Lí thuyết đồ thị part 3 pot

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V`ı trong d¯ˆo ` thi . c´o d¯iˆe ˙’ m kh´o . p G, mˆo ˜ i chu tr`ınh thuˆo . c mˆo . t khˆo ´ i n`ao d¯´o, nˆen mˆo ˜ i chu tr`ınh trong G vˆa ˜ n tu . o . ng ´u . ng c´ac ca . nh cu ˙’ a n´o khi thu . . c hiˆe . n Ph´ep to´an 1 trˆen G. Do d¯´o, c´ac d¯ˆo ` thi . 1−d¯ˇa ˙’ ng cˆa ´ u c´o t´ınh chˆa ´ t tu . o . ng ´u . ng chu tr`ınh. Tu . o . ng tu . . , x´et chu tr`ınh µ trong d¯ˆo ` thi . G sau khi thu . . c hiˆe . n Ph´ep to´an 2 trˆen G. V´o . i chu tr`ınh µ, ta c´o ba tru . `o . ng ho . . p xa ˙’ y ra: 1. C´ac ca . nh thuˆo . c µ nˇa ` m ho`an to`an trong g 1 ; hoˇa . c 2. C´ac ca . nh thuˆo . c µ nˇa ` m ho`an to`an trong ¯g 1 ; hoˇa . c 3. C´ac ca . nh thuˆo . c µ nˇa ` m trong ca ˙’ hai d¯ˆo ` thi . con g 1 v`a ¯g 1 ; v`a trong tru . `o . ng ho . . p n`ay µ pha ˙’ i ch´u . a ca ˙’ hai d¯ı ˙’ nh x v`a y. Trong c´ac Tru . `o . ng ho . . p 1 v`a 2, chu tr`ınh µ khˆong a ˙’ nh hu . o . ˙’ ng qua Ph´ep to´an 2. Trong Tru . `o . ng ho . . p 3, µ vˆa ˜ n gˆo ` m c´ac ca . nh c˜u, ngoa . i tr`u . dˆay chuyˆe ` n gi˜u . a c´ac d¯ı ˙’ nh x v`a y trong g 1 (thuˆo . c chu tr`ınh µ) bi . “d¯a ˙’ o ngu . o . . c la . i”. Do d¯´o, mˆo ˜ i chu tr`ınh sau Ph´ep to´an 2 vˆa ˜ n gˆo ` m ch´ınh nh˜u . ng ca . nh c˜u. Suy ra c´ac d¯ˆo ` thi . 2−d¯ˇa ˙’ ng cˆa ´ u c˜ung c´o t´ınh chˆa ´ t tu . o . ng ´u . ng chu tr`ınh. 45 D - i . nh l´y 1.5.3 Hai d¯ˆo ` thi . l`a 2−d¯ˇa ˙’ ng cˆa ´ u nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u ch´ung c´o tu . o . ng ´u . ng chu tr`ınh. Ch´u . ng minh. D - iˆe ` u kiˆen d¯u ˙’ suy t`u . c´ac l´y luˆa . n trˆen. Ch´u . ng minh d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n kh´o ho . n v`a c´o thˆe ˙’ xem [55].  Nhu . s˜e thˆa ´ y sau, c´ac kh´ai niˆe . m 2−d¯ˇa ˙’ ng cˆa ´ u v`a tu . o . ng ´u . ng chu tr`ınh d¯´ong vai tr`o quan tro . ng khi nghiˆen c´u . u d¯ˆo ´ i ngˆa ˜ u cu ˙’ a c´ac d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. 1.6 C´ac d¯ˆo ` thi . d¯ˇa . c biˆe . t Phˆa ` n n`ay gi´o . i thiˆe . u mˆo . t sˆo ´ d¯ˆo ` thi . d¯ˇa . c biˆe . t thu . `o . ng gˇa . p trong c´ac mˆo h`ınh thu . . c tˆe ´ . C´ac d¯ˆo ` thi . n`ay d¯u . o . . c quan tˆam nhiˆe ` u v`ı: • T`u . ph´at biˆe ˙’ u mˆo . t sˆo ´ b`ai to´an; • T`u . c´ac t´ınh chˆa ´ t d¯ˇa . c biˆe . t cu ˙’ a ch´ung; • Phu . c vu . cho mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an. 1.6.1 D - ˆo ` thi . khˆong c´o ma . ch D - ˆay l`a d¯ˆo ` thi . thu . `o . ng gˇa . p nhˆa ´ t khi biˆe ˙’ u diˆe ˜ n c´ac quan hˆe . th´u . tu . . bˆo . phˆa . n trˆen c´ac phˆa ` n tu . ˙’ : v´o . i mˆo . t quan hˆe . th´u . tu . . ≤ trˆen tˆa . p V, x´et d¯ˆo ` thi . G = (V, E) trong d¯´o (v i , v j ) ∈ E ⇔ i ≤ j. C´ac b`ai to´an luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i x´et c´ac d¯ˆo ` thi . n`ay (c˜ung xem c´ac b`ai to´an lˆa . p li . ch trong [30]). 1.6.2 D - ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G go . i l`a phˇa ˙’ ng nˆe ´ u c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n trˆen mˆo . t mˇa . t phˇa ˙’ ng R 2 v´o . i c´ac d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng c´ac d¯iˆe ˙’ m phˆan biˆe . t trˆen R 2 v`a c´ac d¯u . `o . ng cong khˆong tu . . cˇa ´ t tu . o . ng ´u . ng c´ac ca . nh sao cho hai d¯u . `o . ng cong bˆa ´ t k`y khˆong cˇa ´ t nhau ngoa . i tr`u . ta . i c´ac d¯ı ˙’ nh chung. D - ˆo ` thi . trong H`ınh 1.25(a) l`a phˇa ˙’ ng v`ı ch´ung ta c´o thˆe ˙’ v˜e la . i nhu . trong H`ınh 1.25(b). C´ac d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng s˜e d¯u . o . . c nghiˆen c´u . u trong Chu . o . ng 6. 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d c e b a • • • • • (b) H`ınh 1.25: D - ˆo ` thi . (a) d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n la . i trong h`ınh (b) l`a phˇa ˙’ ng. 47 48 Chu . o . ng 2 C´ac sˆo ´ co . ba ˙’ n cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . 2.1 Chu sˆo ´ Kh´ai niˆe . m m`a ch´ung ta s˜e d¯ˆe ` cˆa . p o . ˙’ d¯ˆay khˆong phu . thuˆo . c v`ao su . . d¯i . nh hu . ´o . ng: ta s˜e n´oi vˆe ` ca . nh ch ´u . khˆong pha ˙’ i cung. D - ˆe ˙’ tˆo ˙’ ng qu´at x´et d¯a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G := (V, E) c´o n d¯ı ˙’ nh, m ca . nh v`a p th`anh phˆa ` n liˆen thˆong. D - ˇa . t ρ(G) := n − p, ν(G) := m − ρ(G) = m − n + p. Ta go . i ν(G) l`a chu sˆo ´ cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G. D - i . nh l´y 2.1.1 Cho d¯a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G = (V, E). Gia ˙’ su . ˙’ G  l`a d¯ˆo ` thi . nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach nˆo ´ i hai d¯ı ˙’ nh a v`a b cu ˙’ a G bo . ˙’ i mˆo . t ca . nh m´o . i; nˆe ´ u a v`a b tr`ung nhau hoˇa . c c´o thˆe ˙’ nˆo ´ i v´o . i nhau bo . ˙’ i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n cu ˙’ a G th`ı ρ(G  ) = ρ(G), ν(G  ) = ν(G) + 1; trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i ρ(G  ) = ρ(G) + 1, ν(G  ) = ν(G). Ch´u . ng minh. Theo c´ach xˆay du . . ng, d¯a d¯ˆo ` thi . G  c´o n  = n d¯ı ˙’ nh, m  = m + 1 ca . nh v`a gia ˙’ su . ˙’ G  c´o p  th`anh phˆa ` n liˆen thˆong. Nˆe ´ u a ≡ b hoˇa . c c´o mˆo . t dˆay chuyˆe ` n nˆo ´ i a v´o . i b. Khi d¯´o ph´ep biˆe ´ n d¯ˆo ˙’ i G th`anh G  khˆong thay d¯ˆo ˙’ i sˆo ´ th`anh phˆa ` n liˆen thˆong, t´u . c l`a p = p  . Do d¯´o ρ(G  ) = n  − p  = n − p = ρ(G), ν(G  ) = m  − ρ(G  ) = ν(G) + 1. 49 Ngu . o . . c la . i, nˆe ´ u a = b v`a khˆong tˆo ` n ta . i dˆay chuyˆe ` n nˆo ´ i a v`a b, th`ı do c´ach x´ac d¯i . nh G  ta c´o p  = p − 1. Suy ra ρ(G  ) = n  − p  = n − (p − 1) = n − p + 1 = ρ(G) + 1, ν(G  ) = m  − ρ(G  ) = (m + 1) − (ρ(G) + 1) = m − ρ(G) = ν(G).  Hˆe . qua ˙’ 2.1.2 ρ(G) ≥ 0 v`a ν(G) ≥ 0. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, xuˆa ´ t ph´at t`u . d¯ˆo ` thi . th`anh lˆa . p bˇa ` ng c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G, d¯ı ˙’ nh no . cˆo lˆa . p v´o . i d¯ı ˙’ nh kia, ta xˆay du . . ng G  dˆa ` n dˆa ` n t`u . ng ca . nh mˆo . t; kho . ˙’ i d¯ˆa ` u ta c´o ρ = 0, ν = 0; mˆo ˜ i khi thˆem mˆo . t ca . nh, th`ı hoˇa . c ρ tˇang v`a l´uc d¯´o ν khˆong d¯ˆo ˙’ i, hoˇa . c ν tˇang v`a l´uc d¯´o ρ khˆong d¯ˆo ˙’ i. Nhu . vˆa . y, trong qu´a tr`ınh xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . G  , c´ac sˆo ´ ρ v`a ν chı ˙’ c´o thˆe ˙’ tˇang.  D - ˆe ˙’ c´o thˆe ˙’ vˆa . n du . ng nh˜u . ng kˆe ´ t qua ˙’ phong ph´u cu ˙’ a d¯a . i sˆo ´ vector trong viˆe . c nghiˆen c´u . u, ngu . `o . i ta thu . `o . ng d¯ˇa . t tu . o . ng ´u . ng mˆo ˜ i chu tr`ınh trong G v´o . i mˆo . t vector theo c´ach sau d¯ˆay. Mˆo ˜ i ca . nh cu ˙’ a d¯a d¯ˆo ` thi . G d¯ˆe ` u d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng mˆo . t c´ach t`uy ´y; nˆe ´ u chu tr`ınh µ d¯i qua ca . nh e k , r k lˆa ` n thuˆa . n hu . ´o . ng v`a s k lˆa ` n ngu . o . . c hu . ´o . ng th`ı ta d¯ˇa . t c k := r k − s k (nˆe ´ u e k l`a mˆo . t khuyˆen th`ı ta luˆon qui u . ´o . c s k = 0). Vector m chiˆe ` u (c 1 , c 2 , . . . , c m ) go . i l`a vector chu tr`ınh tu . o . ng ´u . ng v´o . i µ v`a k´y hiˆe . u l`a µ (hay l`a µ nˆe ´ u khˆong thˆe ˙’ gˆay ra nhˆa ` m lˆa ˜ n). C´ac chu tr`ınh µ, µ  , µ  , . . . go . i l`a d¯ˆo . c lˆa . p nˆe ´ u c´ac vector chu tr`ınh tu . o . ng ´u . ng d¯ˆo . c lˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh. Ch´u ´y rˇa ` ng, d¯i . nh ngh˜ıa n`ay khˆong phu . thuˆo . c v`ao hu . ´o . ng g´an cho c´ac ca . nh. D - i . nh l´y 2.1.3 Chu sˆo ´ ν(G) cu ˙’ a G = (V, E) bˇa ` ng sˆo ´ cu . . c d¯a . i c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p. Ch´u . ng minh. Tiˆe ´ n h`anh nhu . trong Hˆe . qua ˙’ 2.1.2: d¯ˆa ` u tiˆen ta lˆa ´ y d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng khˆong c´o ca . nh v´o . i tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh l`a V. Sau d¯´o ta xˆay du . . ng d¯a d¯ˆo ` thi . G  bˇa ` ng c´ach thˆem t`u . ng ca . nh mˆo . t v`ao. Theo D - i . nh l´y 2.1.1, chu sˆo ´ s˜e tˇang mˆo . t d¯o . n vi . nˆe ´ u ca . nh thˆem v`ao lˆa . p ra c´ac chu tr`ınh m´o . i, chu sˆo ´ khˆong thay d¯ˆo ˙’ i trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i. Gia ˙’ su . ˙’ , tru . ´o . c khi thˆem ca . nh e k ta d¯˜a c´o mˆo . t co . so . ˙’ gˆo ` m c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p: µ 1 , µ 2 , µ 3 , . . . ; v`a sau khi thˆem ca . nh e k xuˆa ´ t hiˆe . n thˆem c´ac chu tr`ınh so . cˆa ´ p m´o . i γ 1 , γ 2 , . . . , n`ao d¯´o. Hiˆe ˙’ n nhiˆen γ 1 khˆong thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n tuyˆe ´ n t´ınh qua hˆe . c´ac chu tr`ınh µ j (v`ı c´ac vector 50 tu . o . ng ´u . ng c´ac chu tr`ınh µ j c´o th`anh phˆa ` n th´u . k bˇa ` ng khˆong, trong khi vector tu . o . ng ´u . ng chu tr`ınh γ 1 c´o th`anh phˆa ` n th´u . k kh´ac khˆong). Mˇa . t kh´ac c´ac vector γ 2 , γ 3 , . . . c´o thˆe ˙’ biˆe ˙’ u diˆe ˜ n tuyˆe ´ n t´ınh qua γ 1 , µ 1 , µ 2 , µ 3 , . . . . T´om la . i mˆo ˜ i khi chu sˆo ´ tˇang mˆo . t d¯o . n vi . th`ı sˆo ´ cu . . c d¯a . i c´ac chu tr`ınh d¯ˆo . c lˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh c˜ung tˇang lˆen mˆo . t d¯o . n vi . . D - i . nh l´y d¯u . o . . c ch´u . ng minh.  T`u . kˆe ´ t qua ˙’ n`ay, dˆe ˜ d`ang suy ra: Hˆe . qua ˙’ 2.1.4 (a) D - a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G khˆong c´o chu tr`ınh nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u ν(G) = 0. (b) D - a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G c´o d¯´ung mˆo . t chu tr`ınh nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u ν(G) = 1. D - i . nh l´y 2.1.5 Trong d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng liˆen thˆong ma . nh, chu sˆo ´ bˇa ` ng sˆo ´ cu . . c d¯a . i c´ac ma . ch d¯ˆo . c lˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh. Ch´u . ng minh. Thˆa . t vˆa . y, x´et d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng lˆa . p bo . ˙’ i c´ac cung kh´ac nhau cu ˙’ a G (mˆo ˜ i cung tu . o . ng ´u . ng mˆo . t cˇa . p ca . nh) v`a mˆo . t chu tr`ınh so . cˆa ´ p µ; ta phˆan hoa . ch tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh trˆen chu tr`ınh n`ay th`anh: tˆa . p S c´ac d¯ı ˙’ nh c´o mˆo . t cung t´o . i n´o v`a mˆo . t cung ra kho ˙’ i n´o, tˆa . p S  c´ac d¯ı ˙’ nh c´o hai cung cu ˙’ a µ ra kho ˙’ i n´o v`a tˆa . p S  c´ac d¯ı ˙’ nh c´o hai cung cu ˙’ a µ d¯i t´o . i n´o. V`ı sˆo ´ c´ac cung d¯i ra bˇa ` ng sˆo ´ c´ac cung d¯i t´o . i nˆen #S  = #S  ; gia ˙’ su . ˙’ v  1 , v  2 , . . . , v  k l`a c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a S  v`a v  1 , v  2 , . . . , v  k l`a c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a S  . Trˆen chu tr`ınh µ, c´ac phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a S  v`a cu ˙’ a S  xen k˜e nhau v`a ta gia ˙’ su . ˙’ rˇa ` ng sau d¯ı ˙’ nh v  i th`ı d¯ı ˙’ nh d¯ˆa ` u tiˆen bˇa ´ t gˇa . p (khˆong thuˆo . c S) l`a v  i ; cuˆo ´ i c`ung, nˆe ´ u µ 0 l`a mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i gˇa . p d¯ı ˙’ nh x tru . ´o . c d¯ı ˙’ nh y th`ı ta k´y hiˆe . u µ 0 [x, y] l`a d¯u . `o . ng d¯i bˆo . phˆa . n cu ˙’ a µ 0 t`u . x d¯ˆe ´ n y. V`ı d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong ma . nh nˆen tˆo ` n ta . i ma . ch µ 1 d¯i qua v  i+1 v`a v  i v`a d`ung c´ac cung cu ˙’ a µ d¯ˆe ˙’ d¯i t`u . v  i+1 d¯ˆe ´ n v  i . Chu tr`ınh µ l`a mˆo . t tˆo ˙’ ho . . p tuyˆe ´ n t´ınh cu ˙’ a c´ac ma . ch v`ı ta c´o thˆe ˙’ viˆe ´ t µ = µ[v  1 , v  1 ] − µ 1 [v  2 , v  1 ] + µ[v  2 , v  2 ] + · · · = µ[v  1 , v  1 ] + µ 1 [v  1 , v  2 ] + µ[v  2 , v  2 ] + µ 2 [v  2 , v  3 ] + · · · − (µ 1 + µ 2 + · · ·). Vˆa . y mo . i chu tr`ınh so . cˆa ´ p d¯ˆe ` u l`a tˆo ˙’ ho . . p tuyˆe ´ n t´ınh cu ˙’ a c´ac ma . ch, d¯ˆo ´ i v´o . i c´ac chu tr`ınh bˆa ´ t k`y d¯iˆe ` u d¯´o c˜ung d¯´ung (v`ı n´o l`a tˆo ˙’ ho . . p tuyˆe ´ n t´ınh cu ˙’ a c´ac chu tr`ınh so . cˆa ´ p). Trong R m , c´ac ma . ch lˆa . p th`anh mˆo . t co . so . ˙’ cu ˙’ a khˆong gian vector con sinh bo . ˙’ i c´ac chu tr`ınh, v`a theo D - i . nh l´y 2.1.3 th`ı co . so . ˙’ n`ay c´o sˆo ´ chiˆe ` u l`a ν(G). Vˆa . y sˆo ´ cu . . c d¯a . i c´ac ma . ch d¯ˆo . c lˆa . p tuyˆe ´ n t´ınh bˇa ` ng ν(G).  51 2.2 Sˇa ´ c sˆo ´ Gia ˙’ su . ˙’ rˇa ` ng ch´ung ta c´o mˆo . t d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G v´o . i n d¯ı ˙’ nh, v`a cˆa ` n tˆo m`au c´ac d¯ı ˙’ nh sao cho hai d¯ı ˙’ nh kˆe ` nhau c´o m`au kh´ac nhau. Hiˆe ˙’ n nhiˆen l`a c´o thˆe ˙’ d`ung n m`au d¯ˆe ˙’ tˆo c´ac d¯ı ˙’ nh d¯´o, nhu . ng nhu . thˆe ´ vˆa ´ n d¯ˆe ` d¯ˇa . t ra la . i khˆong mang t´ınh thu . . c tiˆe ˜ n. Thˆe ´ th`ı sˆo ´ m`au tˆo ´ i thiˆe ˙’ u d¯`oi ho ˙’ i l`a bao nhiˆeu? D - ˆay ch´ınh l`a b`ai to´an tˆo m`au. Khi c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c tˆo, ch´ung ta c´o thˆe ˙’ nh´om ch´ung v`ao c´ac tˆa . p kh´ac nhau-mˆo . t tˆa . p gˆo ` m c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c tˆo m`au d¯o ˙’ , mˆo . t tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh d¯u . o . . c tˆo m`au xanh, vˆan vˆan. D - ˆay ch´ınh l`a b`ai to´an phˆan hoa . ch. B`ai to´an tˆo m`au v`a phˆan hoa . ch d˜ı nhiˆen c´o thˆe ˙’ x´et trˆen c´ac ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng thˆa . m ch´ı c´o thˆe ˙’ quan tˆam d¯ˆe ´ n viˆe . c tˆo m`au c´ac diˆe . n. Trong phˆa ` n n`ay ta chı ˙’ x´et c´ac d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng liˆen thˆong. D - i . nh ngh˜ıa 2.2.1 Cho tru . ´o . c mˆo . t sˆo ´ nguyˆen p, ta n´oi rˇa ` ng d¯ˆo ` thi . G l`a p−sˇa ´ c nˆe ´ u bˇa ` ng p m`au kh´ac nhau ta c´o thˆe ˙’ tˆo m`au c´ac d¯ı ˙’ nh, sao cho hai d¯ı ˙’ nh kˆe ` nhau khˆong c`ung mˆo . t m`au. Sˆo ´ p nho ˙’ nhˆa ´ t, m`a d¯ˆo ´ i v´o . i sˆo ´ d¯´o G l`a p−sˇa ´ c go . i l`a sˇa ´ c sˆo ´ cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G v`a k´y hiˆe . u l`a γ(G). V´ı du . 2.2.2 H`ınh 2.1 minh ho . a ba c´ach tˆo m`au kh´ac nhau cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . . Dˆe ˜ d`ang kiˆe ˙’ m tra rˇa ` ng d¯ˆo ` thi . n`ay l`a 2−sˇa ´ c. b r • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b r • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b r • • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g y p • • • (a) g y r • • • (b) r r b • • • (c) H`ınh 2.1: V´ı du . 2.2.3 Ba ˙’ n d¯ˆo ` d¯i . a l´y. Ta v˜e trˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng mˆo . t ba ˙’ n d¯ˆo ` . Go . i V l`a tˆa . p ho . . p c´ac nu . ´o . c, d¯ˇa . t (i, j) ∈ E nˆe ´ u c´ac nu . ´o . c i v`a j c´o biˆen gi´o . i chung. D - ˆo ` thi . G = (V, E) d¯ˆo ´ i x´u . ng v`a c´o t´ınh chˆa ´ t rˆa ´ t d¯ˇa . c biˆe . t l`a: c´o thˆe ˙’ v˜e n´o lˆen mˇa . t phˇa ˙’ ng m`a khˆong c´o hai ca . nh n`ao cˇa ´ t nhau (tr`u . ta . i c´ac d¯ı ˙’ nh chung); n´oi c´ach kh´ac, G l`a d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng. Ngu . `o . i ta d¯˜a biˆe ´ t rˇa ` ng sˇa ´ c sˆo ´ cu ˙’ a mo . i d¯ˆo ` thi . phˇa ˙’ ng d¯ˆe ` u nho ˙’ ho . n hoˇa . c bˇa ` ng bˆo ´ n (D - i . nh l´y 6.4.7). Nhu . vˆa . y bˇa ` ng bˆo ´ n m`au c˜ung d¯u ˙’ d¯ˆe ˙’ tˆo m`au ba ˙’ n d¯ˆo ` phˇa ˙’ ng sao cho hai nu . ´o . c kˆe ` nhau khˆong c`ung mˆo . t m`au. 52 T`u . d¯i . nh ngh˜ıa dˆe ˜ d`ang suy ra 1. Mˆo . t d¯ˆo ` thi . chı ˙’ c´o c´ac d¯ı ˙’ nh cˆo lˆa . p l`a 1−sˇa ´ c. 2. Mˆo . t d¯ˆo ` thi . c´o mˆo . t hoˇa . c hai ca . nh (khˆong pha ˙’ i l`a mˆo . t khuyˆen) c´o sˇa ´ c sˆo ´ ´ıt nhˆa ´ t bˇa ` ng hai. 3. D - ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ n d¯ı ˙’ nh K n l`a n−sˇa ´ c. 4. D - ˆo ` thi . l`a mˆo . t chu tr`ınh d¯o . n gia ˙’ n v´o . i n d¯ı ˙’ nh, n > 3, l`a 2−sˇa ´ c nˆe ´ u n chˇa ˜ n v`a 3−sˇa ´ c nˆe ´ u n le ˙’ . 5. Hiˆe ˙’ n nhiˆen, mo . i d¯ˆo ` thi . 2−sˇa ´ c l`a hai phˆa ` n do ch´ung ta c´o thˆe ˙’ phˆan hoa . ch tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh V th`anh hai tˆa . p con theo m`au d¯u . o . . c tˆo trˆen c´ac d¯ı ˙’ nh. Tu . o . ng tu . . , d¯ˆo ` thi . hai phˆa ` n l`a 2−sˇa ´ c, v´o . i mˆo . t tru . `o . ng ho . . p ngoa . i lˆe . tˆa ` m thu . `o . ng: d¯ˆo ` thi . c´o ´ıt nhˆa ´ t hai d¯ı ˙’ nh cˆo lˆa . p v`a khˆong c´o ca . nh l`a hai phˆa ` n nhu . ng l`a 1−sˇa ´ c. D - i . nh ngh˜ıa 2.2.4 Ta go . i sˇa ´ c l´o . p cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G l`a sˆo ´ nguyˆen q c´o c´ac t´ınh chˆa ´ t sau: 1. C´o thˆe ˙’ d`ung q m`au kh´ac nhau d¯ˆe ˙’ tˆo m`au c´ac ca . nh cu ˙’ a G sao cho hai ca . nh kˆe ` nhau khˆong c`ung mˆo . t m`au; 2. D - iˆe ` u n`ay khˆong thˆe ˙’ l`am d¯u . o . . c v´o . i (q − 1) m`au. Nhˆa . n x´et rˇa ` ng sˇa ´ c l´o . p cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) ch´ınh l`a sˇa ´ c sˆo ´ cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G  = (V  , E  ) d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh nhu . sau: mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G  tu . o . ng ´u . ng mˆo . t ca . nh cu ˙’ a G; ca . nh e  = (v  1 , v  2 ) ∈ E  nˆe ´ u c´ac ca . nh e 1 v`a e 2 (tu . o . ng ´u . ng v´o . i hai d¯ı ˙’ nh v  1 , v  2 ) kˆe ` nhau. Nhu . vˆa . y b`ai to´an sˇa ´ c l´o . p d¯u . a vˆe ` b`ai to´an sˇa ´ c sˆo ´ . Du . ´o . i d¯ˆay l`a mˆo . t v`ai kˆe ´ t qua ˙’ co . ba ˙’ n vˆe ` sˇa ´ c sˆo ´ . D - i . nh l´y 2.2.5 [K¨onig] D - ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng G l`a 2−sˇa ´ c nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u n´o khˆong c´o chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ . Ch´u . ng minh D - iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n. Nˆe ´ u d¯ˆo ` thi . G l`a 2−sˇa ´ c, th`ı tˆa ´ t nhiˆen G khˆong ch´u . a chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ , v`ı c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a mˆo . t chu tr`ınh loa . i nhu . vˆa . y khˆong thˆe ˙’ tˆo bˇa ` ng hai m`au theo nhu . quy tˇa ´ c d¯˜a chı ˙’ ra o . ˙’ trˆen. D - iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ . Gia ˙’ su . ˙’ d¯ˆo ` thi . G khˆong c´o chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ , ta ch´u . ng minh n´o l`a 2−sˇa ´ c. Khˆong gia ˙’ m tˆo ˙’ ng qu´at coi G l`a liˆen thˆong. Ta s˜e tˆo m`au dˆa ` n c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G theo quy tˇa ´ c sau: 53 • tˆo m`au xanh cho mˆo . t d¯ı ˙’ nh a n`ao d¯´o; • nˆe ´ u mˆo . t d¯ı ˙’ nh x n`ao d¯´o d¯˜a d¯u . o . . c tˆo xanh, th`ı ta tˆo d¯o ˙’ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` v´o . i n´o; nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh y d¯˜a d¯u . o . . c tˆo d¯o ˙’ , th`ı ta tˆo xanh tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kˆe ` v´o . i y. V`ı d¯ˆo ` thi . G liˆen thˆong, nˆen s´o . m hay muˆo . n th`ı mo . i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a n´o d¯ˆe ` u d¯u . o . . c tˆo m`au hˆe ´ t, v`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh x khˆong thˆe ˙’ c`ung mˆo . t l´uc d¯u . o . . c tˆo xanh v`a tˆo d¯o ˙’ , v`ı nhu . vˆa . y th`ı x v`a a s˜e c`ung nˇa ` m trˆen mˆo . t chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ . Vˆa . y d¯ˆo ` thi . G l`a 2−sˇa ´ c.  Ch´u ´y rˇa ` ng t´ınh chˆa ´ t d¯ˆo ` thi . G khˆong c´o chu tr`ınh v´o . i d¯ˆo . d`ai le ˙’ tu . o . ng d¯u . o . ng v´o . i t´ınh chˆa ´ t G khˆong c´o chu tr`ınh so . cˆa ´ p v´o . i d¯ˆo . d`ai le ˙’ . Thˆa . t vˆa . y gia ˙’ su . ˙’ c´o mˆo . t chu tr`ınh µ = {v 0 , v 1 , . . . , v p = v 0 } c´o d¯ˆo . d`ai p le ˙’ . Mˆo ˜ i khi gˇa . p hai d¯ı ˙’ nh v j v`a v k v´o . i j < k < p v`a v j = v k , ta phˆan chia µ th`anh hai chu tr`ınh bˆo . phˆa . n µ 1 = {v j , . . . , v k } v`a µ 2 = {v 0 , . . . , v j , v k , . . . , v 0 }; ho . n n˜u . a mˆo . t trong hai chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ (v`ı nˆe ´ u khˆong nhu . thˆe ´ th`ı µ s˜e c´o d¯ˆo . d`ai chˇa ˜ n). Ta thˆa ´ y rˇa ` ng nˆe ´ u tiˆe ´ p tu . c phˆan chia chu tr`ınh µ theo c´ach d¯´o cho d¯ˆe ´ n khi c`on c´o thˆe ˙’ l`am d¯u . o . . c, th`ı mˆo ˜ i lˆa ` n vˆa ˜ n c`on d¯u . o . . c mˆo . t chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai le ˙’ ; v`ı cuˆo ´ i c`ung mo . i chu tr`ınh d¯ˆe ` u l`a so . cˆa ´ p, nˆen xa ˙’ y ra mˆau thuˆa ˜ n; v`a ta c´o d¯iˆe ` u cˆa ` n ch´u . ng minh. D - i . nh l´y sau d¯ˆay cho ta biˆe ´ t cˆa . n trˆen cu ˙’ a sˇa ´ c sˆo ´ . D - i . nh l´y 2.2.6 K´y hiˆe . u d max l`a bˆa . c cu . . c d¯a . i cu ˙’ a c´ac d¯ı ˙’ nh trong G. Khi d¯´o γ(G) ≤ 1 + d max . Ch´u . ng minh. B`ai tˆa . p.  Brooks [9] d¯˜a ch´u . ng minh rˇa ` ng nˆe ´ u G l`a d¯ˆo ` thi . khˆong d¯ˆa ` y d¯u ˙’ , c´o d max d¯ı ˙’ nh th`ı γ(G) ≤ d max . 2.2.1 C´ach t`ım sˇa ´ c sˆo ´ X´et d¯ˆo ` thi . G = (V, Γ) c´o n d¯ı ˙’ nh v`a m ca . nh; muˆo ´ n t`ım sˇa ´ c sˆo ´ cu ˙’ a n´o ta c´o thˆe ˙’ d`ung mˆo . t phu . o . ng ph´ap thu . . c nghiˆe . m rˆa ´ t d¯o . n gia ˙’ n, ´ap du . ng tru . . c tiˆe ´ p d¯u . o . . c, nhu . ng khˆong pha ˙’ i l´uc n`ao c˜ung c´o hiˆe . u qua ˙’ hoˇa . c c´o thˆe ˙’ d`ung phu . o . ng ph´ap gia ˙’ i t´ıch, n´o cho ta mˆo . t l`o . i gia ˙’ i hˆe . thˆo ´ ng, nhu . ng n´oi chung cˆa ` n m´ay t´ınh d¯iˆe . n tu . ˙’ . 54 [...]... u.a ra 40 l`.i giai thˆ c` t` ra Su thˆt th` c´ 92 l`.i giai nhu 12 so d` du.´.i d ˆy: ˙ ’ do c´c nh` ham c` ım a a o ı o o ¯o o ¯a ˆ a (72 631 485) (35 841726) (16 837 425) (514682 73) (6152 837 4) (46152 837 ) (572 631 84) (427518 63) (584172 63) (572 631 48) (481572 63) (35 281746) ˜ ˙ ’ Mˆi so d` trˆn tu.o.ng u.ng v´.i mˆt ho´n vi, v` t` mˆt so d` ta suy ra t´m l`.i giai kh´c o ¯o e ˆ ´ o o a a u o ¯ˆ o a o a... o ¯i ¯ a ¯o o o e o e ˙ ’ ˆ cu.c d ai Ho c´c tˆp ˆ’n d nh trong cu.c d ai cua d` thi n`y l` ¯ a a o ¯i ˙ ¯ ˙ ¯o a a {v7 , v8 , v2 , v5 }, {v1 , v3 , v7 }, {v4 , v6 }, {v3 , v6 }, {v1 , v5 , v7 }, {v1 , v4 }, {v3 , v7 , v8 } ˙ ´ V´ du 2 .3. 3 [Gauss] B`i to´n t´m con hˆu Trˆn b`n c` c´ thˆ’ bˆ tr´ t´m con hˆu, sao ı a a a a e a o o e o ı a a o.c con n`o khˆng? B`i to´n nˆ’i tiˆng n`y d u.a... xˆp: o o ¯i a ¯o o a a a a a e o (3, 3) , (4, 6), (5, 4), (6, 2), (7, 5) v` a (5, 1), (8, 3) , (4, 4), (3, 6), (7, 8), ˜ a o o ¯i ´ ’ trong d ´ (i, j) l` vi tr´ cua con hˆu o h`ng i v` cˆt j C˜ng dˆ thˆ y sˆ ˆ’n d nh l`: +8 d ˆi ¯o a ı ˙ a ˙ a a o u e ´ ´ ˙ a ¯o ’ i c´c con th´p; +12 d oi v´.i c´c con m˜; +8 d oi v´.i c´c con d iˆn ´ ´ v´ a o a ¯ˆ o a a ¯ˆ o a ¯e 63 ´ ´ ’ V´ du 2.4.7 B`i to´n vˆ s´u... ˙ hai cˆ g´i: khi d o cˆn t` mˆt tˆp ho.p ˆ’n d nh trong cu.c d ai Ta c´ α(G) ≤ 35 v` mˆt cˆ o a ¯´ ` ım o a a o ¯i ¯ o ı o o 1 ` ´ ´ ’ ˙ o a ’ g´i chı c´ mˇt nhiˆu nhˆ t l` trong 7 bˆ ba kh´c nhau, nˆn tˆ t ca c´ 15 × 7 × 3 = 35 bˆ l` a e a a o a e a ˙ o o a ˙ ¯i ` u nhˆ t; v` vˆy moi tˆp ho.p ˆ’n d nh trong c´ 35 bˆ ba d` u l` cu.c d ai ´ ı a nhiˆ e a o o ¯ˆ a ¯ e a o -e e ˙ ˙ ˙ a ¯o... ˙ ’ ˙ ’ Dinh l´ 2.5 .3 Phu g cu a mˆt d` thi l` tˆi thiˆ’u nˆu v` chı’ nˆu g khˆng ch´.a c´c dˆy y o ¯ˆ a o e o u a a o n ho.n hoˇc bˇ ng ba ` o ¯o a o chuyˆn c´ d ˆ d`i l´ e a ` a - ` ˙ ˙ ` o ˙ ˙ ’ ’ ˙ o ’ ´ ’ Ch´.ng minh Diˆu kiˆn cˆn Gia su g l` phu tˆi thiˆ’u cua G m` ch´.a mˆt dˆy chuyˆn c´ u e e ` a e a u o a e a d o d`i ba l` ¯ˆ a a µ := {v1 , e1 , v2 , e2 , v3 , e3 , v4 } ˜ ˜ ´ ˙ ˙ ’... ai S2 cua d` thi con sinh ra bo.i c´c d ınh o a ¯e o a o ¯i ¯ ˙ ˙ ˙ ’ o ˙ ’ o ¯i ¯ ˙ ¯ˆ o cua V \ S1 , sau d´ d`ng m`u (3) dˆ’ tˆ tˆp ho.p ˆ’n d nh trong cu.c d ai cua d` thi con c`n lai, o u a ¯e o a ´ ´ ` ˙ ’ ˙ ¯` ’ e v.v Thu.c ra khˆng phai nhu vˆy D` thi trˆn H` 2 .3 (c´ sˇc sˆ bˇ ng 4) ch´.ng to d iˆu o a -ˆ e o ınh o a o a u 58 ` o a ¯˙ ´ e ´ ’ ’ d o: c´c d ınh kˆ v´.i c´c d ınh a, b,... • b • c • a • d H` 2 .3: ınh ˙ ’ V´ du 2 .3. 7 [Shannon] B`i to´n vˆ dung lu.o.ng thˆng tin cua mˆt tˆp ho.p t´ hiˆu X´t ı a a ` e o o a e ın e `.ng ho.p rˆ t d o.n gian l` m´y ph´t c´ thˆ’ truyˆn d i nˇm t´ hiˆu: a, b, c, d, e;... v4 • • v5 • v8 • v3 • v2 • v1 • v9 H` 2.7: ınh ˙ ` ınh e ´ ’ ˙ o u ’ V´ du 2.4.5 Vi tr´ cua c´c “tˆm” dˆ’ phu mˆt v`ng C´ nhiˆu l˜ vu.c liˆn quan dˆn b`i ı a ¯e o e ¯e a ı ˙ a to´n n`y: a a ` ¯e ´ ’ 1 Vi tr´ cua c´c m´y ph´t T.V hay radio truyˆn dˆn mˆt sˆ vi tr´ cho tru.´.c a a e o o ı o ı ˙ a ´ 62 ˙ ’ 2 Vi tr´ cua c´c tram g´c dˆ’ gi´m s´t mˆt v`ng a ¯e a a o u ı ˙ a ˙ ’ 3 Tram l`m viˆc cua... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 H` 2.8: ınh ˙ ˜ ˜ ´ ’ ’ ˙ ˙ ’ ’ o ¯˙ a o e o ¯˙ e u ta biˆ’u diˆn mˆi v`ng nho bo.i mˆt d ınh v` mˆt canh liˆn thuˆc hai d ınh nˆu hai v`ng e e o u o.ng u.ng c´ chung mˆt biˆn... l` o a a a o a a a ¯o ng mˆi so d` nhˆn d u.o.c qua d u.`.ng ch´o ch´ ˜ ´ ´ ˙ o o ’ x´ u o ¯o a ¯ ˆ ¯ o e ınh; ho´n vi cuˆi c`ng (35 281746) chı c´ bˆn a o u i giai v` so d` tu.o.ng u.ng s˜ tr`ng v´.i ch´ n´ sau khi quay 1800 ˙ ı ’ ¯o ˆ ´ e u o ınh o l` o ’ V´ du 2 .3. 4 B` cua mˆt d` thi G l` tˆp ho.p C ⊂ V sao cho ı e ˙ o ¯ˆ a a o a ∈ C, b ∈ C suy ra b ∈ Γ(a) ´ ˙ ¯ˆ ’ Nˆu V l` mˆt tˆp ho.p . nhu . 12 so . d¯ˆo ` du . ´o . i d¯ˆay: (72 631 485) (6152 837 4) (584172 63) (35 841726) (46152 837 ) (572 631 48) (16 837 425) (572 631 84) (481572 63) (514682 73) (427518 63) (35 281746) Mˆo ˜ i so . d¯ˆo ` trˆen tu . o . ng. d¯ˆo ` thi . n`ay l`a {v 7 , v 8 , v 2 , v 5 }, {v 1 , v 3 , v 7 }, {v 4 , v 6 }, {v 3 , v 6 }, {v 1 , v 5 , v 7 }, {v 1 , v 4 }, {v 3 , v 7 , v 8 }. V´ı du . 2 .3. 3 [Gauss] B`ai to´an t´am con hˆa . u. Trˆen. hˆa . u, chˇa ˙’ ng ha . n v´o . i hai c´ach sˇa ´ p xˆe ´ p: (3, 3) , (4, 6), (5, 4), (6, 2), (7, 5) v`a (5, 1), (8, 3) , (4, 4), (3, 6), (7, 8), trong d¯´o (i, j) l`a vi . tr´ı cu ˙’ a con hˆa . u