Quy hoạch tuyến tính

Quy hoạch tuyến tính

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN



BỘ MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Viện Công nghệ Sinh học – Thực phẩm

TP HCM, ngày 25 tháng 4 năm 2009

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP TP HỒ CHÍ MINH

KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN



BỘ MÔN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Viện Công nghệ Sinh học – Thực phẩm

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh hay trong một trò chơi mà đối thủ là một kẻ thông minh và nguy hiểm…Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để có được phương án tối ưu cần thiết

Trong đó phương pháp đơn hình được George Bemanrd Dantzig đưa ra năm

1947 cùng lúc với việc khai sinh ra quy hoạch tuyến tính, phương pháp này thực sự

có hiệu quả để giải những bài toán quy hoạch tuyến tính cỡ lớn trong thực tế mà ta thường gặp, như để vận chuyển hàng hóa đầy đủ nhưng có tổng chi phí là nhỏ nhất – đây chính là bài toán vận tải Hoặc trong kinh doanh phải lập kế hoạch sản xuất đối với các nguyên liệu và sản phẩm để thu được tổng lợi nhuận là lớn nhất…

Kiến thức sau khi học quy hoạch tuyến tính rất cần thiết, đây là những kiến thức rất quan trọng để xây dựng một mô hình toán học cho bất kỳ bài toán phức tạp nào trong thực tế, chỉ cần xây dựng các thuật toán đã mô hình hóa ngôn ngữ nhờ việc lập trình trên máy tính ta có thể giải quy hoạch tuyến tính một cách dể dàng nhanh chóng và chính xác Như vậy việc học quy hoạch tuyến tính rất quan trọng, nó đem lại những hiệu quả kinh tế rất lớn nếu biết lập các mô hình và tính toán đúng quy cách

2 Đối tượng nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu.

Quy hoạch tuyến tính là lĩnh vực nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu là vấn đề được quan tâm nhất và các ràng buộc là các yêu cầu ,điều kiện của kế hoạch đặt ra, đều là hàm và các phương trình, bất phương trình tuyến tính Các bước

để nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tính điển hình là:

Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu

Lập mô hình toán học thật chính xác.

Xây dựng các thuật toán để giải bài toán trên các lập trình máy tính

Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần

Áp dụng để giải các bài toán thực tế

CHƯƠNG 1:

BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

A LÝ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA

Bài toán quy hoạch tuyến tính (qhtt) tổng quát có dạng:

(3) được gọi là các ràng buộc dấu (của biến), nó có thể không âm (≥0),

không dương (≤0) hay tùy ý

Như vậy, bài toán QHTT là bài toán có các biểu thức xác định hàm mục tiêu

và các ràng buộc chung đều ở dạng tuyến tính

Véctơ x=(x1, x2,…,xn)T được gọi là phương án (pa) hay lời giải chấp nhận được của bài toán QHTT nếu nó thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán.

n

x x

x , * , , * )

2

*

giải tối ưu, nghiệm tối ưu của bài toán QHTT nếu giá trị hàm mục tiêu tại đó là tốt

nhất

Tức là: f(x*)=

j

n j

j j

n j

)( là giá trị hàm mục tiêu tại phương án x=(x1,x2,…,xn)T

bất kỳ (Dấu ≤ ứng với bài toán cực tiểu Dấu ≥ ứng với bài toán cực đại)

Giải bài toán QHTT tức là tìm phương án tối ưu của nó (nếu có).

Hai bài toán QHTT được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có chung tập hợp các phương án tối ưu.

Mệnh đề: (Quan hệ giữa bài toán cực đại và bài toán cực tiểu)

(Trong đó: X là tập hợp các phương án)

Tức là: nếu đổi dấu hàm mục tiêu và đổi loại hàm mục tiêu thì ta được bài toán tương đương Vì lí do này mà khi nghiên cứu cách giải bài toán qhtt, người ta chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực tiểu (hay chỉ xét bài toán có loại hàm mục tiêu là cực đại)

2 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 2 BIẾN

Bài toán có dạng: tìm x=(x1,x2)T sao cho f(x)=c1x1+c2x2 min (max)

Với hệ ràng buộc: ai1x1+ai2x2≥bi, i=1,2,…,m

- Ràng buộc chung có dạng: a = b thì tương đương với: a≥b và –a≥-b

- Còn các ràng buộc biến có thể xem là các trường hợp riêng của các ràng buộc chung

Như vậy, hệ ràng buộc của bài toán QHTT có 2 biến luôn luôn có thể giả thiết

là có dạng: ai1x1+ai2x2≥bi; i=l, 2 , m

2.1 Xác định miền phương án

Đưa các điểm (x1,x2) lên hệ trục tọa độ vuông góc Ta xác định được các điểm thỏa mãn phương trình: ai1x1+ai2x2=b, hình thành nên một đường thẳng chia mặt phẳng tọa độ thành 2 nửa mặt phẳng (mp) Một nửa mp bao gồm các điểm (x1, x2) thỏa mãn bất phương trình: ai1x1+ai2x2≥bi, và nửa kia bao gồm các điểm (x1, x2) thỏa mãn bất phương trình: ai1x1+ai2x2≤bi

Trong thực hành, để xác định nửa mp nào ứng với bất phương trình:

ai1x1+ai2x2≥bi Ta thường lấy một điểm đặc biệt như (0,0); (0,1); (1,0);… thay vào bất phương tình, nếu nó thỏa mãn thì nửa mp chứa điểm đặc biệt đó là nửa mp phải tìm; còn nếu nó không thỏa mãn thì nửa mp phải tìm là nửa mp không chứa điểm đặc biệt đó

Các điểm thỏa mãn hệ ràng buộc của bài toán là các điểm thuộc miền giao của các nửa mp xác định các bất phương trình tương ứng, nó tạo nên một hình đa giác lồi

có thể bị giới nội hay không bị giới nội; hoặc miền giao là rỗng ứng với trường hợp

hệ ràng buộc không tương thích Trường hợp miễn phương án X không rỗng ta thực hiện tiếp bước sau

2.2 Xác định phương án tối ưu

Một điểm x=(x1,x2)T bất kỳ nằm trong mp tọa độ sẽ cho ta giá trị hàm mục tiêu là: c1x1+c2x2 =f

Tập hợp tất cả các điểm có cùng giá trị hàm mục tiêu là f hình thành nên một đường thẳng vuông góc với véctơ OC với C=(c1,c2)T Đường thẳng này được gọi là đường thẳng mục tiêu có mức là f

Đặc điểm của các đường thẳng mục tiêu là: nếu tịnh tiến đường thẳng mục

tiêu theo cùng hướng vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ tăng lên Còn nếu tịnh tiến theo hướng ngược với vectơ OC thì giá trị hàm mục tiêu sẽ giảm đi.

3 CÁCH ĐƯA BÀI TOÁN QHTT BẤT KỲ VỀ DẠNG CHÍNH TẮC

Bài toán qhtt dạng chính tắc là bài toán qhtt có tất cả các ràng buộc chung đều ở dạng đẳng thức và tất cả các biến đều không âm.

1

→

∑

n j

j x

Với hệ ràng buộc: i

n j j ij x b a = ∑ = 1 , i=1,2,…,m x≥0, j=1,2,…,n  Trường hợp ràng buộc chung có dấu bất đẳng thức ≤ (hay ≥) thì ta cộng thêm (hay trừ đi) một biến phụ (biến bù) vào vế trái để cân bằng Biến phụ phải ≥ 0 và hệ số tương ứng trong hàm mục tiêu phải bằng 0  Trường hợp biến có điều kiện ≤ 0 (hay tùy ý) thì ta thay biến đó bằng “đối” của biến không âm (hay bằng hiệu của biến không âm) Kết luận: Mọi bài toán qhtt đều đưa được về dạng chính tắc và việc giải bài toán qhtt đã cho tương đương với việc giải bài toán qhtt dạng chính tắc tương ứng với nó, theo nghĩa là nếu bài toán dạng chính tắc có patư thì từ đó suy ra được patư của bài toán ban đầu, còn nếu bài toán dạng chính tắc không có phương án tối ưu thì bài toán ban đầu cũng không có patư Nói cách khác: Bài toán ban đầu có patư khi và chỉ khi bài toán dạng chính tắc tương ứng với nó có patư.  Như vậy ta chỉ cần tìm cách giải bài toán qhtt dạng chính tắc 4 PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS-JORDAN NGHIỆM CƠ BẢN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1 Phương pháp khử Gauss-Jordan Xét hệ thống gồm m phương trình tuyến tính, n biến:        = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a

2 2 1

1

2 2

2 22 1 21

1 1

2 12 1 11

…0

Trong đó: ai0 =bi, i=1,2,…,m

Phép khử Gauss –Jordan (gọi tắt là phép khử) với phần tử trục (Phần tử giải;

Phần tử chủ yếu) là arv≠0 (Dòng r được gọi là dòng xoay, cột v được gọi là cột xoay)

cho bảng mới tương đương với bảng cũ, theo nghĩa là 2 hệ thống tương ứng với 2 bảng là tương đương với nhau

Quy tắc thực hiện:

- Các phần tử trên dòng xoay đều chia cho phần tử trục

- Các phần tử còn lại trên cột xoay đều biến thành 0

- Các phần tử khác tính theo qui tắc đường chéo hình chữ nhật rồi chia cho

rv

iv rj rv ij rv

rv rj

v ij

ij

a

a a a a a

a a

a a

4.2 Nghiệm cơ sở của hệ phương trình tuyến tính

Nghiệm cơ sở (nghiệm cơ bản) của 1 hệ phương trình tuyến tính là nghiệm

nhận được từ dạng nghiệm tổng quát khi có các biến tự do nhận giá trị 0

Biến cơ sở (biến cơ bản) ứng với một phương trình là biến có hệ số là 1 ở

phương trình đó và có hệ số là 0 ở các phương tình còn lại (nói cách khác: các hệ số tương ứng với biến cơ sở tạo nên các vectơ đơn vị)

Các biến không có đặc điểm trên được gọi là các biến phi cơ sở.

Trong dạng nghiệm tổng quát, các biến cơ sở đóng vai trò là các biến phụ thuộc còn các biến phi cơ sở là các biến tự do

Nhận xét: khi thực hiện phép khử với 1 phần tử trục thì biến ở cột xoay sẽ trở

thành biến cơ sở tương ứng với dòng xoay.

Ta thấy một nghiệm cơ sở tương ứng với một dạng nghiệm tổng quát, mà các dạng nghiệm tổng quát khác nhau là do hệ các biến tự do (hay hệ các biến cơ sở) là khác nhau Do đó để tìm tất cả nghiệm cơ sở ta đưa vào bảng tính cột xB chứa các biến cơ sở tương ứng với mỗi phương trình và tiến hành thực hiện các phép khử với các phần tử trục được chọn sao cho thu được các hệ biến cơ sở khác nhau

Nghiệm cơ sở tương ứng với mỗi bảng sẽ được xác định bằng các cho các biến cơ sở nhận giá trị tương ứng ở cột b, các biến không nằm trong hệ biến cơ sở nhận giá trị 0.

- Nghiệm cơ sở suy biến là nghiệm cơ sở tương ứng với nó nhiều hơn 1 hệ biến cơ sở

- Nghiệm cơ sở không suy biến là nghiệm cơ sở có tương ứng với nó đúng 1

- Pacb không suy biến là pacb có tương ứng với nó đúng một hệ biến cơ sở

- Pacb suy biến là pacb có tương ứng với nó nhiều hơn một hệ biến cơ sở

Do số nghiệm cơ sở của một hệ phương trình tuyến tính là hữu hạng nên số pacb là hữu hạng

Số thành phần dương (>0) trong một pacb không vượt quá hạng của hệ ràng buộc chung

Pacb có số thành phần lớn hơn 0 đúng bằng hạng của hệ ràng buộc chung sẽ là pacb không suy biến Ngược lại, pacb có số thành phần lớn hơn 0 nhỏ hơn hạng của

hệ ràng buộc chung có thể là phương án cực biên suy biến

6 CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI

Tập hợp lồi: Là tập hợp phương án thỏa điều kiện: Nếu có 2 điểm bất kỳ

thuộc nó thì cả đoạn thẳng nối 2 điểm cũng thuộc tập hợp đó

Định nghĩa: Điểm cực biên của một tập lồi X là điểm thuộc X, nhưng không phải là điểm trong của bất cứ đoạn thẳng nào nằm trong X

Đỉnh của 1 tập lồi X là điểm thuộc X và tồn tại 1 siêu phẳng sao cho X nằm

hoàn toàn về 1 phía của nó và siêu phẳng cắt X chỉ tại điểm đó

Lưu ý: phương trình đoạn thẳng có thể viết dưới dạng: x=xo+αz, ∀α

[α1,α2]

∈ Đây là đoạn thẳng nằm trên đường thẳng đi qua điểm xo và có vectơ chỉ phương là z

7 CÁC ĐỊNH LÝ

 Định lý 1 (dấu hiệu của pacb): Một phương án của bài toán qhtt dạng chính tắt là pacb khi và chỉ khi hệ véctơ cột tương ứng với các thành phần dương (>0) là độc lập tuyến tính.

 Định lý 2 (Điều kiện tồn tại pacb): Bài toán qhtt dạng chính tắc nếu có pa thì sẽ có pacb

 Định lý 3 (ý nghĩa hình học của pacb): một pacb tương ứng với 1 điểm cực biên (đỉnh) của tập phương án

Trong đó x1,…,xK là các pacb; z1,…,zL là các vectơ chỉ phương các cạnh vô hạn ∀ αi ≥ 0, i=1,…,K; ∀ βi ≥ 0, i=1,…,L và α1+…+ αK=1

Tức là pa x được biểu diễn dưới dạng tổ hợp lồi của các pacb cộng với tổ hợp không âm của các vectơ chỉ phương các cạnh vô hạn

 Định lý 5 (điều kiện tồn tại pacb): bài toán qhtt có patư khi và chỉ khi nó

có phương án và hàm mục tiêu bị chặn dưới đối với bài toán cực tiểu (hay bị chặn trên đối với bài toán cực đại) trên tập phương án

Nếu bài toán qhtt dạng chính tắc có patư thì sẽ có 1 pacb là patư

Định mức

lao động

Loại thợ

B BÀI TẬP

1 Lập mô hình toán học các bài toán sau:

a Một xí nghiệp đóng tàu đánh cá cần đóng 2 loại tàu 100 mã lực và 50 mã lực Trong xí nghiệp có 3 loại thợ chính quyết định sản lượng kế hoạch Thợ rèn có

2000 công, thợ sắt có 3000 công, thợ mộc có 1500 công Định mức lao động của mỗi loại tàu được cho trong bản:

705040

(công/sản phẩm)Hỏi xí nghiệp nên đóng tàu mỗi loại bao nhiêu để đạt tổng số mã lực cao nhất?

≤ +

≤ +

0 x ,0 x

1500 x

40 x 80

2000 x

50 x 120

3000 x

70 x 150

2 1

2 1

2 1

2 1

b Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện,

150 giờ máy mài để chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, C Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần 9 giờ máy cán, 5 giờ máy tiện, 3 giờ máy mài; 1 đơn vị sản phẩm B cần

3 giờ máy cán, 4 giờ máy tiện; 1 đơn vị sản phẩm C cần 5 giờ máy cán 3 giờ máy tiện, 2 giờ máy mài Mỗi sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng, mỗi sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng, mỗi sản phẩm C trị giá 27 ngàn đồng

Loại tàu

Vấn đề đặt ra là xí nghiệp cấn chế tạo bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng giá trị sản phẩm xí nghiệp thu được là lớn nhất, với điều kiện không dùng quá số giờ hiện có của mỗi loại máy.

Giải

Ta có bảng tóm tắt như sau:

Loại spThiết bị A (48) B (16) C (27)

≤ + +

≤ + +

3, 2, 1 j, 0 x

150 x x

360 x x x

510 x x x

j

3 1

3 2 1

3 2 1

c Một xí nghiệp điện cơ sản xuất quạt điện các loại Cần cắt từ một tấm tôn các cánh quạt điện theo 3 kiểu A, B, C Có 6 mẫu cắt khác nhau theo bảng sau:

Kiểu cánh quạt

Mẫu cắt

ABC

200

110

101

020

012

003Chỉ tiêu sản lượng sản phẩm của xí nghiệp phải hoàn thành ít nhất 4000 cánh quạt kiểu A, 5000 cánh quạt kiểu B, 3000 cánh quạt kiểu C Hỏi xí nghiệp có phương

án cắt như thế nào để có phế liệu ít nhất?

≥ + +

≥ + +

6 , 5 , 4 ,3 , 2 ,1 j 0 x

3000 x

x 2 x

5000 x

x x

4000 x

x x 2

j

6 5 3

5 4 2

3 2 1

058

162

403030

Hãy lập kế hoạch vận chuyển sao cho tổng chi phí vận chuyển là bé nhất?

=+

=++

=++

≤+++

≤+++

≤++

3,2,1,4,3,2,1,0

15302020303040

34 24 14

33 23

32 22 12

31 21 11

34 33 32 31

24 23 22 21

14 12 11

i j

x

x x x

x x

x x x

x x x

x x x x

x x x x

x x x

ij

e Công ty may mặc Long Vũ hiện đang lập kế hoạch sản xuất 3 mặt hàng

áo Jaket, áo Chemis, áo Bludong Được biết chi phí giở công sản xuất của từng mặt hàng qua 3 công đoạn cắt, may, hoàn chỉnh như sau:

Giờ công bộ phận hoàn

chỉnh

Cửa hàng

Năng lực tối đa của các bộ phận như sau:

- Bộ phận cắt: 1250 giờ công

- Bộ phận may: 1650 giờ công

- Bộ phận hoàn chỉnh: 540 giờ công

Tối thiểu mỗi loại phải sản xuất 200 sản phẩm Hãy tính kế hoạch sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để đạt tổng giá trị sản phẩm lớn nhất và vẫn đảm bảo các điều kiện về năng lực sản phẩm và qui định số lượng sản phẩn tối thiểu

+

≤ +

+

≤ +

+

3 , 2 ,1 , 200

540 1

0 2 0 1 0

1650 4

0 5 0 3 0

1250 3

0 4 0 2 0

3 2

1

3 2

1

3 2

1

j x

x x

x

x x

x

x x

x

j

f Nhà máy sản xuất thiết bị nghe nhìn điện tử Hanel lắp ráp thành phẩm máy thu hình TV, Stereo, loa thùng từ các bộ phận khác nhau Tên các bộ phận và số lượng còn trong kho của chúng được bộ phận KHO cung cấp trong bản sau:

Tìm giải pháp lắp ráp số lượng máy thu hình TV, Stereo, loa thùng từ số bộ phận còn trong kho để đem lại tổng lợi nhuận cao nhất?

1 2

1 2 3 j

2 Đưa về dạng chuẩn tắc và chính tắc các bài toán qui hoạch tuyến tính sau:

≥

−

−

≤ +

−

ý tùy x ,0 x ,0 x

4 x x x

3 x x x

2 x x x

2 3 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

Giải

Dạng chính tắc: thay x2 = x4 - x5 (x4, x5 ≥ 0) và thêm 2 biến phụ x6, x7 ≥ 0

Ta được bài toán: f(x) = 2x1- x4 + x5  max

4 0( 1,3, 4,5)

≥

0 ,0

5 2

4 3

2 1

2 1

2 1 1

x x

x x

x x x

Giải

Dạng chính tắc: thêm 2 biến phụ x3, x4 ≥ 0 Ta có: f(x) = 3x1 + x2  min

−

4 ,3 ,2 ,1 ,0

5 2

4 3

2 1

4 2 1

3 1

j x

x x

x x x

x x

5 x x

5 x x

4 x x

3 x

j

2 1

2 1

2 1 1

3 Viết các bài toán qui hoạch tuyến tính sau ở dạng chính tắc:

− +

= + +

− +

=

− +

−

−

7, 6, 5, 4, 2, 1 j, 0 x

3 x x x x x

8 x x x x x

6 x x x x

j

7 5 4 2 1

6 5 4 2 1

5 4 2 1

−

−

=

− +

≤

− +

ý tùy x ,0 x ,0 x

25 x x x

10 x x x

15 x x x

2 3 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

Giải

Đặt x2 = x4 - x5 (x4, x5 ≥ 0), thêm 2 biến phụ x6, x7 ≥ 0

Ta có: f(x) = 3x1 + x4 – x5 min

= + +

= + + +

3, 2, 1 ,0

4 2

2

6 2

3 2 1

4 2 1

4 3 2 1

j x

x x x

x x x

x x x x

j

a Hãy chỉ rõ 1 phương án của bài toán

b Xác định tập phương án của bài toán

Giải

a Sử dụng phương pháp Gauss-Jordan, ta lập bảng:

624

1

11

11-2

201

110

6-4-2

100

10-3

2

-2

-1

10-1

220

100

10-3

010

10

-1

220

100

-230

010

001

2 1

4 2 3

2 1

x3x 2x

x22 x

0x x3 2x

2x2 x

Điểm cực biên của miền này là A(15/7,12/7); B(10/3,-2/3); C(0,1)

6 Dùng phương pháp hình học giải các qui hoạch tuyến tính 2 biến sau:

≤ +

≤ +

0 ,0

9 3

6 2 3

1

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Giải

Miền ràng buộc: OABPhương án tối ưu: A(0,1)Trị tối ưu: fmax=1

−

≤ +

0 ,0

12 2 3

4 2

8 2

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Giải

Miền ràng buộc: OABC

Phương án tối ưu: B (2,3)

Trị tối ưu: fmax = 22

0 ,0

0 2

0

6 2

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Giải

Miền ràng buộc: OABPhương án tối ưu: B(3/2,3)Trị tối ưu: fmax = 33/2

d f(x) = -4x 1 +3x 2 min

≤ +

0 ,0 2

6 3 2

6

2 1

2 1

2 1

2 1

x x

x x

x x

x x

Giải

Miền ràng buộc: ABCD

Phương án tối ưu: B (4,2)

Trị tối ưu: fmin= -10

7 Tìm các phương án cực biên không suy biến của bài toán qui hoạch tuyến tính với điều kiện ràng buộc sau đây:

=

−

−

0 ,0 ,0

3 1

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

−

= + +

0 ,0 ,0

14 3 2

10

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Giải

Nhận xét: phương án cực biên của bài toán có nhiều nhất 2 thành phần > 0

 có ít nhất 1 thành phần = 0

Cho x1 = 0  x2 = 4, x3 = 6  x1= (0, 4, 6)

Xét hệ {A2,A3} độc lập tuyến tính và x2, x3 > 0 x1 là phương án cực biên không suy biến.

Cho x2 = 0 x1 = 16, x3 = -6 x2 = (16, 0, -6)  không thỏa điều kiện x3 > 0Cho x3 = 0  x1 = 8, x2 = 2  x3= (8, 2, 0)

Xét hệ {A1,A2} độc lập tuyến tính và x1, x2 > 0 x3 là phương án cực biên không suy biến

0 x, 0 x, 0 x

0 x x

4 x x x

3 2 1

2 1

3 2 1

−

= + +

0 , , ,

8 2

5 3 2

4 3 2 1

4 3 2

4 3 1

x x x x

x x x

x x x

a Liệt kê tất cả các phương án của (P)

b Chứng tỏ (P) có phương án tối ưu Từ đó chỉ ra phương án cực biên tối ưu

Cho x2 = x3 = 0  x1 = -7, x4 = 4  x3 = (-7, 0, 0, 4)  không thỏa điều kiện x1

Vậy x1= (0,14/3,0,5/3) là phương án tối ưu của bài toán và trị tối ưu là -25/3

CHƯƠNG 2:

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

A LÝ THUYẾT

1 THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH:

Xét bài toán QHTT sau:

Trong đó A là ma trận cấp mxn, b và x

Giả thiết: m n, rank(A) = m và bài toán không suy biến

Ký hiệu bài toán (1) – (3) là bài toán ( D,f ), trong đó D là miền ràng buộc

 Ý tưởng của phương pháp đơn hình

Bắt đầu từ một phương án cực biên nào đó của bài toán

Kiểm tra có tối ưu không (so sánh giá trị hàm mục tiêu tại đó và giá trị

hà mục tiêu tại các đỉnh kế với nó

- thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu hoặc phát hiện bài toán không có

phương án tối ưu: dừng thuật toán

- Trái lại, phương pháp sẽ tìm một phương án cực biên mới tốt hơn (giá trị ham mục tiêu nhỏ hơn) mà nó là một đỉnh kề của đỉnh trước đó Trở lại bước kiểm tra tối ưu

Pacb ban đầu

 Thuật toán đơn hình giải bài tập ( D,f ):

Bước 2: (kiểm tra tối ưu)

Trái lại, chuyển sang bước 3

Bước 3: (Kiểm tra bài toán không có phương án tối ưu)

Thì bài toán đã cho không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu giảm vô hàn trong miền ràng buộc: dừng thuật toán

Trái lại chuyển sang bước 4

Bước 4: (Xây dựng phương án cực biên mới)

 Chọn vectơ đưa vào cơ sở:

Chọn s thỏa mãn:

Đưa vectơ As vào cơ sở

 Xác định vectơ loại khỏi cơ sở:

Tính

Giả sử tên biến cơ sở thứ r là

Đưa vectơ ra khỏi cơ sở

 Xây dựng phương án cực biên mới: Phương án mới x1 được xác định như sau:

Phương án x1 tương ứng vói cơ sở J1 = ( J0 \ {ir} {s})

2 CÁCH TÌM PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN VÀ CƠ SỞ BAN ĐẦU

Xét bài toán QHTT dạng chính tắc ( D,f ):

Không giảm tổng quát, ta có thể xem như mọi

2.1 Trường hợp ma trận hệ số A của (5) có chứa ma trận đơn vị I cấp

m

Hệ m vectơ tương ứng với m cột của I là cơ sở của phương án cực biên x0.

Cách xác định x 0:

Cho ứng với các cột A j nằm ngoài I bằng 0

Từ (5)  ứng với cột A j nằm trong I: ẩn cơ sở

2.2 Trường hợp ma trận hệ số A của (5) không chứa ma trận đơn vị I cấp m

Ta xét bài toán mở rộng sau (thường gọi là bài toán M)

Điều kiện:

Nhận xét: Ma trận hệ số ràng buộc chính chứa ma trận đơn vị cấp m

 Định lý:

Nếu bài toán (M) không có phương án tối ưu hoặc có một phương án tối ưu

mà trong đó có ít nhất một ẩn giả dương thì (D,f) vô nghiệm

Nếu bài toán (M) có phương án tối ưu

Do đó có thể giải bài toán (M) thay cho giải bài toán ( D,f )

 Ví dụ 1:

Xét bài toán:

Điều kiện:

Ma trận hệ số ràng buộc có chứa ma trận đơn vị I2 ứng với cột 4 và cột 5

Vậy x 0 = (0,0,0,12,10) là phương án cực biên với cơ sở tương ứng là

{A 4 ,A 5}

Chú ý :

- Nếu ma trận A của bài toán ( D, f ) có chứa k vectơ cột đơn vị khác nhau ( k < m )thì ta cần đưa m – k biến giả vào bài toán (M)

- Trong bài toán (M), do hàm mục tiêu F phụ thuộc tuyến tính vào M

nên các ước lượng của các biến cũng phụ thuộc tuyến tính vào M :

Quy tắc xét dấu và ước lượng như sau :

Trong bảng đơn hình: Tách dòng mục tiêu ( dòng cuối ) thành hai dòng riêng:

dòng đầu ghi các hệ số , dòng sau ghi các hệ số (k = 0, 1, 2, …, n+m)

 Ví dụ 2 :

Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT sau :

Điều kiện :

Đưa vào 1 ẩn phụ x4 và 2 ẩn giả x5, x6 ta có bài toán (M) :

Với điều kiện :

Lập bảng đơn hình cho bài toán :

Kiểm tra trường hợp không có phương án tối ưu :

cực biên mới

Chọn vectơ đưa vào cơ sở, chọn s thỏa mãn

Xác định vectơ loại khỏi cơ sở như trường hợp cực tiểu

Các tính toán còn lại như bài toán min

 Ví dụ 3:

Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT sau :

Điều kiện :

Cách 1: Giải trực tiếp bài toán max

Đưa vào phương trình hàm mục tiêu 2 ẩn giả x6, x7 ta có bài toán (M)

Cách 2 : Chuyển dạng bài toán từ thành

Ta giải bài toán với các điều kiện tương tự cách 1 với hàm mục tiêu

Lập bảng đơn hình cho bài toán

cj

Phương án

xj ≥ 0 ( j = 1,2,3,4,5)

Thêm 1 ẩn phụ x6 ≥ 0, ta có:

x1 + x2 + 4 x3 -3x5 = 152

4x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 603x2 + x5 + x6 = 36

xj ≥ 0 (j = 1,…,7)

Giải

Điều kiện bài toán được viết lại:

-x1 + x2 – x4 + x6 + x7 = 15-2x1 + x3 – 2x6 – x7 = 94x1 + 2x4 + x5 – 3x6 = 2

xj ≥ 0 (j = 1,…,7)

Ta có phương án cực biên ban đầu x0 = (0, 15, 9, 0, 2, 0, 0)

Với cơ sở ban đầu (A2; A3; A5)

Cơ

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0

Giải

Thêm ẩn phụ x3,4,5 ≥ 0 vào, ta có

f = x1 – x2  min-x1 + x2 + x3 = 13x1 + 2x2 + x4 = 6

Phương án

xj ≥ 0 ( j = 1; 2)

A5 0 8 4 0 -1 0 1

Ở bảng đơn hình cuối ta có A1 không phải là cơ sở nhưng ∆1 = 0

 Bài toán có vô số phương án tối ưu và fmin = -1

2 Dùng phương pháp phạt giải các bài toán sau:

a f = - x1 - 2x2 - 3x3 + x4  min

Điều kiện:

x1 + 2x2 + 3x3 = 152x1 + x2 + 5x3 = 20

Ta có phương án cực biên ban đầu x0 = ( 0; 0; 0; 10; 15; 20)

Cơ sở ban đầu : {A5, A6, A4}

Ta có phương án cực biên ban đầu x0 = ( 0, 0, 0, 6, 0, 6, 4) với cơ sở tương ứng {A4, A6, A7}

Thêm 3 ẩn phụ x3,4,6 ≥ 0 và 1 ẩn giả x5≥ 0, ta có

 G = x1 +x2 +Mx5 - 1 min

-x1 + x2 +x3 = 13x1 + 2x2 –x4 +x5 = 63x1 +x2 +x6 = 9

Lập bảng đơn hình

Cơ

sở

hệ số

Phương án

2x2 + x3 + 5x4 = 8

xj ≥ 0; j = 1, 2, 3, 4

- Ta có x = ( 2, 4, 0, 0) thỏa mãn các điều kiện ràng buộc => x là phương án

- Ngoài ra, ta có cơ sở {A1;A2} là độc lập tuyến tính

Phươngán

Cơ

sở

Hệsố

Phươngán

 Khi phân tích đồng thời cả hai bài toán gốc và dối ngẫu ta có thể rút ra các kết luận sâu sắc cả về mặt toán học lẫn về ý nghĩa thực tiễn.

1 CÁCH LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

1.1 Xét quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tắc:

(Q) [Bài toán đối ngẫu]

+

+

,n ,

,2 ,1 j, 0 x

m , ,2 ,1 i, b x a

x a x a

j

inin2

2i11i

+

+

,n , ,2 ,1 i, 0 y

,n , ,2 ,1 j, c y a y

a y





