Lí thuyết đồ thị part 4 pdf

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D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . Ngu . o . . c la . i, nˆe ´ u g khˆong ch´u . a mˆo . t dˆay chuyˆe ` n n`ao c´o d¯ˆo . d`ai l´o . n ho . n hoˇa . c bˇa ` ng ba th`ı c´ac th`anh phˆa ` n cu ˙’ a n´o pha ˙’ i c´o mˆo . t trong c´ac da . ng “h`ınh sao” nhu . trong H`ınh 2.10. Hiˆe ˙’ n nhiˆen nˆe ´ u xo´a bˆa ´ t k`y mˆo . t ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . h`ınh sao th`ı s˜e c´o ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t d¯ı ˙’ nh khˆong liˆen thuˆo . c v´o . i ca . nh c`on la . i cu ˙’ a g. Vˆa . y g l`a phu ˙’ tˆo ´ i thiˆe ˙’ u.  V´ı du . 2.5.4 Gia ˙’ su . ˙’ d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 2.11 biˆe ˙’ u diˆe ˜ n ba ˙’ n d¯ˆo ` giao thˆong cu ˙’ a mˆo . t th`anh phˆo ´ . Mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh l`a mˆo . t n´ut giao thˆong thu . `o . ng xa ˙’ y ra tˇa ´ c ngh˜en v`a mˆo ˜ i ca . nh tu . o . ng ´u . ng mˆo . t d¯a . i lˆo . nˆo ´ i hai n´ut giao thˆong. Cˆa ` n d¯ˇa . t c´ac d¯ˆo . i tuˆa ` n tra trˆen c´ac d¯a . i lˆo . sao cho c´o thˆe ˙’ gi´am s´at tˆa ´ t ca ˙’ c´ac n´ut giao thˆong. Vˆa ´ n d¯ˆe ` d¯ˇa . t ra l`a sˆo ´ tˆo ´ i thiˆe ˙’ u c´ac d¯ˆo . i tuˆa ` n tra l`a bao nhiˆeu? Cˆau tra ˙’ l`o . i ch´ınh l`a t`ım phu ˙’ tˆo ´ i thiˆe ˙’ u v´o . i sˆo ´ phˆa ` n tu . ˙’ ´ıt nhˆa ´ t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Dˆe ˜ kiˆe ˙’ m tra hai tˆa . p sau l`a phu ˙’ tˆo ´ i thiˆe ˙’ u: {(a, d), (b, e), (c, f), (f, i), (g, h), (k, l)} v`a {(a, b), (b, d), (b, e), (c, f), (f, g), (f, i), (h, l)}. Do c´o 11 d¯ı ˙’ nh v`a mˆo ˜ i ca . nh phu ˙’ nhiˆe ` u nhˆa ´ t hai d¯ı ˙’ nh nˆen khˆong thˆe ˙’ phu ˙’ d¯ˆo ` thi . ´ıt ho . n s´au ca . nh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • • • • • • • • • • • a b c d e f g h i k l H`ınh 2.11: 67 Cu . . c tiˆe ˙’ u ho´a h`am Boole Mˆo . t phˆa ` n quan tro . ng trong viˆe . c thiˆe ´ t kˆe ´ c´ac ma . ch sˆo ´ l`a cu . . c tiˆe ˙’ u ho´a h`am Boole tru . ´o . c khi thiˆe ´ t kˆe ´ n´o. Gia ˙’ su . ˙’ ta muˆo ´ n xˆay du . . ng ma . ch logic cho bo . ˙’ i h`am Boole bˆo ´ n biˆe ´ n f(x, y, z, w) = w  x  y  z  + w  x  yz  + w  x  yz + w  xyz  + w  xyz + wxyz. Ch´ung ta h˜ay biˆe ˙’ u diˆe ˜ n mˆo ˜ i mˆo . t trong ba ˙’ y th`anh phˆa ` n cu ˙’ a f bo . ˙’ i mˆo . t d¯ı ˙’ nh v`a mˆo . t ca . nh liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u hai th`anh phˆa ` n chı ˙’ kh´ac nhau d¯´ung mˆo . t biˆe ´ n. D - ˆo ` thi . tu . o . ng ´u . ng h`am f cho trong H`ınh 2.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 • wx  y  z  • w  x  y  z  • w  x  yz  • w  xyz  • w  x  yz • w  xyz • wxyz H`ınh 2.12: Mˆo . t ca . nh liˆen thuˆo . c hai d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng mˆo . t th`anh phˆa ` n v´o . i ba biˆe ´ n. Mˆo . t phu ˙’ tˆo ´ i thiˆe ˙’ u cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . cho ta mˆo . t d¯o . n gia ˙’ n ho´a h`am Boole f, v´o . i c`ung ch´u . c nˇang nhu . f nhu . ng thiˆe ´ t kˆe ´ su . ˙’ du . ng ´ıt cˆo ˙’ ng logic ho . n. C´ac ca . nh treo e 1 v`a e 7 cˆa ` n thuˆo . c mo . i phu ˙’ cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Bo . ˙’ i vˆa . y c´ac th`anh phˆa ` n x  y  z  v`a xyz l`a khˆong thˆe ˙’ khu . ˙’ d¯u . o . . c. Hai ca . nh e 3 v`a e 6 (hoˇa . c e 4 v`a e 5 , hoˇa . c e 3 v`a e 5 ) s˜e phu ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh c`on la . i. Do d¯´o ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t la . i f = x  y  z  + xyz + w  yz  + w  yz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • x  y  z  • w  yz  • w  yz • xyz H`ınh 2.13: 68 Biˆe ˙’ u th´u . c n`ay la . i c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 2.13. C´ac th`anh phˆa ` n x  y  z  v`a xyz khˆong thˆe ˙’ phu ˙’ bo . ˙’ i mˆo . t ca . nh do d¯´o khˆong thˆe ˙’ cu . . c tiˆe ˙’ u thˆem v´o . i ch´ung. Ngo`ai ra c´o mˆo . t ca . nh phu ˙’ hai d¯ı ˙’ nh c`on la . i w  yz v`a w  yz  . Do d¯´o biˆe ˙’ u th´u . c Boole tˆo ´ i thiˆe ˙’ u l`a f = x  y  z  + xyz + w  y. 2.6 Nhˆan cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . 2.6.1 C´ac d¯i . nh l´y vˆe ` tˆo ` n ta . i v`a duy nhˆa ´ t X´et d¯ˆo ` thi . G := (V, Γ). Ta n´oi tˆa . p ho . . p S ⊂ V l`a nhˆan cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G nˆe ´ u S l`a tˆa . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong v`a ngo`ai cu ˙’ a G; t´u . c l`a nˆe ´ u 1. Nˆe ´ u v ∈ S th`ı Γ(v) ∩ S = ∅; v`a 2. Nˆe ´ u v /∈ S th`ı Γ(v) ∩ S = ∅. D - iˆe ` u kiˆe . n (1) suy ra rˇa ` ng nhˆan S khˆong c´o khuyˆen; d¯iˆe ` u kiˆe . n (2) suy ra nhˆan S ch´u . a mo . i d¯ı ˙’ nh v ∈ V c´o Γ(v) = ∅; ngo`ai ra, r˜o r`ang tˆa . p trˆo ´ ng ∅ khˆong pha ˙’ i l`a nhˆan. V´ı du . 2.6.1 [Von Neumann-Morgenstern] Kh´ai niˆe . m nhˆan d¯ˆa ` u tiˆen d¯u . o . . c d¯u . a v`ao l´y thuyˆe ´ t tr`o cho . i v´o . i tˆen go . i l`a “l`o . i gia ˙’ i”. Gia ˙’ su . ˙’ c´o n d¯ˆa ´ u thu ˙’ , k´y hiˆe . u l`a (1), (2), . . . , (n), ho . c´o thˆe ˙’ thoa ˙’ thuˆa . n v´o . i nhau d¯ˆe ˙’ cho . n t`ınh thˆe ´ v trong tˆa . p ho . . p V ; nˆe ´ u d¯ˆa ´ u thu ˙’ (i) u . ng t`ınh thˆe ´ a ho . n t`ınh thˆe ´ b th`ı ta viˆe ´ t a  b. Hiˆe ˙’ n nhiˆen  l`a quan hˆe . tiˆe ` n th´u . tu . . to`an phˆa ` n 1 . V`ı nh˜u . ng su . . th´ıch ´u . ng cu ˙’ a c´ac c´a nhˆan  c´o thˆe ˙’ khˆong ph`u ho . . p nhau nˆen ta pha ˙’ i d¯u . a thˆem kh´ai niˆe . m th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’  . Nˆe ´ u t`ınh huˆo ´ ng a d¯u . o . . c th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’ ho . n t`ınh huˆo ´ ng b (k´y hiˆe . u a  b) th`ı ngh˜ıa l`a: c´o mˆo . t tˆa . p d¯ˆa ´ u thu ˙’ , do cho rˇa ` ng a ho . n b nˆen ho . c´o thˆe ˙’ cho quan d¯iˆe ˙’ m cu ˙’ a m`ınh thˇa ´ ng thˆe ´ ; nˆe ´ u ngo`ai ra la . i c´o b  c th`ı c´o mˆo . t tˆa . p c´ac d¯ˆa ´ u thu ˙’ c´o kha ˙’ nˇang l`am cho t`ınh huˆo ´ ng b thˇa ´ ng thˆe ´ ; nhu . ng v`ı tˆa . p ho . . p th´u . hai khˆong bˇa ´ t buˆo . c pha ˙’ i tr`ung v´o . i tˆa . p ho . . p th´u . nhˆa ´ t nˆen c´o thˆe ˙’ khˆong bˇa ´ t buˆo . c a  c : quan hˆe .  khˆong c´o t´ınh bˇa ´ c cˆa ` u 2 ! 1 Quan hˆe .  trˆen tˆa . p V l`a tiˆe ` n th´u . tu . . to`an phˆa ` n nˆe ´ u n´o thoa ˙’ m˜an: t´ınh pha ˙’ n xa . , t´ınh bˇa ´ c cˆa ` u v`a hai phˆa ` n tu . ˙’ bˆa ´ t k`y a, b ∈ V th`ı hoˇa . c a  b hoˇa . c b  a. 2 Thuˆa . t ng˜u . th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’ do G. T. Guilbaud d¯u . a ra trong [40]; Von Neumann v`a Morgenstern la . i d`ung danh t`u . ´ap d¯a ˙’ o. Vˆe ` c´ac c´ach ph´at biˆe ˙’ u to´an ho . c kh´ac cu ˙’ a su . . th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’ , xem [5]. 69 Bˆay gi`o . x´et d¯ˆo ` thi . G = (V, Γ) trong d¯´o Γ(x) l`a tˆa . p c´ac t`ınh huˆo ´ ng d¯u . o . . c th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’ ho . n x. Go . i S l`a nhˆan (nˆe ´ u c´o) cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Von Neumann v`a Morgenstern d¯ˆe ` nghi . chı ˙’ ha . n chˆe ´ tr`o cho . i v´o . i c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a S thˆoi. Su . . ˆo ˙’ n d¯i . nh trong cu ˙’ a S biˆe ˙’ u thi . rˇa ` ng: khˆong c´o mˆo . t t`ınh huˆo ´ ng n`ao cu ˙’ a S d¯u . o . . c th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’ ho . n mˆo . t t`ınh huˆo ´ ng kh´ac x; su . . ˆo ˙’ n d¯i . nh ngo`ai cu ˙’ a S biˆe ˙’ u thi . rˇa ` ng: mo . i t`ınh huˆo ´ ng x khˆong thuˆo . c S khˆong d¯u . o . . c th´ıch ´u . ng hiˆe . u qua ˙’ ho . n mˆo . t t`ınh huˆo ´ ng n`ao d¯´o cu ˙’ a S, do d¯´o t`ınh huˆo ´ ng x lˆa . p t´u . c d¯u . o . . c loa . i tr`u . . V´ı du . 2.6.2 Khˆong pha ˙’ i mo . i d¯ˆo ` thi . d¯ˆe ` u c´o nhˆan. Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . c´o nhˆan S 0 th`ı c´ac sˆo ´ ˆo ˙’ n d¯i . nh cu ˙’ a n´o thoa ˙’ m˜an d¯iˆe ` u kiˆe . n: α(G) = max S∈S #S ≥ #S 0 ≥ min T ∈T = β(G). D - ˆo ` thi . trong H`ınh 2.14 khˆong c´o nhˆan v`ı α(G) = 1 < 2 = β(G). Tr´ai la . i, d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 2.15 c´o hai nhˆan l`a S  = {b, d} v`a S  = {a, c}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c • • • H`ınh 2.14: Bˆay gi`o . ta d¯u . a ra tiˆeu chuˆa ˙’ n d¯ˆe ˙’ nhˆa . n biˆe ´ t mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o nhˆan hay khˆong, v`a nhˆan c´o duy nhˆa ´ t khˆong? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d • • •• H`ınh 2.15: 70 D - i . nh l´y 2.6.3 Nˆe ´ u S l`a nhˆan cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . (V, Γ) th`ı S l`a tˆa . p ho . . p cu . . c d¯a . i trong ho . S c´ac tˆa . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong; t´u . c l`a A ∈ S, S ⊂ A ⇒ A = S. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, gia ˙’ su . ˙’ ngu . o . . c la . i tˆo ` n ta . i tˆa . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong A ch´u . a nhˆan S v`a A = S. Khi d¯´o tˆo ` n ta . i a ∈ A sao cho a = S; t`u . d¯´o suy ra Γ(a) ∩ S = ∅. Vˆa . y Γ(a) ∩ A = ∅, mˆau thuˆa ˜ n v´o . i A ∈ S.  D - i . nh l´y 2.6.4 Trong d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i x´u . ng khˆong khuyˆen, mo . i tˆa . p ho . . p cu . . c d¯a . i cu ˙’ a ho . S c´ac tˆa . p ho . . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong d¯ˆe ` u l`a nhˆan Ch´u . ng minh. Gia ˙’ su . ˙’ S l`a tˆa . p ho . . p cu . . c d¯a . i trong S, ta pha ˙’ i ch´u . ng minh rˇa ` ng mo . i d¯ı ˙’ nh a /∈ S d¯ˆe ` u thoa ˙’ m˜an Γ(a) ∩ S = ∅. Thˆa . t vˆa . y, nˆe ´ u Γ(a) ∩ S = ∅ v´o . i d¯ı ˙’ nh a ∈ S th`ı tˆa . p A = S ∪ {a} ˆo ˙’ n d¯i . nh trong (v`ı a /∈ Γ(a), d¯ˆo ` ng th`o . i S ⊂ A, A = S, mˆau thuˆa ˜ n v´o . i gia ˙’ thiˆe ´ t S l`a tˆa . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong cu . . c d¯a . i.  Hˆe . qua ˙’ 2.6.5 Mo . i d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i x´u . ng khˆong khuyˆen d¯ˆe ` u c´o nhˆan. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, lˆa . p d¯ˆo ` thi . phu . (S, ¯ Γ) c´o c´ac d¯ı ˙’ nh l`a c´ac tˆa . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i x´u . ng d¯˜a cho, v`a S ∈ ¯ Γ S  nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u S  ⊂ S. D - ˆo ` thi . phu . l`a ca ˙’ m ´u . ng, vˆa . y theo Bˆo ˙’ d¯ˆe ` Zorn, tˆo ` n ta . i d¯ı ˙’ nh S ∈ S khˆong c´o d`ong d˜oi nˆen S l`a tˆa . p ˆo ˙’ n d¯i . nh trong cu . . c d¯a . i v`a theo D - i . nh l´y 2.6.4 S l`a nhˆan cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯˜a cho.  Trong d¯ˆo ` thi . d¯ˆo ´ i x´u . ng khˆong khuyˆen, qu´a tr`ınh t`ım nhˆan l`a nhu . sau: Lˆa ´ y mˆo . t d¯ı ˙’ nh bˆa ´ t k`y v 0 v`a d¯ˇa . t S 0 = {v 0 }; sau d¯´o lˆa ´ y mˆo . t d¯ı ˙’ nh v 1 /∈ Γ(S 0 ) v`a d¯ˇa . t S 1 = S 0 ∪ {v 1 }; tiˆe ´ p theo lˆa ´ y v 2 /∈ Γ(S 1 ) v`a d¯ˇa . t S 2 = S 1 ∪ {v 2 }; v`a vˆan vˆan. V`ı d¯ˆo ` thi . h˜u . u ha . n nˆen s´o . m hay muˆo . n ta s˜e d¯u . o . . c Γ(S k ) = V, v`a v`ı S k l`a tˆa . p ho . . p cu . . c d¯a . i cu ˙’ a S nˆen n´o l`a nhˆan. D - i . nh l´y 2.6.6 D - iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n v`a d¯u ˙’ d¯ˆe ˙’ tˆa . p S l`a nhˆan l`a h`am d¯ˇa . c tru . ng cu ˙’ a n´o ϕ S (x) :=  1 nˆe ´ u x ∈ S, 0 nˆe ´ u ngu . o . . c la . i, thoa ˙’ m˜an hˆe . th´u . c ϕ S (x) = 1 − max y∈Γ(x) ϕ S (y). Nˆe ´ u Γ(x) = ∅ th`ı ta quy u . ´o . c max y∈Γ(x) ϕ S (y) = 0. 71 Ch´u . ng minh. D - iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n. Gia ˙’ su . ˙’ S l`a nhˆan. Do t´ınh ˆo ˙’ n d¯i . nh trong nˆen ϕ S (x) = 1 suy ra x ∈ S v`a do d¯´o max y∈Γ(x) ϕ S (y) = 0. Mˇa . t kh´ac, do t´ınh ˆo ˙’ n d¯i . nh ngo`ai nˆen ϕ S (x) = 0 suy ra x /∈ S v`a do d¯´o max y∈Γ(x) ϕ S (y) = 1. T`u . d¯´o suy ra hˆe . th´u . c d¯˜a ph´at biˆe ˙’ u. D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . Gia ˙’ su . ˙’ ϕ S (x) l`a h`am d¯ˇa . c tru . ng cu ˙’ a mˆo . t tˆa . p ho . . p S n`ao d¯´o. Nˆe ´ u hˆe . th´u . c cu ˙’ a d¯i . nh l´y thoa ˙’ m˜an th`ı ta c´o 1. x ∈ S suy ra ϕ S (x) = 1 nˆen max y∈Γ(x) ϕ S (y) = 0. Vˆa . y Γ(x) ∩ S = ∅. 2. x /∈ S suy ra ϕ S (x) = 0 nˆen max y∈Γ(x) ϕ S (y) = 1. Vˆa . y Γ(x) ∩ S = ∅. Do d¯´o S l`a nhˆan.  D - i . nh l´y 2.6.7 [Richardson] Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . h˜u . u ha . n khˆong c´o ma . ch v´o . i d¯ˆo . d`ai le ˙’ , th`ı n´o c´o nhˆan (nhu . ng khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t duy nhˆa ´ t). Ch´u . ng minh. Xem, chˇa ˙’ ng ha . n [4].  2.6.2 Tr`o cho . i Nim Gi˜u . a hai d¯ˆa ´ u thu ˙’ m`a ch´ung ta k´y hiˆe . u l`a (A) v`a (B) c´o mˆo . t d¯ˆo ` thi . (V, Γ) cho ph´ep x´ac d¯i . nh mˆo . t tr`o cho . i n`ao d¯´o, trong tr`o cho . i ˆa ´ y mˆo ˜ i thˆe ´ l`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . ; d¯ı ˙’ nh kho . ˙’ i d¯ˆa ` u v 0 d¯u . o . . c cho . n bˇa ` ng c´ach r´ut thˇam, v`a c´ac d¯ˆa ´ u thu ˙’ lˆa ` n lu . o . . t d¯i: d¯ˆa ` u tiˆen d¯ˆa ´ u thu ˙’ (A) cho . n d¯ı ˙’ nh v 1 trong tˆa . p ho . . p Γ(v 0 ); sau d¯´o (B) cho . n d¯ı ˙’ nh v 2 trong tˆa . p Γ(v 1 ); tiˆe ´ p theo (A) la . i cho . n d¯ı ˙’ nh v 3 trong tˆa . p Γ(v 2 ), . . . . Nˆe ´ u mˆo . t d¯ˆa ´ u thu ˙’ cho . n d¯u . o . . c d¯ı ˙’ nh v k m`a Γ(v k ) = ∅ th`ı v´an d¯´o kˆe ´ t th´uc; d¯ˆa ´ u thu ˙’ n`ao cho . n d¯u . o . . c d¯ı ˙’ nh cuˆo ´ i c`ung th`ı thˇa ´ ng cuˆo . c v`a d¯ˆa ´ u thu ˙’ kia thua. Hiˆe ˙’ n nhiˆen do ta chı ˙’ x´et d¯ˆo ` thi . h˜u . u ha . n nˆen cuˆo . c cho . i s˜e kˆe ´ t th´uc sau mˆo . t sˆo ´ h˜u . u ha . n bu . ´o . c. D - ˆe ˙’ ky ˙’ niˆe . m mˆo . t tr`o cho . i tiˆeu khiˆe ˙’ n quen thuˆo . c m`a Nim d¯˜a tˆo ˙’ ng qu´at ho´a, ta go . i tr`o cho . i v`u . a mˆo ta ˙’ l`a tr`o cho . i Nim v`a k´y hiˆe . u l`a (V, Γ) c˜ung nhu . d¯ˆo ` thi . x´ac d¯i . nh n´o. B`ai to´an d¯ˇa . t ra l`a ph´at hiˆe . n c´ac thˆe ´ thˇa ´ ng; ngh˜ıa l`a c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . m`a ta pha ˙’ i cho . n d¯ˆe ˙’ ba ˙’ o d¯a ˙’ m chˇa ´ c thˇa ´ ng mˇa . c d`u d¯ˆo ´ i phu . o . ng chˆo ´ ng tra ˙’ ra sao. Kˆe ´ t qua ˙’ chu ˙’ yˆe ´ u nhu . sau: 72 D - i . nh l´y 2.6.8 Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . c´o nhˆan S v`a nˆe ´ u mˆo . t d¯ˆo ´ i thu ˙’ d¯˜a cho . n mˆo . t d¯ı ˙’ nh trong nhˆan S, th`ı viˆe . c cho . n n`ay ba ˙’ o d¯a ˙’ m cho anh ta thˇa ´ ng hoˇa . c ho`a. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, nˆe ´ u d¯ˆa ´ u thu ˙’ (A) cho . n d¯ı ˙’ nh v 1 ∈ S th`ı hoˇa . c Γ(v 1 ) = ∅ l´uc d¯´o anh ta thˇa ´ ng; hoˇa . c d¯ˆo ´ i phu . o . ng buˆo . c pha ˙’ i cho . n mˆo . t d¯ı ˙’ nh v 2 trong V \ S, do d¯´o d¯ˆe ´ n lu . o . . t m`ınh, d¯ˆa ´ u thu ˙’ (A) la . i c´o thˆe ˙’ cho . n mˆo . t d¯ı ˙’ nh v 3 ∈ S v`a c´u . nhu . thˆe ´ m˜ai. Nˆe ´ u d¯ˆe ´ n mˆo . t l´uc n`ao d¯´o, mˆo . t trong c´ac d¯ˆa ´ u thu ˙’ thˇa ´ ng bˇa ` ng c´ach cho . n mˆo . t d¯ı ˙’ nh v k m`a Γ(v k ) = ∅ th`ı ta c´o v k ∈ S. Vˆa . y d¯ˆa ´ u thu ˙’ thˇa ´ ng nhˆa ´ t d¯i . nh pha ˙’ i l`a (A). Ta c´o d¯iˆe ` u pha ˙’ i ch´u . ng minh.  Mˆo . t phu . o . ng ph´ap co . ba ˙’ n d¯ˆe ˙’ cho . i tˆo ´ t l`a t`ım h`am Grundy (nˆe ´ u n´o tˆo ` n ta . i) (xem [4]) v`a t`u . d¯´o suy ra nhˆan cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯˜a cho. Ba . n d¯o . c quan tˆam vˆe ` c´ac tr`o cho . i trˆen d¯ˆo ` thi . c´o thˆe ˙’ xem [4] (Chu . o . ng 6). 73 74 Chu . o . ng 3 C´ac b`ai to´an vˆe ` d¯u . `o . ng d¯i Trong c´ac ´u . ng du . ng thu . . c tˆe ´ , ta cˆa ` n t`ım d¯u . `o . ng d¯i (nˆe ´ u c´o) gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . D - ˇa . c biˆe . t, b`ai to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o ´y ngh˜ıa to l´o . n. C´o thˆe ˙’ dˆa ˜ n vˆe ` b`ai to´an nhu . vˆa . y t`u . nhiˆe ` u b`ai to´an thu . . c tˆe ´ . V´ı du . , b`ai to´an t`ım h`anh tr`ınh tiˆe ´ t kiˆe . m nhˆa ´ t (theo tiˆeu chuˆa ˙’ n khoa ˙’ ng c´ach, th`o . i gian hoˇa . c chi ph´ı) trˆen mˆo . t ba ˙’ n d¯ˆo ` giao thˆong; b`ai to´an cho . n phu . o . ng ph´ap tiˆe ´ t kiˆe . m nhˆa ´ t d¯ˆe ˙’ d¯u . a mˆo . t hˆe . d¯ˆo . ng lu . . c t`u . tra . ng th´ai n`ay sang tra . ng th´ai kh´ac v.v Hiˆe . n nay c´o rˆa ´ t nhiˆe ` u phu . o . ng ph´ap du . . a trˆen l´y thuyˆe ´ t d¯ˆo ` thi . to ˙’ ra l`a c´ac phu . o . ng ph´ap c´o hiˆe . u qua ˙’ nhˆa ´ t. Chu . o . ng n`ay tr`ınh b`ay c´ac thuˆa . t to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . c´o tro . ng sˆo ´ . 3.1 D - u . `o . ng d¯i gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh 3.1.1 D - u . `o . ng d¯i gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh Trong nhiˆe ` u tru . `o . ng ho . . p, ch´ung ta cˆa ` n tra ˙’ l`o . i cˆau ho ˙’ i: Tˆo ` n ta . i d¯u . `o . ng d¯i µ t`u . d¯ı ˙’ nh s d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G := (V, E)? Nˆe ´ u c´o, h˜ay chı ˙’ ra c´ach d¯i cu ˙’ a d¯u . `o . ng d¯i µ. L`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an n`ay kh´a d¯o . n gia ˙’ n: ch´ung ta chı ˙’ cˆa ` n ´ap du . ng thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u rˆo . ng (hoˇa . c chiˆe ` u sˆau) trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G nhu . sau. G´an mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G mˆo . t chı ˙’ sˆo ´ . Bˇa ` ng phu . o . ng ph´ap lˇa . p, dˆa ` n dˆa ` n ta s˜e cho mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v mˆo . t chı ˙’ sˆo ´ n`ao d¯´o bˇa ` ng d¯ˆo . d`ai d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t (sˆo ´ cung ´ıt nhˆa ´ t) t`u . s t´o . i v. D - ´anh dˆa ´ u d¯ı ˙’ nh s bˇa ` ng chı ˙’ sˆo ´ 0. Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c d¯´anh dˆa ´ u bˇa ` ng chı ˙’ sˆo ´ m lˆa . p th`anh mˆo . t tˆa . p ho . . p P(m) d¯˜a biˆe ´ t, th`ı ta d¯´anh dˆa ´ u chı ˙’ sˆo ´ (m + 1) cho mo . i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a tˆa . p ho . . p: P (m + 1) := {v j chu . a d¯u . o . . c d¯´anh dˆa ´ u | tˆo ` n ta . i v i ∈ P (m) v´o . i (v i , v j ) ∈ E}. 75 Thuˆa . t to´an d`u . ng khi khˆong thˆe ˙’ d¯´anh dˆa ´ u d¯u . o . . c n˜u . a. C´o hai tru . `o . ng ho . . p xa ˙’ y ra: 1. D - ı ˙’ nh t d¯u . o . . c d¯´anh dˆa ´ u, chˇa ˙’ ng ha . n t ∈ P (m) v´o . i m n`ao d¯´o, th`ı ta x´et c´ac d¯ı ˙’ nh v 1 , v 2 , , sao cho v 1 ∈ P (m − 1), v 2 ∈ P (m − 2), . . . , v m ∈ P (0). Khi d¯´o µ := {s = v m , v m−1 , , v 1 , t} l`a d¯u . `o . ng d¯i pha ˙’ i t`ım. 2. D - ı ˙’ nh t khˆong d¯u . o . . c d¯´anh dˆa ´ u. Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, ta kˆe ´ t luˆa . n khˆong tˆo ` n ta . i d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t. Theo c´ach xˆay du . . ng cu ˙’ a thuˆa . t to´an, dˆe ˜ d`ang ch´u . ng minh rˇa ` ng Mˆe . nh d¯ˆe ` 3.1.1 Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i d˜ay liˆen tiˆe ´ p c´ac d¯ı ˙’ nh, th`ı thuˆa . t to´an c´o th`o . i gian O(m). 3.1.2 D - ˆo ` thi . liˆen thˆong ma . nh Nhˇa ´ c la . i l`a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G go . i l`a liˆen thˆong ma . nh nˆe ´ u hai d¯ı ˙’ nh s v`a t t`uy ´y cu ˙’ a G luˆon luˆon tˆo ` n ta . i mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng D - i . nh l´y 3.1.2 Cho G = (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, v`a v ∈ V. Khi d¯´o G liˆen thˆong ma . nh nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u mo . i cˇa . p d¯ı ˙’ nh a, b ∈ V, tˆo ` n ta . i mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . a d¯ˆe ´ n v v`a mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . v d¯ˆe ´ n b. Du . . a trˆen thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau, ta c´o thˆe ˙’ mˆo ta ˙’ c´ach x´ac d¯i . nh mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng c´o liˆen thˆong ma . nh hay khˆong thˆong qua d¯i . nh l´y sau: D - i . nh l´y 3.1.3 Cho G = (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, v`a v ∈ V. K´y hiˆe . u G  := (V, E  ) l`a d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach d¯a ˙’ o hu . ´o . ng mˆo ˜ i cung trong E. Khi d¯´o G l`a liˆen thˆong ma . nh nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G, kho . ˙’ i d¯ˆa ` u t`u . v, d¯a . t d¯u . o . . c mo . i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G v`a thuˆa . t to´an t`ım kiˆe ´ m theo chiˆe ` u sˆau trˆen d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng G  , kho . ˙’ i d¯ˆa ` u t`u . v, d¯a . t d¯u . o . . c mo . i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G  . D - i . nh ngh˜ıa 3.1.4 D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G go . i l`a d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ma . nh nˆe ´ u c´o thˆe ˙’ d¯i . nh hu . ´o . ng trˆen c´ac ca . nh cu ˙’ a G sao cho d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng tu . o . ng ´u . ng nhˆa . n d¯u . o . . c l`a liˆen thˆong ma . nh. 76 [...]... Chˇng han, d` thi trong H` 3.2 c´ ma trˆn trong lu.o.ng a o ınh o a ¯ˆ  0  30   ∞   30   W = ∞  ∞  ∞   ∞ 40 30 0 25 40 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 25 0 50 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 30 40 50 0 30 20 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 30 0 ∞ 25 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 20 ∞ 0 20 ∞ 20 ∞ ∞ ∞ ∞ 25 20 0 25 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 25 0 20  40 ∞   ∞  ∞   ∞  20   ∞   20  0 ˙ Ch´ng ta gi´.i thiˆu mˆt ph´p to´n m´.i trˆn c´c ma trˆn goi l` tˆ’ng ma trˆn... ¯ o ¯ a a u ¯e k+1 k ˙ ´ (b) Nˆu k < n − 1 v` L (v ) = L (v ), v´.i v n`o d o, th` chuyˆ’n sang Bu.´.c 4 e a o a ¯´ ı e o i i i ´ (c) Nˆu k = n − 1 v` L (vi ) = L (vi ), v´.i vi n`o d o, th` d` thi G c´ mach v´.i d o e a o a ¯´ ı ¯o ˆ o o ¯ˆ ´ d`i ˆm Thuˆt to´n kˆt th´c a a a a e u k+1 k -a 4 [Cˆp nhˆt S] Dˇt a a S := {vi | Lk+1 (vi ) = Lk (vi )} ´ ´ ’ ´ ´ ´ ’ (Tˆp S bˆy gi` ch´.a tˆ t ca c´c... a ¯˙ L(vi ) = L(vi ) + w(vi , vi ) (3.1) ´ ´ o ´ ´ ´ Nˆu tˆn tai duy nhˆ t d u.`.ng d i ngˇn nhˆ t t` s dˆn vi th` c´c cung (vi , vi ) trˆn d u.`.ng e ` a ¯ o ¯ a a u ¯e ı a e ¯ o ´.ng (xem Chu.o.ng 4) v´.i gˆc l` d ınh s Nˆu c´ nhiˆu ´ ´ ´ ´ ’ d i ngˇn nhˆ t tao th`nh mˆt cˆy c´ hu o ¯ a a a o a o o o a ¯˙ e o ` e n mˆt d u.`.ng d i ngˇn nhˆ t t` s dˆn bˆ t k` mˆt d ınh kh´c, th` Phu.o.ng tr` 3.1... cung khˆng vu.o.t qu´ (k + 1) Thuˆt to´n n`y ´ a ˙ a ¯˙ ´ ’ ´ ’ nhˆ a u ¯e a o o o a a a a ` ¯a ˙ ’ a u a a ˆ e ¯´ ¯ a d u.a ra lˆn d` u tiˆn bo.i Ford [26] v`o gi˜.a nˇm 1950 Sau d o d u.o.c Moore [45 ] v` Bellman ¯ ˙ e ’ ´ [3] cai tiˆn nhu sau Thuˆt to´n Ford, Moore, Bellman a a ´ a ˙ o ` a ’ ’ ’ K´ hiˆu Lk (vi ) l` nh˜n cua d ınh vi o cuˆi lˆn lˇp th´ (k + 1) y e a a ˙ ¯˙ u ˙ -a ’ 1 [Kho.i tao]... c´ nh˜n tam th`.i d at o a o ¯ˇ L(vi ) := min{L(vi ), L(c) + w(c, vi )}; ’ 3 T` d ınh vi∗ c´ nh˜n tam th`.i sao cho ım ¯˙ o a o o a o L(vi∗ ) := min{L(vi ) < +∞ | vi c´ nh˜n tam th`.i} -a ´ ’ ´ 4 D´nh dˆ u d ınh vi∗ c´ nh˜n cˆ d nh v` d ˇt c := vi∗ a ¯˙ o a o ¯i a ¯a ´ ´ ´ e ım ¯ o ¯ u ¯e e ı a a u a ¯ o ¯ 5 (a) (Nˆu t` d u.`.ng d i t` s dˆn t) Nˆu vi = t th` thuˆt to´n d`.ng, L(t) l` d u.`.ng... NumVertices; i++) { NewPred[i] = OldPred[i]; NewLabel[i] = OldLabel[i]; } for (k = 1; k < NumVertices; k++) { printf("\n "); for (i = 1; i Next; 84 while (Tempt1 != NULL) { NewPred[Tempt1->Vertex] = Tempt1->Vertex; Min = OldLabel[Tempt1->Vertex]; Tempt2 = V_in[Tempt1->Vertex]->Next; while (Tempt2 != NULL) { if (Mark[Tempt2->Vertex] == TRUE) { if... a a ¯˙ ¯ˆ ¯a ¯ ˙ o ´ ´ ’ trˆn trong lu.o.ng khˆng ˆm, sˆ ph´p t´ cˆn thiˆt tı lˆ v´.i n3 ; tr´i lai v´.i ma trˆn trong a o a o e ınh ` a e ˙ e o a o a o.ng tˆ’ng qu´t, sˆ ph´p t´ tı lˆ v´.i n4 ˙ ´ ’ o a o e ınh ˙ e o lu 87 ˙ ’ ` Trong phˆn n`y ch´ng ta s˜ tr` b`y hai c´ch ho`n to`n kh´c dˆ’ giai b`i to´n t` a a u e ınh a a a a a ¯e ˙ a a ım `.ng d i ngˇn nhˆ t gi˜.a tˆ t ca c´c cˇp d ınh... chuyˆ’n sang Bu.´.c 2 ˙ ´ ´ ´ ngˇn nhˆ t t` ¯e a a u e o ˙ ´ ´ ’ ´ ´ ´ (b) (Nˆu t` tˆ t ca c´c d u.`.ng d i xuˆ t ph´t t` s) Nˆu khˆng thˆ’ g´n nh˜n cˆ d nh e ım a ˙ a ¯ o ¯ a a u e o e a a o ¯i ´.c 4 th` thuˆt to´n d`.ng; gi´ tri L(v ) cua d ınh v c´ nh˜n cˆ ´ ˙nh vi∗ trong Bu o ’ ˙ ¯˙ ’ ’ cho d ı ¯ ı a a u a a o i i o `.ng d i ngˇn nhˆ t t` s dˆn v Ngu.o.c lai chuyˆ’n sang Bu.´.c 2 ˙ ´ ´ ´ ¯ . ta . i) (xem [4] ) v`a t`u . d¯´o suy ra nhˆan cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯˜a cho. Ba . n d¯o . c quan tˆam vˆe ` c´ac tr`o cho . i trˆen d¯ˆo ` thi . c´o thˆe ˙’ xem [4] (Chu . o . ng 6). 73 74 Chu . o . ng. Bu . ´o . c 4. (c) Nˆe ´ u k = n − 1 v`a L k+1 (v i ) = L k (v i ), v´o . i v i n`ao d¯´o, th`ı d¯ˆo ` thi . G c´o ma . ch v´o . i d¯ˆo . d`ai ˆam. Thuˆa . t to´an kˆe ´ t th´uc. 4. [Cˆa . p. x  y  z  v`a xyz l`a khˆong thˆe ˙’ khu . ˙’ d¯u . o . . c. Hai ca . nh e 3 v`a e 6 (hoˇa . c e 4 v`a e 5 , hoˇa . c e 3 v`a e 5 ) s˜e phu ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh c`on la . i. Do d¯´o ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t