1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Đồ thị và các thuật toán - Chương 7 pps

23 258 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 454,32 KB

Nội dung

http://www.ebook.edu.vn Chu . o . ng 7 Ma . ng vˆa . n ta ˙’ i 7.1 Mo . ˙’ d¯ˆa ` u Mˆo . t trong nh˜u . ng b`ai to´an l´y th´u v`a quan tro . ng cu ˙’ a l´y thuyˆe ´ t d¯ˆo ` thi . l`a x´ac d¯i . nh gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t cu ˙’ a luˆo ` ng d¯u . o . . c truyˆe ` n t`u . mˆo . t d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n s cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯ˆe ´ n mˆo . t d¯ı ˙’ nh d¯´ıch t. Trong khung ca ˙’ nh d¯´o, mˆo ˜ i cung (v i , v j ) cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G d¯u . o . . c gˇa ´ n v´o . i mˆo . t kha ˙’ nˇang thˆong qua q ij l`a sˆo ´ lu . o . . ng luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ ta ˙’ i qua cung n`ay. B`ai to´an n`ay v`a nh˜u . ng ca ˙’ i biˆen cu ˙’ a n´o c´o rˆa ´ t nhiˆe ` u ´u . ng du . ng trong thu . . c tˆe ´ , chˇa ˙’ ng ha . n, x´ac d¯i . nh mˆa . t d¯ˆo . giao thˆong l´o . n nhˆa ´ t gi˜u . a hai v`ung trong ba ˙’ n d¯ˆo ` giao thˆong d¯u . o . . c biˆe ˙’ u diˆe ˜ n bo . ˙’ i mˆo . t d¯ˆo ` thi . . Trong v´ı du . n`ay, l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c˜ung chı ˙’ ra nh˜u . ng no . i “ba ˙’ o ho`a” trˆen ma . ng giao thˆong v`a ta . o mˆo . t “tˇa ´ c ngh˜en” khi luˆo ` ng tˆa . p trung v`ao gi˜u . a hai vi . tr´ı n`ao d¯´o. Phu . o . ng ph´ap gia ˙’ i b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t d¯u . a ra lˆa ` n d¯ˆa ` u tiˆen bo . ˙’ i Ford v`a Fulkerson [27] v`a k˜y thuˆa . t “g´an nh˜an” cu ˙’ a ho . l`a co . so . ˙’ cho nh˜u . ng thuˆa . t to´an kh´ac gia ˙’ i quyˆe ´ t nh˜u . ng vˆa ´ n d¯ˆe ` liˆen quan. C´o mˆo . t sˆo ´ ca ˙’ i biˆen cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t: 1. Gia ˙’ su . ˙’ rˇa ` ng mˆo ˜ i cung cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . khˆong chı ˙’ d¯u . o . . c gˇa ´ n v´o . i kha ˙’ nˇang q ij cho biˆe ´ t cˆa . n trˆen cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) m`a c`on “kha ˙’ nˇang” r ij cho cˆa . n du . ´o . i cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen cung n`ay. Trong tru . `o . ng ho . . p nhu . vˆa . y, khˆong pha ˙’ i l´uc n`ao mˆo . t tˆa . p chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c c´ac gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng c˜ung thoa ˙’ m˜an c`ung l´uc hai r`ang buˆo . c n`ay. Tuy nhiˆen-n´oi chung-nhiˆe ` u luˆo ` ng thoa ˙’ d¯iˆe ` u kiˆe . n n`ay, v`a nˆe ´ u ngo`ai c´ac kha ˙’ nˇang c`on c´o c´ac chi ph´ı c ij tu . o . ng ´u . ng mˆo . t d¯o . n vi . luˆo ` ng do . c theo c´ac cung, th`ı b`ai to´an tro . ˙’ th`anh t`ım luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c v´o . i chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t. 2. X´et tru . `o . ng ho . . p d¯`oi ho ˙’ i luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t gi˜u . a mo . i cˇa . p d¯ı ˙’ nh. Mˇa . c d`u b`ai to´an n`ay c´o thˆe ˙’ gia ˙’ i bˇa ` ng n(n − 1)/2 lˆa ` n lˇa . p c´ac b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t nhu . ng c´ach l`am n`ay qu´a thˆo! Tu . o . ng tu . . v´o . i t`ım tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t, o . ˙’ d¯ˆay c˜ung cˆa ` n 173 http://www.ebook.edu.vn mˆo . t thuˆa . t to´an chuyˆen du . ng d¯ˆe ˙’ gia ˙’ i n´o-v`a trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng, phu . o . ng ph´ap gia ˙’ i quyˆe ´ t n´o khˆong liˆen quan d¯ˆe ´ n l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh s v`a t. 3. Nˆe ´ u thay cho mˆo . t d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n v`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh d¯´ıch, ta kha ˙’ o s´at mˆo . t sˆo ´ nguˆo ` n v`a mˆo . t sˆo ´ d¯´ıch, v´o . i c´ac h`ang ho´a kh´ac nhau gi˜u . a hai tˆo ˙’ ho . . p nguˆo ` n-d¯´ıch kh´ac nhau, th`ı b`ai to´an cu . . c d¯a . i tˆo ˙’ ng sˆo ´ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac luˆo ` ng t`u . c´ac nguˆo ` n d¯ˆe ´ n c´ac d¯´ıch l`a b`ai to´an luˆo ` ng d¯a-h`ang ho´a. Trong b`ai to´an n`ay, kha ˙’ nˇang q ij cu ˙’ a cung (v i , v j ) l`a cˆa . n trˆen cu ˙’ a tˆo ˙’ ng c´ac luˆo ` ng v´o . i c´ac loa . i h`ang ho´a trˆen cung d¯´o. 4. Gia ˙’ thiˆe ´ t (ˆa ˙’ n) trong tˆa ´ t ca ˙’ c´ac tru . `o . ng ho . . p trˆen l`a sˆo ´ lu . o . . ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n bˇa ` ng sˆo ´ lu . o . . ng luˆo ` ng ra. Nˆe ´ u ta bo ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t n`ay v`a x´et tru . `o . ng ho . . p luˆo ` ng ra kho ˙’ i mˆo . t cung bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n nhˆan v´o . i mˆo . t sˆo ´ nguyˆen khˆong ˆam n`ao d¯´o, th`ı b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t (t`u . s d¯ˆe ´ n t) d¯u . o . . c xem nhu . b`ai to´an trong c´ac d¯ˆo ` thi . v´o . i c´ac lo . . i nhuˆa . n. Trong da . ng n`ay, c´ac luˆo ` ng c´o thˆe ˙’ “d¯u . o . . c sinh ra” hoˇa . c “bi . hˆa ´ p thu . ” bo . ˙’ i d¯ˆo ` thi . , v`a do vˆa . y luˆo ` ng v`ao s v`a luˆo ` ng ra kho ˙’ i t c´o thˆe ˙’ thay d¯ˆo ˙’ i ho`an to`an d¯ˆo . c lˆa . p. C´ac b`ai to´an vˆe ` luˆo ` ng d¯u . o . . c nghiˆen c´u . u nhiˆe ` u v`a c´o nh˜u . ng ´u . ng du . ng thu . . c tiˆe ˜ n. Mu . c d¯´ıch cu ˙’ a chu . o . ng n`ay tr`ınh b`ay ngˇa ´ n go . n c´ac b`ai to´an thu . `o . ng gˇa . p, chı ˙’ ra mˆo ´ i liˆen hˆe . gi˜u . a ch´ung v`a xˆay du . . ng mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an gia ˙’ i quyˆe ´ t. Chu . o . ng n`ay s˜e tha ˙’ o luˆa . n b`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t v`a c´ac tˆo ˙’ ng qu´at ho´a cu ˙’ a n´o (1), (2), (3) v`a (4) trˆen. Do c´ac thuˆa . t to´an gia ˙’ i b`ai to´an luˆo ` ng d¯a-h`ang ho´a rˆa ´ t kh´ac biˆe . t vˆe ` ba ˙’ n chˆa ´ t, v`a khˆong pha ˙’ i d¯ˆe ` u hiˆe . u qua ˙’ nhu . phu . o . ng ph´ap g´an nh˜an, nˆen s˜e khˆong d¯u . o . . c d¯ˆe ` cˆa . p o . ˙’ d¯ˆay. Ba . n d¯o . c quan tˆam c´o thˆe ˙’ xem [30] v`a c´ac t`ai liˆe . u dˆa ˜ n k`em theo. 7.2 B`ai to´an luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t Luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G l`a mˆo . t luˆo ` ng v´o . i gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. N´oi chung c´o mˆo . t v`ai luˆo ` ng v´o . i c`ung gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. Phˆa ` n n`ay tr`ınh b`ay thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. ´ Y tu . o . ˙’ ng cu ˙’ a thuˆa . t to´an l`a: kho . ˙’ i d¯ˆa ` u v´o . i luˆo ` ng n`ao d¯´o v`a tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng cho d¯ˆe ´ n khi khˆong thˆe ˙’ tˇang d¯u . o . . c n˜u . a. Kˆe ´ t qua ˙’ ta c´o luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t. V´ı du . 7.2.1 D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng trong H`ınh 7.1 biˆe ˙’ u diˆe ˜ n so . d¯ˆo ` ma . ng dˆa ˜ n dˆa ` u. Dˆa ` u d¯u . o . . c dˆa ˜ n t`u . t`au s v`a d¯u . o . . c bo . m thˆong qua ma . ng d¯ˆe ´ n nh`a m´ay lo . c dˆa ` u t. C´ac d¯ı ˙’ nh b, c, d v`a e l`a c´ac tra . m bo . m trung gian. C´ac cung biˆe ˙’ u thi . c´ac ˆo ´ ng dˆa ˜ n dˆa ` u v`a hu . ´o . ng di chuyˆe ˙’ n cu ˙’ a hˆe . thˆo ´ ng. C´ac nh˜an trˆen c´ac cung l`a kha ˙’ nˇang thˆong qua tˆo ´ i d¯a cu ˙’ a ˆo ´ ng dˆa ˜ n. B`ai to´an d¯ˇa . t ra l`a t`ım c´ach chuyˆe ˙’ n nhiˆe ` u nhˆa ´ t lu . o . . ng dˆa ` u t`u . t`au d¯ˆe ´ n nh`a m´ay v`a t´ınh gi´a tri . n`ay. H`ınh 7.1 l`a mˆo . t v´ı du . cu ˙’ a mˆo . t “ma . ng vˆa . n ta ˙’ i”. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o: 174 http://www.ebook.edu.vn s t b c d e • • • • • • 3 5 2 2 2 4 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 7.1: V´ı du . vˆe ` ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. D - i . nh ngh˜ıa 7.2.2 Ma . ng vˆa . n ta ˙’ i l`a mˆo . t d¯o . n d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, c´o tro . ng sˆo ´ G sao cho (a) c´o mˆo . t v`a chı ˙’ mˆo . t d¯ı ˙’ nh s, go . i l`a d¯ı ˙’ nh v`ao (hoˇa . c d¯ı ˙’ nh nguˆo ` n) cu ˙’ a ma . ng, khˆong c´o cung d¯ˆe ´ n n´o. (b) c´o mˆo . t v`a chı ˙’ mˆo . t d¯ı ˙’ nh t, go . i l`a d¯ı ˙’ nh ra (hoˇa . c d¯ı ˙’ nh d¯´ıch) cu ˙’ a ma . ng, khˆong c´o cung d¯i ra kho ˙’ i n´o. (c) mˆo ˜ i cung u := (v i , v j ) ∈ E d¯u . o . . c g´an mˆo . t sˆo ´ nguyˆen khˆong ˆam q ij , go . i l`a kha ˙’ nˇang cu ˙’ a cung u. (d) d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach bo ˙’ d¯i c´ac hu . ´o . ng l`a liˆen thˆong. V´ı du . 7.2.3 D - ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng trong H`ınh 7.1 l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. Lˆo ´ i v`ao l`a d¯ı ˙’ nh s v`a lˆo ´ i ra l`a d¯ı ˙’ nh t. Kha ˙’ nˇang cung (s, b) l`a q sb = 3 v`a cu ˙’ a cung (b, c) l`a q bc = 2. Trong chu . o . ng n`ay, nˆe ´ u G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i ch´ung ta s˜e k´y hiˆe . u d¯ı ˙’ nh v`ao l`a s v`a d¯ı ˙’ nh ra l`a t. D - i . nh ngh˜ıa 7.2.4 Gia ˙’ su . ˙’ G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i v´o . i kha ˙’ nˇang cung (v i , v j ) l`a q ij . Luˆo ` ng (chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c) F trong G g´an mˆo ˜ i cung (v i , v j ) mˆo . t sˆo ´ khˆong ˆam f ij sao cho (a) 0 ≤ f ij ≤ q ij ; v`a (b) v´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v j = s, t, ta c´o  i f ij =  i f ji . (7.1) 175 http://www.ebook.edu.vn (Tˆo ˙’ ng trong (7.1) lˆa ´ y trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac gi´a tri . i; nˆe ´ u khˆong c´o cung (v i , v j ), ta d¯ˇa . t f ij = 0). Ta n´oi f ij l`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ). V´o . i mˆo ˜ i j, ta go . i  i f ij l`a luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh v j v`a  i f ij l`a luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh v j . D - iˆe ` u kiˆe . n (7.1) go . i l`a ba ˙’ o to`an luˆo ` ng. Trong v´ı du . dˆa ˜ n dˆa ` u cu ˙’ a H`ınh 7.1, ba ˙’ o to`an luˆo ` ng c´o ngh˜ıa dˆa ` u khˆong d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng v`a c˜ung khˆong d¯u . o . . c cˆa ´ p thˆem ta . i c´ac tra . m bo . m b, c, d v`a e. V´ı du . 7.2.5 C´ac ph´ep g´an f sb = 2, f bc = 2, f cz = 3, f sd = 3, f dc = 1, f de = 2, f ez = 2, x´ac d¯i . nh luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i cu ˙’ a H`ınh 7.1. Chˇa ˙’ ng ha . n, luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh d l`a f sd = 2, bˇa ` ng luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh d : f dc + f de = 1 + 2 = 3. Luˆo ` ng F d¯u . o . . c v˜e trong H`ınh 7.2, trong d¯´o cung e d¯u . o . . c g´an nh˜an x, y nˆe ´ u kha ˙’ nˇang cu ˙’ a e l`a x v`a luˆo ` ng trˆen e l`a y. s t b c d e • • • • • • 3, 2 5, 3 2, 2 2, 1 2, 2 4, 3 4, 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 7.2: Luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i cu ˙’ a H`ınh 7.1. 176 http://www.ebook.edu.vn Ch´u ´y rˇa ` ng trong v´ı du . n`ay, luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh s l`a f sb + f sd bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t : f ct + f et v`a bˇa ` ng 5. Thˆa . t vˆa . y, ta c´o D - i . nh l´y 7.2.6 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G := (V, E). Khi d¯´o luˆo ` ng ra kho ˙’ i d¯ı ˙’ nh s bˇa ` ng luˆo ` ng d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh t; t´u . c l`a  i f si =  i f it . Ch´u . ng minh. Ta c´o  j∈V   i∈V f ij  =  j∈V   i∈V f ji  do mˆo ˜ i vˆe ´ bˇa ` ng  e∈E f e . V`ı vˆa . y 0 =  j∈V (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) = (  i∈V f it −  i∈V f ti ) + (  i∈V f is −  i∈V f si ) +  j∈V,j=s,t (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) =  i∈V f it −  i∈V f si do f ti = 0 = f is v´o . i mo . i v i ∈ V, v`a (7.1). D - i . nh ngh˜ıa 7.2.7 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G. D - a . i lu . o . . ng  i f si =  i f it go . i l`a gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng F. B`ai to´an trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G c´o thˆe ˙’ ph´at biˆe ˙’ u: B`ai to´an 7.2.8 T`ım mˆo . t luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c l´o . n nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . G; t´u . c l`a trong sˆo ´ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac luˆo ` ng trˆen G, t`ım luˆo ` ng F c´o gi´a tri . l´o . n nhˆa ´ t. Thuˆa . t to´an g´an nh˜an cu ˙’ a Ford v`a Fulkerson [27] gia ˙’ i b`ai to´an n`ay du . . a trˆen D - i . nh l´y 7.2.10. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o mˆo . t sˆo ´ kh´ai niˆe . m 177 http://www.ebook.edu.vn D - i . nh ngh˜ıa 7.2.9 Nˆe ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G = (V, E) d¯u . o . . c phˆan hoa . ch th`anh hai tˆa . p con V 0 v`a ˜ V 0 (trong d¯´o V 0 ⊂ V v`a ˜ V 0 l`a phˆa ` n b`u cu ˙’ a V 0 trong V ), th`ı tˆa . p c´ac cung cu ˙’ a G v´o . i d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at thuˆo . c V 0 v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc thuˆo . c ˜ V 0 go . i l`a thiˆe ´ t diˆe . n cu ˙’ a G. Tˆa . p c´ac cung cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n thu . `o . ng d¯u . o . . c k´y hiˆe . u bo . ˙’ i (V 0 → ˜ V 0 ). Gia ˙’ su . ˙’ G l`a ma . ng vˆa . n ta ˙’ i. Thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ) t´ach s kho ˙’ i t nˆe ´ u s ∈ V 0 v`a t ∈ ˜ V 0 . Kha ˙’ nˇang thˆong qua hay gi´a tri . cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n l`a tˆo ˙’ ng cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kha ˙’ nˇang cu ˙’ a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung cu ˙’ a G v´o . i d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at thuˆo . c V 0 v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc thuˆo . c ˜ V 0 ; t´u . c l`a v(V 0 → ˜ V 0 ) :=  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) q ij . Thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t l`a thiˆe ´ t diˆe . n c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t. D - i . nh l´y 7.2.10 (D - i . nh l´y thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t-luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t) Gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t (V m → ˜ V m ) t´ach s kho ˙’ i t. Ch´u . ng minh. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng, luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t khˆong thˆe ˙’ l´o . n ho . n v(V m → ˜ V m ) do tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t d¯ˆe ` u su . ˙’ du . ng ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t cung cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n n`ay. Do d¯´o chı ˙’ cˆa ` n ch´u . ng minh rˇa ` ng tˆo ` n ta . i mˆo . t luˆo ` ng d¯a . t gi´a tri . n`ay. Ta xem luˆo ` ng d¯˜a cho F tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t vector m chiˆe ` u v`a d¯i . nh ngh˜ıa thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ) bˇa ` ng d¯ˆe . quy theo thu ˙’ tu . c sau: 1. Kho . ˙’ i ta . o, d¯ˇa . t V 0 = {s}. 2. Nˆe ´ u v i ∈ V 0 , v`a hoˇa . c f ij < q ij hoˇa . c f ij > 0 th`ı d¯ˇa . t v j v`ao trong tˆa . p V 0 . 3. Lˇa . p la . i Bu . ´o . c 2 cho d¯ˆe ´ n khi khˆong thˆe ˙’ thˆem d¯ı ˙’ nh n`ao v`ao V 0 . C´o hai tru . `o . ng ho . . p xa ˙’ y ra: hoˇa . c t ∈ V 0 hoˇa . c t /∈ V 0 . Tru . `o . ng ho . . p 1. t ∈ V 0 . Theo Bu . ´o . c 2 trˆen, tˆo ` n ta . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n t`u . s d¯ˆe ´ n t sao cho mo . i cung (v i , v j ) d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng bo . ˙’ i dˆay chuyˆe ` n theo hu . ´o . ng thuˆa . n (c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n) thoa ˙’ f ij < q ij v`a c´ac cung (v k , v l ) d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c, t´u . c l`a hu . ´o . ng t`u . v l d¯ˆe ´ n v k thoa ˙’ f lk > 0. Dˆay chuyˆe ` n n`ay go . i l`a dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh. D - ˇa . t δ f = min (v i ,v j ) [q ij − f ij ]; (v i , v j ) thuˆa . n hu . ´o . ng, δ b = min (v k ,v i ) [f kl ]; (v k , v l ) ngu . o . . c hu . ´o . ng 178 http://www.ebook.edu.vn v`a δ = min[δ f , δ b ]. Nˆe ´ u ta cˆo . ng thˆem δ v`ao luˆo ` ng trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n v`a tr`u . d¯i δ trˆen tˆa ´ t ca ˙’ c´ac cung d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c trong dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh th`ı luˆo ` ng thu d¯u . o . . c vˆa ` n l`a luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c c´o gi´a tri . nho ˙’ ho . n luˆo ` ng ban d¯ˆa ` u mˆo . t lu . o . . ng δ. D - iˆe ` u n`ay l`a hiˆe ˙’ n nhiˆen v`ı thˆem mˆo . t lu . o . . ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe ` u thuˆa . n khˆong vu . o . . t qu´a kha ˙’ nˇang cu ˙’ a c´ac cung n`ay (do δ < δ f ) v`a tr`u . d¯i mˆo . t lu . o . . ng δ v`ao c´ac cung theo chiˆe ` u ngu . o . . c th`ı luˆo ` ng vˆa ˜ n khˆong ˆam (do δ < δ b ). ´ Ap du . ng la . i v´o . i luˆo ` ng m´o . i theo c´ac Bu . ´o . c 1-3 trˆen ta la . i thu d¯u . o . . c mˆo . t thiˆe ´ t diˆe . n m´o . i (V 0 → ˜ V 0 ). Tru . `o . ng ho . . p 2. t /∈ V 0 . Theo Bu . ´o . c 2, f ij = q ij v´o . i mo . i cung (v i , v j ) ∈ (V 0 → ˜ V 0 ) v`a f kl = 0 v´o . i mo . i cung (v k , v l ) ∈ ( ˜ V 0 → V 0 ). Do d¯´o  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) f ij =  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) q ij v`a  (v k ,v l )∈( ˜ V 0 →V 0 ) f kl = 0; t´u . c l`a gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng bˇa ` ng  (v i ,v j )∈(V 0 → ˜ V 0 ) f ij −  (v k ,v l )∈( ˜ V 0 →V 0 ) f kl v`a bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n (V 0 → ˜ V 0 ). Do Tru . `o . ng ho . . p 1, luˆo ` ng tˇang ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t d¯o . n vi . , nˆen nˆe ´ u gia ˙’ thiˆe ´ t tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kha ˙’ nˇang q ij l`a nh˜u . ng sˆo ´ nguyˆen th`ı luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ nhˆa . n d¯u . o . . c sau mˆo . t sˆo ´ h˜u . u ha . n bu . ´o . c khi Tru . `o . ng ho . . p 2 xa ˙’ y ra. Luˆo ` ng n`ay c´o gi´a tri . bˇa ` ng kha ˙’ nˇang thˆong qua cu ˙’ a thiˆe ´ t diˆe . n hiˆe . n h`anh (V 0 → ˜ V 0 ) nˆen l`a luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t v`a thiˆe ´ t diˆe . n tu . o . ng ´u . ng c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t.  Phu . o . ng ph´ap xˆay du . . ng d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ ch´u . ng minh d¯i . nh l´y trˆen cho ch´ung ta thuˆa . t to´an d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t t`u . s d¯ˆe ´ n t. Thuˆa . t to´an n`ay s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay du . ´o . i d¯ˆay. Xuˆa ´ t ph´at t`u . luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c tu`y ´y (c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng luˆo ` ng c´o gi´a tri . bˇa ` ng khˆong) v`a sau d¯´o tˇang luˆo ` ng bˇa ` ng c´ach t`ım c´ac dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t. Viˆe . c t`ım 179 http://www.ebook.edu.vn mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng d¯u . o . . c thu . . c hiˆe . n bˇa ` ng c´ach g´an nh˜an. Khi t`ım d¯u . o . . c mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng, ta s˜e tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng. Sau d¯´o xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nh˜an v`a luˆo ` ng m´o . i d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng d¯ˆe ˙’ g´an nh˜an la . i. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng th`ı thuˆa . t to´an kˆe ´ t th´uc, luˆo ` ng chˆa ´ p nhˆa . n d¯u . o . . c l`a l´o . n nhˆa ´ t. Thuˆa . t to´an cu . thˆe ˙’ nhu . sau: 7.2.1 Thuˆa . t to´an g´an nh˜an d¯ˆe ˙’ t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t A. Qu´a tr`ınh g´an nh˜an Mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh chı ˙’ c´o thˆe ˙’ c´o mˆo . t trong ba kha ˙’ nˇang: 1. d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra (t´u . c l`a n´o d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c v´o . i n´o d¯˜a d¯u . o . . c xu . ˙’ l´y); hoˇa . c 2. d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra (t´u . c l`a n´o d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a tˆo ` n ta . i d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c v´o . i n´o chu . a d¯u . o . . c xu . ˙’ l´y); hoˇa . c 3. chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an. Nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i gˆo ` m hai th`anh phˆa ` n v`a c´o mˆo . t trong hai da . ng hoˇa . c (+v j , δ) hoˇa . c (−v j , δ). Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆa ` u, c´o thˆe ˙’ tˇang luˆo ` ng do . c theo cung (v i , v j ); trong tru . `o . ng ho . . p th´u . hai, c´o thˆe ˙’ gia ˙’ m luˆo ` ng do . c theo cung (v i , v j ). D - a . i lu . o . . ng δ trong ca ˙’ hai tru . `o . ng ho . . p l`a lu . o . . ng h`ang nhiˆe ` u nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ thˆem hoˇa . c b´o . t gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen c´ac cung thuˆo . c dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh (trong qu´a tr`ınh xˆay du . . ng) t`u . s d¯ˆe ´ n v i . Nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i cho ph´ep x´ac d¯i . nh dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n v i . Kho . ˙’ i ta . o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a f ij = 0 v´o . i mo . i cung (v i , v j ) ∈ E. 1. G´an nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh s l`a (+s, δ(s) = ∞). D - ı ˙’ nh s d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra; tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh kh´ac chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an. 2. Cho . n d¯ı ˙’ nh v i ∈ V d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra. Nˆe ´ u khˆong tˆo ` n ta . i, thuˆa . t to´an d`u . ng, luˆo ` ng F = (f ij ) l`a l´o . n nhˆa ´ t. Ngu . o . . c la . i, gia ˙’ su . ˙’ (±v k , δ(v i )) l`a nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh v i . • G´an nh˜an (+v i , δ(v j )) cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh v j ∈ Γ(v i ) chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an sao cho f ij < q ij , trong d¯´o δ(v j ) := min{δ(v i ), q ij − f ij }. 180 http://www.ebook.edu.vn • G´an nh˜an (−v i , δ(v j )) cho tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh v j ∈ Γ −1 (v i ) chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an sao cho f ji > 0, trong d¯´o δ(v j ) := min{δ(v i ), f ji }. (D - ı ˙’ nh v i d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a d¯˜a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra; c´ac d¯ı ˙’ nh v j x´ac d¯i . nh trˆen d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a chu . a d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra). 3. Nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh t d¯u . o . . c g´an nh˜an, chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 4; ngu . o . . c la . i chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 2. Cˆa ` n ch´u ´y rˇa ` ng, nˆe ´ u V 0 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh d¯˜a d¯u . o . . c g´an nh˜an v`a ˜ V 0 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh chu . a d¯u . o . . c g´an nh˜an th`ı (V 0 → ˜ V 0 ) l`a thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t. B. Qu´a tr`ınh tˇang luˆo ` ng 4. D - ˇa . t c = t v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 5. • Nˆe ´ u nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh c c´o da . ng (+z, δ(c)) th`ı thay luˆo ` ng trˆen cung (z, c) l`a f zc bo . ˙’ i f zc + δ(t); • Nˆe ´ u nh˜an cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh c c´o da . ng (−z, δ(c)) th`ı thay luˆo ` ng trˆen cung (x, z) l`a f cz bo . ˙’ i f cz − δ(t); 5. Nˆe ´ u z = s th`ı xo´a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac nh˜an t`u . c´ac d¯ı ˙’ nh v`a chuyˆe ˙’ n sang Bu . ´o . c 1; ngu . o . . c la . i (t´u . c l`a z = c) d¯ˇa . t c = z v`a tro . ˙’ la . i Bu . ´o . c 5. 7.2.2 D - ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng Qu´a tr`ınh t`ım mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯ˆe ˙’ tˇang gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng F trong d¯ˆo ` thi . G = (V, E) c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t trˆen d¯ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng G µ (F ) = (V µ , E µ ), V µ = V, E µ = E µ 1 ∪ E µ 2 , trong d¯´o E µ 1 := {(v µ i , v µ j ) | f ij < q ij , (v i , v j ) ∈ E}, v´o . i kha ˙’ nˇang cu ˙’ a mˆo ˜ i cung (v µ i , v µ j ) ∈ E µ 1 l`a q µ ij = q ij − f ij , v`a E µ 2 := {(v µ j , v µ i ) | f ij > 0, (v i , v j ) ∈ E} v´o . i kha ˙’ nˇang cu ˙’ a mˆo ˜ i cung (v µ j , v µ i ) ∈ E µ 2 l`a q µ ji = f ij . Khi d¯´o thu ˙’ tu . c g´an nh˜an cu ˙’ a thuˆa . t to´an t`ım luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t trong Phˆa ` n 7.2.1 ch´ınh l`a thuˆa . t to´an x´ac d¯i . nh tˆa . p pha . m vi R(s) trong d¯ˆo ` thi . d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng G µ (F ). Nˆe ´ u t ∈ R(s), t´u . c l`a nˆe ´ u d¯ı ˙’ nh t d¯u . o . . c g´an nh˜an, th`ı c´o thˆe ˙’ x´ac d¯i . nh mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t `u . s d¯ˆe ´ n t trong d¯ˆo ` thi . G µ (F ). Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, dˆay chuyˆe ` n d¯iˆe ` u chı ˙’ nh luˆo ` ng cu ˙’ a G l`a d¯u . `o . ng d¯i P m`a c´ac cung cu ˙’ a P thuˆo . c E µ 1 tu . o . ng ´u . ng cung d¯i . nh hu . ´o . ng thuˆa . n v`a c´ac cung cu ˙’ a P thuˆo . c E µ 2 d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng ngu . o . . c. 181 http://www.ebook.edu.vn 7.2.3 Phˆan t´ıch luˆo ` ng Trong mˆo . t sˆo ´ tru . `o . ng ho . . p ta muˆo ´ n phˆan t´ıch mˆo . t luˆo ` ng ph´u . c ta . p th`anh tˆo ˙’ ng cu ˙’ a nh˜u . ng luˆo ` ng d¯o . n gia ˙’ n ho . n. D - iˆe ` u n`ay khˆong nh˜u . ng c´o ´y ngh˜ıa thu . . c tiˆe ˜ n m`a c`on g´op phˆa ` n hiˆe ˙’ u tˆo ´ t ho . n ba ˙’ n chˆa ´ t cu ˙’ a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i, v`a ngo`ai ra phu . c vu . mˆo . t sˆo ´ thuˆa . t to´an vˆe ` luˆo ` ng. K´y hiˆe . u h◦ (S) l`a luˆo ` ng trong d¯ˆo ` thi . G m`a c´ac cung (v i , v j ) ∈ S c´o f ij = h v`a c´ac cung (v i , v j ) /∈ S c´o f ij = 0. Ch´u ´y rˇa ` ng h ◦ (S) khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t l`a mˆo . t luˆo ` ng v´o . i tˆa . p S tu`y ´y. Hiˆe ˙’ n nhiˆen rˇa ` ng h ◦ (S) l`a mˆo . t luˆo ` ng th`ı tˆa . p S c´ac cung hoˇa . c ta . o th`anh mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i t`u . s d¯ˆe ´ n t hoˇa . c l`a mˆo . t ma . ch trong G. V´o . i hai luˆo ` ng F v`a H ta k´y hiˆe . u F + H l`a luˆo ` ng m`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) l`a f ij + h ij . D - i . nh l´y 7.2.11 Nˆe ´ u F l`a luˆo ` ng t`u . s d¯ˆe ´ n t c´o gi´a tri . nguyˆen v trong G th`ı F c´o thˆe ˙’ phˆan t´ıch th`anh F = 1 ◦ (P 1 ) + 1 ◦ (P 2 ) + · · · + 1 ◦ (P v ) + 1 ◦ (Φ 1 ) + 1 ◦ (Φ 2 ) + · · · + 1 ◦ (Φ κ ), trong d¯´o P 1 , P 2 , P v l`a c´ac d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s d¯ˆe ´ n t v`a Φ 1 , Φ 2 , . . . , Φ κ l`a c´ac ma . ch so . cˆa ´ p cu ˙’ a G. (P i v`a Φ i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t phˆan biˆe . t). Ch´u . ng minh. T`u . G = (V, E) v´o . i luˆo ` ng F cho tru . ´o . c ta xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . unitary G e = (V e , E e ) nhu . sau: Tˆa . p V e c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G e ch´ınh l`a tˆa . p V c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G. Nˆe ´ u f ij l`a luˆo ` ng trˆen cung (v i , v j ) cu ˙’ a G th`ı ta thay bˇa ` ng f ij cung song song gi˜u . a c´ac d¯ı ˙’ nh tu . o . ng ´u . ng v e i v`a v e j cu ˙’ a G e . Nˆe ´ u f ij = 0 th`ı khˆong c´o cung n`ao d¯u . o . . c d¯ˇa . t gi˜u . a v e i v`a v e j . Ta d¯u . o . . c G e l`a d¯a d¯ˆo ` thi . trong d¯´o mˆo ˜ i cung cu ˙’ a n´o tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t d¯o . n vi . luˆo ` ng trˆen cung tu . o . ng ´u . ng trong G; n´oi c´ach kh´ac, G e biˆe ˙’ u diˆe ˜ n luˆo ` ng F trong G. T`u . d¯iˆe ` u kiˆe . n vˆe ` luˆo ` ng F suy ra c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G e cˆa ` n thoa ˙’ m˜an d + (v e i ) = d − (v e i ), v´o . i mo . i v e i = s e hoˇa . c t e , d + (s e ) = d − ( e ) = v. Suy ra nˆe ´ u ta tra ˙’ la . i v cung d¯u . o . . c thˆem v`ao G e t`u . d¯ı ˙’ nh t e d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh s e th`ı d¯ˆo ` thi . G e s˜e c´o mˆo . t ma . ch Euler (xem Phˆa ` n 5.1). Loa . i bo ˙’ v cung n`ay kho ˙’ i ma . ch Euler, ta d¯u . o . . c v d¯u . `o . ng d¯i t`u . s e d¯ˆe ´ n t e qua mˆo ˜ i cung cu ˙’ a G e d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. K´y hiˆe . u c´ac d¯u . `o . ng d¯i n`ay l`a P  1 , P  2 , . . . , P  v . C´ac d¯u . `o . ng d¯i P  i khˆong nhˆa ´ t thiˆe ´ t so . cˆa ´ p (mˇa . c d`u ch´ung l`a d¯o . n gia ˙’ n). Tuy nhiˆen, mˆo ˜ i d¯u . `o . ng d¯i khˆong so . cˆa ´ p c´o thˆe ˙’ xem nhu . tˆo ˙’ ng cu ˙’ a mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i so . cˆa ´ p t`u . s e d¯ˆe ´ n t e v`a mˆo . t sˆo ´ c´ac ma . ch so . cˆa ´ p r`o . i nhau. Do vˆa . y, F = 1 ◦ (P 1 ) + 1 ◦ (P 2 ) + · · · + 1 ◦ (P v ) + 1 ◦ (Φ 1 ) + 1 ◦ (Φ 2 ) + · · · + 1 ◦ (Φ κ ), 182 [...]... ¯ y o ¯` e e ¯e o ¯a o o e ´.i ngu.`.i m` th´ cu o o ınh ıch - ` a ´ ´ ˙ ’ e a ˙ e Dinh l´ 7. 5.6 Tˆn tai cˇp gh´p ho`n ha o nˆu v` chı’ nˆu y o e a #S ≤ #Γ(S) (7. 2) ˙ ’ v´.i moi tˆp con S cu a V1 o a ´ ˙ ` ’ a Ch´.ng minh Ta chı cˆn ch´.ng minh nˆu d iˆu kiˆn (7. 2) d ung th` tˆn tai cˇp gh´p ho`n u u e ¯` e e ¯´ ı ` a o e a ˜ a - ˇt n1 = #V1 v` (P, P ) l` thiˆt diˆn nho nhˆ t trong mang vˆn... #Y < #V1∗ - ` ˜ ˙ ’ Diˆu n`y mˆu thuˆn v´.i (7. 2) Do d o tˆn tai cˇp gh´p ho`n hao e a a a o ¯´ ` a o e a ˙ ˙ ˜ ˜ ˙ V´ du 7. 5 .7 C´ n m´y t´ v` n ˆ’ d˜ Mˆ i m´y t´ tu.o.ng th´ v´.i m ˆ’ d˜ v` mˆi ˆ’ ı o a ınh a o ¯ıa o a ınh ıch o o ¯ıa a o o o.ng th´ v´.i m m´y t´ i mˆt ˆ’ d˜ m` n´ tu.o.ng ˙ ˜ ıch o a ınh C´ thˆ’ gh´p mˆ i m´y t´ v´ o e e o a ınh o o o ¯ıa a o d˜ tu ¯ıa ˙ th´ ıch? -a ˙ ´ Dˇt V1... c[Φ2 |Gµ (F + 1 ◦ (Φ1 ))] ≥ c[F + 1 ◦ (Φ1 )] + c[Φ2 |Gµ (F )] ≥ c[F + 1 ◦ (Φ1 )] 1 87 http://www.ebook.edu.vn ≥ c[F ] - ` ˜ ´ ´ ˙ ’ Tiˆp tuc qu´ tr` trˆn ta d u.o.c c[F ∗ ] ≥ c[F ] Diˆu n`y mˆu thuˆn v´.i gia thiˆt F ∗ l` luˆng e a ınh e ¯ e a a a o e a ` o ´ ˙ ’ a c´ chi ph´ nho nhˆ t o ı - ˙ ´ ˙ ’ Do d o theo Dinh l´ 7. 4.2, dˆ’ t` luˆng chˆ p nhˆn d u.o.c c´ gi´ tri v v´.i chi ph´ nho ¯´ y ¯e ım `... v6 v2 • • v4 v7 v3 v5 • • v1 • • • v6 v2 • v4 • v7 ˙ ’ H` 7. 4: (a) Cˇp gh´p (b) Phu ınh a e e ¯ e ` ¯ a e ¯´ a ınh H` 7. 4(a) minh hoa... - ˆ ınh H` 7. 5: D` thi h` sao ınh o 7. 5.2 ´ ` Cˇp gh´p l´.n nhˆ t trong d` thi hai phˆn a e o a ¯ˆ o a ´ a a ´ Tru.´.c hˆt ta bˇt d` u bˇ ng mˆt v´ du o e a ¯ˆ ` o ı ` V´ du 7. 5.3 (Phˆn cˆng cˆng viˆc, cˇp gh´p trong d` thi hai phˆn) Mˆt nh` m´y c´ p ı a o o e a e ¯ˆ o a o a a o ... luˆng tu.o.ng a a u o a ¯˙ ¯ ¯ˆ a a a ˙ o - ˙ ` ´ ˙ ˙ ’ a ¯e a ¯i Dinh l´ trˆn chı ra rˇ ng c´ thˆ’ ´p dung thuˆt to´n t` luˆng l´.n nhˆ t dˆ’ x´c d nh y e a o e a a a ım ` o o n nhˆ t cua d` thi hai phˆn ´ ’ o ` cˇp gh´p l´ a e o a ˙ ¯ˆ a 7. 5.3 ` ˙ ’ Cˇp gh´p ho`n ha o trong d` thi hai phˆn a e a ¯ˆ o a Ta c´ d inh ngh˜ sau o ¯ ıa - ` ˙ ’ Dinh ngh˜ 7. 5.5 Cˇp gh´p ho`n hao trong d` thi hai phˆn... o o a a ıch ´ e o ` ´ V´ du 7. 2.12 Luˆng F trong H` 7. 3 d u.o.c phˆn t´ th`nh c´c d u.`.ng d i (t` s dˆn t) ı o ınh ¯ a ıch a a ¯ o ¯ u ¯e cˆ p: ´ v` c´c mach so a a a F = 2 ◦ P1 + 1 ◦ P2 + 1 ◦ Φ1 + 1 ◦ Φ2 + 1 ◦ Φ3 , trong d o ¯´ P1 P2 Φ1 Φ2 Φ3 7. 3 = = = = = {s, v2 , v4 , t}, {s, v1 , v3 , v2 , v4 , t}, {v1 , v3 , v2 , v1 }, {v2 , v4 , v5 , v6 , v2 }, {v5 , v6 , v7 , v5 } ` ´ ’ ˙ ’ ˙ ’ C´c ca... ¯o o a ` ˆ a Mˇt kh´c ta c´ a a o - ´ ´ ´ ` ’ a u ¯e ¯ˆ o a Dinh l´ 7. 3.1 Nˆu gi´ tri cu a luˆng l´.n nhˆ t t` sa dˆn ta trong d` thi Ga kh´c y e a ˙ o o o.c trong G ` ` ´ th` khˆng tˆn tai luˆng chˆ p nhˆn d u ı o o o a a ¯ Ch´.ng minh B`i tˆp u a a 185 http://www.ebook.edu.vn rij =0 rij ` ´ ˙ ’ Luˆng v´.i chi ph´ nho nhˆ t o o ı a 7. 4 ` ´ ´ Trong Phˆn 7. 2 ch´ng ta d a x´t b`i to´n t` luˆng... ¯ y e o ˙ a o a ’ Ta c´ GM l` mˆt mang vˆn tai o a o a ˙ - ` ¯i ˙ ˙ ’ ’ a ¯ˆ o a Dinh l´ 7. 5.4 Gia su G l` d` thi hai phˆn d nh hu.´.ng v´.i c´c tˆp d ı’nh r`.i nhau V1 v` y o o a a ¯˙ o a o.c d inh hu.´.ng t` c´c d ı’nh trong tˆp V dˆn c´c d ı’nh trong tˆp ´ V2 m` trong d ´ c´c canh d u ¯ a ¯o a ¯ o u a ¯˙ a 1 ¯e a ¯ ˙ a V2 - ´ ` ’ 1 Luˆng F trong mang vˆn ta i GM cho ta mˆt cˇp gh´p... giai th´ o ` o a a a ¯i ıa ¯ˆ o ¯a ˙ ıch sau: ` trong Phˆn 7. 2 v` c´ chi ph´ trˆn c´c cung nhu a a o ı e a µ µ µ ˜ ¯ˇ ij • v´.i mˆ i cung (vi , vj ) ∈ E1 , d at cµ := cij o o µ µ µ ˜ • v´.i mˆ i cung (vj , vi ) ∈ E2 , d at cµ := −cij o o ¯ˇ ji Thuˆt to´n du.a trˆn d inh l´ sau: a a e ¯ y 186 http://www.ebook.edu.vn - ´ ´ ´ ` ’ Dinh l´ 7. 4.2 F l` luˆng gi´ tri v v´.i chi ph´ nho nhˆ t nˆu v` chı’ . Fulkerson [ 27] gia ˙’ i b`ai to´an n`ay du . . a trˆen D - i . nh l´y 7. 2.10. Tru . ´o . c hˆe ´ t ta c´o mˆo . t sˆo ´ kh´ai niˆe . m 177 http://www.ebook.edu.vn D - i . nh ngh˜ıa 7. 2.9 Nˆe ´ u. +  j∈V,j=s,t (  i∈V f ij −  i∈V f ji ) =  i∈V f it −  i∈V f si do f ti = 0 = f is v´o . i mo . i v i ∈ V, v`a (7. 1). D - i . nh ngh˜ıa 7. 2 .7 Gia ˙’ su . ˙’ F l`a luˆo ` ng trˆen ma . ng vˆa . n ta ˙’ i G. D - a . i lu . o . . ng  i f si =  i f it go . i. thiˆe ´ t diˆe . n c´o kha ˙’ nˇang thˆong qua nho ˙’ nhˆa ´ t. D - i . nh l´y 7. 2.10 (D - i . nh l´y thiˆe ´ t diˆe . n nho ˙’ nhˆa ´ t-luˆo ` ng l´o . n nhˆa ´ t) Gi´a tri . cu ˙’ a luˆo ` ng l´o . n

Ngày đăng: 22/07/2014, 18:22

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN