BÀI 2 MÔ HÌNH ĐỘNG MÔ HÌNH TỰ HỒI QUY VÀ MÔ HÌNH CÓ TRỄ PHÂN PHỐI pot

Trong phân tích hồi quy sử dụng dãy số thời gian, nếu mô hình không chỉ chứa giá trị hiện tại mà cả giá trị quá khứ trễ của các biến giải thích thì được gọi là mô hình có trễ phân phối

Bài 2 Mô hình động Mô hình tự hồi quy và mô hình có trễ phân phối

1 Khái niệm

1.1 Định nghĩa Trong phân tích hồi quy sử dụng dãy số thời

gian, nếu mô hình không chỉ chứa giá trị hiện tại mà cả giá trị quá khứ (trễ ) của các biến giải thích thì được gọi là mô hình có trễ phân phối

Ví dụ: Yt =  + 0Xt + 1Xt-1 +2Xt-2 + ut

Mô hình có trễ phân phối được chia thành hai loại:

Yt =  + 0Xt +1Xt-1 + +kXt-k +ut

gọi là mô hình có trễ phân phối hữu hạn, trong đó k gọi là

chiều dài của trễ

đó quyết định như sau:

Tiêu dùng 40% số lương được tăng ngay trong năm được

tăng lương

Tiêu dùng 30% trong năm tiếp theo

Tiêu dùng 20% trong năm sau đó

Dành 10% còn lại để tiết kiệm

Lúc đó mô hình biểu diễn hành vi tiêu dùng có dạng:

Yt =  + 0,4Xt + 0,3Xt-1 + 0,2Xt-2 + ut

Trong đó: Yt là tiêu dùng năm t

Xt là thu nhập năm t

 là hằng số

ut là sai số ngẫu nhiên

Ta thu được mô hình có trễ phân phối hữu hạn với k = 2

Trong mô hình trên 0 (= 0,4) gọi là hệ số tiêu dùng biên ngắn hạn vì nó biểu diễn sự thay đổi của trung bình của Y tương ứng với 1 đơn vị tăng thêm của X trong cùng năm đó Nếu sự thay

đổi của X được giữ nguyên cho các năm kế tiếp thì 0 +1 là sự thay đổi của trung bình của Y cho năm kế tiếp, 0 + 1 + 2

là sự thay đổi cho năm kế tiếp sau nữa Như vậy sau k giai đoạn

ta có:





k i i

1.2 Định nghĩa: Mô hình hồi quy chứa một hay một số giá trị trễ

của biến phụ thuộc trong số các biến giải thích gọi là mô hình

tự hồi quy

Ví dụ: Qua quan sát người ta thấy tiêu dùng ở một thời kỳ t nào

đó không những phụ thuộc vào thu nhập ở thời kỳ t mà còn phụ thuộc vào tiêu dùng ở thời kỳ trước

Theo thói quen (quán tính) con người không thể thay đổi

ngay lập tức hành vi tiêu dùng của mình Khi giá giảm hay thu nhập tăng, vì tâm lý sợ không chắc chắn là điều đó sẽ

diễn ra lâu dài hay không

* Nguyên nhân công nghệ:

+ Tỷ giá giữa vốn và lao động giảm thì cũng không có nghĩa

là công ty có thể ngay lập tức thay thế lao động bằng vốn vì

còn phải nhập công nghệ, tiếp thu, khai thác

+ Giá máy tính giảm thì người tiêu dùng lại chờ đợi những loại máy tốt hơn với giá rẻ hơn

* Nguyên nhân pháp lý:

+ Nếu một người đã mua một loại bảo hiểm nay muốn đổi

sang một loại bảo hiểm khác thì cũng phải chờ đáo hạn hợp

đồng bảo hiểm đã ký

+ Gửi tiết kiệm có kỳ hạn

+ Quyết định thay đổi thuế suất

2 Ước lượng mô hình có trễ phân phối

Xét mô hình có trễ phân phối vô hạn:

Yt =  + 0Xt +1Xt-1 + + ut (1)

Để ước lượng  và k (k = 0,1, ) có thể dùng hai cách tiếp cận:

+ Ước lượng theo kinh nghiệm

+ Ước lượng trên cơ sở một giả thiết tiên nghiệm về tính chất của 

2.1 Phương pháp ước lượng trên cơ sở kinh nghiệm

Phương pháp do Alt và Tinbergen đề xuất như sau: Vì ta giả thiết Xt là phi ngẫu nhiên hoặc ít nhất là không tương quan với sai số ngẫu nhiên ut nên về nguyên tắc có thể áp dụng OLS đối với mô hình (1)

Quá trình ước lượng như sau: Trước hết hồi quy Yt với Xt, sau

đó hồi quy Yt với Xt và Xt-1, sau đó hồi quy Yt với Xt, Xt-1 và Xt-2

Quá trình sẽ dừng lại khi các hệ số hồi quy của các biến trễ

bắt đầu trở nên không có ý nghĩa về mặt thống kê, hoặc hệ số của ít nhất một biến đổi dấu

Ví dụ: Sử dụng số liệu theo quý từ 1930 đến 1939 của Mỹ, Alt đã hồi quy tổng mức tiêu dùng xăng dầu Y theo số đơn đặt hàng mới X Kết quả như sau:

* Không có sự định lượng từ đầu về chiều dài của trễ

* Trễ càng kéo dài thì số bậc tự do càng giảm làm cho các kết luận thống kê thiếu chắc chắn Trong kinh tế không phải lúc nào cũng có được các chuỗi đủ dài các số liệu để ước lượng vô số trễ

 Nghiêm trọng hơn cả là trong các chuỗi thời gian về kinh

tế, các giá trị kế tiếp nhau Xt, Xt-1, Xt-2, có xu hướng tương quan chặt chẽ với nhau, do đó hiện tượng đa cộng tuyến là khó tránh khỏi

3.Phương pháp biến đổi mô hình có trễ phân phối thành mô

hình tự hồi quy

3.1.Phương pháp Koyck ( Trễ hình học )

Xét mô hình hồi quy có trễ phân phối vô hạn sau:

Yt =  + 0Xt + 1Xt-1 + 2Xt-2 + + ut (1) Koyck giả thiết rằng mọi i ( i = 0,1, ) đều có cùng dấu và

giảm dần theo cấp số nhân:

k = 0k k = 0,1,2, (2) trong đó 0    1

Biểu thức (2) có nghĩa là mỗi  kế tiếp sẽ nhỏ hơn  đứng

trước đó tức là càng đi xa về quá khứ thì ảnh hưởng của biến trễ lên biến Yt càng giảm dần

Yt =  + 0Xt + 0Xt-1 + 20Xt-2 + +ut (4) Mô hình (4) vẫn còn một số lớn các tham số cần ước lượng và tham số  vẫn còn ở dạng luỹ thừa nên chưa thể áp dụng được OLS

Tuy nhiên có thể biến đổi (4) như sau:

 Trong mô hình (4) sai số ngẫu nhiên là ut song trong mô hình (5) sai số ngẫu nhiên lại là vt Vì thế ut có thể thoả mãn mọi giả thiết của OLS song vt lại có thể vi phạm, cụ thể là có thể có tương quan chuỗi

 Sự có mặt của Yt-1 làm cho kiểm định Durbin - Watson không thực hiện được

Ví dụ 1: Tệp số liệu ch9bt2 gồm các số liệu về mức đầu tư cho doanh nghiệp cho thiết bị mới (Y) và doanh thu của doanh

Included observations: 21 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob

C -22.93243 4.367183 -5.251081 0.0001

X 0.837749 0.052992 15.80895 0.0000

Y(-1) 0.036201 0.060438 0.598985 0.5566

R-squared 0.985634 Mean dependent var 115.5852

Adjusted R-squared 0.984038 S.D dependent var 56.87899

S.E of regression 7.186239 Akaike info criterion 6.913777

Sum squared resid 929.5567 Schwarz criterion 7.062994

Log likelihood -69.59466 F-statistic 617.4701

Durbin-Watson stat 1.365573 Prob(F-statistic) 0.000000

Từ kết quả trên hãy tìm lại các hệ số hồi quy ước lượng của mô hình gốc

Tính  căn cứ vào -22,93243=(1-) k = 0k

Ví dụ 2: Có số liệu sau về tiêu dùng cá nhân theo đầu người và thu nhập khả dụng theo đầu người của Mỹ ( Đơn vị: USD) giai

3.2 Một vài dạng khác của phép biến đổi Koyck

Mô 1 Mô hình kỳ vọng thích nghi

Sử dụng cách tiếp cận của Koyck, Cagan và Friedman đã xây dựng mô hình sau:

Yt = 0 + 1Xt* + ut (6) Tro trong đó: Yt là lượng cầu về tiền

Xt* là lãi suất cân bằng, hoặc tối ưu, hoặc kỳ vọng d Như vậy mô hình (6) phát biểu rằng lượng cầu về tiền là

hàm số của lãi suất kỳ vọng

Vì Xt* không quan sát trực tiếp được nên nó được tính toán dựa trên giả thiết là mức độ điều chỉnh của lãi suất kỳ vọng từ năm t-1 đến năm t tỷ lệ với mức chênh lệch giữa lãi suất quan sát được ở năm t và lãi suất kỳ vọng ở năm trước đó, tức là:

Xt* - Xt-1* =  (Xt - Xt-1*) (7)

trong đó: 0    1 và gọi là hệ số kỳ vọng

lúc đó:

Xt* = Xt + ( 1 -  )Xt-1* (8) Tức là Xt* là trung bình có trọng số của Xt và Xt-1* với các trọng

số tương ứng là  và 1 - 

Thay (8) vào (6) ta có :

Yt = 0 + 1( Xt + ( 1 -  )Xt-1*) + ut

= 0 + 1Xt + 1( 1 -  )Xt-1* + ut (9)

Cho (6) trễ đi một kỳ và nhân với ( 1 - ) sau đó thế vào (9) ta thu được mô hình sau:

Yt - Yt - 1 là thay đổi thực tế.

Yt* - Yt - 1 là thay đổi kỳ vọng

Từ đó Yt =  Yt* + ( 1 -  ) Yt - 1 (13) Tức là Yt là trung bình có trọng số của Yt* và Yt - 1.

Thay (11) vào (13) ta được:

Yt =  0 + 1Xt + ut  + ( 1 - )Yt-1

= 0 + 1Xt + ( 1 -) Yt-1 + ut (14) Mô hình (14) gọi là mô hình hiệu chỉnh bộ phận và có thể gọi là hàm cầu ngắn hạn về vốn

Khi đã ước lượng được (14) và thu được ước lượng của  thì có thể rút ra hàm cầu dài hạn về vốn bằng cách chia 0 và 1 cho

 và bỏ đi số hạng trễ Yt-1

Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước như mô hình hiệu chỉnh bộ

phận và tìm  với Y* là mức đầu tư mong đợi và X là doanh thu của doanh nghiệp

Kế 3 Kết hợp các mô hình kỳ vọng thích nghi và mô hình hiệu

chỉ chỉnh bộ phận

Xét mô hình:

Yt* = 0 +1Xt* + ut (15) Trong đó: Yt* là lượng vốn mong muốn,

Xt* là sản lượng kỳ vọng

Vì cả Yt* và Xt* đều không thể quan sát trực tiếp, ta sử dụng cơ chế hiệu chỉnh bộ phận đối với Yt* và mô hình kỳ vọng thích nghi đối với Xt* sẽ thu được mô hình sau:

Yt = 0 + 1Xt +  (1 -) + ( 1 -)Yt-1

- (1 - )(1 - )Yt-2 + ut - (1 -)ut-1 = 0 + 1Xt + 2Yt-1 + 3Yt-2 + vt (16) Tro trong đó vt =  ut - (1 - )ut-1

Ví dụ: Xét mô hình ở mục trước với các biến:

Y* là vốn đầu tư mong đợi

X* là doanh thu mong đợi của doanh nghiệp

4 Ví dụ: Mô hình cầu tiền

Giả sử nhu cầu tiền mặt được cho bởi hàm:

u t

t t

t

M

M M

Từ kết quả trên suy ra hệ số hiệu chỉnh  = 0,251 tức là có sự

khác biệt giữa mong muốn và thực tế về nhu cầu tiền mặt trong mỗi kỳ hạn Kết quả ước lượng cũng cho ước lượng ngắn hạn của nhu cầu tiền theo các nhân tố Hệ số co dãn ngắn hạn về cầu tiền theo lã suất tiền gửi là -0,281 và theo thu nhập là 0,689 Từ kết quả trên có thể suy ra hàm cầu tiền dài hạn

Mở 5 Mở rộng mô hình của Koyck

P Phương pháp của Koyck có thể mở rộng theo hai hướng:

a.Thay vì giả thiết các hệ số giảm ngay lập tức có thể giả thiết

rằng các hệ số hồi quy chỉ bắt đầu giảm theo cấp số nhân bắt đầu

từ trễ thứ k Lúc đó mô hình có dạng:

Yt = 0 + i+1Xt-i + kXt-k + 2kXt-k-1 + + ut (17)

Sử dụng phương pháp như đã làm với (4) thu được mô hình sau:

Yt = 0(1-) + 1Xt + (i+1 - i)Xt-i Yt-1 + (ut -ut-1) (18) Tuy nhiên (18) có thể có đa cộng tuyến vì có chứa k giá trị trễ

kế tiếp nhau của X

b Mô hình có thể có nhiều biến giải thích mà chúng đều có trễ phân phối

ớc 6 ước lượng mô hình tự hồi quy

5.1 6.1 Phép biến đổi Koyck và các giả thiết của OLS

Từ phép biến đổi Koyck ta thu được các mô hình (5) (10) và (14)

Về thực chất đó là các mô hình tự hồi quy và có thể ký hiệu

chu chung là:

Yt = 0 + 1Xt + 2Yt-1 + vt (21)

Đặc điểm chung của các mô hình này là một số giả thiết của

OLS có thể bị vi phạm do đó không thể áp dụng trực tiếp

* Đối với mô hình (14) thì do vt = ut (0    1) nên nếu ut thoả

mãn mọi giả thiết của OLS thì vt cũng thoả mãn Vì thế các ước

Do Yt-1 có tương quan với vt nên nếu loại trừ được sự tương quan

này thì có thể áp dụng phương pháp OLS để thu được các ước

lượng vững

Liviatan đã đề xuất phương pháp biến công cụ như sau:

Giả sử tìm được một xấp xỉ Zt-1 nào đó cho Yt-1 thoả mãn các

điều kiện sau:

7 Kiểm định h- Durbin về tự tương quan

Mô hình (21) có thể có tương quan chuỗi giữa các sai số ngẫu nhiên ( Mô hình (14) có thể không có tương quan chuỗi, song trong các mô hình (5) và (10) thì vt có thể có tương quan chuỗi ngay cả khi ut không có tương quan chuỗi)

Với mô hình (21) không thể áp dụng được kiểm định Durbin - Watson vì lúc đó d sẽ luôn gần bằng 2 nên không cho phép phát hiện ra tương quan chuỗi

Với mẫu lớn và lược đồ AR(1) Durbin đã đề xuất phương

pháp kiểm định h với tiêu chuẩn kiểm định như sau:

h = (1 - d/2)

) ˆ var(

1 n 2

n

  N(0,1) (23) Thủ tục kiểm định như sau:

Bước 1: hồi quy (21) bằng OLS thu được Var(ˆ 2)

Bước 2 tìm d

Bước 3 tìm h

Để kiểm định các giả thuyết:

0

* 21 1

1 )

2

365573 ,

1 1 (



h < u /2= 1,96 nên mô hình không có tự tương quan

Hạn chế: + Không áp dụng được khi n.Var(ˆ 2)  1

+ Chỉ cho kết quả chính xác khi mẫu đủ lớn

Lúc đó có thể dùng kiểm định bằng nhân tử Lagrange

(Breusch- Goldfrey)

8 Trễ đa thức ALMON

Giả thiết k giảm liên tục theo cấp số nhân trong phép biến

đổi Koyck có thể không đúng trong một số trường hợp, chẳng hạn lúc đầu  tăng, sau đó mới giảm, hoặc thay đổi theo chu kỳ Trong những trường hợp như vậy dùng trễ đa thức ALMON thích hợp hơn

ALMON giả thiết rằng các i là các đa thức bậc r của i ( i là chiều dài của trễ)

Xét mô hình có trễ hữu hạn sau:

Yt =  + 0Xt + 1Xt-1 + + kXt-k + ut (24) Hay Yt =  + iXt-i + ut

Nếu i có thể biểu diễn dưới dạng đa thức bậc hai của i thì:

i = ao + a1i + a2i2 (25) thay (25) vào (24) ta được:

k i

X i a i a

i t k

i i t k

i i

X a

0

2 2 0

1 0

Trong trường hợp tổng quát, nếu i là đa thức bậc r (r  2)

của i thì:

i = a0 + a1i + a2i2 + + arir

thì (24) có dạng:

Yt =  + a0Z0t + a1Z1t + a2Z2t + + arZrt + ut (28) Như vậy thay vì hồi quy (24) có thể hồi quy (28) và các ước lượng thu được sẽ có những tính chất thống kê tốt nhất nếu ut

thoả mãn mọi giả thiết của OLS

Khi đã ước lượng được (27) thì các hệ số của mô hình gốc (24)

có thể tìm như sau:

ˆ0 = aˆ0

ˆ1 = aˆ0 + aˆ1 + aˆ2

ˆ2 = aˆ0 + 2aˆ1 + 4aˆ2

Var(ˆi) = var(aˆ0 + aˆ1i + + aˆrir ) =

= i2jvar(aˆi) + 2ij+pcov(aˆj,aˆp) (29)

Các ˆi tìm được như trên gọi là các ước lượng không có ràng

buộc, tức là không có điều kiện tiên nghiệm đối với chúng Đôi

khi người ta đưa ra các ràng buộc đầu và cuối, chẳng hạn -1 = 0

Yt =  + a2Zt + ut (31) Với Zt = (i2 - ki - k - 1)Xt-i

Hồi quy (31) tìm được aˆ2 từ đó suy ra aˆ0 và aˆ1 theo (30) và suy

tiếp ra ˆi Có trường hợp điều kiện ràng buộc là i = 1

Các chú ý:

Nếu * Nếu trễ phân phối có đuôi dài: Lúc đó có thể dùng đa thức

từn từng khúc, chẳng hạn dùng trễ đa thức với những i đầu và

phé dùng phép biến đổi Koyck cho phần sau

Chọ * Chọn chiều dài cực đại của trễ: Cần có chủ ý trước cho độ dài dài của trễ

Chọ * Chọn bậc của đa thức: Khi đã chọn được k thì cần xác định

 Nếu không biết số điểm đổi hướng thì việc chọn r là rất chủ quan Tuy nhiên có thể tiếp cận vấn đề theo cách sau:

Giả sử cần cân nhắc giữa đa thức bậc hai và bậc ba ở bậc hai ta có:

Yt =  + a0Z0t + a1Z1t + a2Z2t + ut

Còn ở bậc ba ta có:

Yt =  + a0Z0t + a1Z1t + a2Z2t + a3Z3t + ut (32) trong đó Zst = isXt-i

Hồi quy (32) và kiểm định ý nghĩa thống kê của a3 Nếu a2 có

ý nghĩa thống kê còn a3 không có thì chọn bậc hai

Cũng có thể bắt đầu từ một đa thức bậc cao nhất có thể có, sau đó loại dần cho đến khi thu được một đa thức thích hợp

Chú ý rằng việc tạo ra các Zt từ Xt có thể xảy ra hiện tượng

đa cộng tuyến, lúc đó các ai có thể không có ý nghĩa thống kê

do đa cộng tuyến chứ không phải do bậc không thích hợp Vì vậy cần kiểm định đa cộng tuyến giữa các Zt để chắc chắn rằng mức độ đa cộng tuyến giữa chúng là không nghiêm trọng

Ví dụ 1: Sử dụng lại tệp số liệu ch9bt2, giả sử doanh thu có ảnh hưởng trễ đến đầu tư theo dạng đa thức bậc hai Hãy dùng trễ

đa thức Almon với độ dài trễ bằng 4 để ước lượng mô hình và cho nhận xét

Hồi quy bằng OLS cho kết quả sau:

Hồi quy y c pdl(x,4,2) : Chiều dài của trễ : 4, bậc đa thức : 2

Dependent Variable: Y

Method: Least Squares

Date: 11/22/08 Time: 10:22

Sample(adjusted): 5 22

Included observations: 18 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std Error t-Statistic Prob

C -27.77482 6.508407 -4.267530 0.0008

Z0 0.785664 0.051425 15.27802 0.0000

Z1 -0.698330 0.072447 -9.639185 0.0000

Z2 0.131398 0.017527 7.496942 0.0000

R-squared 0.979067 Mean dependent var 128.6622

Adjusted R-squared 0.974582 S.D dependent var 50.36035

S.E of regression 8.029027 Akaike info criterion 7.197134

Sum squared resid 902.5138 Schwarz criterion 7.394994

Log likelihood -60.77420 F-statistic 218.2689

Durbin-Watson stat 1.860130 Prob(F-statistic) 0.000000

Từ đó tìm lại được  = -27.77482

0 = 0.785664433079

1 = 0.21873

2 = -0.08541