một số khái niệm và định nghĩa về lý thuyết vành và trường

Nhóm X,+ được gọi là nhóm cộng của vành X .Phần tử trung lập của phép cộng gọi là phần tử không , kí hiệu 0.Phần tử đối xứng của phần tử x∈X gọi là phần tử đối của x ,kí hiệu là –x.. Vàn

A MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA VỀ LÝ THUYẾT VÀNH VÀ TRƯỜNG

Với mọi x,y,z ∈X Ta có :x(yz) =(xy)z

c.Phép nhân phân phối đối với phép cộng :

Với mọi x,y,z ∈X Ta có :

x(y + z) = xy + xz

(y + z)z = yx + zx

Nhóm (X,+) được gọi là nhóm cộng của vành X Phần tử trung lập của phép cộng gọi là phần tử không , kí hiệu 0.Phần tử đối xứng của phần tử x∈X gọi là phần

tử đối của x ,kí hiệu là –x

Vành X được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của nó là giao hoán Vành X được gọi là vành có đơn vị nếu phép nhân của nó có đơn vị ,phần tử đơn vị của X kí hiệu là e hay 1

c.Với mọi x,y∈X Ta có :

x(-y) = (-x)y = -xy

3.2 Định lý

Giả sửA là một tập con khác rỗng của vành X Khi đó các điều kiện sau là tương đương :

a A là vành con của X

b Với mọi x,y∈A , ta có x + y∈A ,x.y ∈A , và -x∈A

c Với mọi x,y∈A , ta có x - y∈A và x.y ∈A.

4.Ideal.

4.1 Định ngh ĩa.

Giả sử X là một vành

a Vành con Acủa X gọi là ideal trái của X nếu xa∈A ,∀x∈X và a∈X

b Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax∈A ,∀x∈X và a∈X

c Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái vừa là ideal phải

của X

Đối với vành giao hoán , các khái niệm ideal trái ,ideal phải và ideal là trùng nhau.Giả sử X là vành có đơn vị và A là một ideal của X chứa đơn vị của X khi đó A = X.

4.2 Định lý

Một tập con A khác rỗng của vành X là ideal của X khi và chỉ khi các điều kiện sau thoả mãn:

a Với mọi a,b∈A , ta có a - b∈A

b Với mọi a ∈A v à x ∈X, ta có xa∈A và ax∈A

4.3 Định nghĩa.

A được gọi là ideal chính nếu A là ideal sinh bởi một tập hợp

Kí hiệu : A = <a>

5 Vành thương.

Giả sử X là một vành và A là một ideal tuỳ ý của X Khi đó A là nhóm con của

nhóm cộng Abel X Suy ra A là chuẩn tắc Đã biết rằng tập thương :

X/A = {x + A : x ∈X } cùng với phép toán cộng :

(x + A) + (y + A) = (x + y) + A (x,y∈X) là một nhóm Abel.

Ta có thể trang bị cho X/A một phép toán nhân định nghĩa như sau :

(x + A)(y +A) = x.y + A (x,y∈X)

Định nghĩa này được xác định một cách đúng đắn , nghĩa là lớp xy + A chỉ phụ thuộc vào lớp x + A và y + A mà không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện x và y từ các lớp đó

Thật vậy , giả sử x’ + A = x + A và y’ + A = y + A , tức là x’ – x ∈A và

y’ – y ∈A Khi đó :x’y’ – xy = x’(y’ – y) +(x’ – x)y∈A vì A là một ideal của

Phép cộng : (xi) i∈I + (yi)i∈I = (xiyi)i∈I

Phép nhân : (xi)i∈I (yi)i∈I = (xiyi)i∈I .

Khi đó X cùng với hai phép toán trên lập thành một vành Vành X = ∏

∈I

i Xi được gọi là tích trực tiếp của họ các vành (Xi)i∈I .

thường được kí hiệu là X1 ⊕X2 ⊕…⊕Xn

Khi tập chỉ số I là hữu hạn thì tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ các vành (xi)i∈I là trùng nhau

8.Miền nguyên.

Giả sử X là một vành ,phân tử a≠0 của X gọi là ước của không nếu tồn tại phần tử

b≠0 của X sao cho a.b = 0 hoặc b.a = 0

Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán ,có đơn vị ,có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không

a.X cùng với phép cộng là một nhóm Abel

b.X\{0} cùng với phép nhân là một nhóm abel

c.Phép nhân phân phối đối với phép cộng

10.Thể

Vành có đơn vị X được gọI là một thể nếu X có nhiều hơn một phần tử và mọi

phần tử khác không của X đều khả nghịch

Như vậy trường là một thể giao hoán

11.Đặc số của vành

Giả sử X là một vành Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na = 0 ,

∀a ∈X thì ta nói vành X có đặc số là n Nếu không tồn tại số n như vậy thì ta nói vành X có đặc số 0 Đặc số của vành X được kí hiệu là CharX Nếu X là một trường thì ta hiểu đặc số của trường X chính là đặc số của vành X

12 Ideal nguyên tố và Ideal tối đại.

Giả sử X là một vành giao hoán ,có đơn vị :

a Ideal P của vành X được gọi là Ideal nguyên tố nếu : P ≠X và ∀x,y∈X từ xy

∈P ta suy ra x∈P hoặc y∈P

b Ideal M của vành X được gọi là Ideal tối đại nếu M ≠X và không tồn tại một

Ideal A nào của X thoả mãn M⊂A⊂X với A≠M và A≠X

Ta có : f(x + y) = f(x) + f(y)

f(x.y) = f(x)f(y)

• Nếu X = Y thì đồng cấu f : X→Y được gọi là một tự đồng cấu vành của X.

• Đồng cấu f: X→Y gọi là một đơn cấu(toàn cấu , đẳng cấu ) ,nếu ánh xạ f là một đơn ánh (toàn ánh ,song ánh).Một tự đồng cấu song ánh gọi là một tự đẳng cấu

• Nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X→Y thì ta nói X và Y là đẳng cấu Kí hiệu X≅Y

2.Các tính chất.

• Nếu f: X→Y là một đồng cấu vành thì f(0x) = 0y và f(-x) = -f(x) , ∀x∈X.

• Nếu f: X→Y v à g :Y→Z là những đồng cấu vành thì ánh xạ tích g.f :X→Z cũng là một đồng cấu vành Đặc biệt tích của 2 đẳng cấu vành là một đẳng cấu vành

Chứng minh

Giả sử f:X→Y ,g : Y→Z là những đồng cấu vành Ta chứng minh g.f cũng là một đồng cấu vành

Thật vậy : Vì f và g là các ánh xạ nên g.f cũng là một ánh xạ từ X vào Z

Mặt khác :Vì X,Y,Z là những vành nên đối với phép cộng chúng là các nhóm giao hoán , và f,g là những nhóm đồng cấu của các nhóm cộng đó ,do đó g.f cũng là cũng

là một đồng cấu nhóm (*)

Tức là : ∀x,y∈X ta có :

g.f(x + y) =gf(x) + gf(y)

Hơn nữa ta còn có ∀x,y∈X :

Gf(xy) = g[f(x)f(y) ] = gf(x).gf(y)

• Nếu f :X→Y là một đẳng cấu vành thì ánh xạ ngược f-1 :Y→X cũng là một đẳng cấu vành

iii f là một đẳng cấu khi và chỉ khi f có nghịch đảo (tức là có một đồng cấu vành

g : Y→X sao cho g.f =idX , f.g = idY).

Chứng minh

i.Giả sử có f(x) = f(y) ∀x,y∈X

Khi đó x = idX(x) = gf(x) = gf(y) = idY(y) =y ⇒ x = y Vậy f là một đơn cấu

ii ∀z∈Y , ta có z = idY(z) = fg(z)

Vậy z là ảnh của f tác động trên g(z) Đều này chứng cho thấy f là một toàn cấu iii Giả sử f là một đẳng cấu Đặt g = f-1 dựa theo tính chất trên ta có g cũng là một đẳng cấu và gf = idX ,fg = idY (1)

Ngược lại : giả sử có đồng cấu g thoả mãn (1) theo (i) và (ii) f vừa là một đơn cấu vừa là một toàn cấu nên nó là một đẳng cấu Mà f là một đẳng cấu thì f-1 cũng là một đẳng cấu

Nhận xét các mệnh đảo của (i) và (ii) đều không đúng

Thật vậy : phép bao hàm :

f : Z⊂Q là một đơn cấu vành không có nghịch đảo trái Bởi vì nếu

g : Q→Z là một nghịch đảo trái của f thì g(1) = 1 từ đó 2.g(

2

1) = 1 Nhưng phương trình 2x = 1 không có nghiệm trong Z

3 Ảnh và tạo ảnh của đồng cấu vành

Định lý 2.Giả sử f :X→Y là một đồng cấu vành Và A là vành con của X, B là ideal của Y thì khi đó :

a f(A) là vành con của Y

b.f-1(B) là ideal của X

Chứng minh

a ∀x,y∈A Ta có : x - y ∈A ⇒ f(x – y) ∈f(A) Do f là đồng cấu nên :

f(x – y) = f(x) – f(y) ∈f(A)

f(xy) ∈ f(A) ⇒f(x)f(y) ∈ f(A) Do đó f(A) là một vành con của Y

( Vì x,y∈A ⊂X nên f(x),f(y) ∈f(A) ⊂ Y.)

f :X→Y là một đồng cấu vành thì Imf cũng cũng là một vành giao hoán Nếu Imf không tầm thường tức là Imf ≠0 thì f(1) ≠0 chính là đơn vị của Imf

Ta chỉ còn phải chứng minh rằng mỗi ideal B của Imf đều là một ideal chính Theo mệnh đề (trên) f-1 (B) là ideal của X Do đó f-1(B) là một ideal chính aX (a∈X) , Vì X là một vành các ideal chính cuối cùng :

B = f(f-1(B)) = f(aX) = f(a) Imf là ideal chính sinh bởi f(a) trong vành Imf

Định lý 3 f : X→Y là một toàn cấu vành và A là ideal của X Chứng minh f(A) là ideal của Y

Xét y1y = f(a)f(x) = f(ax) ∈f(A) (A là ideal của X )

yy1 = f(x)f(a) = f(xa) ∈f(A)

⇒f(A) ideal của Y.

Định lý 4 f :X→Y là một đồng cấu vành Chứng minh rằng kerf  X.

f [(x + A)(y + B) ] = f (xy + A) = f(xy) + B = f(x)f(y) + B =

= (f(x) + B)(f(y + B)) = f (a) f (b) ⇒ f là một đồng cấu

Mặt khác ta luôn có : Y = Imf + B

(⇐) Imf + B = Y và f-1(B) ⊂A Chứng minh f là đẳng cấu

• ∀y + B ∈Y/B ⇒y∈Y = Imf + B

⇒ ∃x∈X , b∈B : y = f(x) + b

⇒y + B = f(x) + b + B = f(x) + B = f (x + A) Vậy f là toàn cấu

• Giả sử f (x1 + A) = f (x2 + A) ⇒f(x1) + B = f(x2) + B

⇒ f(x1) – f(x2) ∈B ⇒ x1 - x2 ∈f-1(B) ⊂A ⇒x1 + A = x2 + A

⇒ f là một đơn cấu Vậy f là một đẳng cấu

Nhận xét Ta không đòi hỏi mọi vành đều có đơn vị nên không bắt buộc mọi đồng

cấu vành f :X →Y phải có tính chất f(1) = 1’ , ngay cả trong trường hợp X và Y có đơn vị (tương ứng là 1 và 1’) Tuy nhiên , nếu f ≠0 và Y là một miền nguyên thì từ

hệ thức f(1)f(1) = f(1) và f(1) ≠ 0 ⇒f(1) = 1’

Định lý 6 Đồng cấu vành f : X→Y là một đồng cấu vành.

a.Nó là toàn cấu nếu và chỉ nếu Imf = Y

b.Nó là đơn cấu nếu và chỉ nếu kerf =0

Chứng minh

a.Ta có :Ta có : Imf = {f(x) : x∈X} = f(X)

Mà Imf = Y ⇒Y = f(X) ⇒ f là một toàn cấu

b (⇒) Giả sử f là đơn cấu Khi đó ∀x∈ kerf ⇒ f(x) = 0 ⇔f(x) = f(0)

⇒ x = 0 Nên kerf = {0}

(⇐) Ngược lại :Giả sử kerf = {0} khi đó ∀a,b∈X :

f(a) = f(b) ⇒f(a) – f(b) = 0 ⇒f(a – b) =0 ⇒a - b∈ kerf

⇒a – b = 0 ⇒ a = b

Hệ quả :Mỗi đồng cấu vành từ một thể vào một vành hoặc là đồng cấu tầm thường

hoặc là một đơn cấu

Chứng minh Giả sử f : K→ X là một đồng cấu vành từ một thể vào một thể K vào một vành

X Nếu kerf = 0 thì f là một đơn cấu Trái lại nếu kerf ≠ 0 ,giả sử a ≠ 0 là một phần tử của kerf Vì K là một thể ,nên a có nghịch đảo là a-1 Do kerf là một ideal nên 1 = a-1a ∈ kerf

Từ đó x = x.1 ∈ kerf , ∀x∈K Vậy K = kerf , và f là đồng cấu tầm thường

Định lý 7.Giả sử f :X →Y là một đồng cấu vành X ,A⊂ kerf

iii f là một đẳng cấu khi và chỉ khi f là một toàn cấu và A = kerf.

Chứng minh

i Định nghĩa ánh xạ f : X/A→Y bởi công thức : f (x + A) =f(x) ,∀x∈X Định nghĩa này được xác định một cách đúng đắn

Thật vậy , nếu x + A y + A thì x – y ∈A⊂ kerf ,nên f(x – y) = 0Y hay f(x) = f(y)

Dễ dàng thử thấy rằng f là một đồng cấu vành thoả mãn f = f h Giả sử tồn tại đồng cấu vành g :X/A →iY sao cho f = g h Thế thì ∀x∈X, ta có

Ngược lại : do A = kerf , nên :

Kerf = kerf/A = A ,suy ra f là một đơn cấu Vậy f là một đẳng cấu

x + A  x + B Định nghĩa này là đúng đắn thật vậy :

Giả sử x + A = x’ + A thế thì x-x’∈A ⊂B do đó x + B = x’ + B Dễ dàng kiểm tra được rằng f là một toàn cấu vành Mặt khác ,ta có :

Kerf = {x + A ∈X/A :f(x + a) = 0 }

= {x + A ∈X/A:x + B = B}

= {x + A ∈X/A:x ∈B} = B/A

Vậy theo định lý đồng cấu vành f cảm sinh đẳng cấu vành :

f : (X/A)/kerf → X/B hay (X/A)/(B/A) ≅X/B

Định lý 9 Giả sử A là vành con của vành X và B là ideal của X Khi đó A∩B là một ideal của A và ta có đẳng cấu vành A/ A∩B≅(A + B)/B

Là một đồng cấu vành Hơn nữa f là một toàn cấu, thật vậy ta có :

(a + b) +B = a + B = f(a) ,với mọi (a + b) + B ∈(A +B )/B Mặt khác :

kerf = {a∈A :f(a) = 0}

= {a∈A :a + B = B}

= { a∈A :b∈B} = A∩B

Theo định lý đồng cấu vành ta có đẳng cấu vành : A/A∩B≅(A + B)/B.

f(x+y) = f(x +y,0) = (x,0) + (y,0) = f(x) +f(y)

f(xy) = f(xy,0) = (x,0).(y,0) = f(x).f(y)

Như vậy f là một đồng cấu

ha(x+y) = a(x+ y) = ax+ ay = ha(x) + ha(y)

⇒ ha(x + y) = ha(x) +ha(y).

Như vậy ha là đồng cấu nhóm từ nhóm cộng X đến nhóm cộng X

ha+b (x) = (a+b)x = ax + bx = ha(x) + hb(x) = (ha+ hb)(x)

ha.b(x) = (ab)x = a.(bx) = ha(bx) = ha(hb(x)) = ha.hb(x)

c kerh = {a∈X :ha(x)=0,∀x∈X}

= {a∈X :ax=0,∀x∈X}

Nếu X là vành có đơn vị thì a∈kerf ⇔ae = a = 0 ⇒kerh ={ }0 Hay h là đơn cấu

Bài 3.Cho X1, X 2 là một vành ,xét X = X 1 xX 2 ,có các tập con là:

A 1 ={(x1,0):x1∈X1};

A 1 ={(0,x2):x2∈X2}; Chứng minh rằng kerp j = A j với

P i : X → X i là toàn cấu chính tắc (j,i =1,2;j≠i ) ⇒X/A j≅X i

Vậy A2 = kerP1 là một ideal của X

Tương tự A1 = kerP2 là một ideal của X Theo định lý đồng cấu vành ta có:

X/A 2 ≅ X1 , X/A1≅X 2

Bài 4 Cho A là deal của vành X , p : X→X/A là toàn cấu chính tắc.Chứng minh

rằng : Nếu Blà ideal của X thì P(B) là ideal của X/A.

Bài 5.Giả sử A,B X , Nếu X = A + B và A∩B = { }0 thì ta nói X được phân tích

thành tổng trực tiếp các ideal A và B.Kí hiệu X = A ⊕ B Và ∀x ∈A ⊕ B viết duy nhất dưới dạng x = a + b vớI a∈A,b∈B.Chứng minh rằng: X ≅ AxB

⇒f( (a,b) +(a’,b’) ) = f(a,b) + f(a’,b’)

Xét f [ ( )(a,b a,'b') ] = f(aa’,bb’) = aa’ + bb’ = aa’ + a’b + ab’ +bb’

= (a + b)(a’ + b’) = f(a,b).f(a’,b’)

Vậy f là một đồng cấu.

• f là một đẳng cấu

Thật vậy : ∀(a,b),(a’,b’) ∈AxB

Giả sử f(a,b) = f(a’,b’)

Khi đó ta có : a + b = a’ + b’ (do sự phân tích duy nhất)

a = a’

⇒ b = b’ ⇒ (a,b) = (a’,b’) ⇒f là đơn cấu

•MỗI x∈X ⇒ x = a + b (a∈A,b∈B) duy nhất

⇒f(a,b) = x.Vậy f là toàn ánh

Vậy f là 1 đẳng cấu hay AxB≅ A⊕B.

Bài 6.Tìm tất cả các tự đồng cấu của các vành Q, Z, Z( 2 ), Z(i).

•Nếu f(1) = 0 thì ∀m∈Z( 2 )⇒m =a + b 2 ,với a,b∈Z

Ta có : f(m) = f(a + b 2 ) = f(a) + f(b)f( 2 ) = a.0 + b 2 0 =0 ⇒ f là đồng cấu không

•Nếu f(1) = 1 thì ta có : 2 =f(2) = f( 2 2 )

⇒ f( 2 ) = 2 hoặc f( 2 ) =- 2 Nếu f( 2 ) = 2 thì ∀ a + b 2 ∈Z( 2 ) ta có :

f(a + b 2 ) = f(a) + f(b)f( 2 ) = a + b 2

⇒ f là đồng cấu đồng nhất

Nếu f( 2 ) = - 2 thì ∀a + b 2 ∈Z( 2 ) ta có :

f(a + b 2 ) = a - b 2 ⇒f là đồng cấu liên hợp.

Như vậy có 3 đồng cấu từ vành Z( 2 )→Z( 2 ) là:

Đồng cấu không

Đồng cấu đồng nhất

Đồng cấu liên hợp

∗ Các đồng cấu của vành Z(i)

Giả sử f : Z(i) →Z(i) là đồng cấu vành khi đó ta có:

f(1) = 1 = f(1.1) = f(1).f(1) ⇒f(1) = 0 hoặc f(1) = 1

• Nếu f(1) = 0 thì ∀a +ib∈Z(i) ta có :

f(a +ib) = f(a) + f(i) f(b) =f(a).0 +f(i).f(b).0 = 0

⇒f là đồng cấu không

•Nếu f(1) =1ta có:

i2 = -1 =f(-1) = f(i.i) =f(i).f(i) ⇒f(i) = i hoặc f(i) = -i

Nếu f(i) = i thì ∀ a + ib∈Z(i) ta có :

f(a + ib) = f(a) +f(i)f(b) = a + ib ⇒f là đồng cấu đồng nhất

Nếu f(i) = -i thì ∀a + ib∈Z(i) ta có :

f(a + ib) =f(a) + f(i)f(b) = a –ib ⇒f là đồng cấu liên hợp

Vậy có 3 đồng cấu từ vành Z(i) →Z(i) là:

n

1+

n

1+…….+

n

1) = n.f(

n

1)⇒f(

n

1) =

, : là một trường với phép toán cộng và phép toán nhân

ma trận.Chứng minh rằng Trường này đẳng cấu với trường C.

∗ f(x + y) = f(a + ib + a’ + ib’) = f( a + a’ + i(b +b’) ) = 

' '

' '

a a b b

b b a a

= = −a b a b + −a b'' a b'' = f(x) + f(y)

∗ f(xy) = f[ (a+ib) (.a'+ib') ] = f( (aa’ – bb’) +(ba’ +ab’)i )= 

' ' ' '

bb aa ab ba

ab ba bb aa

= =−a b a b 

a b

b a

= f(x).f(y) Như vậy f là một đồng cấu

Giả sử f(x) = f(y) ∀x,y ∈C ta có:

f(a + ib) = f(a’ + ib’) ⇒ 

∈M ta đều có a + ib∈C sao cho f(a + ib) = 

b a

, :

minh N≅Q( 2 )

Giải

Chứng minh tương tự như bài trên

Bài 10.Cho (m,n) = 1.m,n∈N Chứng minh rằng Z/mnZ≅Z/mZxZ/nZ.

Giải

Để chứng minh bì trên ta xét bổ đề sau:

Giả sử X là một vành giao hoán có đơn vị,A,B là các ideal của X sao cho

Mặt khác ,x∈kerf ⇔(x +A,x + B) = (A,B) ⇒x∈A∩B

Vậy kerf = A∩B Vì A,B là các ideal của X ⇒AB là ideal luôn chứa trong

A∩B Mà X = A + B ⇒A∩ B ⊂ AB Vậy A∩B = AB

Theo định lý đồng cấu vành ⇒X/AB ≅(X/A)x(X/B).

1 5

1 3

1 1 2

1 1 2

= 2I

f(X1) =

2

1AX1B , f(X2) =

2

1AX2B

Xét f(X1.X2) =

2

1AX1X2B =

2

1AX1BB-1A-1X2B =

2

1AX1B

2

1AX2B = f(X1).f(X2) f(X1 +X2) =

2

1A(X1 + X2)B =

2

1AX1B +

2

1AX2B = f(X1) + f(X2) ⇒f là đồng cấu

Ta có : f(x).f(y) = (a + b 3 )(a’ + b’ 3 ) = aa’ + 3bb’ +(ab’ + ba’) 3 (2)

⇒ a = 0 hoặc b = 0 ⇒ a2 = 2 hoặc b2 = 2 .Không xảy ra vì a,b∈Z

Vậy Z( 2 ) không đẳng cấu vớI Z( 3 )

Bài 13.Chứng minh rằng các trường Q( 2 ) và Q(i) không đẳng cấu với nhau.

Chứng minh

Giả sử f : Q(i) →Q( 2 ) là đẳng cấu

Khi đó f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) do f(1) ≠0 (Vì f là đẳng cấu) nên f(1) =

1

⇒f(-1) = -1

Như vậy ta có –1 = f(-1) = f(i2) = f(i )2

Điều kiện trên law mâu thuẩn vì không tônd tại x∈Q( 2 ) sao cho x2 = -1

0

y

tức là f(x) = f(y)

0

y x

0

y

= f(x) +f(y)

.y x

0 1

Ak

1 ∗ Chứng minh I⊂∏

=

n k

Ak

1

với x=(x 1 ,x 2 ,…,x n ) ∈I ⇒Pk(x) = xk∈Pk(I) = Ak ∀k = 1…n

⇒x∈∏

=

n k

Bài 17 Cho vành X Cấp của phần tử trong nhóm cộng X gọi là đặc số của

vành X.Như thế vành khác X có đặc số m>0 nếu m là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho m.1 = 0 Nếu cấp của 1 vô hạn ta nói X có đặc số không Chứng minh rằng mọi vành X:

a ∃! đồng cấu vành g : Z →X

b Nếu vành X có đặc số 0 thì g là một đơn cấu

c Nếu X có đặc số m>0 thì ∃đơn cấu vành Zm →X.

f(-n) = -f(n) =(-n).1 , n∈N Do đó f = g hay g là duy nhất

b Giả sử X có đặc số 0 và n∈kerg , khi đó : g(n) = n.1 = 0 ⇔n = 0

Vậy kerg = { }0 do đó g là một đơn cấu

c.Giả sử X có đặt số m>0 , khi đó ta có :

n∈kerg ⇔n.1 = 0 ⇔mn ⇔n∈mZ

Như vậy kerg = mZ Dể thấy rằng tương ứng Zm→X ,

k  k.1 = g(k) là một đơn cấu vành Đơn cấu này thu được từ g

Bài 18 Cho X là vành và ánh xạ f : N →X sao cho f là đồng cấu đối với phép cộng

và phép nhân ,phép chọn đơn vị 1.Chứng minh rằng g là đồng cấu duy nhất sao cho tam giác sau giao hoán.

N i Z

f g gi = f trong đó i là phép nhúng chính