BÀI GIẢNG HÌNH HỌA - BÀI 8 ppsx

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc Bi 8 NG CONG V MT A. NG CONG I. KHI NIM Ta cú th núi rng ng cong l qi tớch ca mt dim chuyn ng theo mt qui lut nht nh no ú to thnh. Cú cỏc loi ng cong sau: _ ng cong phng : Nu ng cong thuc mt mt phng _ ng cong ghnh : Nu ng cong khụng thuc mt mt phng _ ng cong i s bc n : Nu ng cong c biu din bng mt phng trỡnh i s bc n _ ng cong i s bc m x n : Nu ng cong c biu din bng hai phng trỡnh i s bc m v bc n Nhng ng cong phng bc hai thng gp l: ng trũn, Elip, Parabol, Hyperbol Ta cú th núi rng Elip, Parabol, Hyperbol ln lt l nhng ng cong bc hai khụng cú im vụ tn, cú mt im vụ tn thuc trc i xng, cú hai im vụ tn thuc hai ng tim cn II. HèNH CHIU CA MT NG CONG Tớnh cht 1 Hỡnh chiu xuyờn tõm hay song song ca tip tuyn ca ng cong ti mt im núi chung l tip tuyn ca hỡnh chiu ng cong ti hỡnh chiu im ú Gi s Mt l tip tuyn ca ng cong (C) ti im M Mt' l tip tuyn ca ng cong (C') ti im M l hỡnh chiu ca im M (Hỡnh 8.1) P C' O O s B D C A A B D s (C) (C') M t M t Hỡnh 8.1 Hỡnh 8.2 Tớnh cht 2 Hỡnh chiu ca ng cong i s bc n núi chung l ng cong i s bc n Tớnh cht 3 Hỡnh chiu vuụng gúc ca ng cong ghnh i s bc n lờn mt phng i xng ca nú l ng cong phng i s bc n / 2 ắ Chỳ ý _ Hỡnh chiu song song ca Elip, Parabol, Hyperbol ln lt l Elip, Parabol, Hyperbol _ Hỡnh chiu song song ca cp ng kớnh liờn hip ca Elip l cp ng kớnh liờn hip ca Elip hỡnh chiu ( Hỡnh 8.2). Nu hai ng kớnh liờn hip vuụng gúc vi nhau thỡ gi l cp trc ca Elip _ Elớp cú th c xỏc nh bng cp ng kớnh liờn hip ca nú _ Riờng i vi ng trũn ta chỳ ý cỏc tớnh cht sau: + Nu mt phng ca ng trũn khụng song song vi phng chiu thỡ hỡnh chiu ca ng trũn l Elip GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 53 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc + Tõm ca ng trũn chiu thnh tõm ca elip + Hai ng kinh vuụng gúc ca ng trũn chiu thnh hai ng kớnh liờn hip ca Elip c bit Trong hỡnh chiu vuụng gúc, trc di ca Elip l hỡnh chiu ca ng kớnh ng trũn song song vi mt phng hỡnh chiu, nờn bng ng kớnh ca ng trũn ú Vớ d Hóy v cỏc hỡnh chiu ca ng trũn tõm O, bỏn kớnh R thuc mt phng chiu ng (Hỡnh 8.3) Gii ( 2 ) B 1 D 2 D 1 C 1 C 2 A 1 A 2 B 2 O 2 O 1 m x _ Hỡnh chiu ng ca ng trũn suy bin thnh on thng C 2 D 2 = 2R v C 2 , D 2 ( 2 ) _ Hỡnh chiu bng ca ng trũn l Elip cú : + Tõm O 1 + Trc di A 1 B 1 = AB = 2R vi AB mp P 2 + Trc ngn C 1 D 1 A 1 B 1 ti O 1 Hỡnh 8.3 B. MT HèNH HC I. KHI NIM 1) a din a din l mt kớn c to thnh bi mt s hu hn cỏc a giỏc phng khộp kớn _ Cỏc a giỏc ny l cỏc mt ca a din _ Cỏc cnh, cỏc nh ca a giỏc ny gi l cỏc cnh, cỏc nh ca a din Mt chúp, mt lng tr l cỏc a din c bit 2) Mt cong Ta cú th núi rng mt cong l qi tớch ca mt ng chuyn ng theo mt qui lut nht nh no ú to thnh. ng chuyn ng gi l ng sinh, trong quỏ trỡnh chuyn ng to thnh mt ng sinh cú th bin dng hoc khụng bin dng; ng sinh cú th l ng thng hoc ng cong. Nu ng sinh l ng thng thỡ mt c to thnh gi l mt k (mt nún, mt tr , ) Cú cỏc loi mt cong sau: _ Mt trũn xoay: Nu mt c to thnh bi mt ng sinh quay xung quanh mt trc _ Mt cong i s bc n : Nu mt c biu din bng mt phng trỡnh i s bc n _ Cỏc mt cong bc hai thng gp l: Mt nún, mt tr, mt cu, mt Elipxụit, mt Paraboloic, mt Hyperbolic II. BIU DIN MT - IM THUC MT _ Biu din mt mt l biu din mt s thnh phn ca mt xỏc nh mt ú. Tuy nhiờn, d hỡnh dung ngi ta thng biu din mt cong bng cỏc ng bao hỡnh chiu _ Biu din mt im thuc mt l biu din im ú thuc mt ng ca mt sao cho trờn hỡnh chiu ng ny l ng thng hoc ng trũn Sau õy s biu din mt s mt thụng dng GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 54 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc 1) a din Biu din a din bng cỏch biu din tt c cỏc cnh ca a din ắ (Hỡnh 8.4) biu din t din ABCD. Cỏch v thy khut ca cp cnh hỡnh chiu bng A 1 B 1 , C 1 D 1 v cp cnh hỡnh chiu ng A 2 C 2 , B 2 D 2 nh ó bit. ắ Thy khut _ ng i qua mt im khut trờn hỡnh chiu no thi ng ú khut trờn hỡnh chiu ú _ Mt phng cha mt ng thng khut trờn hỡnh chiu no thi mt phng ú khut trờn hỡnh chiu ú ắ Cho hỡnh chiu ng M 2 ; hóy v hỡnh chiu bng M 1 , bit M thuc t din ABCD(Hỡnh 8.4) Vi v trớ M 2 ó cho thỡ cú hai im M v M, m M 2 M 2 vi: + M mp (BCD) M CI . T M 2 C 2 I 2 M 1 C 1 I 1 . Vỡ C 1 I 1 thy nờn M 1 thy + M mp (ACD) M CJ . T M 2 C 2 J 2 M 1 C 1 J 1 . Vỡ C 1 J 1 khut nờn M 1 khut A 1 B 1 C 1 D 1 A 2 D 2 B 2 C 2 J 1 I 1 J 2 I 2 M 2 M 1 M 1 x a 2 I 1 I 2 J 2 M 2 M 2 J 1 M 1 M 1 S 1 (C 1 (C 2 x b 2 m 1 S d (C) H ( 2 ( 1 n 1 S 2 Hỡnh 8.4 Hỡnh 8.5 Hỡnh 8.6 2) Mt nún bc hai Mt nún bc hai l mt c to thnh bi mt ng thng d chuyn ng luụn luụn i qua mt im S c nh gi l nh nún v ta vo mt ng cong bc hai (C) gi l ng chun ca nún (Hỡnh 8.5). ắ Mt nún bc hai gm cú hai phn i xng nhau qua nh nún. (Hỡnh 8.6) biu din mt phn ca mt nún bc hai c gii hn t nh S n ng chun bc hai (C) thuc mt phng chiu ng cú hỡnh chiu bng l ng trũn. _ a 2 , b 2 l hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún (a 1 , b 1 khụng v õy) _ m 1 , n 1 l hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún (m 2 , n 2 khụng v õy) ắ Thy khut + Nhng im thuc mt nún thỡ thuc ng sinh ca nún: Nu chõn ng sinh ny thuc cung thy ca ng chun (C) trờn hỡnh chiu no thỡ im ú c thy trờn hỡnh chiu ú + Nhng im thuc na trc ca nún k t hai ng sinh m hỡnh chiu ng l hai ng sinh biờn thỡ c thy hỡnh chiu ng + Nhng im thuc na trờn ca nún k t hai ng sinh m hỡnh chiu bng l hai ng sinh biờn thỡ c thy hỡnh chiu bng ắ Cho hỡnh chiu ng M 2 ; hóy v hỡnh chiu bng M 1 , bit M thuc mt nún nh S(hỡnh 8.6) Vi v trớ M 2 ó cho thỡ cú hai im M v M, m M 2 M 2 : GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 55 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc + Gn M SI nún. T M 2 C 2 I 2 M 1 S 1 I 1 . Vỡ S 1 I 1 thy nờn M 1 thy + Gn M SJ nún. T M 2 S 2 J 2 M 1 S 1 J 1 . Vỡ S 1 J 1 khut nờn M 1 khut ắ Chỳ ý 1) v hỡnh chiu bng M 1, M 1 ca im M, ta cú th gn M vo ng Elip () thuc mt nún; Elip () ny cú tõm nm trờn trc ca nún v thuc mt phng chiu ng song song mp (C). Vỡ vy ( 1 ) l ng trũn v t M 2 ( 1 ) M 1 , M 1 ( 1 ) (Hỡnh 8.6) 2) Mt nún trũn xoay l mt c to thnh bi mt ng thng quay xung quanh mt trc ti mt im c nh thuc trc quay ú. Mt phng vuụng gúc vi trc trũn xoay ny s cho giao tuyn l ng trũn. 3) Mt tr bc hai Mt tr bc hai l trng hp c bit ca mt nún bc hai khi nh nún S xa vụ tn ắ (Hỡnh 8.7) biu din mt tr bc hai cú ng chun (C) l elip thuc mt phng chiu ng cú hỡnh chiu bng l ng trũn. _ a 2 , b 2 l hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca tr, hỡnh chiu bng khụng v õy _ m 1 , n 1 l hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca tr, hỡnh chiu ng khụng v õy ắ Thy khut Xột thy khut ca tr tng t nh xột thy khut ca nún. ắ Cho hỡnh chiu ng M 2 ; hóy v hỡnh chiu bng M 1 , bit M thuc mt tr (Hỡnh 8.7) Vi v trớ M 2 ó cho thỡ cú hai im M v M, m M 2 M 2 : + Gn Md tr. T M 2 d 2 M 1 d 1 . Vỡ d 1 thy nờn M 1 thy + Gn Mktr.T M 2 k 2 M 1 k 1 . Vỡ k 1 thy nờn M 1 thy (Hỡnh 8.7) k 1 d 1 d 2 k 2 m 1 n 1 b 2 a 2 (C 2 ) M 1 M 1 J 1 I 1 (C 1 ) M 2 M 2 I 2 J 2 x O 1 O 2 x ( 2 ) ( 1 ) M 2 M 2 M 1 M 1 ( a 2 ) ( a 1 ) (b 1 ) (b 2 ) Hỡnh 8.7 Hỡnh 8.8 4) Mt cu - Mt cu l mt bc hai trũn xoay c to thnh bi mt ng trũn quay xung quanh mt ng kớnh ca nú - Mt cu l qu tớch ca nhng im trong khụng gian cỏch u mt im c nh gi l tõm ắ (Hỡnh 8.8) biu din mt cu bc hai tõm O, bỏn kớnh R Cỏc hỡnh chiu ca mt cu l cỏc ng trũn bng nhau cú bỏn kớnh R ca cu _ a 2 l ng trũn bao hỡnh chiu ng ca cu ; (a) mp // P 2 _ b 1 l ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu ; (b) mp // P 1 GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 56 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc ắ Thy khut + Nhng im thuc na trờn ca mt cu k t ng trũn (b) c thy hỡnh chiu bng + Nhng im thuc na trc ca mt cu k t ng trũn (a) c thy hỡnh chiu ng ắ Cho hỡnh chiu ng M 2 ; hóy v hỡnh chiu bng M 1 , bit M thuc mt cu (O,R) (hỡnh 8.8) Vi v trớ M 2 ó cho thỡ cú hai im M v M, m M 2 M 2 : Gn M M () cu. T M 2 , M 2 ( 2 ) M 1 ; M 1 ( 1 ). Vỡ M 2 nm na trờn ca cu nờn M 1 ; M 1 thy hỡnh chiu bng 5) Mt xuyn Mt xuyn l mt bc bn trũn xoay c to thnhbi mt ng trũn (C) quuay xung quanh mt trc t thuc mt phng ca ng trũn nhng khụng i qua tõm O (Hỡnh 8.9) Phõn loi mt xuyn _ Mt xuyn h: Nu trc t khụng ct ng trũn sinh (C) _ Mt xuyn kớn: Nu trc t ct ng trũn sinh (C) Hỗnh 8.9 o t + (C) M 2 (C 1 ) M 2 M 2 M 2 d 1 d 1 (C 2 ) ( a 2 ) ( a 1 )(b 1 ) M 1 M 1 M 1 M 1 t 2 t 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 1 1 ) (d 2 ) (d 2 ) (b 2 ) - Ta thng biu din mt xuyn v trớ c bit cú trc t vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu. - (Hỡnh 8.10) biu din thc ca mt xuyn cú trc t P 2 - (a 2 ), (b 2 ) l hỡnh chiu ng ca cỏc ng trũn v tuyn to ra do cỏc im thuc ng trũn sinh (C) xa v gn trc t nht - (a), (b) thuc mt mt phng vuụng gúc trc t v ng thi cng l mt phng i xng ca xuyn - (C 1 ) l hỡnh chiu bng ca ng trũn sinh (C) thuc mt phng i xng cha trc t . - d 1 , d 1 l hỡnh chiu bng ca hai ng trũn trung bỡnh ca xuyn (ng trũn trung bỡnh ca xuyn l ng trũn to ra do hai im nm trờn ng trũn sinh (C) cú khong cỏch n trc t bng khong cỏch ca tõm O ng trũn (C) n trc t-to thnh. Hỡnh 8.10 ắ Thy khut _ Nhng im thuc na trờn ca xuyn k t ng trũn sinh (C) v ng trũn trung bỡnh (d) s thy hỡnh chiu bng . _ Nhng im thuc na trc ca xuyn k t hai ng trũn (a), (b) s thy hỡnh chiu ng ắ Chỳ ý _ Mt phng vuụng gúc vi trc t s ct xuyn cho giao tuyn l hai ng trũn v tuyn _ Mt phng cha trc t s ct xuyn cho giao tuyn l hai ng trũn bng ng trũn sinh GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 57 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ổồỡng cong vaỡ caùc mỷt hỗnh hoỹc ắ Cho hỡnh chiu bng M 1 ; hóy v hỡnh chiu ng ca im M, bit M thuc mt xuyn (Hỡnh 8.10) Vi v trớ M1 ó cho thỡ cú bn im M, M, M, M m M 1 M 1 M 1 M 1 : Gn M, M () v M, M () xuyn. T [M 1 M 1 M 1 M 1 ] [( 1 ) ( 1 )] M 2 , M 2 ( 2 ) v M 2 , M 2 ( 2 ). Vỡ M 1 nm na trc ca xuyn M 2 , M 2 , M 2 , M 2 thy hỡnh chiu ng . III. MT VI V D GIi SN Vớ d 1 Cho on thng AB. Hóy biu din qu tớch nhng im trong khụng gian nhỡn on AB di gúc vuụng. Gii _ Qu tớch nhng im trong khụng gian nhỡn on AB di gúc vuụng l mt cu ng kớnh AB, cú tõm O l trung im ca on AB _ Bng phng phỏp tam giỏc ta xỏc nh di tht ca on thng AB l on A 1 B 0 V mt cu tõm O l trung im ca on AB, bỏn kớnh bng A 1 B 0 / 2; (Hỡnh 8.11) h x S 1 n O 0 B 0 B 1 A 1 B 2 A 2 O 1 O 2 O 2 A 2 B 2 A 2 B 2 S 2 K 2 O 2 O 1 N 1 K 1 K 2 m x A 1 B 1 M 1 ( 1 ) m Hỡnh 8.11 Hỡnh 8.12 Vớ d 2 Cho mp chiu bng v im O thuc mp . Hóy biu din mt nún trũn xoay nh S, ỏy l ng trũn tõm O, bỏn kớnh R thuc mp , chiu cao SO = h cho trc h Gii _ Hỡnh chiu bng ca ỏy nún suy bin thnh on thng M 1 N 1 = 2R thuc ng thng ( 1 ) _ Gp mp quanh vt ng, ta v c ng trũn tht tõm O 2 bỏn kớnh R ca ỏy nún _ Vỡ chiu cao ca nún bng h , nờn ta v O 1 S 1 = h v vuụng gúc ng thng ( 1 ) S 2 vi O 2 S 2 // x _ V hai ng sinh bao hỡnh chiu bng ca nún l: S 1 N 1 , S 1 M 1 _ Hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún s i qua S 2 v tip xỳc vi Elip hỡnh chiu ng ca ỏy nún. Vỡ Elip ny khụng v chớnh xỏc bng tay nờn ta cú cỏch gii nh sau: + Vic v hai ng sinh bao ny tng ng vi v hai ng thng i qua im K mp vi K 2 S 2 v tip xỳc vi ỏy nún GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 58 . ( a 2 ) ( a 1 ) (b 1 ) (b 2 ) Hỡnh 8. 7 Hỡnh 8. 8 4) Mt cu - Mt cu l mt bc hai trũn xoay c to thnh bi mt ng trũn quay xung quanh mt ng kớnh ca nú - Mt cu l qu tớch ca nhng im trong khụng. ( 1 1 ) (d 2 ) (d 2 ) (b 2 ) - Ta thng biu din mt xuyn v trớ c bit cú trc t vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu. - (Hỡnh 8. 10) biu din thc ca mt xuyn cú trc t P 2 - (a 2 ), (b 2 ) l hỡnh. (C') ti im M l hỡnh chiu ca im M (Hỡnh 8. 1) P C' O O s B D C A A B D s (C) (C') M t M t Hỡnh 8. 1 Hỡnh 8. 2 Tớnh cht 2 Hỡnh chiu ca ng cong i