Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 5 doc

84 Chương Quá trình dừng Các hệ số hi xác định truy hồi sau h0 = h1 = β1 + α1 = 0, h2 = β2 + α1 h1 + α2 = (0, 7)(0, 7) − (0, 1) = 0, 39 hj = 0, 7hj−1 − 0, 1hj−2 j = 2, 3, Ví dụ 2.9 Xét dãy ARMA(1, 1) (Xn ) sau Xn = αXn−1 + Wn + βWn−1 |α| < 1, |β| < Ta có Φ(z) = − αz, Φ(B) = − αB X 1 = = αi z i Φz − αz i=0 ∞ Vậy H(z) = (1 + βz)( ∞ X αi z i ) i=0 ∞ X = ∞ X i=0 i=0 = ∞ X ∞ X αi + β αi + β i=0 =1+ αi z i+1 αi−1 z i i=1 ∞ X (αi + βαi−1 )z i i=1 = + (α + β) ∞ X αi−1 z i i=1 Thành thử Xn = H(B)Wn = Wn + (α + β) ∞ X i=1 αi−1 Wn−i (2.7) 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 85 Tiếp theo dựa vào biểu diễn trung bình trượt ta tìm hàm tự tương quan (Xn ) Nhân hai vế (2.7) với Xn−h ta Xn Xn−h − αXn−1 Xn−h = Wn Xn−h + βWn−1 Xn−h Lấy kỳ vọng hai vế ta K(h) − αK(h − 1) = EWn Xn−h + βEWn−1 Xn−h Với h = ý EWk Xm = k > m EWk Xk = σ ta K(1) − αK(0) = βσ Cho h = ta K(0) − αK(1) = σ + β(α + β)σ = σ (1 + αβ + β 2) Với h ≥ EWn Xn−h = 0, EWn−1 Xn−h = K(h) − αK(h − 1) = Từ với h ≥ K(h) = αh−1 K(1) Từ hệ K(1) − αK(0) = βσ K(0) − αK(1) = σ + β(α + β)σ dễ dàng tìm   (α + β)2α K(1) = σ α + β + − α2   (α + β)2 K(0) = σ + − α2 K(h) = αh−1 K(1) h ≥ 86 Chương Quá trình dừng 2.1.3 Độ đo phổ mật độ phổ Trong tiết trình bày đặc trưng quan trọng dãy dừng: Đó khái niệm độ đo phổ Định lý 2.11 Giả sử K(h) hàm tự tương quan dãy dừng (Xn ) Khi tồn độ đo hữu hạn µ [−π, π] cho K(h) có biểu diễn tích phân sau Z π K(h) = eihx dµ(x) −π Độ đo µ gọi độ đo phổ dãy dừng Xn Chứng minh Do K(n) hàm xác định không âm nên với zj = e−ixj ta có n X n X −ix(j−k) K(j − k)e n−1 X = j=1 k=1 K(m)e−ixm(n − |m|) , ∀x m=−(n−1) Đặt fn (x) = 2π n−1 X −ixm K(m)e m=−(n−1)   |m| 1− n Ta có fn (x) ≥ , ∀x Z π fn (x)dx = K(0) −π Rπ (vì −π e−imx dx = m 6= 0) Gọi µn độ đo [−π, π] với hàm mật độ fn (x) Họ độ đo {µn } compact yếu nên ta trích dãy {µnk } hội tụ yếu tới độ đo hữu hạn µ Ta chứng tỏ µ độ đo cần tìm Thật với m cố định ta có Z π Z π imx e dµnk (x) = eimx fnk (x)dx = −π −π   |m| = K(m) − , với nk ≥ |m| nk 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 87 Cho nk → ∞ ta Z π eimx dµ(x) = K(m) −π Độ đo µ Thật giả sử µ ν hai độ đo thoả mãn K(n) = Z π inx e dµ(x) = −π Z π einx dν(x) −π Vì hàm liên tục g(x) hồn tồn xấp xỉ đa thức n P lượng giác ck eikx , ta suy k=1 Z π g(x)dµ(x) = −π Z π g(x)dν(x) , với hàm liên tục g(x) −π Vậy ta có µ = ν Chú ý Nếu Xn nhận giá trị thực K(h) nhận giá trị thực Khi ta có K(h) = Z π cos hxdµ(x) −π Nếu độ đo µ tuyệt đối liên tục dµ = f (x)dx mật độ f (x) µ gọi mật độ phổ Xn Trong trường hợp ta nói Xn có phổ liên tục Như ta có: Định nghĩa 2.6 Hàm f (x) gọi mật độ phổ dãy dừng (Xn ) với hàm tự tương quan K(h) f (x) ≥ với x ∈ [−π, π] Z π K(h) = eihxf (x)dx −π Định lý sau cho biết hàm hàm mật độ phổ dãy dừng Định lý 2.12 Hàm f (x) không âm xác định đoạn [−π, π] hàm mật độ phổ dãy dừng 88 Chương Quá trình dừng f (x) hàm chẵn: f (x) = f (−x) Rπ −π f (x)dx < ∞ ∀x ∈ [−π, π] Chứng minh Điều kiện cần chứng minh Bây ta giả thiết hàm f (x) có tính chất vừa nêu Đặt Z π eihx f (x)dx K(h) = −π Đổi biến u = −x ta K(−h) = Z π e−ihx f (x)dx = Z−π π eihu f (−u)du = Z−π π eihu f (u)du −π = K(h) Vậy K(h) hàm chẵn Hơn a1, , an số phức tuỳ ý n X ar a ¯s K(r − s) = r,s=1 Z π n X ar ¯as eix(r−s) f (x)dx −π r,s=1 n X ixr Z π r=1 ≥ Do K(h) xác định khơng âm Vậy theo định lý tồn dãy dừng (Xn ) nhận K(h) hàm tự tương quan nhận f (x) hàm mật độ phổ Định lý sau cho ta điều kiện đủ để dãy (Xn ) có phổ liên tục Định lý 2.13 Nếu ∞ X h=−∞ |K(h)| < ∞ 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 89 (Xn ) có phổ liên tục mật độ phổ cho cơng thức sau f (x) = ∞ X −ihx e K(h) 2π (2.8) h=−∞ Chứng minh Đầu tiên nhận xét chuỗi (2.8) hội tụ tuyệt đối hàm f (x) xác định đắn Với số m nguyên dương ta đặt E Xk e−ikx 2πm ! m X −irx isx E = Xr Xs e e 2πm r,s=1 X (m − |h|)e−ihx K(h) = 2πm fm (x) = |h| hàm xác định không âm |θ| ≤ 1/2 Thật K(h) rõ ràng hàm chẵn khả tổng tuyệt đối Vậy theo hệ hàm tự tương quan hàm ∞ X −ihx e K(h) f (x) = 2π h=−∞ = [1 + 2θ cos x] 2π 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 91 không âm với x ∈ [−π, π] Nhưng điều xảy |θ| ≤ 1/2 Nếu độ đo phổ µ độ đo rời rạc ta nói dãy dừng (Xn ) có phổ rời rạc Chẳng hạn giả sử U V hai ĐLNN không tương quan EU = EV = 0, EU = EV = σ λ số thực Xét dãy (Xn ) xác định Xn = U cos λn + V sin λn Khi (Xn ) dãy dừng với hàm tự tương quan K(h) = σ cos(λh) Không giảm tổng quát giả sử λ ∈ [−π, π] Gọi µ độ đo rời rạc sau σ2 µ{−λ} = µ{λ} = Khi dễ thấy σ cos(λh) = Z π eihxdµ(x) −π Vậy µ độ đo phổ rời rạc Xn Tổng quát giả sử U1 , U2, , Um V1 , V2 , , Vm ĐLNN với EUk = EVk = 0, EUk2 = EVk2 = σk2 , EUi Uk = 0, (i 6= k), EVi Vk = (i 6= k), EUi Vj = Xét dãy (Xn ) xác định Xn = m X (Uk cos λk n + Vk sin λk n) k=1 λ1 , λm ∈ [−π, π] Như ví dụ 2.3 (Xn ) dãy dừng với hàm tự tương quan m X σk2 cos λk h K(h) = k=1 Khi dễ thấy độ đo phổ µ độ đo rời rạc tập trung điểm ±λk với khối lượng σ2 µ{−λk } = µ{λk } = k 92 Chương Quá trình dừng Ví dụ 2.11 (Mật độ phổ dãy ồn trắng.) Nếu Wn dãy ồn trắng với tham số σ từ cơng thức (2.8) biểu thức hàm tự tương quan ( xem ví dụ 2.1) ta suy mật độ phổ f (x) = σ2 2π Đó hàm số Ví dụ 2.12 (Mật độ phổ dãy MA(1).) Giả sử (Xn ) dãy MA(1) xác định sau Xn = Wn + rWn−1 r số thực Từ công thức (2.8) biểu thức hàm tự tương quan ( xem ví dụ 2.5) ta suy mật độ phổ σ2 (1 + r2 + r(e−ix + eix )) 2π σ2 (1 + 2r cos x + r2 ) = 2π f (x) = Ví dụ 2.13 (Mật độ phổ dãy AR(1).) Giả sử (Xn ) dãy AR(1) thoả mãn phương trình sai phân sau Xn = pXn−1 + Wn p số |p| < Từ công thức (2.8) biểu thức hàm tự tương quan (xem ví dụ 2.5) ta suy mật độ phổ σ2 f (x) = − p2 1+  1+ ∞ X ph (e−ihx + eihx ) ! h=1 pe−ix peix σ + = − p2 − peix − pe−ix σ2 = (1 − 2p cos x + p2 )−1 2π  2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 93 Định lý 2.14 Cho (Xn ) dãy dừng với trung bình khơng hàm mật độ phổ fX (x) Cho dãy số thực (hk ) thoả mãn X |hk | < ∞ k∈Z Khi chuỗi Yn = X hi Yn−i i∈Z hội tụ hầu chắn hội tụ bptb dãy (Yn ) dãy dừng với trung bình khơng có mật độ phổ fY (x) = |H(e−ix )|2 fX (x) = H(e−ix )H(eix )fX (x) H(z) = P k∈Z hk z k Chứng minh Theo định lý 2.6 dãy (Yn ) dãy dừng với trung bình khơng hàm tự tương quan KY (h) = X hk hj KX (h + k − j) k∈Z Vì Xn có mật độ phổ fX (x) nên ta có Z π ei(h+k−j)x fX (x)dx KX (h + k − j) = −π Thay vào ta KY (h) = X hj hk = π −π π ei(h+k−j)x fX (x)dx −π j,k∈Z Z Z X hj e−ijx j∈Z ! X k∈Z hk eikx ! Z π X ihx −ijx ... A gọi độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn a) Với A ∈ A ta có E|Z(A)|2 < ∞ b) Với hai tập A1 , A2 ∈ A rời A1 ∩ A2 = ∅ Z(A1 ∪ A2) = Z(A1) + Z(A2 ) (P − h.c.c) Độ đo ngẫu nhiên cộng tính hữu hạn... α2 ) f (x) = 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 2.1.4 95 Biểu diễn phổ Trong mục chứng minh định lý dãy dừng gọi định lý biểu diễn phổ Ta cần công cụ mới: Tích phân độ đo ngẫu nhiên gia số trực...2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 85 Tiếp theo dựa vào biểu diễn trung bình trượt ta tìm hàm tự tương quan (Xn ) Nhân hai