Quy hoạch tuyến tính trong tối ưu hóa sản xuất thiết bị nghe nhìn điện tử

LÝ THUYẾT

- Trái lại, phương pháp sẽ tìm một phương án cực biên mới tốt hơn (giá trị ham mục tiêu nhỏ hơn) mà nó là một đỉnh kề của đỉnh trước đó. Trở lại thực hiện bước và tiếp tục thuật toán cho tới khi nhận được phương án tối ưu (bước 2) hoặc phát hiện bài toán không có phương án tối ưu (bước 3) thì dừng. Nhận xét: Với giả thiết bài toán không suy biến thì thuật toán giải nêu trên phải dừng sau một số hữu hạn bước lặp, bởi vì mỗi lần thực hiện bước 4 ta nhận được phương án cực biên mới tốt hơn phương án cực biên trước đó và số phương án cực biên của bài toán là hữu hạn.

Nếu bài toán (M) không có phương án tối ưu hoặc có một phương án tối ưu mà trong đó có ít nhất một ẩn giả dương thì (D,f) vô nghiệm.

CÁCH LẬP BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

- Các hệ số vế phải ràng buộc chính của (P) trở thành các hệ số mục tiêu của (Q), còn các hệ số mục tiêu của (P) lại trở thành các hệ số vế phải ràng buộc chính của (Q). - Bài toán gốc tìm min thì bài toán đối ngẫu tìm max (và ngược lại).  Nhận xét: Nếu lấy đối ngẫu của bài toán đối ngẫu thì ta sẽ nhận được bài toán gốc.

CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU

Nếu một quy hoạch có phương án tối ưu thì quy hoạch đối ngẫu của nó cũng có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của chúng là bằng nhau. Đối với mỗi cặp quy hoạch đối ngẫu nhau thì có thể xảy ra một trong ba khả năng loại trừ nhau sau đây. Khi đó, cả hai bài toán đều có phương án tối ưu và giá trị tối ưu của các hàm mục tiêu là bằng nhau.

Khi đó, bài toán có phương án sẽ không có phương án tối ưu và hàm mục tiêu của nó không giới nội trong miền ràng buộc. Các hệ thức (1), (2) nói rằng: với mỗi ràng buộc gốc hay đối ngẫu thì tích của độ lệch ở ràng buộc này và biến đối ngẫu (hay biến gốc) tương ứng với ràng buộc đó phải bằng không. Nói cách khác, nếu một ràng buộc có độ lệch dương thì biến (gốc hay đối ngẫu) tương ứng với ràng buộc đó phải bằng không; ngược lại, nếu một biến gốc hay đối ngẫu có giá trị dương thì phương án của bài toán thỏa mãn ràng buộc tương ứng với dấu bằng.

Nếu cặp bài toán đối ngẫu (P) và (Q) có phương án thì tồn tại một cặp phương án tối ưu x*, y* nghiệm đúng. Nếu biết phương án tối ưu của bài toán gốc, vận dụng lý thuyết đối ngẫu ta có thể suy ra phương án tối ưu của bài tối đối ngẫu tương ứng mà không cần giải nó,. Ví dụ: dùng phương pháp đơn hình giải quy hoạch gốc (P) sau đây, từ đó suy ra lời giải của bài toán đối ngẫu tương ứng với nó.

Để tìm lời giải của bài toán đối ngẫu, ta chọn ra từ bảng đơn hình cuối cùng của (P) các ∆j (j∈J) rồi cộng với hệ số cj tương ứng. Hệ này vô nghiệm ⇒ bài toán đối ngẫu có tập phương án rỗng Mà bài toán gốc có tập phương án khác rỗng (vì x0 là 1 phương án).

NỘI DUNG BÀI TOÁN VẬN TẢI Nội dung bài toán

Bài toán vận tải (1) – (4) là một dạng đặc biệt của qui hoạch tuyến tính, do đó có thể sử dụng phương pháp đơn hình để giải. Tuy nhiên do bài toán có cấu trúc đặc biệt nên người ta đã ra nhiều phương pháp giải có hiệu quả, trong chương trình này ta sẽ trình bày phương pháp thế vị để giải bài toán vận tải. − Nếu các lượng cung cấp và cầu ai, bj là các số nguyên thì bài toán sẽ có lời giải nguyên.

Giá tiền hay cước phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa từ kho thứ i đến nơi nhận thứ j là cij đơn vị tiền tệ. Nếu từ kho thứ i ta vận chuyển đến nơi nhận thứ j một lượng hàng hóa xij thì ta cũng ghi xij vào ô (i, j). Nếu các ô (i, j) ta ghi cước phí thì gọi là bảng cước phí hay ma trận cước phí.

Nếu các ô (i, j) ta ghi lượng hàng vận chuyển thì gọi là bảng phương án hay ma trận phương án. • Một tập hợp các ô trong đó hai ô liên tiếp bao giờ cũng nằm trên cùng một hàng hay cùng một cột và ba ô liên tiếp không nằm trên cùng một hàng hay một cột được gọi là một dây chuyền. Phương án x là một phương án cực biên của bài toán vận tải khi và chỉ khi tập hợp các ô (i, j) mà xij > 0 không lập thành chu trình.

Khi đó xét bất kỳ một ô thuộc bảng vận tải ta đều có duy nhất một chu trình đi qua ô này. Khi đó nếu ta gọi ô (i, j) này ra khỏi tập F thì tập các ô còn lại không chứa chu trình.

TÌM PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN BAN ĐẦU 1. Phương pháp min cước

Sau đó lập lại: phân phối lượng hàng nhiều nhất vào ô có cước phí thấp nhất với những ô còn lại trên bảng cước phí vận tải. Loại bỏ (không cần xét tiếp) ràng buộc đã thỏa mãn bằng cách đánh dấu chéo vào hàng hay cột tương ứng của ma trận cước phí. Đầu tiên ta tính chênh lệch giữa giá trị cước nhỏ nhì và giá cước nhỏ nhất cho tất cả các dòng và tất cả các cột ( các số ghi ở cột phía bên phải và dòng phía dưới của bảng).

Sau đó lặp lại quá trình tính các chênh lệch cho các dòng và cột trong phần bảng còn lại (thực tế chỉ cần tính lại các chênh lệch theo dòng), ta có chênh lệch nhiều nhất là 5, tương ứng với dòng 1, ta tiến hành phân phối vào ô (1, 3)… cuối cùng ta được phương án cực biên xuất phát như trên. Nếu mọi phương án cực biên của bài toán vận tải đều không suy biến thì sau một số hữu hạn bước lặp ta sẽ nhận được phương án tối ưu (lời giải) của bài toán. Lưu ý: Tuy nhiên khi tìm phương án cực biên ban đầu ta phân phối các hàng chính trước, còn thừa mới đến hàng phát giả.

Trong thực tế có trường hợp ta không thể vận chuyển hàng hóa trên một số tuyến đường vì lí do nào đó (chẳng hạn cầu phà bị hỏng, đường quá xa không đảm bảo về thời gian giao nhận, không có phương tiện vận tải thích hợp..), do đó có một số ô ta không thể phân hàng vào đó – được gọi là các ô cấm. Ngoài ra ô cấm còn xuất hiện trong trường hợp bài toán vận tải không cân bằng thu – phát với điều kiện một số điểm phát nào đó yêu cầu phải phát hết hàng (trường hợp tổng phát > tổng thu), hoặc với điều kiện một số điểm thu nào đó yêu cầu phải thu đủ hàng ( trường hợp tổng phát < tổng thu). Thay cước phí cij của ô cấm là M (lớn hơn bất kỳ số nào cần so sánh) ta được bài toán vận tải mới gọi là bài toán vận tải mở rộng của bài toán đã cho (gọi là bài toán gốc).

Lưu ý: khi tìm phương án cực biên ban đầu ta ưu tiên phân phối vào các ô bình thường trước cuối cùng mới phân vào các ô cấm. − Trường hợp 1: nếu phương án tối ưu của bài toán mở rộng có lượng hàng trong các ô cấm đều bằng 0 thì bài toán gốc có phương tối ưu, và phương án tối ưu của bài toán gốc là phương án tối ưu của bài toán mở rộng. − Trường hợp 2: nếu phương án tối ưu của bài toán mở rộng có ít nhất một ô cấm có lượng hàng > 0 thì bài toán gốc không có phương án tối ưu.

Đa diện này có một số hữu hạn đỉnh vì vậy theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ một phương án cực biên sau một số hữu hạn bước ta đi tới phương án tối ưu.