chuyên đề hình học vecto

Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 1 CHƯƠNG I: VECTƠ I. Đònh nghóa: 1. Vectơ AB là một đoạn thẳng có đònh hướng từ A đến B, kí hiệu AB   . a) A: điểm gốc. B b) B: điểm ngọn. c) Đường thẳng AB: giá của AB  . A 2. Phương của AB  : tập hợp các đường thẳng song song với đường thẳng AB, hoặc trùng với đường thẳng AB. 3. Hướng của AB  : hướng (chiều) từ A đến B theo phương của AB   . 4. Môđun của AB  , kí hiệu AB  là độ dài của đoạn thẳng AB. 5. Vectơ không, kí hiệu 0  , là vectơ có môđun bằng 0 (điểm gốc và điểm ngọn trùng nhau). 0  có phương và hướng tùy ý. II. Vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng: B 123 d//d//d (d 1 , d 2 , d 3 cùng phương) E D a) AB  và CD  cùng phương, cùng hướng. A F b) AB  và EF  cùng phương ngược hướng. C III. Vectơ bằng nhau, đối nhau, tự do: 1. Vectơ bằng nhau: AB và CD cùng phương AB CD AB và CD cùng hướng AB CD ⎧ ⎪ ⎪ =⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩         2. Vectơ đối nhau: AB và EF cùng phương AB và EF đối nhau AB và EF ngược hướng AB EF ⎧ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩      Kí hiệu: AB EF; AB BA=− =−   3. Vectơ tự do: là các vectơ bằng nhau a b c = = với gốc tùy ý. IV. Phép cộng và trừ vectơ: 1. Tổng của hai vectơ: c  a) Đònh nghóa: OA a,AB b,OB c===  b  b  Nếu OB OA AB=+   thì cab=+  . a  b) Quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ: O, A, B bất kỳ: OB OA AB OB OA AC CD DB=+⇒=+++   a  Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 2 c) Tính chất của phép cộng vectơ: () () abba ab ca bc +=+ ++=++      () a00aa aa0 + =+= +− =    d) Quy tắc hình bình hành: A C OA OB OC OACB là hình bình hành +=  2. Hiệu của hai vectơ: O B a) Đònh nghóa: () aba b−=+−    A b) Quy tắc ba điểm của phép trừ vectơ: O, A, B bất kỳ: OB OA AB−=   O B V. Phép nhân vectơ: 1. Đònh nghóa: Cho a0,mR,m0≠∈ ≠  b cùng hướng với a nếu m>0 ma b: b ngược hướng với a nếu m<0 bma ⎧ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩      Quy ước: m0 0.a 0, a ma 0 a0 m.0 0, m ⎫ = ⎧ =∀ ⎪⎪ ⇒=⇔ ⎬⎨ = ⎪ =∀ ⎪ ⎩ ⎭     2. Tính chất: () () () m. n.a m.n .a mn.amana = +=+   ( ) () () ma b ma mb 1.a 1. a a += + − =−=−     3. Vectơ cùng phương: a và b cùng phương, b 0 có m R duy nhất sao cho a mb ≠⇔ ∈ =    . Chú ý: 1. ( ) O, A, B thẳng hàng OA và OB cùng phương OA kOB k R⇔⇔=∈  . 2. M là trung điểm MA MB 0⇔+=    . 3. AM là trung tuyến của ABC AB AC 2AMΔ⇔+=     4. G là trọng tâm của ABC GA GB GC 0Δ⇔++=     . 5. 1212 OA OA A A , O=⇒≡∀   BÀI TẬP 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH   và FG   bằng vectơ AD   , chứng minh rằng CDGH là hình bình hành. F G Hướng dẫn: Vì ABCD và ABEF là hình bình hành E H Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 3 nên: AB DC FE GH DC gt : FG EH FE GH ⎫ == ⎪ ⇒= ⎬ =⇒= ⎪ ⎭        A D Do G, H, D, C không thẳng hàng. Vậy CDGH là hình bình hành. B C 2. Cho bốn điểm A, B, C, D. Tính các vectơ sau: a) vABDCBDCA=+++      . b) uABCDBCDA=+++     . Hướng dẫn: a) () ( ) vABDCBDCAABBD DCCAADDA0=+++= + + + =+=              . b) () ( ) vABCDBCDA ABBC CDDA ACCA0=+++= + + + =+=             . 3. Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB CD AC DB−=+      . Hướng dẫn: AB CD AC DB AB CD AC BD AB BD AC CD AD AD−=+⇔−=−⇔+=+⇔=            (đẳng thức đúng). Cách khác: ()() AB CD AC CB CB BD AC BD AC DB−= + − + =−=+          . 4. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. Chứng minh OA OB OC OD 0+++=    . Hướng dẫn: O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD: ()() OA OB OC OD OA OC OB OD 0+++= + + + =      5. Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: AD BE CF AE BF CD++=++      . Hướng dẫn: ()() ( ) ()() AD BE CF AE ED BF FE CD DF AE BF CD ED DF FE AE BF CD ++= + + + + + =+++++ =++          6. Cho hai vectơ () a và b a,b 0≠  . Hãy tìm mối quan hệ giữa a và b   nếu có một trong hai điều kiện sau: ab a b+=+    ; ab ab+=−   . A Hướng dẫn: a  b  Nếu ab a b+=+    O cab=+  B Ta có: OB OA AB A nằm giữa O và B a, b cùng hươ ù ng=+⇒ ⇒   Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 4 Nếu ab ab+=−   A b  B Ta có: OB CA= a  Hình bình hành OABC có hai đường chéo bằng nhau OABC là hình chữ nhật OA OC ⇒⇒⊥ ab⇒⊥  O C 7. Cho tứ giác ABCD, I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh AB CD 2IJ +=   . Hướng dẫn: A ()() AB CD AI IJ JB CI IJ JD+=+++++    ()( ) 2IJ AI CI JB JD=++++      B D 2IJ =  C 8. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh: AM BN CP 0++=  . Hướng dẫn: ()()() 11 AM BN CP AB BM BC CN CB BP AB BC MC CN AB MN 0 22 ++= + + + + + =+ + += + =            . Vì 11 BC CB 0,BP BA,BM MC,MN BA 22 += = = =      Cách khác: Dùng quy tắc trung điểm () () () 1 AM AB AC 2 1 BN BA BC đpcm 2 1 CP CA CB 2 ⎧ =+ ⎪ ⎪ ⎪ =+⇒ ⎨ ⎪ ⎪ =+ ⎪ ⎩         9. Cho tứ giác ABCD, M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng () 1 MN AB DC 2 =+    . Hướng dẫn: ()() ()()() 11 MN MB MC MA AB MD DC 22 111 MA MD AB DC AB DC 222 =+=+++ =+++=+             Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 5 10. Cho hai vectơ a và b  . Chứng minh rằng: a) ab a b+=+    b) ab ab+=−   Khi nào xảy ra dấu đẳng thức? Hướng dẫn: a) Dựng OA a,AB b,OB a b===+  . Với ba điểm O, A, B luôn có OB OA+AB hay a b a b ≤ +≤+   . Dấu " " xảy ra khi O, A, B thẳng hàng và A nằm trong OB = . b) Dựng OA a,OB b. Ta có: a b OB OA BA== −=−=     . Suy ra: a b AB AB OA OB a b−= = ≥ − = −   . Dấu " " xảy ra khi a // b =  . 11. Cho đoạn thẳng AB và hai số ,αβ không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: a) Nếu 0 thì tồn tại duy nhất điểm M sao cho MA MB 0α+β≠ α +β =     . b) Nếu 0 thì không tồn tại điểm M sao cho MA MB 0α+β= α +β =     . c) Nếu 0 thì v MA MB không đổi, không phu ï thuộc vò trí điểm Mα+β= =α +β    . d) ( ) Nếu 0 thì với mọi điểm M, ta có: MA MB MI,α+β≠ α +β = α+β     trong đó I là điểm xác đònh bởi IA IB 0 α+β=    . e) Nếu 0, M và N xác đònh bởi MN MA MBα+β≠ ∀ =α +β     . Chứng minh rằng đường thẳng đi qua một điểm cố đònh. Hướng dẫn: a) () () MA MB 0 MA AB AM 0 AM AB AM AB β α+β=⇔−α+β − =⇔α+β =β⇔ = α+β           tồn tại duy nhất M⇒ . b) Giả sử M∃ sao cho ( ) MA MB 0 MA MB 0 MA MB 0α+β=⇒α−α=⇔α − =          BA 0⇒α =   00⇒α= ⇒β= : trái giả thiết. Vậy không tồn tại M thỏa yêu cầu bài toán. c) v MA MB BA là vectơ không đổi.=α +β =α     d) () ( ) () ( ) MA MB MI IA MI IB MI IA IBα+β=α ++β +=α+β +α+β      Vậy () MA MB MI hay MI MA MB αβ α+β=α+β = + α+β α+β      . e) Đặt ( ) MN MA MB MN MI MN// MI M,N,I thẳng hàng=α +β ⇒ = α+β ⇒ ⇒      Vậy đường thẳng MN luôn qua điểm I cố đònh. 12. Cho tam giác ABC. Gọi A 1 , B 1 , C 1 là các điểm xác đònh bởi 11 2A B 3A C 0 + =    , 11 2B C 3B A 0 + =   . Chứng minh rằng tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 6 Hướng dẫn: Giả thiết ta có: ()( ) 1 111111 1 2GB 3GC 5GA 2GC 3GA 5GB 5 GA GB GC 5 GC GA GB GG 0 hay G G 2GA 3GB 5GC ⎫ += ⎪ ⎪ += ⇒ ++= ++ ⇒= ≡ ⎬ ⎪ += ⎪ ⎭                  . Trong đó G là trọng tâm tam giác ABC, G 1 là trọng tâm tam giác A 1 B 1 C 1 . 13. Cho hai vectơ a,b khác 0   và không cùng phương. Gọi u,v   là hai vectơ đònh bởi 11 uab = α+ β   , 22 vab=α +β  . Chứng minh rằng 12 12 uv và =⇔α=α β=β  , còn u,v   cùng phương 12 21 0⇔αβ −αβ = . Hướng dẫn: • ( ) ( ) 11 22 12 21 uv a b a b a b= ⇔α +β =α +β ⇔α−α =β−β        (1) Điều này vô lý nếu 12 21 0 hoặc 0α−α≠ β−β≠ . Vậy () 12 21 1 2 12 10 và ⇔α −α = =β −β ⇒α =α β =β . • Ta có 22 12 1 1 u và v cùn g p hươn g k,k R;k k 0⇔∃ ∈ + >  Sao cho ()() 11 22 12 1122 1122 11 22 kk 0 ku kv 0 k k a k k b 0 kk 0 α+ α= ⎧ +=⇔α+α+β+β=⇔ ⎨ β+ β= ⎩    . Hệ có nghiệm khi 12 kk0== • Điều kiện 12 22 12 1221 12 kk0D 0 0 αα +>⇒= =⇔αβ−αβ= ββ 14. A, B, C là ba điểm phân biệt. Chứng minh rằng: A, B, C thẳng hàng AB và AC cùng phương ⇔   . Hướng dẫn: Thuận: A,B,C thẳng hàng AB và AC cùng giá AB, AC cùng phương ⇔⇒    . Đảo: Nếu AB,AC   cùng phương thì hai đường thẳng AB, AC cùng phương. Nhưng hai đường thẳng này có chung điểm A nên trùng nhau. Suy ra A, B, C thẳng hàng 15. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD với AB 2CD = . Từ C vẽ CI DA=    . Chứng tỏ: a) I là trung điểm AB. b) DI CB=   . Hướng dẫn: a) Do CI DA=   nên CIAD là hình bình hành AI //CD⇒ . Do đó I ở trên AB. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 7 Mặt khác: AI DC AB AI AB 2DC 2 = ⎧ ⇒= ⇒ ⎨ = ⎩ I là trung điểm AB. b) CIAD là hình bình hành DC AI DC IB DCIB là hình bình hành DI CB I là trung điểm AB nên AI IB ⎫ ⇒= ⎪ ⇒=⇒ ⇒= ⎬ = ⎪ ⎭          16. Cho hai hình bình hành ABCD và ACEF. a) Dựng các điểm M, N sao cho EM BD,FN BD==   . b) Chứng minh rằng CD MN=   . Hướng dẫn: ABCD là hình bình hành CD BA CD EF ABEF là hình bình hành EF BA ⎫ ⇒= ⎪ ⇒= ⎬ ⇒= ⎪ ⎭     EM BD EM FN EMNF là hình bình hành MN EF FN BD ⎫ = ⎪ ⇒=⇒ ⇒= ⎬ = ⎪ ⎭        17. Cho hình bình hành ABCD. Dựng các điểm M, N thỏa mãn: a) MA MB MC AD−−=     . b) NC ND NA AB AD AC+−=+−               . c) Chứng minh MN BA=   . Hướng dẫn: a) MA MB MC AD BA MC AD CM AD BA AD AB AC−−=⇔−=⇔ =−=+=               C là trung điểm AM⇒ b) AC ND AC AC DN AC N là đỉnh thứ tư của hình bình hành DACN+=−⇔=⇒       . c) Từ câu a và b CM DN DCMN là hình bình hành CD MN⇒=⇒ ⇒=     Tương tự BA CD MN BA=⇒ =     . 18. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xác đònh vectơ AB AC+    và tính môđun vectơ này. Hướng dẫn: Vẽ trung tuyến AM, kéo dài AM lấy điểm E sao cho ME AM = . Ta có: AB AC 2AM AE+= =    . Do đó: a3 AB AC 2 AM 2. a 3 2 += = =   . 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Xác đònh vectơ () 1 AB AC AD 2 ++     và tính môđun vectơ này. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 8 Hướng dẫn: ()() () 11 1 AB AC AD AB AD AC AC AC AC 22 2 ⎡⎤ ++ = + + = + = ⎣⎦          Do đó: () 1 AB AC AD AC a 2 2 ++ = =     . 20. Cho tam giác đều ABC cạnh a, trực tâm H. Tính môđun HA,HB,HC    . Hướng dẫn: 2 2a3 a3 HA HB HC AA . 3323 ′ === = =    (AA’ là đường cao). 21. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Xác đònh môđun các AB AD, AB AC, AB AD++−        Hướng dẫn: ¾ Theo quy tắc hình bình hành: AB AD AC AB AD AC AC a 2+=⇒+ = ==       . ¾ Vẽ CA AB. Ta có: AB AC AC CA AA ′′′ =+=+=        2222 AB AC AA AA AD DA a 4a a 5 (pitago) ′′ ′ ⇒+= = = + =+=    . ¾ AB AD DA AB DB AB AD DB DB a 2−=+=⇒− = ==         . VẤN ĐỀ 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ 9 Dùng quy tắc ba điểm AB BC AC; AC AB BC+= −=       . 9 Mở rộng quy tắc ba điểm 12 23 n1n 1n AA AA A A AA − +++ =     . 9 Quy tắc rút gọn: Nếu 11 22 nn IA IA IA 0α+α++α =     thì () 1122 nn 12 n MA MA MA MIα +α + +α = α +α + +α     . 9 Nếu G là trọng tâm của () 12 n A ,A , ,A và G’ là trọng tâm của () 12 n B ,B , ,B thì ta có 11 22 nn A B A B A B nGG ′ +++=     . 9 Quy tắc hình bình hành: Cho hai vectơ AB,CD khác 0   và không cùng phương. Dựng hình bình hành ABCD. Ta có: AC AB AD 2AM=+=     . BÀI TẬP 1. Cho tứ giác ABCD. M, N lần lượt là trung điểm AD, BC, O là trung điểm MN. Chứng minh: a) AD CD AC DB−=+   . b) ()() 11 MN AB DC AD BC BD 22 =+=++       . c) OA OB OC OD 0+++=    . Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 9 d) MA MB MC MD 4MO; M+++= ∀      e) Gọi F là trung điểm CD. Chứng minh rằng: ( ) 2AB AN FA DA 3DB+++ =    . Hướng dẫn: a) Quy tắc ba điểm: AB CD AC CB CD AC DC CB AC DB−=+−=++=+           . b) Quy tắc ba điểm, trung điểm: ()() ( ) ( ) AB DC AM MN NB DM MN NC AM DM NB NC 2MN+= +++ ++= + ++=               (2 vectơ đối nhau). c) Quy tắc trung tuyến, trung điểm: () ( )() OA OB OC OD OA OD OB OC 2OM 2ON 2 OM ON 0+++= + + + = + = + =           d) () ( ) ( ) ( ) MA MB MC MD MO OA MB OB MC OC MD OD+++= ++ ++ ++ +             4MO OA OB OC OD 4MO 0 4MO=++++=+=        e) () ( ) 2AB AN FA DA 3DB 2DA AB FA AN 3DB+++ = ⇔ +++ =          () 2DB FN 3DB⇔+=  2FN DB⇔=  : hiển nhiên đúng. 2. Cho tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có trọng tâm là G và G’. a) Chứng minh GA GB GC 0++=     . b) Chứng minh AA BB CC 3GG ′′′ ′ ++=     . c) Suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có chung trọng tâm là AA BB CC 0 ′′′ ++=      . d) Gọi G 1 , G 2 , G 3 là trọng tâm BAC , CAB , ABC ′ ′′ ΔΔΔ. Chứng minh G là trọng tâm 123 GGG Δ . Biết ABC và A B C ′′′ ΔΔ có cùng trọng tâm G. A Hướng dẫn: a) GB GC 2GM+=    (tính chất trung điểm) N Mà AG 2GM=   G Nên GA GB GC AG 2GM 0++=−+ =      b) Quy tắc ba điểm: B M C AA AG GG G A BB BG GG G B CC CG GG G C ′′′′ =+ + ′′′′ =+ + ′′′′ =+ +            () ( ) AA BB CC 3GG AG BG CG G A G B G C ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ ⇒++= + +++ + +            Mà AGBGCG0 (câu 1)++=    GA GB GC 0 (tính chất trọng tâm) ′′ ′′ ′′ ++=     Nên AA BB CC 3GG ′′′ ′ ++=     c) GG GG 0 AABBCC 0 ′′ ′′′ ≡⇒ =⇔ + + =       Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 10 d) Theo trên ta có: 123 AG BG CG 0++=     Ta có: 1 AB AC AA 3AG ′ ++ =   (G 1 là trọng tâm tam giác BCA’) 2 BA BC BB 3BG ′ ++ =     (G 2 là trọng tâm tam giác CAB’) 3 CA CB CC 3CG ′ ++ =    (G 3 là trọng tâm tam giác ABC’) ( ) 123 AA BB CC AC BC CB AB BA CA 3 AG BG CG ′′′ ⇒++++++++= + +              (1) Mà AA BB CC 0 ′′′ ++=     và ABC, A B C ′ ′′ ΔΔ có chung trọng tâm G. Suy ra (1): () 123 3AG BG CG 0++ =     . Vậy G là trọng tâm tam giác G 1 G 2 G 3 . 3. Cho hình bình hành ABCD. a) Cho AB a,AD b==  , I là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng 1 BI b a 2 =−    , tính AG theo a, b     . b) Nếu G’ là trọng tâm tam giác BCI. Chứng minh 52 AG a b 63 ′ =+   . c) Trên ABCΔ , gọi A 1 , B 1 , C 1 là các điểm xác đònh bởi 11 2A B 3A C 0 + =    , 11 2B C 3B A 0 + =   , 11 2C A 3C B 0+=   . Chứng minh rằng 111 ABC và A B CΔΔ có cùng trọng tâm. d) Nếu B 1 , C 1 ở câu c là trung điểm của CA, AB. Đặt 11 BB u,CC v = =    . Tính BC,CA,AB    theo u,v  . Hướng dẫn: a) () ()()() 11 1 1 1 BI BC BD AD AD AB 2AD AB 2b a b a 22 2 2 2 ⎡⎤ =+=+−= −=−=− ⎣⎦         221 AG AB BG AB BI a b a 332 ⎛⎞ =+=+ =+ − ⎜⎟ ⎝⎠      D I C Vậy 21 AG a b a 32 ⎛⎞ =+ − ⎜⎟ ⎝⎠     G b) () 3AG ABACAI AB ABAD AI ′ =++=+ + +        () 2AB AD AD DI=+++     A B 15 2AB 2AD AB AB 2AD 22 =++ = +     Vậy 52 AG a b 63 ′ =+  (đpcm) c) Gọi G và G 1 lần lượt là trọng tâm 111 ABC và A B C Δ Δ . Ta có: () ( ) 11 1 1 1 2AB3AC 0 2AGGB 3AGGC 0 2GB3GC 5GA+=⇔ ++ +=⇔+=             . Tương tự ta có: 11 1 2B C 3B A 0 2GC 3GA 5GB+=⇔+=       [...]... p−c p−a p−a p−b 1 1 1 Do đó DA, EB, FC đồng quy tại J thỏa JA + JB + JC = 0 p−a p−b p−c 5) Chứng minh bổ đề: điểm M nằm trong tam giác ABC, AM cắt BC tại D’, BM cắt CA tại E’, CM cắt AB tại F’ Nếu ta có AD′ + BE ′ + CF ′ = 0 thì M ≡ G (G là trọng tâm tam giác ABC) Bổ đề này đăng trên tạp chí toán học tuổi trẻ Đặt S = dt ΔABC , S1 = dt ΔMBC , S 2 = dt ΔMCA , S3 = dt ΔMAB Ta có: S1 MA + S2 MB + S 3 MC... 0 ⇒ M ≡ G Bổ đề được chứn g minh Vậy nếu ta có AA′ + BB′ + CC ′ = 0 ⇒ tâm đườn g tr òn nội tiếp cũn g là tr ọn g tâm của tam giác ABC ⇒ tam giác ABC đều 27 Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net Vậy nếu ta có AD + BE + CF = 0 ⇒ AD, BE, CF là các tr ung tuyến của tam giác ABC ⇒ DB = DC ; EC = EA; FA = FB ⇒ p − b = p − c; p − c = p − a; p − a = p − b ⇒ a = b = c ⇒ tam giác ABC đều Bài 4: Cho... ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm là BC CA AB Bài 2: Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIF, BCPQ, CARS Chứng minh rằng RF + IQ + PS = 0 Hướng dẫn: RF + FI + IQ + QP + PS + SR = 0 ⇔ RF + AB + IQ + BC + PS + CA = 0 ( ) ⇔ RF + IQ + PS + AB + BC + CA = 0 ⇔ RF + IQ + PS = 0 Bài 3: Cho hình thang ABCD, AC cắt BD tại O Qua O vẽ đường thẳng MN song song hai đáy AD, BC Đặt bAB + aDC... tam giác ABC) ⎪ GA + GB + GC = 0 ⎩ (1) đún g khi G là tr ọn g tâm tam giác A' B' C' Vậy tam giác ABC và tam giác A’B’C’ có cùng trọng tâm G Bài 5: 1) Cho tam giác ABC đều cạnh a Xác đònh vectơ AB + AC và tính môđun của vectơ này 1 2) Cho hình vuông ABCD cạnh a Xác đònh vectơ AB + AC + AD và tính môđun của vectơ này 2 3) Giả sử M và N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD và BC của tứ giác ABCD Chứng... 2 2 Đẳng thức xảy ra khi AB // DC hay ABCD là hình thang đáy AB, CD 2) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Bài 6: Cho tứ giác ABCD 1) Tìm điểm cố đònh I và hằng số k để hệ thức sau thỏa với mọi M: a) MA + MB + 2MC = kMI b) 2MA + 3MB − MD = kMI c) MA − MB − 2MC = kMI d) MA + 2MB + 3MC − 4MD = kMI 2) OA + OB + OC + OD = 0 Chứng minh O xác đònh duy nhất 3) Nếu ABCD là hình bình hành Với mọi M, hãy tìm K và điểm I... 5) MA + MB − MC = kMI MA + MB + 2MC = kMI MA + MB + MC + MD = kMI 2MA − 3MC + 2MD = kMI Bài 7: Cho hình vuông ABCD cạnh a, M là điểm bất kỳ Chứng minh rằng các vectơ sau day không đổi và môđun của chúng là: 3) 2MA + MB − MC − 2MD = 3a 4) 3MA − MB − 2MC = a 13 5) 4MA − MB − MC − MD = 2a 2 VẤN ĐỀ 4: CHỨNG MINH ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐƯỜNG THẲNG QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH, ĐƯỜNG SONG SONG Bài 1: Cho tam giác ABC,... AF ⇒ AC = AB − kEF + AF 18 Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net Hay kEF = AC − AB − AF = BC − AF Vẽ AI = BC thì AI − AF = kEF ⇒ kEF = FI ⇒ E, F, I thẳng hàng ⇒ EF qua I cố đònh Bài 15: Cho hình bình hành ABCD 1) Gọi I, F, K là các điểm xác đònh bởi AI = α AB, AF = β AC, AK = γ AD Chứng minh điều kiện cần và đủ 1 1 1 để I, F, K thẳng hàng là = + ( α, β, γ ≠ 0 ) β α γ AM 1 CN 1 = , = Gọi... GB + GC = 0 ( ) ⇔ GI = 2 GB − GA = 2AB OA AB 1 = = OI GI 2 c) Gọi K là điểm thỏa: 5KA − 3KB = 0 b) GI = 2AB ⇔ GI // AB ⇒ ( ) ( ) ⇒ 5MA − 3MB = 5 MK + KA − 3 MK + KB = 2MK = 2MK ⇒ 5MA − 3MB min ⇔ M là hình chiếu của K lên ( d ) Bài 4: Cho tam giác ABC, trọng tâm G 1) Xác đònh ví trí điểm M sao cho: a) MA + MB + 2MC = 0 b) MA − MB + MC = 0 14 1 AB − 4AC 3 ( ) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt http://www.toanthpt.net... – ĐàLạt http://www.toanthpt.net 7 AM 4 1 1 7 3k 7 3k NB = 3NC ⇒ AN = − AB − 3AC = − AM + AP ⇒ AN = − AM + AP 2 2 4 2 8 2 3k 7 5 Vì M, N, P thẳng hàng nên − =1⇒ k = 2 8 4 PA Vậy =4 PC 1 1 Bài 5: Cho hình bình hành ABCD M và N là các điểm thỏa mãn AM = AB; DN = DC , G là trọng tâm 3 2 AG BI tam giác MNB, AG cắt BC tại I Tính các tỉ số , GI IC Hướng dẫn: AG BI = α, =β Đặt GI IC Ta có: AI 1 α+1 1 α+1⎛... rằng β DB + γ DC = γ EC + α EA = β FB + α FA = 0 (1) 4) Đảo lại D, E, F là các điểm thỏa (1) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy tại I xác đònh như câu 1 5) p dụng: Gọi M là điểm tùy ý trong tam giác ABC đều; x, y, z lần lượt là khoảng cách từ M tới BC, CA, AB Chứng minh rằng xMA + yMB + zMC = 0 Hướng dẫn: 3) Gọi D là điểm thỏa β DB + γ DC = 0 ⇒ β IB + γ IC = ( β + γ ) ID ( tâm tỉ cự ) ⇒ α IA + ( β + . 1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH   và FG   bằng vectơ AD   , chứng minh rằng CDGH là hình bình hành. F G Hướng dẫn: Vì ABCD và ABEF là hình bình hành. AB. b) CIAD là hình bình hành DC AI DC IB DCIB là hình bình hành DI CB I là trung điểm AB nên AI IB ⎫ ⇒= ⎪ ⇒=⇒ ⇒= ⎬ = ⎪ ⎭          16. Cho hai hình bình hành.  . Hướng dẫn: ABCD là hình bình hành CD BA CD EF ABEF là hình bình hành EF BA ⎫ ⇒= ⎪ ⇒= ⎬ ⇒= ⎪ ⎭     EM BD EM FN EMNF là hình bình hành MN EF FN BD ⎫ = ⎪ ⇒=⇒