BÀI GIẢNG HÌNH HỌA - BÀI 3 pdf

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng thúng _ Gia hỡnh chiu ng A 2 B 2 , hiu xa ca A,B; di tht ca AB v gúc nghiờng ca AB hp vi mpP 2 liờn quan nhau bi tam giỏc vuụng A 2 B 2 B 0 ; (Hỡnh 2.16b) _ Gia hỡnh chiu bng A 1 B 1 , hiu cao ca A,B; di tht ca AB v gúc nghiờng ca AB vi mpP 1 liờn quan nhau bi tam giỏc vuụng A 1 B 1 B 0 ; (Hỡnh 2.16b) t t x A 1 A 2 B 2 B 2 B 2 B 1 B 1 B 1 B 1 B 2 B 1 B 2 B 0 A 1 A 2 a) b) c) Hỡnh 2.16 _ T (Hỡnh 2.16b), ta v thc ca im B (Hỡnh 2.16c) nh sau: + V hai ng thng t, t // x v cỏch A 2 on bng B 1 B 0 (hiu cao ca A, B) + V ng trũn (A 2 , A 2 B 2 ), ct t, t ti 4 im B 2 , B 2 , B 1 , B 2 l cỏc hỡnh chiu ng ca cỏc im B cn dng + ng trũn (A 1 , A 1 B 1 ), ct cỏc ng giúng qua cỏc im B 2 , B 2 , B 2 , B 2 ti 4 im B 1 , B 1 , B 1 , B 1 l cỏc hỡnh chiu bng ca cỏc im B cn dng; (Hỡnh 1.16c) _ Bi toỏn cú 4 nghim ( hiu k hn hóy tham kho thờm bai s17 * sỏch BI TP HèNH HO GII SN ca tỏc gi Nguyn ) ===================== GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 15 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng Bi 3 V TR TNG I GIA HAI NG THNG Ttrong khụng gian, hai ng thng cú cỏc v trớ tng i: giao nhau, song song v chộo nhau I. HAI NG THNG GIAO NHAU 1) Hai ng thng thng giao nhau ng thng thng l ng thng khụng phi l ng cnh 35 nh lý iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im nm trờn mt ng giúng Cho hai ng thng a,b (hỡnh 3.1), nh lý trờn c vit thnh: = = x I I I b a I b = I b a 2 1 22 2 11 1 a 2 I 2 b 2 x b 1 a 1 I 1 a Hỡnh 3.1 2) Mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau nh lý i u kin cn v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im tho mn thc ca im thuc ng cnh ú Cho ng thng thng d v ng cnh AB, nh lý trờn c vit thnh: Hỗnh 3.2 A 2 t B x d 1 I 2 B 2 A 1 B 1 I 1 I J 1 J 2 d 2 = = = = ) ( ) ( 1 2221 1 222 2 111 1 I B A I B A I B A d I B A d I A B d Vớ d Cho ng cnh AB v hỡnh chiu ng d 2 ca ng thng d. Hóy v hỡnh chiu bng d 1 ca ng thng d, bit d i qua im J v ct AB ti im I Gii Hỡnh chiu bng I 1 ca im I AB c v bng cỏch ng dng nh lý Thalet nh sau: _ V tia A 1 t bt k ri t lờn ú cỏc on A 1 I = A 2 I 2 v IB = I 2 B 2 _ Ni BB 1 ng thng qua I song song vi BB 1 ct A 1 B 1 ti im I 1 ; ta cú:(A 1 B 1 I 1 ) = (A 2 B 2 I 2 ) I AB. Vy d 1 I 1 J 1 (Hỡnh 3.2) GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 16 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng II. HAI NG THNG SONG SONG 1) Hai ng thng thng song song nh lý iu kin cn v hai ng thng thng song song nhau l cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng song song nhau Cho hai ng thng thg a,b; (hỡnh 3.3), nh lý trờn c vit thnh: a 2 b 2 x Hỗnh 3.3 Chng minh _ iu kin cn: Gi s a // b nờn cỏc cp mt phng chiu qua a, b song song nhau, do ú chỳng s ct mt phng hỡnh chiu bng v mt ph ng hỡnh chiu ng theo cỏc cp giao tuyn song song nhau, tc l a 1 // b 1 v a 2 // b 2 . _ iu kin : Gi s cú hai ng thng thng a, b tho món a 1 // b 1 v a 2 // b 2 . Bng cỏch xõy dng ngc li phộp chiu vuụng gúc, cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu bng qua a 1 , b 1 s ct cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ng qua a 2 , b 2 theo hai giao tuyn a, b song song nhau . 3) Hai ng cnh song song Xột hai ng cnh cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau nh lý iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l cú hai ng thng ta trờn chỳng giao nhau hoc song song nhau Cho hai dng cnh EF v GH, nh lý trờn c vit thnh: Hỡnh 3.4 Hỡnh 3.5 Chng minh _ iu kin cn: Gi s EF // GH, thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn s cú hai ng thng EH, GF ta trờn chỳng giao nhau ti I hoc song song nhau ( õy xột giao nhau) _ iu ki n : Gi s cú hai ng cnh EF, GH cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau v cú hai ng thng ta trờn chỳng EH GF = I hoc EH // GF. Thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn hai ng cnh ú song song nhau, tc: EF // GH (Hỡnh 3.4) ắ Chỳ ý Ngoi ra ta cú th phỏt biu nh lý trờn nh sau: iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l hỡnh chiu cnh ca chỳng song song nhau (Hỡnh 3.5) b 1 a 1 // 22 11 // // ba ba ba x z y' y E 3 x 0 F 3 H 3 G 3 H 1 G 1 F 1 E 1 H 1 G 1 F 1 E 1 I 1 I 2 G 2 H 2 F 2 E 2 F 2 H 2 G 2 E 2 = GFEH IGFEH GHEF // // GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 17 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng Vớ d Cho ng cnh AB v im M; (Hỡnh 3.6). Hóy v ng thng MN // AB Gii Vỡ AB l ng cnh nờn MN // AB cng l ng cnh. Trong mp(MAB), v N tho món MN // AB, gi s bit trc N 2 hóy v N 1 nh sau: Gi I = AN BM I 2 B 2 M 2 M N 2 A 2 I 2 N 1 A 1 I 1 I 1 B 1 M 1 Hỗnh 3.6 Hỗnh 3.7 III. HAI NG THNG CHẫO NHAU Hai ng thng khụng tho món song song hoc giao nhau thỡ chộo nhau; (Hỡnh 3.7) biu din hai ng thng c, d chộo nhau. IV. HèNH CHIấ CA GểC VUễNG nh lý iu kin cn v mt gúc vuụng chiu xung mt phng hỡnh chiu thnh mt gúc vuụng l gúc vuụng ú cú mt cnh song song vi mt phng hỡnh chiu v cnh gúc vuụng cũn li khụng vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ú. Hỡnh 3.8 Hỡnh 3.9 Hỡnh 3.10 Chng minh _ iu kin cn: Gi s cú AOB = 90 0 v OA // P 1 . Chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng ta nhn c A 1 O 1 B 1 (Hỡnh 3.8), cn chng minh A 1 O 1 B 1 = 90 0 Ta cú: A 1 O 1 // AO AO OB v AO OO 1 AO mp(B OO 1 ) AO O 1 B 1 M A 1 O 1 // AO A 1 O 1 O 1 B 1 _ iu kin : Gi s AOB = 90 0 chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng c gúc A 1 O 1 B 1 = 90 0 , ta cn chng minh gúc vuụng AOB cú mt cnh song song mt phng hỡnh chiu bng P 1 ; ta cú : A 1 O 1 mp(OO 1 B 1 ) (1) x B 1 O 1 A 1 A 2 O 2 B 2 A O B 1 B O 1 A 1 P d 1 c 1 c 2 d 2 x x N 1 M 1 B 1 A 1 I 1 I 2 M 2 N 2 B 2 A 2 x d 1 d 2 c 1 c 2 GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 18 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng B 1 O 1 mp(OO 1 A 1 A) B 1 O 1 AO M B O AO AO mp(OO 1 B 1 ) (2) T (1) v (2), AO // A 1 O 1 , tc AO // mp(P 1 ) (Hỡnh 3.9) biu din thc ca gúc vuụng AOB, cú cnh OA // mp(P 1 ). ắ Chỳ ý nh lý trờn cng ỳng cho trng hp hai ng thng chộo nhau m vuụng gúc vi nhau. (Hỡnh 3.10) biu din hai ng thng c, d chộo nhau m vuụng gúc nhau, vi c // P 1 Vớ d C 1 x B 2 C 2 H 1 B 1 A 1 H 2 A 2 Hóy v hỡnh chiu bng C 1 ca im C, bit rng tam giỏc ABC cõn ti C, cho AB l ng bng, (Hỡnh 3.11) . Gii Gi H l trung im ca AB, vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn CH AB, v li AB // mp (P 1 )., nờn theo nh lý trờn, ta cú C 1 H 1 A 1 B 1 . T ú ta v c C 1 l giao im ca ng giúng qua C 2 vi ng thng A 1 B 1 ti H 1 Hỗnh 3.11 V. MT VI V D GII SN d 1 x c 1 A 2 b 1 B 1 B 2 c 2 d 2 b 2 a 1 A 1 a 2 Vớ d 1 Cho ba ng thng a, b, c chộo nhau; (Hỡnh 3.12). Hóy v ng thng d song song vi c ct c a v b; trong ú a mp (P 1 ) Gii Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Vỡ a mp (P 1 ) nờn A 1 a 1 . V li d // c nờn d 1 qua A 1 v d 1 // c 1 Vỡ d b = B; t d 1 b 1 = B 1 B 2 b 2 V d 2 qua B 2 v d 2 // c 2 ; (Hỡnh 3.12) Vy d l ng thng thng cn v Hỡnh 3.12 Vớ d 2 Cho hai ng thng AB, CD chộo nhau; (Hỡnh 3.13). Hóy xỏc nh khong cỏch v dng on vuụng gúc chung ca hai ng thng ú trong cỏc trng hp sau õy: a) CD mp (P 1 ); AB l ng thng thng b) CD mp (P 2 ); AB l ng cnh c) CD mp (P 3 ); AB l ng thng thng Gii a) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 1 ) nờn M 1 C 1 D 1 v MN l on ng bng V li MN AB M 1 N 1 A 1 B 1 ti N 1 . T N 1 A 1 B 1 N 2 A 2 B 2 M 2 N 2 // x; (Hỡnh 3.13a) Kt lun: M 1 N 1 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau b) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 2 ) nờn M 2 C 2 D 2 v MN l on ng mt V li MN AB M 2 N 2 A 2 B 2 ti N 2 . T N 2 A 2 B 2 N 1 A 1 B 1 M 1 N 1 // x; (Hỡnh 3.13b) GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 19 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Vở trờ tổồng õọỳi giổợa hai õổồỡng thúng Kt lun: M 1 N 1 = M 2 N 2 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau x o z y x A 1 C 1 C 2 C 2 B 3 N 3 B 2 A 2 t M 1 N 1 B N C 1 D 1 B 1 A 1 M 2 C 2 D 2 N 2 B 2 A 2 B 1 N 1 A 1 N 2 A 2 B 2 M 2 M 1 C 1 D 1 D 2 N 1 M 1 M 2 B 1 D 1 D 2 N 2 A 3 M 3 C 3 D 3 x y Hỡnh 3.13a Hỡnh 3.12b Hỡnh 3.12c c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 3 ) nờn M 3 C 3 D 3 v MN l on ng cnh V li MN AB M 3 N 3 A 3 B 3 ti N 3 . T N 3 A 3 B 3 N 2 A 2 B 2 , M 2 N 2 // z v N 1 A 1 B 1 , M 1 N 1 // y; (Hỡnh 3.13c) Kt lun: M 3 N 3 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau Vớ d 3 x A 0 f 2 D 2 C 2 B 2 A 2 f 1 D 1 C 1 B 1 A 1 Cho dim A(A 1 , A 2 ) v ng mt f (f 1 , f 2 ); (Hỡnh 3.14). Hóy dng hỡnh vuụng ABCD, bit rng B,C thuc ng mt f Gii _ ABCD l hỡnh vuụng nờn AB BC _ vỡ B,C f nờn AB f A 2 B 2 f 2 B 1 f 1 _ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on AB l on B 2 A 0 _ Vỡ BC = AB B 2 C 2 = B 2 A 0 C 1 f 1 V D tho món AD // BC; (Hỡnh 3.14) Hỗnh 3.14 =================== GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 20 . Hỡnh 3. 13a Hỡnh 3. 12b Hỡnh 3. 12c c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 3 ) nờn M 3 C 3 D 3 v MN l on ng cnh V li MN AB M 3 N 3 A 3 B 3 ti N 3 . T N 3 . N 3 . T N 3 A 3 B 3 N 2 A 2 B 2 , M 2 N 2 // z v N 1 A 1 B 1 , M 1 N 1 // y; (Hỡnh 3. 13c) Kt lun: M 3 N 3 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau Vớ d 3 x A 0 f 2. B 3 N 3 B 2 A 2 t M 1 N 1 B N C 1 D 1 B 1 A 1 M 2 C 2 D 2 N 2 B 2 A 2 B 1 N 1 A 1 N 2 A 2 B 2 M 2 M 1 C 1 D 1 D 2 N 1 M 1 M 2 B 1 D 1 D 2 N 2 A 3 M 3 C 3 D 3 x y