tích phân phổ thông trung học phần 3 potx

Trần Só Tùng Tích phân Trang 31 2 2 2cos2xd(sin2x)1sin2x2 F(x)G(x)dxlnC 2sin2x sin2x2 22sin2x2 - Þ-==-=-+ - - + òò Ta được: 1 2 F(x)G(x)xC 112sin2x F(x)xlnC. 12sin2x 2 222sin2x F(x)G(x)lnC 222sin2x +=+ ì ỉư + ï Þ=++ ç÷ í + - -=+ èø ï - ỵ Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm hàm số: 2 f(x)2sinx.sin2x. = Giải: Chọn hàm số phụ: 2 g(x)2cosx.sin2x. = Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: 22 1 22 2 f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2sin2xF(x)G(x)2 sin2xdxcos2xC f(x)g(x)2(sinxcosx).sin2x2cos2x.sin2xsin4x 1 F(x)G(x)sin4xdxcos4xC 4 +=+=Þ+==-+ -=-=-=- Þ-=-=+ ò ò Ta được: 1 2 F(x)G(x)cos2xC 11 F(x)cos2xcos4xC. 1 24 F(x)G(x)cos4xC 4 +=-+ ì ï ỉư Þ=-++ í ç÷ -=++ èø ï ỵ Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm hàm số: x xx e f(x). ee - = - Giải: Chọn hàm số phụ: x xx e g(x). ee - - = - Gọi F(x) và G(x) theo thứ tự là nguyên hàm của các hàm số f(x), g(x). Ta có: xx xx xxxx xx 1 xxxx xx 2 xx ee f(x)g(x) ee eed(ee) F(x)G(x)dxlneeC eeee ee f(x)g(x)1F(x)G(x)dxxC. ee - - - - - + += - +- Þ+===-+ - -==Þ-==+ - òò ò Ta được: xx 1 xx 2 F(x)G(x)lneeC 1 F(x)(lneex)C. 2 F(x)G(x)xC - - ì +=-+ ï Þ=-++ í -=+ ï ỵ BÀI TẬP Bài 19. Tìm nguyên hàm của các hàm số: a/ sinx f(x); sinxcosx = + b/ 2 f(x)sinx.cos2x. = c/ x xx e f(x) ee - = + ĐS: a/ 1 (xlnsinxcosxC; 2 -++ b/ 11 (sin2xsin4xx)C; 44 + c/ xx 1 (xlnee)C. 2 - +++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 32 Vấn đề 7: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỮU TỈ Để xác đònh nguyên hàm số hữu tỉ ta cần linh hoạt lựa chọn một trong các phương pháp cơ bản sau: 1. Phương pháp tam thức bậc hai 2. Phương pháp phân tích 3. Phương pháp đổi biến 4. Phương pháp tích phân từng phần 5. Sử dụng các phương pháp khác nhau. 1. PHƯƠNG PHÁP TAM THỨC BẬC HAI Bài toán 1: Xác đònh nguyên hàm các hàm hữu tỉ dựa trên tam thức bậc hai PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trên cơ sở đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc và dùng các công thức sau: 1. 2 2 xdx1 lnxaC 2xa =±+ ± ò (1) 2. 22 dx1xa lnC,vớia0 2axaxa - =+¹ +- ò (2) Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh: 42 xdx I x2x2 = ò Giải: Ta có: 2 422222 dxxdx1d(x1) 2 x2x2(x1)3(x1)3 - == òòò 22 22 11x131x13 .lnClnC. 2 3x1343x13 =+=+ -+-+ · Chú ý: Cũng có thể trình bày bài toán tường minh hơn bằng việc đổi biến số trước khi áp dụng các công thức (1), (2). Cụ thể: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng: 4222 xdxxdx x2x2(x1)3 = òò Đặt 2 tx1 =- Suy ra: 222 xdx1dt dt2xdx& 2 (x1)3t3 == Khi đó : 2 2 2 1dt11t31x13 I.lnClnC. 22 t3 23t343x13 ==+=+ - +-+ ò Trần Só Tùng Tích phân Trang 33 Ví dụ 2: Tính tích phân bất đònh: 3 42 xdx I xx2 = ò Giải: Ta có: 2 3 2 22 22 11 x xdx11 22 Idx 22 1919 xx 2424 ỉư -+ ç÷ ỉư èø ==- ç÷ èø ỉưỉư ç÷ç÷ èøèø òò 222 22 22 2 2 2 2 2 42 2 111 xdxdx 11 222 24 1919 xx 2424 13 x 111911 22 .lnx.lnC 13 222443 x 22 11x2 lnxx2lnC. 42x1 ỉưỉưỉư ç÷ç÷ç÷ èøèøèø =+ ỉưỉư ç÷ç÷ èøèø ỉư = ++ ç÷ èø -+ - = ++ + òò 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Bài toán 2: Xác đònh nguyên hàm các hàm hữu tỉ bằng phương pháp phân tích PHƯƠNG PHÁP CHUNG Cần hiểu rằng thực chất nó là một dạng của phương pháp hệ số bất đònh, nhưng ở đây để phân tích P(x) Q(x) ta sử dụng các đồng nhất thức quen thuộc. Dạng 1: Tính tích phân bất đònh: 2 2 x Idx,vớia0. (axb) =¹ + ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng đồng nhất thức: 222222 222 111 x.ax[(axb)b][(axb)2b(axb)b] aaa ==+-=+-++ Ta được: 222 2 x1(axb)2b(axb)b . (axb)a(axb) aa +-++ = ++ 2 221 112bb . a(axb)(axb)(axb) a-a-a éù =-+ êú +++ ëû Khi đó: 2 221 1dx2bdxbdx I. a(axb)(axb)(axb) a-a-a éù =-+ êú +++ ëû òòò 2 321 1d(axb)2bd(axb)bd(axb) . a(axb)(axb)(axb) a-a-a éù +++ =-+ êú +++ ëû òòò . Tích phân Trần Só Tùng Trang 34 Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh: 2 39 x Idx. (1x) = - ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 22 x(1x)2(1x)1 = + Ta được: 22 3939373739 x(1x)2(1x)1121 . (1x)(1x)(1x)(1x)(1x) + ==-+ Khi đó: 373839 dx2dxdx I (1x)(1x)(1x) =-+ òòò 363738 121 C. 36(1x)37(1x)38(1x) =-++ Chú ý: Mở rộng tự nhiên của phương pháp giải trên ta đi xét ví dụ: Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh: 3 10 x Idx. (x1) = - ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức (công thức Taylo): 323 x13(x1)3(x1)(x1). =+-+-+- Ta được: 323 1010 x13(x1)3(x1)(x1) (x1)(x1) +-+-+- = 10987 1331 . (x1)(x1)(x1)(x1) =+++ Khi đó: 10987 1331 Idx (x1)(x1)(x1)(x1) éù =+++ êú ëû ò 9876 1331 C. 9(x1)8(x1)7(x1)6(x1) = + Dạng 2: Tính tích phân bất đònh: n 2n dx I,vớia0vàn (axbxc) =¹ ++ ò nguyên dương. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét các trường hợp sau: · Trường hợp 1: Nếu n = 1 Ta xét ba khả năng của 2 b4ac D=- Ÿ Khả năng 1: Nếu D > 0 Khi đó: 21 2 121212 111(xx)(xx) . a(xx)(xx)a(xx)(xx)(xx) axbxc == ++ 1212 111 . a(xx)xxxx ỉư =- ç÷ èø Trần Só Tùng Tích phân Trang 35 Do đó: 112 121212 1111 Idx[lnxxlnxx]C. a(xx)xxxxa(xx ỉư =-= + ç÷ èø ò 1 122 1xx .lnC. a(xx)xx - =+ Ÿ Khả năng 2: Nếu D = 0 Khi đó: 22 0 11 axbxca(xx) = ++- Do đó: 2 00 1dx1 IC. aa(xx) (xx) ==-+ - - ò Ÿ Khả năng 3: Nếu D < 0 Khi đó thực hiện phép đổi biến xtgtvớit;. 22 pp ỉư =Ỵ- ç÷ èø · Trường hợp 2: Nếu n > 1 Bằng phép đổi biến b tx, 2a =+ ta được: n n2n 1dt I a(tk) = + ò Sử dụng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt: 2n2n1 12ntdt udu (tk)(tk) dvdtvt + ìì ==- ïï ++ Þ íí ïï == ỵỵ Khi đó: 22 n n2n2n1n2n2n1 1ttdt1t[(tk)k]dt I2n2n a(tk)(tk)a(tk)(tk) ++ éùìü +- =+=+ íý êú ++++ ëûỵþ òò n2n2n2n1 n nn1n1n n2n2n n1 nn1 2n1 1tdtdt 2nk a(tk)(tk)(tk) 1tt 2n(IkI)2nkI(2na)I a(tk)(tk) t 2(n1(kI(2n2a)I(1) (tk) + ++ - + - ìü éù =+- íý êú +++ ëû ỵþ éù =+-Û=+- êú ++ ëû Û-=+ + òò Chú ý: Vì công thức (1) không được trình bày trong phạm vi sách giáo khoa 12, do đó các em học sinh khi làm bài thi không được phép sử dụng nó, hoặc nếu trong trường hợp được sử dụng thì đó là một công thức quá cồng kềnh rất khó có thể nhớ được một cách chính xác, do vậy trong tường hợp n > 1 tốt nhất các em nên trình bày theo các bước sau: – Bước 1: Xác đònh I 1 . – Bước 2: Xác đònh I n theo I n–1 (chứng minh lại (1)). – Bước 3: Biểu diễn truy hồi I n theo I 1 ta được kết quả cần tìm. Ví dụ 5: Cho hàm số 2 1 f(x) x(m2)x2m = -++ Tích phân Trần Só Tùng Trang 36 Tính tích phân bất đònh If(x)dx = ò biết: a/ m = 1 b/ m = 2. Giải: a/ Với m = 1: 2 dxdxdxd(x2)d(x1) If(x)dx x2x1x2x1 x3x2 ===-=- -+ òòòòòò x2 lnx2lnx1ClnC. x1 - = +=+ - b/ Với m = 2: 2 dx1 If(x)dxC. x2(x2) ===-+ òò Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh: 23 dx I (x4x3) = ++ ò Giải: Xét tích phân n 2n dx J (x4x3) = ++ ò , ta lần lượt có: · Với n = 1 1 2 dxdx1111x1 JdxlnC. (x1)(x3)2x1x33x3x4x3 + ỉư ===-=+ ç÷ +++++++ èø òòò · Với n > 1 Bằng phương pháp tích phân từng phần với phép đặt: 2n2n1 12ntdt udu (t1)(t1) dvdtvt + ìì ==- ïï Þ íí ïï == ỵỵ Khi đó: 22 n 2n2n12n2n1 ttdtt[(t1)1]dt J2n2n (t1)(t1)(t1)(t1) ++ -+ =+=+ òò nn1 2n2n2n12n tdtdtt 2n2n(JJ) (t1)(t1)(t1)(t1) + + éù =++=++ êú ëû òò n1nnn1 2n2n1 nn1 n2n1 tt 2nJ(2n1)J2(n1)J(2n3)J (t1)(t1) 1t J2n3)J 2(n1)(t1) +- - - - Û= Û-= éù Û=-=+- êú ëû Do đó: 21 2 1t JJ 2t1 ỉư =-+ ç÷ - èø 321 22222 1t1t1t IJ3J3J 442 (t1)(t1)t1 ìü éù ìü ỉư ==-+=-+-+ ííýý ç÷ êú èø ỵþ ëû ỵþ 222 x23(x2)3x1 lnC. 16x34(x4x3)8(x4x3) +++ =-+++ +++++ Trần Só Tùng Tích phân Trang 37 Dạng 3: Tính tích phân bất đònh: n 2n (x)dx I,vớia0 (axbxc) l+m =¹ ++ ò và n nguyên dương. PHƯƠNG PHÁP CHUNG Phân tích: b x(2axb) 2a2a ll l+m=++m- Khi đó: n 2n2n (2axb)dxbdx I() 2a2a (axbxc)(axbxc) l+l =+m- ++++ òò a/ Với n 2n (2axb)dx J 2a ((axbxc) l+ = ++ ò thì: Ÿ Nếu n = 1, ta được: 2 1 2 (2axb)dx JlnaxbxcC. 2a2aaxbxc l+l ==+++ ++ ò Ÿ Nếu n > 1, ta được: n 2n2n1 (2axb)dx1 J.C. 2a2a(n1)(axbxc)(axbxc) - l+l ==-+ -++++ ò b/ Với n 2n dx K, (axbxc) = ++ ò ta đã biết cách xác đònh trong dạng 2. Tổng quát hẹp: Trong phạm vi phổ thông chúng thường gặp tích phân bất đònh sau: 2 P(x)dx I,vớia0 axbxc =¹ ++ ò và bậc của P(x) lớn hơn 1. Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho 2 axbxc ++ ta được: 22 22 P(x)x Q(x) axbxcaxbxc 2axbb1 Q(x).(). 2a2a axbxcaxbxc l+m =+ ++++ l+l =++m- ++++ – Bước 2: Khi đó: 22 (2axb)dxbdx IQ(x)dx(). 2a2a axbxcaxbxc l+l =++m- ++++ òòò Chú ý: Tuy nhiên trong trường hợp 22 axbxccób4ac0 ++D=-> (ta được hai nghiệm x 1 , x 2 ), chúng ta thực hiện phép phân tích: 2 12 x1AB . axxxx axbxc ỉư l+m =+ ç÷ ++ èø Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh: 32 2 (2x10x16x1)dx I x5x6 -+- = -+ ò Giải: Tích phân Trần Só Tùng Trang 38 Biến đổi: 32 22 2x10x16x14x1AB 2x2 x3x2 x5x6x5x6 -+ =+=++ -+-+ Ta được hằng đẳng thức: 4x1A(x2)B(x3)(1) -=-+- Để xác đònh A, B trong (1) ta có thể lựa chọn một hai cách sau: · Cách 1: Phương pháp đồng nhất hệ số Khai triển vế phải của (1) và sắp xếp đa thức theo thứ tự bậc lùi dần, ta có: 4x1(AB)x2A3B. -=++- Đồng nhất đẳng thức, ta được: AB4A11 2A3B1B7 +== ìì Û íí =-=- ỵỵ · Cách 2: Phương pháp trò số riêng: Lần lượt thay x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ: A11 B7 = ì í =- ỵ Từ đó suy ra: 32 2 2x10x16x1117 2x. x3x2 x5x6 -+- =+- -+ Do đó: 2 117 I2xdxx11lnx37lnx2C. x3x2 éù =+-=+ + êú ëû ò Nhận xét: Trong ví dụ trên việc xác đònh các hệ số A, B bằng hai cách có độ phức tạp gần giống nhau, tuy nhiên với bài toán cần phần tích thành nhiều nhân tử thì cách 2 thường tỏ ra đơn giản hơn. Dạng 4: Tính tích phân bất đònh: 2 111 n 2 (axbxc)dx I,vớia0 (x)(axbxc) ++ =¹ -a++ ò PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta xét ba khả năng của D = b 2 – 4ac · Khả năng 1: Nếu D > 0, khi đó: 2 12 axbxca(xx)(xx) ++= Khi đó phân tích: 2 111 2 12 axbxcABC xxxxx (x)(axbxc) ++ =++ -a -a++ Do đó: 12 12 ABC IdxAlnxBlnxxClnxxC xxxxx ỉư =++=-a+-+-+ ç÷ -a èø ò · Khả năng 2: Nếu D = 0, khi đó: 22 0 axbxca(xx). ++=- Khi đó phân tích: 2 111 22 00 axbxcABC xxx (x)(axbxc)(xx) ++ =++ -a- -a++- Do đó: 0 2 00 0 ABCC IdxAlnxBlnxxC. xxxxx (xx) éù =++=-a+ + êú -a - ëû ò · Khả năng 3: Nếu D < 0 Trần Só Tùng Tích phân Trang 39 Khi đó phân tích: 2 111 222 axbxcAB(2xb)C x (x)(axbxc)axbxcaxbxc +++ =++ -a -a++++++ Do đó: 22 AB(2axbC Idx xaxbxcaxbxc + éù =++ êú -a ++++ ëû ò 2 2 dx AlnxBln|axbxc|C axbxc =-a++++ ++ ò Trong đó tích phân 2 dx J axbxc = ++ ò được xác đònh bằng phép đổi biến x = tgt với t; 22 pp ỉư Ỵ- ç÷ èø . Tổng quát: Tính tích phân bất đònh: 2 P(x)dx I,vớia0 (x)(axbxc) =¹ -a++ ò và bậc của P(x) lớn hơn 2. Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức P(x) cho 2 (x)(axbxc) -a++ ta được: 2 111 22 P(x)axbxc Q(x) (x)(axbxc)(x)(axbxc) ++ =+ -a++-a++ – Bước 2: Khi đó: 2 111 2 (axbxc)dx IQ(x)dx (x)(axbxc) ++ =+ -a++ òò Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh: 2 3 (x2x2)dx I x1 +- = + ò Giải: Biến đổi: 22 3222 x2x2x2x2AB(2x1)C x1 x1(x1)(xx1)xx1xx1 +-+ ==++ + ++-+-+-+ 2 3 (A2B)x(ABC)xABC x1 + +-+ = + Đồng nhất đẳng thức, ta được: A2B1A1 ABC2B1 ABC2C0 +==- ìì ïï -++=Û= íí ïï -+=-= ỵỵ Khi đó: 2 32 x2x212x1 x1 x1xx1 + =-+ + +-+ Do đó: 2 2 2 12x1xx1 Idxln|x1|ln|xx1|ClnC x1x1 xx1 + ỉư =-+=-++-++=+ ç÷ ++ -+ èø ò Dạng 5: Tính tích phân bất đònh: 22 dx I,vớiab (xa)(xb) =¹ ++ ò Tích phân Trần Só Tùng Trang 40 PHƯƠNG PHÁP CHUNG Sử dụng đồng nhất thức: 2 2 222 222 222 2 (xa)(xb) 1, ab 1(xa)(xb)111 (ab)(xa)(xb)xbxa (xa)(xb)(ab) 1121 (xa)(xb) (ab)(xb)(xa) 112(xa)(xb)1 . ab(xb)(xa) (ab)(xb)(xa) 11 (ab) +-+ éù = êú - ëû +-+éù éù ==- êú êú -++++ ++- ëû ëû éù =-+ êú ++ + ëû éù + =-+ êú -++ -++ ëû = - 22 2111 abxbxa (xb)(xa) éù ỉư + ç÷ êú -++ ++ èø ëû ta được: 222 2 2 112111 I abxbxa(ab)(xb)(xa) 1121 (ln|xb|ln|xa)|C xaabxa(ab) 12xa2xab lnC. abxb(xb)(xa)(ab) éù ỉư = + êú ç÷ -++-++ èø ëû éù = +-+-+ êú +-+- ëû éù+++ =-+ êú -+++- ëû òòòò Ví dụ 9: Tính tích phân bất đònh: 22 dx I (x3)(x1) = ++ ò Giải: Sử dụng đồng nhất thức: 2 2 22 (x3)(x1) 1, 2 1(x3)(x1)111 2(x3)(x1)4x1x3 (x3)(x1) +-+ éù = êú ëû +-+éù éù ==- êú êú ++++ ++ ëû ëû 2222 22 112111(x3)(x1)1 4(x1)(x3)4(x1)(x3) (x1)(x3)(x1)(x3) 1dxdxdxdx 4x1x3(x1)(x3) 1111x32x4 ln|x1|ln|x3|ClnC. 4x1x34x1(x1)(x3) éùéù +-+ =-+=-+ êúêú ++++ ++++ ëûëû éù =-++ êú ++++ ëû éù++ éù = +++-+=-+ êú êú +++++ ëû ëû òòòò Dạng 6: Tính tích phân bất đònh: P(x) Idx Q(x) = ò [...]... = 3 ỵ ỵ · Cách 2: Phương pháp trò số riêng: ìa = 1 ï Lần lượt thay x = 0, x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ: í b = -2 ïc = 3 ỵ Trang 41 (1) Tích phân Trần Só Tùng Khi đó: x 3 - 3x 2 + x + 6 1 2 3 = 1+ + x3 - 5x 2 + 6x x x -2 x -3 2 3 ư ỉ 1 Do đó: I = ò ç 1 + + ÷dx = x + ln | x | -2 ln | x - 2 | +3ln | x + 3 | +C è x x -2 x -3 Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh: I = ò 7x - 4 dx x - 3x + 2 3. .. d)x 3 + (b - c)x 2 + (a + b)x + a x 3 (x + 1) Trang 42 Trần Só Tùng Tích phân ìc + d = 1 ìa = -1 ï b + c = -1 ï b = -3 ï ï Đồng nhất đẳng thức, ta được: í Û í ïa + b = -4 ïc = 2 ïa = -1 ïd = -1 ỵ ỵ x 3 - x 2 - 4x - 1 1 3 2 1 Khi đó: =- 3 - 2 + 4 3 x +x x x x x +1 3 2 1 ư 1 3 ỉ 1 Do đó: I = ò ç - 3 - 2 + ÷ dx = 2 + + 2 ln | x | - ln | x + 1 | + C x x +1ø 2x x è x x 3 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN Bài toán 3: ... Q '(x)dx Þ í ỵv ïdv = Q n (x) ỵ · Bước 2: Khi đó: I = uv - ò vdu Ví dụ 16: Tính tích phân bất đònh: I = x 4dx ò (x 2 - 1 )3 Giải: Biến đổi I về dạng: I = x 3 xdx ò (x 2 - 1 )3 ì u = x3 ìdu = 3x 2 dx ï ï Đặt : í xdx Þ í 1 ïdv = (x 2 - 1 )3 ïv = 4(x 2 - 1 )3 ỵ ỵ Khi đó: I = x3 3 x 2 dx + ò 2 4(x 2 - 1 )3 4 (x - 1)2 (1) Xét tích phân: x 2dx 1 [(x + 1) + (x - 1)]2 dx 1 é 1 2 1 ù J=ò 2 dx = ò = òê + 2 + 2 2 2... thay x = 0, x = 2, x = 3 vào hai vế của (1) ta được hệ: í b = 2 ï c = -2 ỵ Khi đó: 7x - 4 1 2 2 = + 2 x - 3x + 2 (x - 1) x -1 x + 2 3 é 1 2 2 ù 1 Do đó: I = ò ê + 2 údx = - x - 1 + 2 ln | x + 1 | -2 ln + | x + 2 | +C x -1 x + 2 û ë (x - 1) x 3 - x 2 - 4x - 1 Ví dụ 12: Tính tích phân bất đònh: I = ò x 4 + x3 Giải: Ta có: 3 2 3 2 x - x - 4x - 1 x - x - 4x - 1 a b c d = = 3+ 2+ + 4 3 3 x -x x (x + 1) x x... + 1 = ln + C 2 2 x2 + x 2 + 1 1 4 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Phương pháp này cho dù ít được sử dụng đối với các hàm số hữu tỉ, tuy nhiên trong những trường hợp riêng nó lại tỏ ra khá hiệu quả Bài toán 4: Xác đònh nguyên hàm các hàm hữu tỉ bằng phương pháp tích phân từng phần PHƯƠNG PHÁP CHUNG Trang 44 Trần Só Tùng Tích phân Nếu tích phân cần xác đònh có dạng: I = ò P(x)Q '(x)dx Q n (x)... số bất đònh – Bước 3: Xác đònh: j t n é i a A'(x) ai ù m é bj B'(x) b2 ù k é c1.C'(x) ct ù I = ò D(x)dx + å ò ê 1 i + i 2 ú + åò ê 1 j + j ú + åò ê t + t2 ú A (x) û j=1 ë B (x) B (x) û t=1 ë C (x) C (x) û i=1 ë A (x) x 3 - 3x 2 + x + 6 Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh: I = ò 3 dx x - 5x 2 + 6x Giải: Ta có: x 3 - 3x 2 + x + 6 2x 2 - 5x + 6 2x 2 - 5x + 6 a b c = 1+ 3 = 1+ = 1+ + + 3 2 2 x - 5x + 6x... của x Khi đó đặt t = j(x) x 3dx Ví dụ 13: Tính tích phân bất đònh: I = ò 8 (x - 4)2 Giải: Đặt t = x4 x 3dx 1 dt Suy ra: dt = 4x dx & 8 = 2 2 (x - 4) 4 (t - 4)2 3 Khi đó: I = 1 dt ò (t 2 - 4)2 4 Sử dụng đồng nhất thức: 1 = 1 [(t + 2) - (t - 2)]2 16 1 [(t + 2) - (t - 2)]2 1 é 1 2 1 ù Ta được: I = ò (t 2 - 4)2 dt = 64 ò ê (t - 2)2 - t 2 - 4 + (t + 2)2 ú dt 64 ë û Trang 43 Tích phân Trần Só Tùng = 1 é 1... è ø x3 3 ỉ x -1 2x ư Thay (2) vào (1), ta được: I = + ç ln - 2 ÷ + C 2 3 4(x - 1) 16 è x + 1 x - 1 ø Chú ý: Để xác đònh tích phân J chúng ta cũng có thể tiếp tục sử dụng tích phân từng phần như sau: ìu = x ìdu = dx ï ï Đặt: í xdx Þ í 1 dv = 2 v=ï ï (x - 1)2 2(x 2 - 1) ỵ ỵ Khi đó: J = - x 2 2(x - 1) + 1 dx x 1 x -1 ò x2 - 1 = - 2(x 2 - 1) + 4 ln x + 1 2 5 SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU Trong phần. .. 8 - 4 - 2 ln x 4 + 2 ç ø è Ví dụ 14: Tính tích phân bất đònh: I = ư ÷+C ÷ ø (2x + 1)dx ò x 4 + 2x3 + 3x2 + 2x - 3 Giải: Biến đổi I về dạng: I = ò (2x + 1)dx (x + x + 1)2 - 4 2 Đặt t = x 2 + x + 1 Suy ra: dt = (2x + 1)dx & (2x + 1)dx dt = 2 2 (x + x + 1) - 4 t - 4 2 dt t -2 x2 + x - 1 Khi đó: I = ò 2 = ln + C = ln 2 + C t+2 t -4 x + x +3 Ví dụ 15: Tính tích phân bất đònh: I = Biến đổi I về dạng: I...Trần Só Tùng Tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG Giả sử cần xác đònh: I = P(x) ò Q(x) bằng phương pháp hệ số bất đònh Ta thực hiện theo các bước sau: – Bước 1: Phân tích Q(x) thành các đa thức bất khả quy, giả sử là: Q(x) = A n (x).Bm (x).C k (x), với n, m, k Ỵ N trong đó A(x), B(x), C(x) là đa thức bậc hai hoặc bậc nhất – Bước 2: Khi đó ta phân tích: P(x) E(x) = D(x) + n Q(x) A (x).Bm . 22 x(1x)2(1x)1 = + Ta được: 22 39 3 937 3 739 x(1x)2(1x)1121 . (1x)(1x)(1x)(1x)(1x) + ==-+ Khi đó: 37 3 839 dx2dxdx I (1x)(1x)(1x) =-+ òòò 36 3 738 121 C. 36 (1x )37 (1x )38 (1x) =-++ Chú ý: Mở. 12: Tính tích phân bất đònh: 32 43 xx4x1 I xx = + ò Giải: Ta có: 32 32 433 32 xx4x1xx4x1abcd xx1 xxx(x1)xx ==+++ + -+ 32 3 (cd)x(bc)x(ab)xa x(x1) ++-+++ = + Trần Só Tùng Tích phân . ta được hệ: a1 b2 c3 = ì ï =- í ï = ỵ Tích phân Trần Só Tùng Trang 42 Khi đó: 32 32 x3xx61 23 1 xx2x3 x5x6x -++ =+-+ -+ Do đó: 1 23 I1dxxln|x|2ln|x2|3ln|x3|C. xx2x3 ỉư =+-+=+ +++ ç÷