Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày δ, có hệ số dẫn nhiệt λ, 2 mặt biên có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t0, tn cho trước.. Mô hình bài toán có dạng:... Tìm phân bố nhiệt đ
Trang 1Cho vách phẳng n lớp, mỗi lớp thứ i dày δ, có hệ số dẫn nhiệt λ, 2 mặt biên
có nhiệt độ không đổi, phân bố đều và bằng t0, tn cho trước Tính dòng nhiệt q qua vách và nhiệt độ các mặt tiếp xúc ti, ∀i = 1 ữ (n-1)
9.4.2.2 Lời giải
Khi ổn định, dònh nhiệt q qua mọi
lớp là không đổi:
n n
n 1 n
i i
1 i i
1 1
1
t
q
λ δ
ư
= λ δ
ư
= λ
δ
ư
Đây là hệ n phương trình đại số
tuyến tính của ẩn số ti và q bằng cách khử
các ẩn số ti, ∀ i = 1 ữ (n-1), sẽ tìm được:
∑
∑
∆
= λ δ
ư
=
=
i n
1
i
n 0
R
t t
t
Thay q vào lần lượt mỗi phương trình ta tìm được nhiệt độ các mặt tiếp xúc:
ti = ti-1 - 1 (ti 1 ti)x
i
ư
δ ư , ∀ i = 1 ữ n
Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ I là đoạn thẳng có dạng:
ti(x) = ti-1 - 1 (ti 1 ti)x
i
ư
δ ư , ∀ i = 1 ữ n
9.4.3 Vách một lớp, biên loại 3
9.4.3.1 Bài toán
Cho vách phẳng rộng vô
hạn, dày δ, hệ số dẫn nhiệt λ =
const, mặt x = 0 tiếp xúc với
chất lỏng 1 có nhiệt độ tf1 với
hệ số toả nhiệt α1, mặt x = δ
tiếp xúc với chất lỏng 2 có
nhiệt độ tf2 với hệ số toả nhiệt
α2, tìm phân bố nhiệt độ t(x)
trong vách
Mô hình bài toán có dạng:
Trang 2[ ]
[ ] ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ δ λ ư = ư δ α λ ư = ư α = (3)
(2)
(1)
dx ) ( dt t ) ( t dx ) 0 ( dt ) 0 ( t t 0 dx t d ) t ( 2 f 2 1 f 1 2 2 9.4.3.2 Tìm phân bố t(x) Nghiệm tổng quát của (1) là: t(x) = C1x + C2 Các hằng số C1, C2 được xác định theo (2) và (3):
⎩ ⎨ ⎧ λ ư = ư + δ α λ ư = ư α 1 2 f 2 1 2 1 2 1 f 1 C ) t C C ( C ) C t (
Giải hệ này ta được: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α λ + = α λ + δ + α λ ư = 1 2 1 f 2 2 1 2 f 1 f 1 C t C t t C
Do đó phân bố t(x) có dạng: ⎜⎜⎝⎛ + αλ ⎟⎟⎠⎞ α λ + δ + α λ ư ư = 1 2 1 2 f 1 f 1 f t t x t ) x ( t Đồ thị t(x) là đoạn thẳng đi qua 2 điểm ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α λ ư f1 1 1 , t R và ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α λ + δ f2 2 2 , t R được gọi là các điểm định hướng của ĐKB loại 3
9.4.3.3 Tính doang nhiệt q Theo định luật Fourier ta có:
2 1 2 f 1 f 1 1 1 t t C dx dt q α + λ δ + α ư = λ ư = λ ư = , (W/m2), Theo biểu thức t(x) có thể tính nhiệt độ tại 2 mặt vách theo:
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ α λ + δ α λ + δ + α λ ư ư = δ = α α + λ δ α + ư ư = = 1 2 1 2 f 1 f 1 f 2 w 2 1 1 2 f 1 f 1 f 1 w t t t ) ( t t 1 t t t ) 0 ( t t
Trang 39.5 Dẫn nhiệt trong vách trụ
9.5.1 Trụ một lớp, biên loại 1
Bài toán: Cho vách trụ 1 lớp đồng chất, bán kính trong r1, ngoài r2, λ = const, hai mặt biên có nhiệt độ t1, t2 Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong trụ và nhiệt lượng
ql = ,
l
Q
(W/m), truyền qua 1m dài mặt trụ Trong toạ độ trụ, mô hình bài toán trên
có dạng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
= +
(3)
(2)
(1)
2 2
1 1 2 2
t ) r t
t ) r t
0 dr
dt r
1 dr
t d ) t (
9.5.1.2 Tìm phân bố t(r)
dr
dt
u= thì phương trình vi phân dẫn nhiệt (1) có dạng:
0 r
u dr
du
= + hay
r
dr u
du
ư
Lấy tích phân lần 1 ta có:
Lnu = - ln r + ln C1 =
r ln
C
ln 1
hay
r
dt C dt r
C u dr
dt
1
=
Lấy tích phân lần 2 ta có nghiệm tổng quát của (1) là:
t(r) = C1ln r + C2,
Các hằng số C1, C2 được tính theo ĐKB (2) và (3):
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
ư
=
ư
ư
=
→
⎭
⎬
⎫ +
=
=
+
=
=
1 1 1 2
1 2
2 1 1
2 2 1 2 2
2 1 1 1 1
r ln C t C
r
r ln
t t C C
r ln C t ) r t
C r ln C t ) r
Vậy phân bố nhiệt độ trong vách trụ có dạng:
1 1 2
2 1 1
r
r ln r
r ln
t t t ) (
ư
=
Đường cong t(r) có dạng logarit đi qua 2 điểm (r1, t1) và (r2, t2)
9.5.1.3 Tính nhiệt lượng
Dòng nhiệt qua 1m2 mặt trụ bán kính r bất kỳ là:
1 2
2 1 1
r
r ln r
) t t ( r
C dr
dt
= λ
ư
= λ
ư
Trang 4luôn giảm khi r tăng Lượng nhiệt qua 1m dài mặt trụ bán kính r bất kỳ là:
l 1 2
2 1 1 l
R t r
r ln 2 1
) t t ( C 2 l
rl 2 q l
Q
= πλ
ư
= πλ
ư
=
π
=
Với
1
2 l
r
r ln 2
1 R
πλ
= , (mK/W) là nhiệt trở của 1m trụ Vì ql = const với mọi mặt trụ, không phụ thuộc vào bán kính r nên ql được coi là 1 đại lượng đặc trưng cho dẫn nhiệt qua vách trụ
9.5.2 Trụ n lớp biên loại 1
9.5.2.1 Bài toán
Cho vách trụ n lớp, bán kính trong
r0, r1, ri, rn, có hệ số dẫn nhiệt λi,
có nhiệt độ 2 mặt biên không đổi t0, tn
Tìm lượng nhiệt ql , qua 1m dài mặt trụ,
nhiệt độ ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) các mặt tiếp
xúc và phân bố nhiệt độ ti(r) trong mỗi
lớp
9.5.2.2 Lời giải
Vì ql = const với mọi lớp nên có hệ
phương trình:
, i 1 n,
r
r ln 2 1
) t t (
1
i i
i 1 i
πλ
ư
=
∑
ư
Bằng cách khử (n-1) ẩn ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) se thu được:
,
r
r ln 2 1
) t t (
1
i i
n 0 l
∑
ư
r
r ln 2
1 R
n
1
i i
= , (mK/W) là tổng nhiệt trở của 1m vách trụ n lớp Tính ti, ∀ i = 1 ữ (n-1) lần lượt theo ql ta được:
), 1 n ( 1 i , r
r ln 2
1 t
t
1 i i i 1
l
πλ
ư
=
ư
ư
Phân bố nhiệt độ trong mỗi lớp thứ i có dạng:
), 1 n ( 1 i , r
r ln r
r ln
t t t ) ( t
1 i 1 i i
1 i i l
ư
ư
ư
Trang 5là đường cong logarit đI qua 2 điểm (ri-1, ti-1) và (ri, ti)
9.5.3 Vách trụ một lớp biên loại 3
9.5.3.1 Bài toán
Tìm phân bố nhiệt độ t(r) trong vách trụ
đồng chất có r1, r2, λ cho trước, mặt trong tiếp
xúc với chất lỏng nóng có tf1, α1, mặt ngoài
tiếp xúc với chất lỏng lạnh có tf2, α2 Trong toạ
độ trụ, mô hình bài toán có dạng:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
λ
ư
=
ư α
λ
ư
=
ư α
= +
(3)
(2)
(1)
) r t t
) r t
) r t ) r t t
0 dr
dt r
1 dr
t d
)
t
(
2 r 2
f 2 2
1 r 1
1 f 1
2
9.5.3.2 Tìm phân bố t(r)
Nghiệm tổng quát của (1) là: t(r) = C1x + C2 Các hằng số C1, C2 được xác
định theo các ĐKB (2) và (3):
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
λ
ư
=
ư + α
λ
ư
=
ư
ư α
2
1 2
f 2 2 1 2
1
1 2
1 1 1 f 1
r
C )
t C r ln C (
r
C )
C r ln C t (
Giải ra ta được:
; r
r ln r r
t t C
1 2 2
2 1 1
1 f 2 f 1
+ α
λ + α λ
ư
Vậy:
+ α
λ + α λ
ư
ư
=
1 1 1 1 2 2
2 1 1
2 f 1 f 1
f
r r
r ln r
r ln r r
t t t
) (
Đồ thị t(r) có dạng loarit tiếp tuyến tại r1 qua điểm ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ α
λ
1 1
tuyến tại r1 qua điểm ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ α
λ
2 2
9.5.3.3 Tính nhiệt lượng q 1
Lượng nhiệt qua 1m dài mặt trụ không đổi và bằng: