Bài tập cơ học đại cương - Phần 1 Cơ học vật rắn - Chương ôn tập docx

Người chơi xà treo tương tự như một thanh TMP, quay xung quanh BC với vận tốc góc tương đối ω không đổi so với xà treo.. Xác định gia tốc trong hệ quy chiếu R2 gắn liền với xà treo, gia

Trường đại học Bách KHOA

khoa sư phạm kỹ thuật

-ả ã -

bài tập cơ học đại cương (Mécanique générale) cơ học đại cương – dao động và sóng cơ dùng cho sinh viên chương trình đào tạo kỹ sư chất lượng cao

(LƯU HàNH NộI Bộ)

Biên soạn : LÊ CUNG – khoa sư phạm kỹ thuật

PHẦN I : BÀI TẬP CƠ HỌC VẬT RẮN

BÀI TẬP CHƯƠNG ÔN TẬP :

@ Áp dụng 1 (Trang 11) : Chuyển động của người chơi xà treo:

Một xà treo ABCD thực hiện cácc dao động hình sin

0.sin t

θ θ= ω Người chơi xà treo tương tự như một

thanh TMP, quay xung quanh BC với vận tốc góc

tương đối ω không đổi so với xà treo Vào thời điểm

ban đầu, người chơi xà treo ở tư thế thẳng đứng, đầu T

hướng lên trên

Xác định gia tốc trong hệ quy chiếu R2 gắn liền với xà

treo, gia tốc Coriolis, gia tốc theo và gia tốc trong hệ

quy chiếu trái đất R1 tại thời điểm t π

ω

= của điểm P (chân của người choi xà treo)

Cho biết: OM = AB = DC = b; MP = d

Bài giải :

‰ Gia tốc điểm P trong hệ quy chiếu R 2 :

Hệ quy chiếuR O e e e2( , , , )r θ z gắn liền với đu chuyển động quay quanh trục cố định trong hệ quy chiếu trái đất R1

Trong R2, điểm P quay đều xung quanh M với vận tốc góc ω bằng hằng số :

v( )P / 2R =ωe z × MP

Biểu diễn trong cơ cở ( ,e e e r θ, )z của R2, ta có :

Với : và :

0

0

1

z

e

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

cos sin 0

d t

MP d t

ω ω

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

sin

0

R

d t

P d t

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

/ 2

/ 2

cos v( )

0

R R

R

d t

d P

dt

⎧−

⎩

(Ghi chú :

+ Các vectơ nói trên được biểu diển trong cở sở ( ,e e e r θ, )z

+ Các khác để xác định v( )P /R2 : Trong R2, người chơi xà treo quay

đều quanh quanh điểm M nên v( )P / 2R có giá trị : ω.MP, cùng chiều

với chuyển động , nằm trong mặt phẳng chuyển động và

Do đó có thể viết ngay : / 2

sin

0

R

d t

P d

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

C

B

M

P

eθ

z

e

r

e

T

M

P

θ ωt

⊗

eθ

z

e

r

e

T

M

P

θ

ωt

⊗

/ R 2 v(P) ϖ

+ Cách khác để xác định a P( )/ 2R : Do trong R2, người chơi xà treo quay đều quanh điểm M với vận tốc góc ω nên gia tốc trong R2 chỉ có thành phần hướng tâm hướng từ P về M, giá trị

bằng ω2MP, suy ra :

2

/ 2

cos

0

R

d t

a P MP d t

⎧−

⎪

⎪

⎩

)

‰ Gia tốc Coriôlít của điểm P :

2/ 1 / 2

C R R

a P = Ω × P R với : ΩR2/ 2R =θe z

Biểu diễn trong cơ sở ( ,e e e r θ, )z : a C( ) 2P = θe z×v( )P / 2R

0

0

0

C

t d t

a P t d t

−

⎧

⎪

⎪

⎩

⇒

0 2 0

0

C

d t

a P d t t

⎧−

⎪

= −⎨

⎪

⎩

‰ Gia tốc theo của điểm P :

2 ( )

a P =θe ×OP−θ OP ⇒

0

e

⎪

⎪⎩

Tại t π

ω

= thì : tω = (chân P ở trên cao) ⇒ π

2 / 2

2 0

2 2 0

( ) ( ) 2

a P de

a P de

a P b d e

ω

θ ω

θ ω

⎪

=

⎨

⎩

‰ Gia tốc theo của điểm P trong hệ quy chiếu trái đất R 1 :

( )R e( ) C( ) ( )R

a P =a P +a P +a P ⇒ a P( )/ 1R =ω2[d+2θ0d−θ02(b−d e)] r

@Áp dụng 2 (Trang 16): Momen động lượng của một thanh:

Hai chất điểm A và B, giống nhau, khối lượüng m, được liên kết với nhau bằng một thanh chiều dài b, khối lượng không đáng kể

A chuyển động trên một vòng tròn tâm O, bán kính b, và thanh AB có thể dao động xung quanh một trục đi qua A và vuông góc với mặt phẳng chuyển

động

O A B

β

α

x

y

Tính động lượng và momen động lượng của hệ AB đối với điểm

O theo các góc α , β và các đạo hàm của chúng

Bài giải :

‰ Phương pháp 1 : (Dùng định nghĩa) :

Ta có : i.vi ⇒

i

P=∑m

i

v( ) v( )

P=m A +m B

i

v

i

L =∑OM ×m ⇒ L O =OA m× v( )A +OB m B× v( )

Với :

cos sin 0

b

OA b

α α

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

sin

0

b

A b

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

(cos cos ) (sin sin ) 0

b

OB b

+

⎧

⎪

⎪

⎩

0

b

B b

⎪

⎪

⎩

Suy ra :

0

mb

P mb

⎪

⎪

⎩

2

L =mb ⎡⎣ α + +β α +β α−β ⎤⎦e

‰ Phương pháp 2 : Dùng định lý Koenig :

Ta có : P=( ∑m i)v( ) 2 v( )G = m G

Với :

1

2 1 (sin sin )

2 0

b

OG ⇒

1

2 1

2 0

b

G b

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎩

b

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪⎩

Suy ra :

0

mb

P mb

⎪

⎪

⎩ Định lý Koenig về momen động lượng : L O=OG m G× v( )+L*G

Trong đó : L*G=GA m× v( )*A +GB m× v(B)* Mà : GA= −GB Mặc khác, trong hệ quy chiếu khối tâm R*, thanh AB quay quanh G nên vận tốc v( )*A = −v(B)*, v(B)* GB⊥

Suy ra : L*G =2GB m B× v( )*

1

cos

2

1

sin

2

0

b

GB b

β β

⎧

⎪

⎪

⎪

= ⎨

⎪

⎪

⎪⎩

1 sin 2 1

2 0

b

B b

β β

⎧−

⎪

⎪

⎪

= ⎨

⎪

⎪

⎪⎩

Suy ra : L O=OG m G× v( ) 2+ GB m B× v( )*⇒ L O =mb2⎡⎣2α + +β (α +β) cos(α−β)⎤⎦e z

(Lưu ý cần tính OG và v( )G )

@ Áp dụng 3 (Trang 20):Thanh treo trên hai sợi dây

Thanh AB đồng chất, tâm G, khối lượng m, được treo trên hai sợi

dây AA’ và BB’ giống nhau, chiều dài b Thanh dao động trong

mặt phẳng thẳng đứng, các dây AA’ và BB’ luôn luôn song song

với nhau

G

B

A

α

α

Tính động năng của thanh theo đạo hàm α của góc nghiêng α

của các sợi dây tại thời điểm t cho trước

Thanh AB chuyển động tịnh tiến (bởi vì AB luôn luôn có phương nằm ngang) ⇒ Trong hệ quy chiếu khối tâm R*, thanh AB cố định ⇒ E K* = 0

Cũng do thanh AB chuyển động tịnh tiến : v( ) v( )G = A ⇒ v( ) v( )G = A =bα

v ( )

K

E = m G = mbα2

BÀI TẬP ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BÀI GIẢNG:

z

e

ϖ

O

@ Bài 1 (Trang 23): Vành tròn chuyển động quay

Một vành tròn đồng chất tâm O, khối lượng m, bán kính a, quay với

vận tốc góc ω không đổi xung quanh trục cố định của mình

Tính momen động lượng đối với điểm O, momen động lực đối với

điểm O và động năng của vành tròn

Bài giải :

‰ Momen động lượng của vành tròn đối với điểm O :

i

v

i

i

L =∑OM ×m

z

e eθ

Xét phân tố chiều dài vành tròn nằm tại M, vị trí xác định bởi

góc θ, chắn góc dθ, có khối lượng là dm :

dm.v(M)

O

vanhtron

L = ∫ OM×

Trong hệ tọa độ O e( , , )r ta có :

0

a

OM a

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

0 v(M)

0

aω

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

⇒ O 2 z

vanhtron

L = ∫ dm a ωe

r

e

eθ

dθ M θ

a

x

y

O

vanhtron

L =a ωe ∫ dm 2

L =maωe

‰ Momen động lực của vành tròn đối với điểm O cố định nên : O

O

dL D dt

= Do L O =ma2ωe z

không đổi ⇒ D O= 0

‰ Động năng của vành tròn :

2

K i i

i vanhtron vanhtron vanhtron

a

E =∑ m = ∫ dm M = ∫ dm aω = ω ∫ dm⇒ 1 2 2

2

K

E = ma ω

@ Bài 2 (Trang 23): Đại lượng động học của con lắc:

Xét một con lắc, được treo tại một điểm cố định O gồm một thanh OA khối lượng không đáng kể, chiều dài R, trên người ta hàn vào thanh một sợi dây đồng chất, khối

lượng m, hình bán nguyệt bán kính R mà OA là một bán kính Vị trí của

con lắc được xác định bằng góc α giữa thanh OA với đường thẳng đứng

hướng xuống

α

A

R

C

O

B Xác định động lượng, momen động lượng đối với điểm O, momen động

lực động đối với điểm O và động năng của con lắc theo góc α và đạo

hàm của nó

Bài giải :

‰ Động lượng : dm.v(M)

C

B

P=∫ Momen động lượng đối với điểm O : dm.v(M)

C

O B

L =∫OM×

.v ( ) 2

C

K B

E = ∫dm M

e eθ

‰ Xét một phân tố chiều dài vành tròn, chắn góc dθ, khối lượng là dm, vị trí xác định bởi góc θ

Trong hệ tọa độ O e( , , )r z :

0 v( )

0

M Rα R eα θ

⎧

⎪

⎪

⎩

P R e e

d )

Trong hệ tọa độ O e( , , )1 e e2 z , ta có : eθ = −e1sinθ +e2cosθ

2

m

R

P e e d

π

π

π

−

P αe

π

(Lưu ý rằng : e e1, 2 không phụ thuộc vào θ)

C

O

B

L =∫OM×

Trong hệ tọa độ O e( , , )r e eθ z : 0

0

R OM

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

z m

L =∫dm Rαe =Rαe ∫d ⇒ L O =mR2αe z

Momen động lực đốivới điểm O cố định : O

O

dL D dt

= ⇒ D O=mR2αe z (e z không phụ thuộc vào t)

K

E = ∫dm M = ∫dm Rα ⇒ 1 2 2

2

K

E = mR α

eθ

r

e

M (dm)

R

A

C

B

O

1

e

2

e R

BÀI TẬP VẬN DỤNG CÁC KIẾN THỨC ĐÃ HỌC:

@ Bài 3 (Trang 23): Đại lượng động học của chiếc đu

Bánh xe hình tròn của một hệ thống đu quay có bán kính R, quay xung quanh trục nằm ngang của mình với vận tốc góc ω không đổi

Nghiên cứu chiếc đu (liên kết với bánh xe tại điểm A bằng một khớp quay lý tưởng) và khách trên chiếc đu (xem như hoàn toàn cố định trên chiếc đu): Tập hợp gồm chiếc đu và khách có khối lượng là m, có khối tâm là G nằm trong mặt phẳng thẳng đứng qua A, và cách A một khoảng là b

Xác định momen động lượng đối với điểm O, momen động lực đối với điểm O và động năng của hệ gồm chiếc đu + khách

Bài giải :

Áp dụng định lý Koenig về momen động lượng :

* v( )

L =OG m G× +L 1 2 *

v ( ) 2

E = m G +E

Xét hệ quy chiếu R(O, x, y, z) cố định đối với mặt đất Khi bánh xe quay quanh tâm O, hệ AG luôn luôn thẳng đứng ⇒ Trong hệ quy chiếu khối tâm R* tương ứng với hệ R, hệ AG cố định

⇒ L*G =0 và E K* =0 ⇒ L O =OG m G× v( ) và 1 2

v ( ) 2

K

E = m G

v( )G d OG d OA AG

dt dt

+

= = Mà : AG=const ⇒ v( )G d OA v( )A

dt R eω θ

Trong cơ sở ( ,e e e r θ, )y :

cos sin 0

R b

OG b

θ θ

−

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

và e

0 1 0

θ

⎧

⎪

= ⎨

⎪

⎩

⇒ L O =OG m G× v( )=OG mR e× ω θ ⇒ L O =mRω(R b− cos )θ e y (Khác sách)

2

1

v ( )

2

K

E = m G ⇒ 1 2 2

2

K

E = mR ω Momen động lực đốivới điểm O cố định :

O

O

dL

D

dt

= ⇒ D O =mRbωθsinθe y ⇒ D O =mRbω2sinθe y (Khác sách)

(Lưu ý rằng : θ ω= t)

O

b

G

A

A

G

b

e

⊕

x

eθ

O z

@ Bài 4: (Trang 23) Đại lượng động học của hệ thanh nối nhau bằng khớp quay :

Bốn thanh OD, OE, AC và BC, khối lượng không đáng kể, được nối nhau bằng các khớp quay tại O, A, B và C Điểm O cố định Con trượt C được coi như là một chất điểm có khối lượng

m, có thể trượt trên trục thẳng đứng (Oz)

D

x

O

E ⊕

C

z

Các đầu D và E của thanh OD và OE được gắn các

chất điểm giống nhau có khối lượng m Vị trí của hệ

được xác định bằng góc ϕ thay đổi theo thời gian

Xác định động lượng, momen động lượng đối với

điểm O và động năng của hệ theo đạo hàm ϕ của

góc ϕ Cho: OA = OB = AC = BC = AD = BE = b

Bài giải :

‰ Động lượng của hệ đối với điểm O :

i

P=∑m P=m Cv( )+mv( )D +mv( )E P=3 v( )m G (G là khối tâm của hệ chất điểm)

OG= OC+OD OE+ = OC+ 2OC) ⇒

2 cos z

OG=OC= b ϕe ⇒ v( )G = −2bϕsinϕe z ⇒ P= −6mbϕsinϕe z

‰ Momen động lượng của hệ đối với điểm O :

O

L =OC m C× +OD m D× +OE m E×

Do OC và v( )C cùng phương nên : OC m C× v( ) 0=

v( )

OD m× D và OE m× v( )E cùng giá trị và ngược chiều nhau nên tổng bằng 0 ⇒ L O = 0 (khác sách)

‰ Động năng của hệ :

K

2

E = m C + m D + m E

với : v ( ) v ( ) (2 )2 D = 2 E = bϕ 2 =4b2ϕ2 và v ( ) (22 C = bϕsin )ϕ 2 ⇒ E K =2mb2ϕ2(2 sin+ ϕ2)

@ Bài 5 (Trang 23): Đại lượng động học của 4 chất điểm:

Một thanh AB, khối lượng không đáng kể, chiều dài 4a, được treo ở điểm giữa O của thanh Tại A và B, thanh AB được nối bằng khớp quay

với các thanh CD và EF, khối lượng

z β

C

A

a

α

x

⊕

ϕ

D

O

2a

B

E

F không đáng kể, chiều dài 2a (A nằm giữa CD và

B nằm giữa È) Các đầu C, D, E, F mang 4 chất

diểm giống nhau có khối lượng m

y Tính momen động lượng đối với điểm O và động

năng của hệ theo các góc ϕ, α , β và các đạo

hàm của chúng

Bài giải :

Cách 1 : Tính trực tiếp :

Ta có : L O =OC m C× v( )+OD m D× v( )+OE m E× v( )+OF m F× v( )

(2cos cos )

(2sin sin )

0

a

OC a

+

⎧

⎪

⎪

⎩

(2 cos cos ) (2sin sin ) 0

a

OD a

−

⎧

⎪

⎪

⎩

( 2cos cos ) ( 2sin sin ) 0

a

OE a

⎧

⎪

⎪

⎩ ( 2cos cos )

( 2sin sin )

0

a

OF a

⎧

⎪

⎪

⎩

⇒

( 2 sin sin )

0

a

C a

⎧

⎪

⎪

⎩

0

a

D a

⎪

⎪

⎩

⇒ L O=2ma2(8ϕ α β+ + )e z

K

2

E = m C + m D + m E + m F ⇒ E K =ma2(8ϕ2+α2+β2)

Cách 2 : Áp dụng định lý Koenig :

Ta có : L O=OA×2 v( )m A +L CD*A( )+OB×2 v( )m B +L EF*B( )

Với : OA×2 v( ) 2 2 2 m A = a m a eϕ z =8a m e2 ϕ z

2

OB× m B = a m a eϕ = a m eϕ

L CD = AC m C× +AD m× D = AC m C×

2

⇒ L CD*A( ) 2= ama eα z =2a m eα z Tương tự : L EF*B( ) 2= a m e2 β z

⇒ L O =2ma2(8ϕ α β+ + )e z

v ( ) 2

E = m G +E ⇒ 1 2 1 2 1 2

K

E = A + C + D

⇒ E K =2m(2a )ϕ 2+m(a )α 2+m(a )β 2 2 2 2 2

K

E ma