Ta hãy xét ví dụ sau đây dẫn tới khái niệm tính ergodic.
Giả sử các số liệu mưa đo được ở các thời diểmn = 0,1,2, ... tại một số lớn các trạm quan sátH0, H1, ..., Hm, .... Giả sửxij là lượng mưa đo được tại thời điểmi tại trạm Hj. Ta cần phải tính lượng mưa trung bình. Giả sử các đặc trưng thống kê về lượng mưa tại các trạm quan sát là như nhau.
Để xác định lượng mưa trung bình nhà khoa học A làm như sau. Lấy số liệu mưa tại một số lớn các trạm tại cùng một thời điểm chẳng hạn tại n trạmH0, H1, ..., Hn−1 tại thời điểmn =i rồi lấy trung bình kết quả
xi0+xi1+· · ·+xi,n−1
n .
Nhà khoa học B đề nghị một phương pháp khác đơn giản hơn nhiều: Đi tới một trạm nào đó, chẳng hạn trạm Hj và tính luợng mưa trung bình đo được của trạm đó theo thời gian
x0j+x1j+· · ·+xn−1,j
n .
Liệu phuơng pháp của các nhà khoa học A và B có cho ta xác định đúng đắn luợng mưa trung bình?
Goị Xn là lượng mưa tại thời điểm n. (Xn) là một quá trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc. Một dãy số liệu mưa đo được ở trạm Hj : ω : (x0j, x1j, ...., xnj, ...)là một thể hiện của quá trình (Xn). Các số liệu mưa tại các trạm quan sát H0, ..., Hm tại thời điểm i nào đó cho ta một mẫu quan sát độc lập của ĐLNNXi : (xi0, xi1, ...., xim).
Về mặt toán học nhà khoa học A tính trung bình tập hợp tại một thời điểm cụ thể(n=i)
Y0+Y1 +· · ·+Yn−1
n
trong đó (Yj) là dãy các ĐLNN độc lập cùng phân bố vớiXi. Trong khi đó nhà khoa học B tính trung bình theo thời gian
X0(ω) +X1(ω) +· · ·+Xn−1(ω)
đối với một thể hiện ω= (x00, x10, ...., xn0, ...).
Giả sử (Xn) là một quá trình dừng mạnh. Khi đó (Xn)có cùng phân bố và EXn =m. Theo luật số lớn ta có
Y0+Y1+· · ·+Yn−1
n →m (n → ∞)
do đó kết quả của nhà khoa học A cho một số xấp xỉ m. Vậy cách làm của A là đúng đắn và có cơ sở khoa học bởi luật số lớn. Song việc làm này đòi hỏi nhiều công sức, tốn kém vì phải xây dựng nhiều trạm đo mưa.
Muốn cho kết quả của nhà khoa học B cũng xấp xỉ m khi n khá lớn thì về mặt toán học ta phải có
X0(ω) +X1(ω) +· · ·+Xn−1(ω)
n →m (n→ ∞)
với hầu hết thể hiệnω.
Giả thiết trung bình theo tập hợp và trung bình theo thời gian là trùng nhau ( khin→ ∞) được gọi là giả thuyết ergodic. Đáng tiếc rằng giả thiết này không phải luôn luôn đúng như một số các nhà vật lý đầu thế kỷ 20 tin tưởng. Vào khoảng năm 1931 hai nhà toán học G.D.Birkhoff và A.Ia. Khinchin đã chứng minh rằng trung bình theo thời gian luôn tồn tại khi
n→ ∞ và chỉ ra các điều kiện để nó trùng với trung bình theo tập hợp.
Định lý 2.22. Giả sử (Xn) là quá trình dừng. Khi đó tồn tại giới hạn
1 n n−1 X k=0 Xk →Xˆ
theo nghĩa bình phưong trung bình. Nói riêng
1 n n−1 X k=0 Xk
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});