Đề 4: Câu 1. Cho hàm 2 2 ( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + − . Tính 2 (0,0)d f f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10 d 2 f(0,0)=2dx 2 -4dxdy+10dy 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 2 12 8 .z x y x y= + − Điểm dừng: x=2, y=-4 A=z’’ xx =6xy+24 B=z’’ xy = C=z’’ yy =0 Δ=AC-B 2 = -9 =-144<0 z(x,y) ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L = =3/4 <1 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L hội tụ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1)ln( 1) n n n n x n n ∞ = − + ∑ + + = =1/8 => -8<x+1<8 => -9<x<7 x=-9: phân kỳ theo tc tích phân x=7: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (-9,7] Câu 5. Tính tích phân )2222 ln(. yxyx D ++ ∫∫ dxdy với D là miền 1 ≤ x 2 +y 2 ≤ e 2 x=rcosφ, y=rsinφ )2222 ln(. yxyx D ++ ∫∫ dxdy = )rdr = (2/9e 3 +1/9) Câu 6. Cho P(x,y)= y, Q(x,y)= 2x-ye y . Tìm hàm h(y) thảo mãn điều kiện: h(1)=1 và biểu thức h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó. Với h(y) vừa tìm, tính tích phân [ ] ∫ + L dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( trong đó L là đường cong có phương trình: 4x 2 +9y 2 =36, chiều ngược kim đồng hồ từ điểm A(3,0) đến B(0,2). h(y)P(x,y)dx+ h(y)Q(x,y)dy là vi phân toàn phần của hàm u(x,y) nào đó = => h(y) =y+c h(1)=1 => c=0 h(y)= y [ ] ∫ + L dyyxQyhdxyxPyh ),()(),()( = = = -2e 2 +2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 2z x y+ + = nằm trong hình paraboloid 2 2 z x y= + . S là phần mặt 2 2 2z x y+ + = nằm trong hình paraboloid 2 2 z x y= + . D=pr xOy S, D={x 2 +y 2 1} S= dxdy= dxdy= rdr= -1) Câu 8. Tính 2 2 2 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu 2 2 2 2+ + =x y z z , phía trên. 2 2 2 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy = dydz+ dydz+ dydz dydz= + = - + =0 Tương tự dydz=0 dydz = 2 rdr = I= = Đề 5 Câu 1. Tính 2 f x y ∂ ∂ ∂ , với 3 ( ) sin ; 2 = = + = + x f f u u u u xy e Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: 2 2 2 2 ( , ) 2 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + = L(x,y,λ)= 2x 2 +12xy+y 2 +λ(x 2 +4y 2 -25) x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 d 2 L= (4+2λ)dx 2 + (2+8λ)dy 2 + 24dxdy x 2 = -4y 2 +25 => 2xdx=-8ydy x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d 2 L>0 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2) x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d 2 L<0 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 3 3 1 2 2 1 n n n n n ∞ = + ∑ ÷ − = = 8 >1 3 3 1 2 2 1 n n n n n ∞ = + ∑ ÷ − phân kỳ theo tc Cauchy Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: )1ln()1( )5(2)1( 11 1 ++ −− ++ ∞ = ∑ nn x nnn n = = 2 => -1/2<x-5<1/2 => 9/2<x<11/2 x=9/2: phân kỳ theo tc tích phân x=11/2: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (9/2,11/2] Câu 5. Tính tích phân ( ) dxdyyxarctg D ∫∫ + 22 với D là hình tròn: x 2 +y 2 ≤ 3 I= ( ) dxdyyxarctg D ∫∫ + 22 = = 2 = 2 Câu 6. Chứng tỏ tích phân [ ] (1 ) (1 ) x y C I e x y dx x y dy − = + + + − − ∫ không phụ thuộc đường đi. Tính tích phân I với C là phần ellipse 2 2 1 9 4 x y + = từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ. = [ ] (1 ) (1 ) x y C I e x y dx x y dy − = + + + − − ∫ = + = -3e 3 + 2e -2 Câu 7. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi 2 2 , 1, 0, 3y x y z z x= − = = = , lấy phần 0.z ≥ V= = 2 = 2 =2 = 3/2 Câu 8. Tính ( ) 2 2 3= + + + ∫∫ S I xdydz y z dxdz z dxdy , với S là phần mặt phẳng 4+ + =x y z nằm trong hình trụ 2 2 2x y y+ = , phía trên. ( ) 2 2 3= + + + ∫∫ S I xdydz y z dxdz z dxdy = = = x=rcosφ, y-1=rsinφ I= = = = = Đề 6 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 32 3 yx e . Tính dz(1,1) và )1,1( 2 yx z ∂∂ ∂ dz = 6xy 3 dx + 9x 2 y 2 dy => dz(1,1) = 6edx+9edy 6xy 3 = 18xy 2 + 6xy 3 3x 2 y 2 = 18xy 2 + 18x 3 y 5 => )1,1( 2 yx z ∂∂ ∂ = 36e Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x 3 + y 3 + 3x 2 - 3xy +3x-3y +1 Điểm dừng: x=0, y=1 v x=-1,y=0 A= z’’ xx =6x+6 B=z’’ xy =-3 C=z’’ yy =6y Δ=AC-B 2 =36(x+1)y-9 x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1) x=-1,y=0 => Δ=-9<0 => ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2 1 1 4 9 (4 3)!! n n n ∞ = × × ∑ − L Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n n n nn x n )1( 1.4 3.)1( 0 3 2 1 − + − ∑ ∞ = + + ρ= = =3/4 => -4/3<x-1<4/3 => -1/3<x<7/3 x= -1/3: phân kỳ x= 7/3: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (-1/3,7/3] Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 4 D I x y dxdy= − − ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1,x y y x+ = ≤ 2 2 4 D I x y dxdy= − − ∫∫ = = Câu 6. Tính tích phân 2 2 ( ) ( ) C I x y x y dx y x xy dy= + − + − − ∫ , với C là nửa bên phải của đường tròn 2 2 4 ,x y y+ = chiều kim đồng hồ. 2 2 ( ) ( ) C I x y x y dx y x xy dy= + − + − − ∫ = - = - 8= 12 Câu 7. Tính tích phân đường loại một I= , với C là nửa trên đường tròn 2 2 2+ =x y y . x=rcost, y=rsint => r= 2sint I= = = 4 Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính ( ) (2 )= + + − + ∫Ñ C I x y dx x z dy ydz , với C là giao của 2 2 2 4+ + =x y z và 0x y z+ + = , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của C là giao của 2 2 2 4+ + =x y z và 0x y z+ + = ( ) (2 )= + + − + ∫Ñ C I x y dx x z dy ydz = (S có n=( ) = = = - S = - = -4 . 12 ; 4 25f x y x xy y x y= + + + = L(x,y,λ)= 2x 2 +12xy+y 2 +λ(x 2 +4y 2 -2 5) x=3,y= , λ=2 v x =-3 ,y= , λ=2 v x =4, y= , λ =-1 7 /4 v x = -4 ,y= , λ =-1 7 /4 d 2 L= (4+ 2λ)dx 2 + (2+8λ)dy 2 + 24dxdy x 2 . (2+8λ)dy 2 + 24dxdy x 2 = -4 y 2 +25 => 2xdx =-8 ydy x=3,y= , λ=2 v x =-3 ,y= , λ=2 =>d 2 L>0 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3 ,-2 ), (-3 ,2) x =4, y= , λ =-1 7 /4 v x = -4 ,y= , λ =-1 7 /4 => d 2 L<0 . Đề 4: Câu 1. Cho hàm 2 2 ( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + − . Tính 2 (0,0)d f f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2 cos(x-y)=> f’’xy(0,0) =-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy=