BÀI GIẢNG HÌNH HỌA - BÀI 4 ppsx

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng Bi 4 MT PHNG I . THC CA HAI MT PHNG thc ca mt phng cú th c xỏc nh bi mt trong cỏc cỏch sau õy: _ Ba dim phõn bit khụng thng hng, mp(ABC); (Hỡnh 4.1a) _ Mt im v mt ng thng khụng thuc nhau, mp(M, d) ; (Hỡnh 4.1b) _ Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hỡnh 4.1c) _ Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hỡnh 4.1d) a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l) B 2 a 2 M 2 d 2 m 2 A 2 C 2 b 2 l 2 x x x x a 1 m 1 C 1 d 1 A 1 M 1 l 1 b 1 B 1 Hỡnh 4.1 Ngoi ra ngi ta cũn biu din mt phng bng hai vt ca chỳng nh sau: VT CA MT PHNG Vt ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu 1) Vt bng ca mt phng a) nh ngha: Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu bng Gi m l vt bng ca mt phng thỡ: m = mp mpP1 ; (Hỡnh 4.2a) Ký hiu : m b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca vt bng trựng vi chớnh nú: m 1 m _ Hỡnh chiu ng ca vt bng trựng vi trc x : m 2 x ; (hỡnh 4.2b) Hỡnh 4.2a Hỡnh 4.2b Hỡnh 4.3a Hỡnh 4.3b 2) Vt ng ca mt phng x P 2 P 1 m n P 2 n n n m 2 n 1 x m 2 n 1 x x m m m P 1 GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 21 Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng a) Định nghĩa: Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi n là vết đứng của mặt phẳng α thì: n = mpα ∩ mpP 2 (Hình 4.2a) Ký hiệu : n α b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó: n 2α ≡ n α _ Hình chiếu bằng của vết đứng trùng với trục x : n 1α ≡ x ; (hình 4.2b) ¾ Chú ý ♦ Thực chất của việc biểu diễn mặt phẳng α bằng hai vết của chúng là biểu diễn mặt phẳng α bằng hai đường thẳng m α , n α cắt nhau hoặc song song nhau lần lượt nằm trong mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng. Do đó hai vết m α , n α của mặt phẳng α phải cắt nhau tại một điểm nằm trên trục x (Hình 4.2a,b) hoặc song song với trục x (Hình 4.3a, b) ♦ Đường thẳng thuộc mặt phẳng thì các vết cùng tên của đường thẳng và mặt phẳng thuộc nhau II. CÁC Vị TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG II. 1- Loại mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 1) Mặt phẳng chiếu bằng a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi α là mặt phẳng chiếu bằng, ta có: mpα ⊥ mpP 1 b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng: (α 1 ) → 1 đường thẳng _ Hình chiếu bằng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu bằng thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu bằng đó Giả sử : Điểm A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A 1 ∈ (α 1 ) ; d 1 ≡ (α 1 ) ; _ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4) Hình 4.4 Hình 4.5 n α x x m β k 2 ≡ (β 2 ) d 1 ≡ (α 1 ) B 2 B 1 A 2 A 1 d 2 k 1 2) Mặt phẳng chiếu đứng a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi β là mặt phẳng chiếu đứng: mpβ ⊥ mpP 2 b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng: (β 2 ) → 1 đường thẳng GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 22 Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng _ Hình chiếu đứng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu đứng thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu đứng đó Giả sử : Điểm B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B 2 ∈ (β 2 ) ; k 2 ≡ (β 2 ) ; _ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x : m β ⊥ x ; (Hình 4.5) 3) Mặt phẳng chiếu cạnh a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh Gọi γ là mặt phẳng chiếu cạnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3 b) Tính chất _ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng: (γ3) → 1 đường thẳng _ Hình chiếu cạnh của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu cạnh thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu cạnh đó Giả sử : Điểm C ∈ mpγ ; l ∈ mpγ ⇒ C 3 ∈ (γ 3 ) ; l 3 ≡ (γ 3 ) ; (Hình 4.6) _ Vết bằng và vết đứng của mặt phẳng chiếu cạnh vuông góc với trục z hay song song với trục x z l 2 n γ (Hình 4.6) II.2 Loại mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu (Thì vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại) 1) Mặt phẳng bằng a) Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi α là mặt phẳng bằng, ta có: mpα // mpP1 Hình 4.7 Hình 4.8 b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x: (α 2 ) // x _ Mặt phẳng bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính chất của hai loại mặt phẳng này Giả sử A, B, C ∈ mpα ⇒ A 2 , B 2 , C 2 ∈ (α 2 ) _ Hình chiếu bằng của một hình phẳng thuộc mặt phẳng bằng thì bằng chính nó A 1 B 2 A 2 B 1 C 1 D 1 C 2 (α 2 ) x E 2 F 1 E 1 F 2 D 2 (β 1 ) x m γ l 3 ≡(γ 3 ) C 3 o C 2 x ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ xnm znm //// , γγ γ ⊥ γ y ’ y GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 23 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng ABC mp A 1 B 1 C 1 = ABC ; (Hỡnh 4.7) 2) Mt phng mt a) nh ngha Mt phng mt l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu ng Gi l mt phng mt, ta cú: mp // mpP 2 b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca mt phng mt suy bin thnh mt ng thng song song vi trc x: ( 1 ) // x _ Mt phng mt va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu cnh nờn cú nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny Gi s D, E, F mp D 1 , E 1 , F 1 ( 1 ) _ Hỡnh chiu ng ca mt hỡnh phng thuc mt phng mt thỡ bng chớnh nú DEF mp D 2 E 2 F 2 = DEF ; (Hỡnh 4.8) 3) Mt phng cnh a) nh ngha Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu cnh Gi l mt phng cnh, ta cú : mp // mpP 3 b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ca mt phng cnh suy bin thnh hai ng thng trựng nhau v vuụng gúc vi trc x: (1) (2) x _ Mt phng cnh va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu ng nờn cú nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny Gi s :D, K, L mp; (Hỡnh 4.9) D 1 , K 1 , L 1 ( 1 ) v D 2 , K 2 ,L 2 ( 2 ) _ Hỡnh chiu cnh ca mt hỡnh phng thuc mt phng cnh thỡ bng chớnh nú, gi s : DKL mp D 3 K 3 L 3 = DKL Hỡnh 4.9 III. S LIấN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG z x D 2 ( 2 ) K 2 L 2 D 1 L 1 K 1 D 3 K 3 L 3 y y o ( 1 ) A 2 x d 2 E 2 F 2 d 1 C 2 B 1 Hỡnh 4.10 E 1 F 1 C 1 B 2 A 1 (Bi toỏn c bn trờn mt phng) Da vo hai tiờn sau õy biu din s liờn thuc ca im, ng thng vi mt phng 1. Mt ng thng thuc mt mt phng nu nú cú hai im thuc mt phng ú 2. Mt im thuc mt mt phng nu nú thuc mt ng thng ca mt phng ú Vớ d1 Cho mt phng ABC (hỡnh 4.10). Hóy v mt ng thng d bt k thuc mt phng ABC. GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 24 Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng Giải - Trong mặt phẳng ABC, ta lấy hai điểm bất kỳ E, F; chẳng hạn E ∈AB, F∈ AC. Hai điểm phân biệt E, F xác định đường thẳng d có đồ thức: E 1 F 1 ≡ d 1 và E 2 F 2 ≡ d 2 - Đường thẳng d có hai điểm E, F thuộc mp(ABC) nên theo tiên đề1 thì (d 1 , d 2 ) là đồ thức của đường thẳng d thuộc mặt phẳng (ABC) ; (hình 4.10)  Ví dụ 2 Cho mặt phẳng được xác định bỡi hai đường thẳng giao nhau a, b và hình chiếu đứng K 2 của điểm K; (hình 4.11). Hãy vẽ hình chiếu bằng K 1 , biết K thuộc mặt phẳng (a, b) Giải Trong mp (a,b), vẽ đường thẳng g đi qua điểm K; g 2 đi qua K 2 . Vì g ∈ mp(a,b) nên vẽ được g 1 Từ K 2 ∈ g 2 ⇒ K 1 ∈ g 1 . Vậy (K 1 , K 2 ) là đồ thức của điểm K thuộc mp(a,b) cần dựng IV. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG 1) Đường bằng của mặt phẳng a) Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi h α là đường bằng của mặt phẳng α: h α ∈ mpα và h α // (P 1 ) ; (Hình 4.12a) b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x: h 2α // x ; (Hình 4.12b) h 2 // x ; (Hình 4.13) _ Hình chiếu bằng của đường bằng song song với vết bằng của mặt phẳng : h 1α // m α Hình 4.12a Hình 4.12b Hình 4.13 m α h 1 α n α h 2 α x N 2 N 1 m α n α x P 1 P 2 h α h 2 α N α h 1 α h 2 h 1 A 2 C 1 C 2 E 2 E 1 F 1 F 2 B 2 B 1 A 1 x 2) Đường mặt của mặt phẳng a) Định nghĩa Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi f α là đường mặt của mặt phẳng α: f α ∈ mpα và f α // (P 2 ) ; (Hình 4.14a) GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 25 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ Mỷt phúng Hỡnh 4.14a Hỡnh 4.14b Hỡnh 4.15 m f 1 n f 2 x M 2 M 1 f 2 a 2 a 1 F 1 x O 1 O 2 b 2 F 2 b 1 E 1 E 2 m n x P 1 P 2 f f 2 f 1 M f 1 b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca ng mt song song vi trc x: f 1 // x ; (Hỡnh 4.14b) f 1 // x ; (Hỡnh 4.15 ) _ Hỡnh chiu ng ca ng mt song song vi vt ng ca mt phng : f 2 // n ắ Chuù yù ng bng h mp nờn vt ng N ca ng bng h thuc vt ng n ca mp ng mt f mp nờn vt bng M ca ng mt f thuc vt bng m ca mp Nu mt phng l mt phng chiu cnh thỡ ng thng chiu cnh k mp va l ng bng va l ng mt (Hỡnh 4.16 a, b) Hỗnh 4.16a Hỗnh 4.16b P 1 P 2 k k 1 m n x k 2 D 1 D 2 M 1 N 1 M 2 N 2 x n k 2 m k 1 3) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hỡnh chiu a) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hỡnh chiu bng nh ngha ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hỡnh chiu bng l ng thng thuc mt phng v to vi mt phng hỡnh chiu bng mt gúc ln nht so vi cỏc ng thng khỏc thuc mt phng ú N 2 P 2 n N 1 x m n d x N M d 1 d 2 P 1 M 2 M 1 D 1 B 1 D 2 C 1 B 2 x C 2 M 1 M 2 N 1 N 2 d 2 d 1 m Hỡnh 4.17a Hỡnh 4.17b Hỡnh 4.17c GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 26 Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng Gọi d là đường dốc nhất của mp α đối với mặt phẳng hình chiếu bằng (Hình 4.17a) ♦ Tính chất - Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng thì vuông góc với đường bằng (hay vết bằng) của mặt phẳng đó, nên góc vuông được bảo tồn ở hình chiếu bằng, tức d ⊥ h α (m α ) ⇒ d 1 ⊥ h 1α hay d 1 ⊥ m α (Hình 4.17b) (Hình 4.17c) biểu diễn MN là đường dốc nhất của mặt phẳng (NBC) đối với mặt phẳng hình chiếu bằng, MN vuông góc với đường bằng BD ⇒ N 1 M 1 ⊥ B 1 D 1 - Góc của đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng chính là góc của mặt phẳng đó hợp với mặt phẳng hình chiếu bằng : ∠ (d, P 1 ) = ∠(mpα , P 1 ) = ϕ b) Đường dốc nhất của mặt phẳng dối với mặt phẳng hình chiếu đứng ♦ Định nghĩa Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và tạo với mặt phẳng hình chiếu đứng một góc lớn nhất so với các đường thẳng khác thuộc mặt phẳng đó Hình 4.18 Hình 4.18b x P 2 x E g g 2 g 2 E 2 m α P 1 g 1 F 2 E 1 F F 1 m α g 1 δ n α n α Gọi g là đường dốc nhất của mpα đối với mặt phẳng hình chiếu đứng (Hình 4.18a) ♦ Tính chất - Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng thì vuông góc với đường mặt (hay vết đứng) của mặt phẳng đó, nên góc vuông được bảo tồn ở hình chiếu đứng, tức: g ⊥ f α (n α ) ⇒ g 2 ⊥ f 2α hay g 2 ⊥ n α (Hình 4.18b) - Góc của đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng chính là góc của mặt phẳng đó hợp với mặt phẳng hình chiếu đứng ∠(g , P 2 ) = ∠(mpα , P 2 ) = δ x E 1 N 0 N 1 E 0 E 2 F 1 F 2 δ ϕ x N 2 M 2 M 1 m α n α m α n α  Ví dụ Cho mặt phẳng α(m α , n α ). Hãy xác định góc nghiêng của mp α đối mặt phẳng hình chiếu bằng và đối với mặt phẳng hình chiếu đứng Giải 1) Vẽ đường dốc nhất MN của mpα đối với mpP 1 : M 1 N 1 ⊥ m α ⇒ M 2 N 2 . Hình 4.19 Hình 4.20 (Hình 4.19). Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn NM là M 1 N 0 ⇒ ∠N 1 M 1 N 0 =ϕ =∠(MN, P 1 ) = ∠( mpα , P 1 ) 2) Vẽ đường dốc nhất EF của mp α đối với mp P 2 : E 2 F 2 ⊥ n α ⇒ E 1 F 1 (Hình 4.20).Bằng phương pháp tam giác, xác định độ dài thật của đoạn EF là F 2 E 0 GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 27 Baìi giaíng HÇNH HOAû Màût phàóng ⇒ ∠E 2 F 2 E 0 = δ = ∠(EF, P 2 ) = ∠(mpα, P 2 ) V. MỘT VÀI VÍ DỤ GIẢI SẴN  Ví dụ 1 Cho mp α (m α , n α ) và hình chiếu đứng A 2 B 2 C 2 của tam giác ABC; (Hình 4.21a,b). Hãy vẽ hình chiếu bằng A 1 B 1 C 1 , biết tam giác ABC thuộc mp α Hình 4.21a Hình 4.21b N 2 N 1 M 1 B 1 A 1 C 1 C 2 B 2 A 2 M 2 m α n α x x A 1 A 2 B 2 C 2 B 1 C 1 m α n α K 1 K 2 N 1 N 2 Giải a) Tam giác ABC ∈ mpα ( Hình 4.21a) nên: _ C 2 ∈ x ⇒ C 1 ∈ m α _ BC ∩ n α = K; từ K 2 = B 2 C 2 ∩ n α ⇒ K 1 ∈ x và B 1 ∈ K 1 C 1 _ AC ∩ n α = N; từ N 2 = A 2 C 2 ∩ n α ⇒ N 1 ∈ x và A 1 ∈ N 1 C 1 b) Tam giác ABC ∈ mpα ( Hình 4.21b) nên: _ AB ∩ n α = N và AB ∩ m α = M. _ Từ N 2 = A 2 B 2 ∩ n α ⇒ N 1 ∈ x và M 2 = A 2 B 2 ∩ x ⇒ M 1 ∈ m α ⇒ A 1 , B 1 ∈ M 1 N 1 _ Vì mpα là mặt phẳng chiếu cạnh (m α // n α // x) nên A 1 C 1 //=A 2 C 2 _ Nối B 1 C 1  Ví dụ 2 Cho mpα được xác định bằng hai đường thẳng a,b cắt nhau; (Hình 4.22). Hãy vẽ các vết m α , n α của mpα Giải _ Gọi A,B lần lượt là vết đứng của đường thẳng a, b. Từ A 1 = a 1 ∩ x ⇒ A 2 ∈ a 2 ; (A ≡A 2 ) Từ B 1 = b 1 ∩ x ⇒ B 2 ∈ b 2 ; (B ≡B 2 ) _ Gọi M là vết bằng của đường thẳng a Từ M 2 = a 2 ∩ x ⇒ M 1 ∈ a 1 ; (M ≡M 1 ) Hình 4.22 M 2 B 1 A 1 m α n α x O M 1 B 2 b 2 b 1 a 2 a 1 I 1 I 2 A 2 _ Đường thẳng a,b ∈ mp α nên vết đứng n α đi qua các vết đứng A, B của đường thẳng a,b : n α ≡ A 2 B 2 Gọi O = n α ∩ x ⇒ m α ≡ M 1 O; (Hình 4.22)  Ví dụ 3 Cho đường thẳng d. Hãy dựng mặt phẳng thường và mặt phẳng bằng vết nhận đường thẳng d làm đường dốc nhất của mặt phẳng: GVC.ThS Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût- ÂHBK 28 . x ; (Hình 4. 12b) h 2 // x ; (Hình 4. 13) _ Hình chiếu bằng của đường bằng song song với vết bằng của mặt phẳng : h 1α // m α Hình 4. 12a Hình 4. 12b Hình 4. 13 m α h 1 α n α h 2 α x N 2 N 1 m α n α x . (α 1 ) ; _ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4. 4) Hình 4. 4 Hình 4. 5 n α x x m β k 2 ≡ (β 2 ) d 1 ≡ (α 1 ) B 2 B 1 A 2 A 1 d 2 k 1. mặt phẳng hình chiếu bằng và đối với mặt phẳng hình chiếu đứng Giải 1) Vẽ đường dốc nhất MN của mpα đối với mpP 1 : M 1 N 1 ⊥ m α ⇒ M 2 N 2 . Hình 4. 19 Hình 4. 20 (Hình 4. 19). Bằng