. Do d¯´o nghiˆe . m cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa d¯u . a vˆe ` b`ai to´an t`ım mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K n . Viˆe . c x´ac d¯i . nh nghiˆe . m cu ˙’ a b`ai to´an sau l`a mˆo . t thuˆa . t to´an kh´a ph´u . c ta . p v`a do d¯´o s˜e khˆong d¯u . o . . c tr`ınh b`ay o . ˙’ d¯ˆay. Ba . n d¯o . c quan tˆam c´o thˆe ˙’ tham kha ˙’ o c´ac t`ai liˆe . u [14], [30]. Nhˆa . n x´et 5.2.4 Nˆe ´ u tˆo ` n ta . i ca . nh e trong G sao cho w(e) < 0 th`ı b`ai to´an khˆong c´o nghiˆe . m tˆo ´ i u . u: Thˆa . t vˆa . y, bˇa ` ng c´ach thˆem mˆo . t tˆa . p E h˜u . u ha . n c´ac ba ˙’ n sao cu ˙’ a c´ac ca . nh cu ˙’ a G ta c´o thˆe ˙’ thˆem ca . nh e mˆo . t sˆo ´ chˇa ˜ n lˆa ` n d¯u ˙’ l´o . n, v`a do d¯´o nhˆa . n d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . Euler v´o . i d¯ˆo . d`ai nho ˙’ tu`y ´y. Vˆa . y gia ˙’ thiˆe ´ t c´ac ca . nh c´o tro . ng lu . o . . ng khˆong ˆam l`a khˆong mˆa ´ t t´ınh tˆo ˙’ ng qu´at d¯ˆe ˙’ loa . i tr`u . tru . `o . ng ho . . p tˆa ` m thu . `o . ng n`ay. V´ı du . 5.2.5 X´et d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 5.3 v´o . i c´ac sˆo ´ trˆen c´ac ca . nh l`a tro . ng lu . o . . ng ca . nh. Ta cˆa ` n t`ım mˆo . t chu tr`ınh qua mˆo ˜ i ca . nh ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t lˆa ` n v`a c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. Tˆo ˙’ ng c´ac tro . ng lu . o . . ng c´ac ca . nh cu ˙’ a G bˇa ` ng 31. V`ı G khˆong l`a d¯ˆo ` thi . Euler nˆen d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a chu tr`ınh cˆa ` n t`ım s˜e l´o . n ho . n 31. 133 7 3 3 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♠ 5 ♠ 1 ♠ 6 ♠ 4 ♠ 7 ♠ 2 ♠ 3 H`ınh 5.3: Tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ l`a V 1 = {1, 2, 3, 4}. Theo thuˆa . t to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t (xem Chu . o . ng 3), ta t`ım tˆa ´ t ca ˙’ c´ac dˆay chuyˆe ` n c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t gi˜u . a c´ac cˇa . p d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a V 1 trong G. Ta nhˆa . n d¯u . o . . c m`a trˆa . n d¯ˆo . d`ai d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t: 1 2 3 4 1 0 4 5 7 2 4 0 2 5 3 5 2 0 3 4 7 5 3 0 . Tiˆe ´ p d¯ˆe ´ n ta xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K(V 1 ) trong d¯´o tro . ng lu . o . . ng ca . nh (v i , v j ) l`a d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a dˆay chuyˆe ` n ngˇa ´ n nhˆa ´ t gi˜u . a v i v`a v j (xem H`ınh 5.4). 3 4 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♠ 4 ♠ 1 ♠ 3 ♠ 2 H`ınh 5.4: D - ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K(V 1 ). Cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o v´o . i tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen K(V 1 ) gˆo ` m c´ac ca . nh (1, 2) v`a (3, 4) (tro . ng lu . o . . ng bˇa ` ng 4 + 3 = 7). C´ac dˆay chuyˆe ` n tu . o . ng ´u . ng l`a {1, 7, 2} v`a {3, 4}. Nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an nhˆa . n d¯u . o . . c bˇa ` ng c´ach thˆem v`ao d¯ˆo ` thi . ban d¯ˆa ` u c´ac ca . nh (1, 7), (7, 2) v`a (3, 4). D - ˆo ` thi . G nhˆa . n d¯u . o . . c l`a d¯ˆo ` thi . Euler (H`ınh 5.5). 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♠ 5 ♠ 1 ♠ 6 ♠ 4 ♠ 7 ♠ 2 ♠ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 5.5: D - ˆo ` thi . Euler G nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach thˆem c´ac ca . nh tu . o . ng ´u . ng c´ac dˆay chuyˆe ` n nho ˙’ nhˆa ´ t gi˜u . a 1 v`a 2 v`a gi˜u . a 3 v`a 4. Cuˆo ´ i c`ung ta chı ˙’ cˆa ` n t`ım mˆo . t chu tr`ınh Euler trong G , chˇa ˙’ ng ha . n {6, 2, 3, 7, 2, 7, 1, 7, 4, 5, 1, 6} l`a chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai 31 + 7 = 38 l`a nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cˆa ` n t`ım. 5.3 B`ai to´an Hamilton Gia ˙’ su . ˙’ G := (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong (hay liˆen thˆong ma . nh trong tru . `o . ng ho . . p c´o hu . ´o . ng) c´o n d¯ı ˙’ nh. D - i . nh ngh˜ıa 5.3.1 Dˆay chuyˆe ` n (hay d¯u . `o . ng d¯i) d¯i qua tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh mˆo . t lˆa ` n, go . i l`a dˆay chuyˆe ` n Hamilton (hay d¯u . `o . ng d¯i Hamilton). Theo d¯i . nh ngh˜ıa, dˆay chuyˆe ` n (hay d¯u . `o . ng d¯i Hamilton) l`a so . cˆa ´ p, v`a c´o d¯ˆo . d`ai (n − 1). Chu tr`ınh (hay ma . ch) Hamilton l`a mˆo . t chu tr`ınh (hay ma . ch) d¯i qua tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. Dˆe ˜ thˆa ´ y rˇa ` ng, chu tr`ınh Hamilton l`a chu tr`ınh so . cˆa ´ p c´o d¯ˆo . d`ai n. Ta n´oi rˇa ` ng, G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton nˆe ´ u n´o ch´u . a mˆo . t chu tr`ınh Hamilton (trong tru . `o . ng ho . . p vˆo hu . ´o . ng) hoˇa . c mˆo . t ma . ch Hamilton (trong tru . `o . ng ho . . p c´o hu . ´o . ng). V´ı du . 5.3.2 Nˇam 1859, nh`a to´an ho . c Hamilton (1805-1865) ngu . `o . i Ailen d¯˜a cho b´an mˆo . t d¯ˆo ` cho . i d¯ˆo . c d¯´ao, phˆa ` n ch´ınh l`a mˆo . t khˆo ´ i nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u (khˆo ´ i d¯a diˆe . n c´o 12 mˇa . t ng˜u gi´ac d¯ˆe ` u v`a 20 d¯ı ˙’ nh, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh c´o 3 ca . nh) l`am bˇa ` ng gˆo ˜ . O . ˙’ mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh c´o ghi tˆen mˆo . t th`anh phˆo ´ l´o . n: Beruych, Qua ˙’ ng chˆau, Deli, Frangfua, v.v C´ach cho . i l`a t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i do . c theo c´ac 135 ca . nh cu ˙’ a thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u v`a qua mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh (th`anh phˆo ´ ) v`u . a d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. Muˆo ´ n tr`o cho . i d¯u . o . . c hˆa ´ p dˆa ˜ n ho . n c´o thˆe ˙’ quy d¯i . nh tru . ´o . c tr`ınh tu . . qua mˆo . t v`ai th`anh phˆo ´ d¯ˆa ` u tiˆen, v`a d¯ˆe ˙’ gi´up nh´o . dˆe ˜ d`ang c´ac th`anh phˆo ´ d¯˜a d¯i qua, o . ˙’ mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a khˆo ´ i thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u c´o d¯´ong mˆo . t chiˆe ´ c d¯inh m˜u to, quanh d¯´o c´o thˆe ˙’ quˆa ´ n so . . i dˆay nho ˙’ d¯ˆe ˙’ chı ˙’ d¯oa . n d¯u . `o . ng d¯˜a d¯i qua. Vˆe ` sau d¯ˆe ˙’ d¯o . n gia ˙’ n, Hamilton d¯˜a thay khˆo ´ i thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u bˇa ` ng mˆo . t h`ınh phˇa ˙’ ng. B`ai to´an d¯u . o . . c ph´at biˆe ˙’ u du . ´o . i da . ng d¯ˆo ` thi . nhu . sau. Ta biˆe ´ t rˇa ` ng h`ınh thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u c´o 12 mˇa . t, 30 ca . nh, 20 d¯ı ˙’ nh; mˆo ˜ i mˇa . t l`a mˆo . t ng˜u gi´ac d¯ˆe ` u, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh l`a d¯ˆa ` u m´ut cu ˙’ a 3 ca . nh. C´ac d¯ı ˙’ nh v`a c´ac ca . nh cu ˙’ a h`ınh thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u lˆa . p th`anh mˆo . t d¯ˆo ` thi . nhu . H`ınh 5.6. B`ai to´an d¯ˇa . t ra l`a h˜ay t`ım mˆo . t chu tr`ınh Hamilton cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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V´ı du . 5.3.3 (B`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang). Mˆo . t ngu . `o . i ch`ao h`ang viˆe ´ ng thˇam n kh´ach h`ang v 1 , v 2 , . . . , v n , xuˆa ´ t ph´at t`u . th`anh phˆo ´ v 0 v`a sau d¯´o tro . ˙’ vˆe ` vi . tr´ı xuˆa ´ t ph´at. Anh ta biˆe ´ t khoa ˙’ ng c´ach d 0j t`u . v 0 d¯ˆe ´ n tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kh´ach h`ang v j v`a khoa ˙’ ng c´ach d ij gi˜u . a hai kh´ach h`ang v i v`a v j (d¯ˇa . t d ij = d ji ). Ngu . `o . i ch`ao h`ang cˆa ` n d¯i d¯ˆe ´ n c´ac kh´ach h`ang cu ˙’ a m`ınh theo th´u . tu . . n`ao d¯ˆe ˙’ tˆo ˙’ ng qu˜ang d¯u . `o . ng d¯i l`a nho ˙’ nhˆa ´ t? N´oi c´ach kh´ac cˆa ` n t`ım mˆo . t chu tr`ınh Hamilton v´o . i d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ c´o tro . ng sˆo ´ d¯u . o . . c xˆay du . . ng t`u . tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh v 0 , v 1 , v 2 , . . . , v n , v`a tro . ng lu . o . . ng ca . nh (v i , v j ) l`a d ij . Vˆe ` c´ac thuˆa . t to´an gia ˙’ i b`ai to´an n`ay c´o thˆe ˙’ xem, chˇa ˙’ ng ha . n [30]. Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ı ˙’ nh cuˆo ´ i v n+1 kh´ac d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at v 0 , b`ai to´an d¯u . a vˆe ` t`ım dˆay chuyˆe ` n Hamilton t`u . v 0 d¯ˆe ´ n v n+1 c´o tˆo ˙’ ng d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. Bˇa ` ng c´ach biˆe ´ n d¯ˆo ˙’ i mˆo . t c´ach th´ıch ho . . p trˆen d¯ˆo ` thi . , ta c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an t`ım chu tr`ınh Hamilton c´o tˆo ˙’ ng d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. 136 V´ı du . 5.3.4 (B`ai to´an lˆa . p li . ch). Trong mˆo . t sˆo ´ b`ai to´an lˆa . p li . ch, ta cˆa ` n t`ım mˆo . t th´u . tu . . thu . . c hiˆe . n n tiˆe ´ n tr`ınh cho tru . ´o . c (hai tiˆe ´ n tr`ınh khˆong d¯u . o . . c thu . . c hiˆe . n c`ung mˆo . t l´uc) v`a thoa ˙’ m˜an nh˜u . ng r`ang buˆo . c nhˆa ´ t d¯i . nh; bˇa ` ng c´ach xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . G trong d¯´o tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G tu . o . ng ´u . ng v´o . i tˆa . p c´ac tiˆe ´ n tr`ınh v`a mˆo . t cung liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j nˆe ´ u tiˆe ´ n tr`ınh i d¯u . o . . c thu . . c hiˆe . n tru . ´o . c tiˆe ´ n tr`ınh j, b`ai to´an d¯u . a vˆe ` t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i Hamilton trong G. V´ı du . 5.3.5 (Lˆa . p li . ch v`a b`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng). Trong thu . . c tˆe ´ ta thu . `o . ng lˆa . p kˆe ´ hoa . ch m`a mˆo ˜ i cung (v i , v j ), biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo . t r`ang buˆo . c n`ao d¯´o, gˇa ´ n v´o . i mˆo . t sˆo ´ thu . . c t ij l`a khoa ˙’ ng th`o . i gian ´ıt nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ bˇa ´ t d¯ˆa ` u thu . . c hiˆe . n cˆong viˆe . c th´u . j khi cˆong viˆe . c th´u . i d¯˜a tiˆe ´ n h`anh. Th`o . i gian nho ˙’ nhˆa ´ t d¯ˆe ˙’ thu . . c hiˆe . n tˆa ´ t ca ˙’ c´ac tiˆe ´ n tr`ınh d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bˇa ` ng c´ach t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i Hamilton c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng. D - ˆay ch´ınh l`a b`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng. Vˆe ` thuˆa . t to´an gia ˙’ i b`ai to´an n`ay c´o thˆe ˙’ xem, chˇa ˙’ ng ha . n [30]. B`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng hoˇa . c c´o hu . ´o . ng thu . `o . ng gˇa . p trong cuˆo . c sˆo ´ ng v`a c´o nhiˆe ` u ´u . ng du . ng: lˆa . p th`o . i kho´a biˆe ˙’ u, lˆa . p li . ch, lˇa ´ p d¯ˇa . t hˆe . thˆo ´ ng d¯iˆe . n, tˆo ˙’ ng ho . . p c´ac ma . ch logic tuˆa ` n tu . . , v.v. Ngo`ai ra, nhiˆe ` u b`ai to´an c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang: b`ai to´an nhiˆe ` u ngu . `o . i ch`ao h`ang, mˆo . t v`ai b`ai to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t v´o . i d¯iˆe ` u kiˆe . n qua tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh (hay cung) cu ˙’ a mˆo . t tˆa . p cho tru . ´o . c chı ˙’ mˆo . t lˆa ` n, c´ac chu tr`ınh (hay ma . ch) Euler c´o chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t. Cuˆo ´ i c`ung, ta c´o thˆe ˙’ chı ˙’ ra rˇa ` ng, b`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng. Tr´ai v´o . i b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa, ngoa . i tr`u . nh˜u . ng tru . `o . ng ho . . p d¯ˇa . c biˆe . t, ngu . `o . i ta chu . a t`ım d¯u . o . . c mˆo . t thuˆa . t to´an d¯a th´u . c d¯ˆe ˙’ gia ˙’ i b`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang. C´ac thuˆa . t to´an hiˆe . u qua ˙’ nhˆa ´ t su . ˙’ du . ng c´ac phu . o . ng ph´ap nh´anh v`a cˆa . n [30]. D - i . nh ngh˜ıa 5.3.6 Mˆo . t chu tr`ınh (tu . o . ng ´u . ng, ma . ch) d¯i qua tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t lˆa ` n, go . i l`a chu tr`ınh (tu . o . ng ´u . ng, ma . ch) tiˆe ` n Hamilton. D - ˆo ` thi . G ch´u . a mˆo . t chu tr`ınh hay ma . ch nhu . vˆa . y go . i l`a d¯ˆo ` thi . tiˆe ` n Hamilton. Dˆe ˜ thˆa ´ y rˇa ` ng, d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n v`a d¯u ˙’ d¯ˆe ˙’ G l`a d¯ˆo ` thi . tiˆe ` n Hamilton l`a G liˆen thˆong (liˆen thˆong ma . nh). T`ım kiˆe ´ m mˆo . t chu tr`ınh (hay ma . ch) Hamilton c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . c´o tro . ng sˆo ´ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an x´ac d¯i . nh chu tr`ınh (hay ma . ch) trong d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ G nhˆa . n d¯u . o . . c tˆa . p 137 c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G v`a tro . ng lu . o . . ng trˆen ca . nh (cung) (v i , v j ) cu ˙’ a G bˇa ` ng d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a dˆay chuyˆe ` n (d¯u . `o . ng d¯i) ngˇa ´ n nhˆa ´ t t`u . v i d¯ˆe ´ n v j trong G. Nhiˆe ` u da . ng b`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang ch´ınh l`a c´ac b`ai to´an tiˆe ` n Hamilton, v`a d¯ˆe ˙’ gia ˙’ i ch´ung tru . ´o . c hˆe ´ t ta cˆa ` n t`ım ma trˆa . n tu . o . ng ´u . ng c´ac dˆay chuyˆe ` n (d¯u . `o . ng d¯i) ngˇa ´ n nhˆa ´ t. Cuˆo ´ i c`ung nhˆa . n x´et rˇa ` ng, tˆo ` n ta . i mˆo . t tru . `o . ng ho . . p m`a b`ai to´an chu tr`ınh tiˆe ` n Hamilton c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa; d¯iˆe ` u n`ay xa ˙’ y ra khi G l`a d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u 1 cu ˙’ a d¯o . n d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G ∗ n`ao d¯´o v`a khi d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a c´ac ca . nh (v i , v j ) c´o da . ng a i + a j . Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, b`ai to´an t`ım chu tr`ınh tiˆe ` n Hamilton trong G ch´ınh l`a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa trong G ∗ v´o . i d¯ˆo . d`ai ca . nh e ∗ i cu ˙’ a G ∗ l`a a i . Nhˆa . n x´et tu . o . ng tu . . cho b`ai to´an t`ım ma . ch tiˆe ` n Hamilton c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G l`a d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u cu ˙’ a d¯a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng n`ao d¯´o. 5.3.1 C´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n d¯ˆe ˙’ tˆo ` n ta . i chu tr`ınh Hamilton Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng, mˆo . t d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n d¯ˆe ˙’ tˆo ` n ta . i chu tr`ınh Hamilton l`a G 2-liˆen thˆong. Tuy nhiˆen, d¯ˆay khˆong pha ˙’ i d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . H`ınh 5.7 l`a mˆo . t v´ı du . d¯ˆo ` thi . 2-liˆen thˆong khˆong ch´u . a chu tr`ınh Hamilton (ho . n n˜u . a, c´o thˆe ˙’ chı ˙’ ra rˇa ` ng, d¯´o l`a d¯ˆo ` thi . c´o sˆo ´ d¯ı ˙’ nh ´ıt nhˆa ´ t thoa ˙’ m˜an t´ınh chˆa ´ t n`ay). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • H`ınh 5.7: D - ˆo ` thi . 2-liˆen thˆong c´o sˆo ´ d¯ı ˙’ nh ´ıt nhˆa ´ t khˆong c´o chu tr`ınh Hamilton. D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng Petersen (H`ınh 5.8) l`a v´ı du . kh´ac khˆong c´o chu tr`ınh Hamilton. D - ˆay l`a d¯ˆo ` thi . ch´ınh quy 3-liˆen thˆong nho ˙’ nhˆa ´ t c´o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh bˆa . c ba. Nhiˆe ` u pha ˙’ n v´ı du . vˆe ` b`ai to´an Hamilton d¯u . o . . c xˆay du . . ng t`u . d¯ˆo ` thi . Petersen. 1 D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G ∗ l`a d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u cu ˙’ a G = (V, E) nˆe ´ u mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G ∗ tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t ca . nh e ∈ E v`a hai d¯ı ˙’ nh trong G ∗ kˆe ` nhau nˆe ´ u hai ca . nh tu . o . ng ´u . ng kˆe ` nhau. D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G ∗ l`a d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u cu ˙’ a G = (V, E) nˆe ´ u mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh e ∗ cu ˙’ a G ∗ tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t cung e ∈ E v`a tˆo ` n ta . i cung (e ∗ 1 , e ∗ 2 ) trong G ∗ nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh ngo . n cu ˙’ a cung e 1 l`a d¯ı ˙’ nh gˆo ´ c cu ˙’ a cung e 2 . 138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • •• • • • • • H`ınh 5.8: D - ˆo ` thi . Petersen. C´o nhiˆe ` u d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n kh´ac (xem [30], [14]) nhu . ng khˆong c´o mˆo . t d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n v`a d¯u ˙’ vˆe ` su . . tˆo ` n ta . i chu tr`ınh (ma . ch) Hamiton. Do d¯´o ch´ung ta s˜e tˆa . p trung mˆo . t sˆo ´ d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ dˆa ˜ n d¯ˆe ´ n c´ac phu . o . ng ph´ap c´o t´ınh xˆay du . . ng chu tr`ınh Hamilton. 5.3.2 C´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ vˆe ` su . . tˆo ` n ta . i chu tr`ınh Hamilton Mˆe . nh d¯ˆe ` 5.3.7 K n l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Ch´u . ng minh. Hiˆe ˙’ n nhiˆen. X´et d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng n d¯ı ˙’ nh G := (V, E). Gia ˙’ su . ˙’ s v`a t l`a hai d¯ı ˙’ nh khˆong kˆe ` nhau sao cho d G (s) + d G (t) ≥ n. K´y hiˆe . u G + (s, t) l`a d¯ˆo ` thi . nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach thˆem ca . nh (s, t). Khi d¯´o Mˆe . nh d¯ˆe ` 5.3.8 Nˆe ´ u G + (s, t) l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Ta n´oi t´ınh chˆa ´ t n`ay l`a ˆo ˙’ n d¯i . nh Hamilton qua ph´ep biˆe ´ n d¯ˆo ˙’ i G → G + (s, t). Ch´u . ng minh. Gia ˙’ su . ˙’ G + (s, t ) ch´u . a chu tr`ınh Hamilton µ := (v 1 , v 2 , . . . , v n ). Nˆe ´ u µ khˆong d¯i qua ca . nh (s, t) th`ı G l`a Hamilton. Ngu . o . . c la . i, G ch´u . a mˆo . t dˆay chuyˆe ` n Hamilton µ \ (s, t) nˆo ´ i s v`a t. (Khˆong mˆa ´ t t´ınh tˆo ˙’ ng qu´at, c´o thˆe ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t s = v 1 , t = v n ). 139 Ta ch´u . ng minh rˇa ` ng tˆo ` n ta . i ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t chı ˙’ sˆo ´ i, 3 ≤ i ≤ n, sao cho s kˆe ` v´o . i v i v`a t kˆe ` v´o . i v i−1 . Thˆa . t vˆa . y, x´et c´ac tˆa . p con cu ˙’ a tˆa . p Y := {v 3 , v 4 , . . . , v n−1 } : A = {v i | (s, v i ) ∈ E v`a 3 ≤ i ≤ n − 1}, B = { v i | ( t, v i−1 ) ∈ E v`a 3 ≤ i ≤ n − 1 } . V`ı s v`a t khˆong kˆe ` nhau trong G nˆen #A + #B = d G (s) + d G (t) − 2 ≥ n − 2 v`a nhˆa . n x´et rˇa ` ng #Y = n − 3 suy ra tˆo ` n ta . i v i ∈ A ∩ B (3 ≤ i ≤ n − 1). Do d¯´o, thˆem c´ac ca . nh (s, v i ) v`a (t, v i−1 ) v`a xo´a ca . nh (v i , v i−1 ) ta d¯u . o . . c mˆo . t chu tr`ınh Hamilton trong G (xem H`ınh 5.9), v`a mˆe . nh d¯ˆe ` d¯u . o . . c ch´u . ng minh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • t = v n • • v i • v i−1 • • v 3 • v 2 • s = v 1 −→ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • v i • v 1 • v 2 • v 3 • • v i−1 • t = v n • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 5.9: Gia ˙’ su . ˙’ G l`a d¯o . n d¯ˆo ` thi . n d¯ı ˙’ nh v`a k l`a sˆo ´ nguyˆen thoa ˙’ 1 ≤ k ≤ n. X´et thu ˙’ tu . c d¯ˆe . quy sau: Xuˆa ´ t ph´at t`u . G, thˆem c´ac ca . nh nˆo ´ i c´ac d¯ı ˙’ nh khˆong kˆe ` nhau m`a tˆo ˙’ ng c´ac bˆa . c cu ˙’ a ch´ung l´o . n ho . n hoˇa . c bˇa ` ng k. (Sˆo ´ ph´ep to´an d¯`oi ho ˙’ i trong thu ˙’ tu . c n`ay tı ˙’ lˆe . v´o . i n 4 ). V`ı c´ac bˆa . c khˆong gia ˙’ m, d¯ˆo ` thi . nhˆa . n d¯u . o . . c khˆong phu . thuˆo . c v`ao th´u . tu . . c´ac ca . nh d¯u . o . . c thˆem. D - ˆo ` thi . n`ay (ch´u . a G) go . i l`a k−bao d¯´ong cu ˙’ a G v`a k´y hiˆe . u l`a [G] k . V´o . i k = n, t`u . Mˆe . nh d¯ˆe ` 5.3.8 suy ra D - i . nh l´y 5.3.9 [8] G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u [G] n l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Trong tru . `o . ng ho . . p tˆo ˙’ ng qu´at, t`ım chu tr`ınh Hamilton trong [G] n khˆong pha ˙’ i l´uc n`ao c˜ung dˆe ˜ ho . n trong G. Tuy nhiˆen, v´o . i nh˜u . ng tru . `o . ng ho . . p d¯ˇa . c biˆe . t, chˇa ˙’ ng ha . n khi [G] n l`a d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K n ta c´o thˆe ˙’ dˆe ˜ d`ang xˆay du . . ng chu tr`ınh Hamilton trong [G] n : 140 D - i . nh l´y 5.3.10 D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ d¯ˆe ˙’ G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton l`a [G] n = K n . C´o thˆe ˙’ chı ˙’ ra rˇa ` ng hˆa ` u hˆe ´ t c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ d¯˜a biˆe ´ t (d¯u . o . . c liˆe . t kˆe du . ´o . i d¯ˆay) liˆen quan d¯ˆe ´ n bˆa . c cu ˙’ a G suy ra [G] n = K n v`a do d¯´o l`a c´ac hˆe . qua ˙’ cu ˙’ a D - i . nh l´y 5.3.10. Gia ˙’ su . ˙’ G l`a d¯o . n d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong n d¯ı ˙’ nh. Hˆe . qua ˙’ 5.3.11 [Ore] [47] Nˆe ´ u d G (v i ) + d G (v j ) ≥ n v´o . i mo . i (v i , v j ) /∈ E th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Hˆe . qua ˙’ 5.3.12 [Dirac] [17] Nˆe ´ u d G (v i ) ≥ n 2 v´o . i mo . i d¯ı ˙’ nh v i ∈ V th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Hˆe . qua ˙’ 5.3.13 [P´osa] [51] Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ thu . . tu . . sao cho d G (v 1 ) ≤ d G (v 2 ) ≤ · · · ≤ d G (v n ) v`a nˆe ´ u ∀k : 1 ≤ k < n 2 ⇒ d G (v k ) > k, th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Hˆe . qua ˙’ 5.3.14 [Bondy] [7] Gia ˙’ su . ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ thu . . tu . . sao cho d G (v 1 ) ≤ d G (v 2 ) ≤ · · · ≤ d G (v n ). Nˆe ´ u d¯iˆe ` u kiˆe . n sau d¯´ung: p < q, d G (v p ) ≤ p, d G (v q ) ≤ q − 1 ⇒ d G (v p ) + d G (v q ) ≥ n, th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. Hˆe . qua ˙’ 5.3.15 [Chv´atal] [13] Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ thu . . tu . . sao cho d G (v 1 ) ≤ d G (v 2 ) ≤ · · · ≤ d G (v n ) v`a nˆe ´ u d G (v k ) ≤ k < n 2 ⇒ d G (v n−k ) ≥ n − k th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. 141 Hˆe . qua ˙’ 5.3.16 [Las Vergnas] [42] [30] Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ thu . . tu . . v 1 , v 2 , . . . , v n sao cho j < k, k ≥ n − j (v j , v k ) /∈ E d G (v j ) ≤ j, d G (v k ) ≤ k − 1 ⇒ d G (v j ) + d G (v k ) ≥ n th`ı G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton. C´ac ch´u . ng minh. Ch´u . ng minh cu ˙’ a Hˆe . qua ˙’ 5.3.11 suy tru . . c tiˆe ´ p t`u . c´ach xˆay du . . ng [G] n : tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh (v i , v j ) /∈ E c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c thˆem v`a do d¯´o ta c´o [G] n = K n . Hˆe . qua ˙’ 5.3.12 suy tru . . c tiˆe ´ p t`u . Hˆe . qua ˙’ 5.3.11. Ho . n n˜u . a, dˆe ˜ d`ang thˆa ´ y rˇa ` ng, d¯ˆo ` thi . thoa ˙’ m˜an c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n cu ˙’ a Hˆe . qua ˙’ 5.3.13, 5.3.14 hay 5.3.15 c˜ung thoa ˙’ m˜an c´ac gia ˙’ thiˆe ´ t cu ˙’ a Hˆe . qua ˙’ 5.3.16. D - ˆe ˙’ ch´u . ng minh Hˆe . qua ˙’ 5.3.16, ta s˜e su . ˙’ du . ng kˆe ´ t qua ˙’ sau cho d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ d¯ˆe ˙’ [G] n = K n . D - i . nh l´y 5.3.17 [8] Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G d¯u . o . . c d¯´anh sˆo ´ thu . . tu . . v 1 , v 2 , . . . , v n sao cho i < j (v i , v j ) /∈ E d G (v i ) ≤ i + k − n d G (v j ) ≤ j + k − n − 1 i + j ≥ 2n − k ⇒ d G (v i ) + d G (v j ) ≥ k th`ı k−bao d¯´ong cu ˙’ a G l`a d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K n . Ch´u . ng minh. Hˆe . qua ˙’ 5.3.16 suy tru . . c tiˆe ´ p t`u . D - i . nh l´y 5.3.17 v´o . i k = n. Hˆe . qua ˙’ 5.3.16 l`a tˆo ˙’ ng qu´at nhˆa ´ t cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯˜a biˆe ´ t c´o liˆen quan d¯ˆe ´ n bˆa . c cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Tuy nhiˆen, d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ cu ˙’ a D - i . nh l ´y 5.3.10 l`a tˆo ˙’ ng qu´at ho . n: d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 5.10 c´o [G] 6 = K 6 nhu . ng khˆong tˆo ` n ta . i c´ach d¯´anh sˆo ´ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G thoa ˙’ c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n cu ˙’ a Hˆe . qua ˙’ 5.3.16. 5.3.3 C´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ vˆe ` su . . tˆo ` n ta . i ma . ch Hamilton Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, c´o mˆo . t sˆo ´ c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ ba ˙’ o d¯a ˙’ m su . . tˆo ` n ta . i cu ˙’ a ma . ch Hamilton. Kˆe ´ t qua ˙’ tˆo ˙’ ng qu´at nhˆa ´ t l`a: 142 [...]... ¯ˆ a - ˙ ˙ ’ ’ Dinh l´ 5.3.18 [Meyniel, 1 973 ] Gia su G = (V, E) l` d` thi c´ hu.´.ng n d ı’nh liˆn thˆng y a ¯ˆ o o o ¯˙ e o manh khˆng khuyˆn sao cho o e (vi , vj ) ∈ E v` (vj , vi ) ∈ E ⇒ dG (vi ) + dG (vj ) ≥ 2n − 1 / a / Khi d ´ G ch´.a mˆt mach Hamilton ¯o u o ´ ´ Ch´ng ta s˜ d u.a ra ch´.ng minh c´ t´ kiˆn thiˆt d nh l´ n`y (theo Minoux, 1 977 ) u e ¯ u o ınh e e ¯i y a c tap O(n4 ) dˆ’... ınh e e ¯i y a c tap O(n4 ) dˆ’ t` mach Hamilton Ch´.ng minh du.a trˆn ˙ ım ¯e u e v` mˆt thuˆt to´n c´ d o ph´ a o a a o ¯ˆ u ´ ´ ´ ` ˙ ’ phu.o.ng ph´p (khˆng kiˆn thiˆt) cua Bondy v` Thmassen (1 977 ) Tru.´.c hˆt, ch´ng ta cˆn a o e e a o e u a mˆt sˆ kh´i niˆm o o a e ´ ˙ ˜ ´ ´ ˙ ˙ ’ ’ Gia su S ⊂ V V´.i mˆi vi ∈ V (c´ thˆ’ vi ∈ S), k´ hiˆu δS (i) l` sˆ c´c cung nˆi (theo o o o e y e a o a o ... ’ ˆ Hamilton cua d` thi G Dinh l´ 5.3.18 d u.o.c ch´.ng minh bˇ ng thuˆt to´n kiˆn thiˆt c´ch y ¯ u a a a e e a xˆy du.ng mach Hamilton v´.i d o ph´.c tap thuˆt to´n l` O(n4 ) a o ¯ˆ u a a a 1 47 148 Chu.o.ng 6 -ˆ ˙ ’ D` thi phˇ ng o a ˙ ’ ´ ’ ` Ch´ng ta d a nghiˆn c´.u c´c t´ chˆ t cua c´c d` thi con, chˇng han, c´c dˆy chuyˆn, chu u ¯˜ e u a ınh a ˙ a ¯ˆ o a a a e o.ng n`y, ch´ng ta s˜ nghiˆn... ˙ ’ ´ ´ ´ ’ d nh l´ Euler v` gia thuyˆt bˆn m`u nˆ’i tiˆng “moi d` thi phˇng l` 4−sˇc” (ph´t biˆ’u nˇm ¯i y a ˙ e o a o e ¯o a ˆ a a a e a ˙ e ˙ a a ¯ ˙ ¯e ¯o ’ ˙ ˆ 1850 v` d u.o.c ch´.ng minh nˇm 1 976 ) Ch´ng ta c˜ng t` hiˆ’u tiˆu chuˆ’n cˆn v` d u dˆ’ d` a ¯ u a u u ım e a ` - ˙ ng-Dinh l´ Kuratowski Cuˆi c`ng l` d ˆi ngˆ u h` hoc cua d` thi phˇng ’ ˜ ınh ˙ ¯o a ˙ ’ ´ u ´ ’ ˆ thi l` phˇ y o a . mˆo . t chu tr`ınh Euler trong G , chˇa ˙’ ng ha . n {6, 2, 3, 7, 2, 7, 1, 7, 4, 5, 1, 6} l`a chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai 31 + 7 = 38 l`a nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cˆa ` n t`ım. 5.3 B`ai to´an. c´ac ca . nh (1, 2) v`a (3, 4) (tro . ng lu . o . . ng bˇa ` ng 4 + 3 = 7) . C´ac dˆay chuyˆe ` n tu . o . ng ´u . ng l`a {1, 7, 2} v`a {3, 4}. Nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an nhˆa . n. to´an nhˆa . n d¯u . o . . c bˇa ` ng c´ach thˆem v`ao d¯ˆo ` thi . ban d¯ˆa ` u c´ac ca . nh (1, 7) , (7, 2) v`a (3, 4). D - ˆo ` thi . G nhˆa . n d¯u . o . . c l`a d¯ˆo ` thi . Euler (H`ınh 5.5). 134