http://www.ebook.edu.vn Chu . o . ng 5 B`ai to´an Euler v`a b`ai to´an Hamilton L´y thuyˆe ´ t d¯ˆo ` thi . ph´at triˆe ˙’ n bˇa ´ t nguˆo ` n t`u . nh˜u . ng b`ai to´an cˆo ˙’ d¯iˆe ˙’ n, trong sˆo ´ d¯´o b`ai to´an Euler v`a b`ai to´an Hamilton t`ım h`anh tr`ınh d¯i qua mˆo ˜ i ca . nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n v`a qua mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n tu . o . ng ´u . ng d¯´ong vai tr`o quan tro . ng. Hai b`ai to´an n`ay c´o liˆen quan d¯ˆe ´ n nh˜u . ng ´u . ng du . ng: c´ac b`ai to´an t`ım h`anh tr`ınh tˆo ´ t nhˆa ´ t (ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa, ngu . `o . i ch`ao h`ang), tu . . d¯ˆo . ng ho´a thiˆe ´ t kˆe ´ bˇa ` ng m´ay t´ınh, lˆa . p li . ch, vˆan vˆan. Mˇa . c d`u hai b`ai to´an n`ay d¯u . o . . c ph´at biˆe ˙’ u rˆa ´ t giˆo ´ ng nhau, nhu . ng m´u . c d¯ˆo . kh´o trong viˆe . c gia ˙’ i quyˆe ´ t ch´ung l`a rˆa ´ t kh´ac nhau. Ch´ung ta s˜e ch ´u . ng minh rˇa ` ng trong d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng, tˆo ` n ta . i thuˆa . t to´an d¯a th´u . c t`ım h`anh tr`ınh Euler v`a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` t`ım cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t [30] (c˜ung xem Phˆa ` n 7.5). C´ac thuˆa . t to´an n`ay s˜e d¯u . o . . c tr`ınh b`ay trong c´ac Phˆa ` n 5.1 v`a 5.2. Mˇa . t kh´ac, vˆa ´ n d¯ˆe ` tˆo ` n ta . i chu tr`ınh hay ma . ch Hamilton l`a nh˜u . ng b`ai to´an khˆong d¯a th´u . c khˆong d¯u . o . . c d¯ˆe ` cˆa . p o . ˙’ d¯ˆay. Ba . n d¯o . c quan tˆam c´o thˆe ˙’ xem, chˇa ˙’ ng ha . n [30]. Ch´ung ta chı ˙’ tr`ınh b`ay trong Phˆa ` n 5.3 nh˜u . ng kˆe ´ t qua ˙’ ch´ınh liˆen quan d¯ˆe ´ n su . . tˆo ` n ta . i cu ˙’ a c´ac chu tr`ınh hay ma . ch Hamilton. Khi c´o d¯iˆe ` u kiˆe . n, c´ac ch´u . ng minh c´o t´ınh kiˆe ´ n thiˆe ´ t thuˆa . t to´an hoˇa . c c´o thˆe ˙’ d¯ˆe ` xuˆa ´ t nh˜u . ng phu . o . ng ph´ap heuristic. 5.1 B`ai to´an Euler D - i . nh ngh˜ıa 5.1.1 Gia ˙’ su . ˙’ G = (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng (d¯o . n hoˇa . c d¯a d¯ˆo ` thi . ). Dˆay chuyˆe ` n 127 http://www.ebook.edu.vn Euler l`a dˆay chuyˆe ` n ch´u . a tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . , mˆo ˜ i ca . nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. Chu tr`ınh Euler l`a dˆay chuyˆe ` n Euler m`a d¯ı ˙’ nh d¯ˆa ` u tr`ung v´o . i d¯ı ˙’ nh cuˆo ´ i. V´ı du . 5.1.2 (B`ai to´an Euler) C´ach d¯ˆay khoa ˙’ ng ba trˇam nˇam, nhiˆe ` u ngu . `o . i dˆan th`anh phˆo ´ K¨onigsberg cu ˙’ a nu . ´o . c Nga (sau n`ay l`a th`anh phˆo ´ Kaliningrat) d¯˜a t`u . ng thˇa ´ c mˇa ´ c vˆa ´ n d¯ˆe ` nhu . sau: Th`anh phˆo ´ c´o sˆong Pregel cha ˙’ y qua, gi˜u . a sˆong c´o c`u lao Kneiphof, v`a c´o 7 chiˆe ´ c cˆa ` u bˇa ´ c qua sˆong nhu . trˆen H`ınh 5.1(a); c´o thˆe ˙’ d¯i da . o qua khˇa ´ p c´ac cˆa ` u nhu . ng mˆo ˜ i cˆa ` u chı ˙’ d¯i mˆo . t lˆa ` n thˆoi khˆong? Nˆe ´ u ta coi mˆo ˜ i khu vu . . c a, b, c, d cu ˙’ a th`anh phˆo ´ nhu . mˆo . t d¯ı ˙’ nh, mˆo ˜ i cˆa ` u qua la . i hai khu vu . . c nhu . mˆo . t ca . nh nˆo ´ i hai d¯ı ˙’ nh, th`ı ba ˙’ n d¯ˆo ` th`anh phˆo ´ K¨onigsberg l`a mˆo . t d¯ˆo ` thi . (H`ınh 5.1(b)). Thˇa ´ c mˇa ´ c cu ˙’ a ngu . `o . i dˆan th`anh phˆo ´ ch´ınh l`a: c´o thˆe ˙’ v˜e d¯u . o . . c d¯ˆo ` thi . bˇa ` ng mˆo . t n´et b´ut liˆe ` n hay khˆong? N´oi c´ach kh´ac: tˆo ` n ta . i chu tr`ınh Euler? Nh`a to´an ho . c L. Euler (1707-1783) l`a ngu . `o . i d¯ˆa ` u tiˆen d¯˜a ch´u . ng minh b`ai to´an khˆong c´o l`o . i gia ˙’ i (nˇam 1736, xem [22], [23]), v`a v`ı vˆa . y b`ai to´an thu . `o . ng d¯u . o . . c go . i l`a b`ai to´an Euler vˆe ` c´ac cˆa ` u o . ˙’ K¨onigsberg. a b c d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d (b) H`ınh 5.1: (a) Ba ˙’ n d¯ˆo ` cu ˙’ a th`anh phˆo ´ K¨onigsberg. (b) D - ˆo ` thi . tu . o . ng d¯u . o . ng. D - i . nh l´y 5.1.3 [Euler] D - a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng liˆen thˆong G = (V, E) c´o dˆay chuyˆe ` n Euler nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u sˆo ´ c´ac d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ bˇa ` ng 0 hoˇa . c 2. Ch´u . ng minh. Tru . ´o . c hˆe ´ t ch´u ´y rˇa ` ng d¯ˆo ` thi . khˆong liˆen thˆong khˆong thˆe ˙’ ch´u . a dˆay chuyˆe ` n hoˇa . c chu tr`ınh Euler. Bˆay gi`o . ta ch´u . ng minh d¯iˆe ` u kiˆe . n cˆa ` n. Nˆe ´ u µ l`a dˆay chuyˆe ` n Euler, th`ı chı ˙’ c´o hai d¯ı ˙’ nh d¯ˆa ` u v`a cuˆo ´ i c´o bˆa . c le ˙’ . Nˆe ´ u ngo`ai ra, hai d¯ı ˙’ nh n`ay tr`ung nhau (chu tr`ınh Euler) th`ı khˆong c´o d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ . 128 http://www.ebook.edu.vn Kˆe ´ tiˆe ´ p ta ch ´u . ng minh d¯iˆe ` u kiˆe . n d¯u ˙’ bˇa ` ng quy na . p theo sˆo ´ ca . nh m cu ˙’ a G. Hiˆe ˙’ n nhiˆen d¯i . nh l´y d¯´ung nˆe ´ u m = 1. Gia ˙’ su . ˙’ d¯i . nh l´y d¯´ung cho mo . i d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong m ca . nh. Nˆe ´ u G c´o hai d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ , gia ˙’ su . ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh n`ay l`a a v`a b (nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G c´o bˆa . c chˇa ˜ n, cho . n d¯ı ˙’ nh a bˆa ´ t k`y v`a lˆa ´ y b = a). K´y hiˆe . u µ l`a dˆay chuyˆe ` n m`a ta d¯i trˆen d¯ˆo ` thi . G xuˆa ´ t ph´at t`u . a theo hu . ´o . ng tu`y ´y, d¯i qua mˆo ˜ i ca . nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. Nˆe ´ u ta . i th`o . i d¯iˆe ˙’ m n`ao d¯´o ta o . ˙’ d¯ı ˙’ nh x = b ngh˜ıa l`a ta d¯˜a su . ˙’ du . ng mˆo . t sˆo ´ le ˙’ ca . nh liˆen thuˆo . c v´o . i x nˆen c´o thˆe ˙’ d¯i theo ca . nh kh´ac chu . a d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng. Nˆe ´ u ta khˆong thˆe ˙’ d¯i d¯u . o . . c n˜u . a, ngh˜ıa l`a d¯ang o . ˙’ d¯ı ˙’ nh b. Nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh d¯˜a d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng, µ l`a mˆo . t dˆay chuyˆe ` n Euler v`a d¯i . nh l´y d¯´ung. Trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i, d¯ˆo ` thi . con G d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i c´ac ca . nh chu . a d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng chı ˙’ c´o nh˜u . ng d¯ı ˙’ nh bˆa . c chˇa ˜ n. K´y hiˆe . u G 1 , G 2 , . . . , G p l`a c´ac th`anh phˆa ` n liˆen thˆong cu ˙’ a G ch´u . a ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t ca . nh. Khi d¯´o c´ac d¯ˆo ` thi . G i c´o sˆo ´ ca . nh ´ıt ho . n m v`a do d¯´o theo gia ˙’ thiˆe ´ t quy na . p, ch ´ung ch´u . a mˆo . t chu tr`ınh Euler µ i . V`ı G liˆen thˆong, dˆay chuyˆe ` n µ c´o chung v´o . i c´ac d¯ˆo ` thi . G 1 , G 2 , . . . , G p c´ac d¯ı ˙’ nh theo th´u . tu . . i 1 , i 2 , . . . , i p . Khi d¯´o h`anh tr`ınh: xuˆa ´ t ph´at t`u . a d¯i trˆen µ d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh i 1 , d¯i do . c theo chu tr`ınh µ 1 t`u . i 1 vˆe ` i 1 , d¯i trˆen µ d¯ˆe ´ n d¯ı ˙’ nh i 2 d¯i do . c theo chu tr`ınh µ 2 t`u . i 2 vˆe ` i 2 , v`a vˆan vˆan, l`a mˆo . t dˆay chuyˆe ` n Euler xuˆa ´ t ph´at t`u . a v`a kˆe ´ t th ´uc ta . i b. D - i . nh l´y d¯u . o . . c ch ´u . ng minh. D - ˆo ` thi . thoa ˙’ c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n cu ˙’ a D - i . nh l´y Euler go . i l`a d¯ˆo ` thi . Euler. 5.1.1 Thuˆa . t to´an t`ım dˆay chuyˆe ` n Euler C´ach ch´u . ng minh D - i . nh l´y Euler 5.1.3 cho ta mˆo . t thuˆa . t to´an xˆay du . . ng dˆay chuyˆe ` n Euler trong mˆo . t d¯ˆo ` thi . Euler. 1. Xˆay du . . ng mˆo . t dˆay chuyˆe ` n d¯o . n gia ˙’ n µ xuˆa ´ t ph´at t`u . s. 2. Nˆe ´ u tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh cu ˙’ a G d¯˜a d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng th`ı d`u . ng v`a ta c´o µ l`a dˆay chuyˆe ` n Euler. Ngu . o . . c la . i sang Bu . ´o . c 3. 3. K´y hiˆe . u G 1 l`a d¯ˆo ` thi . con cu ˙’ a G gˆo ` m c´ac ca . nh chu . a d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng. Cho . n d¯ı ˙’ nh c cu ˙’ a G 1 nˇa ` m trˆen dˆay chuyˆe ` n µ. Xˆay du . . ng chu tr`ınh d¯o . n gia ˙’ n µ 1 trong d¯ˆo ` thi . G 1 xuˆa ´ t ph´at t`u . d¯ı ˙’ nh c. 4. Mo . ˙’ rˆo . ng dˆay chuyˆe ` n µ bˇa ` ng c´ach gˇa ´ n thˆem chu tr`ınh µ 1 ta . i d¯ı ˙’ nh c (t´u . c l`a d˜ay c´ac ca . nh cu ˙’ a µ 1 d¯u . o . . c ch`en v`ao d˜ay c´ac ca . nh cu ˙’ a µ). 5. Thay G bo . ˙’ i G 1 v`a lˇa . p la . i bu . ´o . c 2. V´ı du . 5.1.4 D - ˆo ` thi . trong H`ınh 5.2 c´o mˆo . t chu tr`ınh Euler (v 1 , e 1 , v 2 , e 2 , v 3 , e 3 , v 2 , e 4 , v 3 , e 15 , v 4 , e 14 , v 5 , e 13 , v 4 , e 12 , v 6 , e 11 , 129 http://www.ebook.edu.vn e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 e 15 e 16 e 17 v 1 v 2 v 6 v 3 v 7 v 8 v 5 v 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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H`ınh 5.2: Mˆo . t v´ı du . vˆe ` d¯ˆo ` thi . Euler. v 5 , e 16 , v 3 , e 17 , v 7 , e 10 , v 6 , e 9 , v 8 , e 8 , v 7 , e 5 , v 1 , e 7 , v 8 , e 6 , v 1 ). Mˆo . t dˆay chuyˆe ` n hay chu tr`ınh Euler c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bo . ˙’ i mˆo . t danh s´ach c´o th´u . tu . . c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G ch´u . a trong n´o. Chˇa ˙’ ng ha . n, ta c´o thˆe ˙’ su . ˙’ du . ng mˆo . t cˆa ´ u tr´uc danh s´ach liˆen kˆe ´ t typedef struct PathNode *PathPtr; struct PathNode { byte Vertex; PathPtr Next; }; d¯ˆe ˙’ d¯´anh dˆa ´ u c´ac d¯ı ˙’ nh liˆen tiˆe ´ p trˆen dˆay chuyˆe ` n, trong d¯´o V ertex l`a sˆo ´ hiˆe . u d¯ı ˙’ nh trˆen dˆay chuyˆe ` n; v`a con tro ˙’ Next chı ˙’ n´ut kˆe ´ tiˆe ´ p ch´u . a sˆo ´ hiˆe . u cu ˙’ a d¯ı ˙’ nh kˆe ` V ertex trˆen dˆay chuyˆe ` n. Dˆe ˜ thˆa ´ y rˇa ` ng, danh s´ach n`ay c´o sˆo ´ n´ut bˇa ` ng (m + 1). T`u . d¯ˆay vˆe ` sau ta s˜e gia ˙’ thiˆe ´ t G d¯u . o . . c cho bo . ˙’ i ma ˙’ ng c´ac danh s´ach kˆe ` V out[] (c´o tro . ng sˆo ´ ), trong d¯´o v´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v i ∈ V, V out[i] l`a danh s´ach c´ac d¯ı ˙’ nh liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh v i v`a tru . `o . ng d¯ˆo . d`ai Length o . ˙’ n´ut th´u . j (tu . o . ng ´u . ng d¯ı ˙’ nh v j ) l`a sˆo ´ ca . nh liˆen thuˆo . c v´o . i d¯ı ˙’ nh v i . Trong qu´a tr`ınh thu . . c hiˆe . n thuˆa . t to´an, mˆo ˜ i khi d¯i qua ca . nh (v i , v j ) n`ao d¯´o, ta gia ˙’ m d¯ˆo . 130 http://www.ebook.edu.vn d`ai Length mˆo . t d¯o . n vi . o . ˙’ n´ut th´u . j trong danh s´ach V out[i] d¯ˆe ˙’ d¯´anh dˆa ´ u ca . nh d¯˜a d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng. V`ı mˆo ˜ i ca . nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯u . o . . c kiˆe ˙’ m tra nhiˆe ` u nhˆa ´ t hai lˆa ` n nˆen d¯ˆo . ph´u . c ta . p cu ˙’ a thuˆa . t to´an l`a O(m). 5.2 B`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa X´et d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng liˆen thˆong G := (V, E) c´o tro . ng sˆo ´ (t´u . c l`a mˆo ˜ i ca . nh e ∈ E ta g´an mˆo . t sˆo ´ w(e) go . i l`a tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a ca . nh e). B`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa (khˆong d¯u . o . . c d¯i . nh hu . ´o . ng) ph´at biˆe ˙’ u rˇa ` ng t`ım mˆo . t dˆay chuyˆe ` n gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh cho tru . ´o . c a, b ∈ V su . ˙’ du . ng mˆo ˜ i ca . nh cu ˙’ a G ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t lˆa ` n v`a c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t (xem [44]). Nhiˆe ` u b`ai to´an vˆe ` h`anh tr`ınh (ngu . `o . i d¯u . a thu . , ngu . `o . i giao s˜u . a, ngu . `o . i ch`ao h`ang, v.v) c´o thˆe ˙’ ph´at biˆe ˙’ u o . ˙’ da . ng n`ay. Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ˆo ` thi . c´o hu . ´o . ng, trong d¯´o mˆo ˜ i cung cu ˙’ a G cˆa ` n d¯u . o . . c su . ˙’ du . ng ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t lˆa ` n, b`ai to´an c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an luˆo ` ng v´o . i chi ph´ı nho ˙’ nhˆa ´ t (b`ai tˆa . p). T`u . d¯ˆay vˆe ` sau ch´ung ta chı ˙’ x´et d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng. Khˆong mˆa ´ t t´ınh tˆo ˙’ ng qu´at c´o thˆe ˙’ gia ˙’ thiˆe ´ t d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at a v`a d¯ı ˙’ nh kˆe ´ t th´uc b trˆen dˆay chuyˆe ` n l`a tr`ung nhau. Trong tru . `o . ng ho . . p ngu . o . . c la . i, ta chı ˙’ cˆa ` n thˆem mˆo . t ca . nh (a, b) v´o . i d¯ˆo . d`ai bˇa ` ng khˆong. V´o . i mˆo ˜ i chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . m´o . i n`ay, tˆo ` n ta . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n trˆen G c´o c`ung d¯ˆo . d`ai v`a do d¯´o l`a nho ˙’ nhˆa ´ t. Nˆe ´ u G l`a d¯ˆo ` thi . Euler th`ı tˆo ` n ta . i mˆo . t chu tr`ınh Euler d¯i qua mˆo ˜ i ca . nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n v`a v`ı vˆa . y l`a mˆo . t nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an. N´oi chung, G khˆong pha ˙’ i l`a d¯ˆo ` thi . Euler, nˆen tˆo ` n ta . i mˆo . t sˆo ´ c´ac d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ . K ´y hiˆe . u V 1 l`a tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a G c´o bˆa . c le ˙’ . Dˆe ˜ thˆa ´ y rˇa ` ng sˆo ´ phˆa ` n tu . ˙’ cu ˙’ a tˆa . p V 1 l`a mˆo . t sˆo ´ chˇa ˜ n. Khi d¯´o b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa d¯u . a vˆe ` viˆe . c thˆem mˆo . t sˆo ´ ca . nh v`ao G d¯ˆe ˙’ tro . ˙’ th`anh d¯ˆo ` thi . Euler v`a c`ung l´uc, cu . . c tiˆe ˙’ u ho´a tˆo ˙’ ng c´ac tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a c´ac ca . nh d¯u . o . . c thˆem v`ao. Ch´ung ta khˆong thˆem mˆo . t ca . nh e = (v i , v j ) tr`u . khi d¯˜a tˆo ` n ta . i mˆo . t ca . nh e = (v i , v j ) trong G v`a g´an tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a ca . nh e l`a w(e ) := w(e). Ca . nh e go . i l`a ba ˙’ n sao cu ˙’ a e. X´et mˆo . t l`o . i gia ˙’ i tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an v`a d¯ˇa . t E l`a tˆa . p c´ac ca . nh d¯u . o . . c thˆem v`ao G. K´y hiˆe . u G = (V, E + E ) l`a d¯ˆo ` thi . Euler nhˆa . n d¯u . o . . c. 131 http://www.ebook.edu.vn Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.1 Gia ˙’ su . ˙’ v i l`a mˆo . t d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ trong G. Khi d¯´o tˆa . p E ch´u . a mˆo . t dˆay chuyˆe ` n so . cˆa ´ p nˆo ´ i d¯ı ˙’ nh v i v´o . i mˆo . t d¯ı ˙’ nh v j = v i c´o bˆa . c le ˙’ trong G. Ch´u . ng minh. V´o . i mo . i d¯ı ˙’ nh v k ∈ V 1 ta c´o d G (v k ) ≡ 1 (mod 2) v`a d G (v k ) ≡ 0 (mod 2); ngo`ai ra, theo c´ach xˆay du . . ng d G (v k ) ≥ d G (v k ). Do d¯´o tˆo ` n ta . i ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t ca . nh e 1 ∈ E liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh v i . K´y hiˆe . u v i 1 l`a d¯ı ˙’ nh kh´ac v i m`a ca . nh e 1 liˆen thuˆo . c. Nˆe ´ u d G (v i 1 ) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo ˙’ d¯ˆe ` d¯u . o . . c ch´u . ng minh v´o . i v j = v i 1 . Ngu . o . . c la . i, nˆe ´ u d G (v i 1 ) ≡ 0 (mod 2) th`ı d G (v i 1 ) ≥ d G (v i 1 ) +2 v`a tˆo ` n ta . i ca . nh e 2 ∈ E , e 2 = e 1 , liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh v i 1 . K´y hiˆe . u v i 2 l`a d¯ı ˙’ nh kh´ac v i 1 m`a ca . nh e 2 liˆen thuˆo . c. Nˆe ´ u d G (v i 2 ) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo ˙’ d¯ˆe ` d¯u . o . . c ch ´u . ng minh v´o . i v j = v i 2 . Ngu . o . . c la . i, tˆo ` n ta . i ca . nh e 3 ∈ E , e 3 = e 2 , liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh v i 2 , v`a vˆan vˆan. Do d¯´o ta xˆay du . . ng d¯u . o . . c mˆo . t dˆay chuyˆe ` n so . cˆa ´ p d`ai nhˆa ´ t c´o thˆe ˙’ (v i , e 1 , v i 1 , e 2 , v i 2 , . . . , e p , v i p ). Nˆe ´ u d G (v i p ) ≡ 1 (mod 2) th`ı bˆo ˙’ d¯ˆe ` d¯u . o . . c ch´u . ng minh v´o . i v j = v i p . Ngu . o . . c la . i, tˆo ` n ta . i ca . nh e p+1 ∈ E , e p = e p+1 , liˆen thuˆo . c d¯ı ˙’ nh v i p v`a v i p+1 . Trong tru . `o . ng ho . . p n`ay, tˆo ` n ta . i chı ˙’ sˆo ´ q, 1 ≤ q ≤ p, sao cho v i q ≡ v i p+1 v`a ta c´o mˆo . t chu tr`ınh xuˆa ´ t hiˆe . n. Loa . i bo ˙’ tˆa ´ t ca ˙’ c´ac ca . nh trong chu tr`ınh n`ay ta d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . con G cu ˙’ a G sao cho n´o vˆa ˜ n l`a d¯ˆo ` thi . Euler v`a ho . n n˜u . a d G (v k ) ≥ d G (v k ), v´o . i mo . i d¯ı ˙’ nh v k ∈ V. Lˇa . p la . i c´ach xˆay du . . ng dˆay chuyˆe ` n trˆen, xuˆa ´ t ph´at t`u . d¯ı ˙’ nh v i q chı ˙’ su . ˙’ du . ng c´ac ca . nh cu ˙’ a G . Do sˆo ´ c´ac ca . nh trong E l`a h˜u . u ha . n, nˆen sau mˆo . t sˆo ´ h˜u . u ha . n bu . ´o . c ta d¯u . o . . c mˆo . t d¯ı ˙’ nh v i p sao cho d G (v i p ) ≡ 1 (mod 2) v`a bˆo ˙’ d¯ˆe ` d¯u . o . . c ch´u . ng minh v´o . i v j = v i p . Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.2 Gia ˙’ su . ˙’ v i v`a v j l`a hai d¯ı ˙’ nh thoa ˙’ m˜an c´ac d¯iˆe ` u kiˆe . n cu ˙’ a Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.1 v`a k´y hiˆe . u dˆay chuyˆe ` n tu . o . ng ´u . ng l`a µ := {e 1 , e 2 , . . . , e p } trong d¯´o e k ∈ E , k = 1, 2, . . . , p. C´ac ca . nh e 1 , e 2 , . . . , e p l`a c´ac ba ˙’ n sao cu ˙’ a c´ac ca . nh e 1 , e 2 , . . . , e p trong G v`a x´et dˆay chuyˆe ` n µ := {e 1 , e 2 , . . . , e p } trong G. Khi d¯´o µ l`a dˆay chuyˆe ` n (trong G) c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t nˆo ´ i d¯ı ˙’ nh v i v´o . i d¯ı ˙’ nh v j . Ch´u . ng minh. Nˆe ´ u tˆo ` n ta . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n ¯µ = {¯e 1 , ¯e 2 , . . . , ¯e q } nˆo ´ i d¯ı ˙’ nh v i v´o . i d¯ı ˙’ nh v j trong G c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ ho . n th`ı bˇa ` ng c´ach loa . i c´ac ca . nh e 1 , e 2 , . . . , e p kho ˙’ i G v`a thˆem c´ac ba ˙’ n sao 132 http://www.ebook.edu.vn ¯e 1 , ¯e 2 , . . . , ¯e q cu ˙’ a ¯e 1 , ¯e 2 , . . . , ¯e q ta nhˆa . n d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . Euler m´o . i c´o tˆo ˙’ ng tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ ho . n, mˆau thuˆa ˜ n. Bˆay gi`o . x´et d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K(V 1 ) trˆen tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh V 1 trong d¯´o c´ac ca . nh thˆem v`ao (v i , v j ) c´o tro . ng lu . o . . ng w ij bˇa ` ng d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a dˆay chuyˆe ` n nho ˙’ nhˆa ´ t trong G gi˜u . a hai d¯ı ˙’ nh v i v`a v j . Khi d¯´o mˆo ˜ i ca . nh cu ˙’ a K(V 1 ) tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo . t dˆay chuyˆe ` n trong G. V`ı w(e) ≥ 0 v´o . i mo . i ca . nh e ∈ E nˆen w ij c´o thˆe ˙’ d¯u . o . . c x´ac d¯i . nh bˇa ` ng thuˆa . t to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t, chˇa ˙’ ng ha . n Floyd (xem 3.3.2) hay Dantzig [16]. D - i . nh l´y 5.2.3 Tˆo ` n ta . i tu . o . ng ´u . ng mˆo . t-mˆo . t gi˜u . a l`o . i gia ˙’ i tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa v´o . i mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t trong d¯ˆo ` thi . K(V 1 ). Ch´u . ng minh. X´et mˆo . t l`o . i gia ˙’ i tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa v`a d¯ˇa . t E l`a tˆa . p c´ac ca . nh thˆem v`ao G. Theo Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.1 ta c´o thˆe ˙’ thiˆe ´ t lˆa . p tu . o . ng ´u . ng v´o . i mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh v i ∈ V 1 v´o . i mˆo . t d¯ı ˙’ nh v j ∈ V 1 bˇa ` ng mˆo . t dˆay chuyˆe ` n so . cˆa ´ p µ ij m`a c´ac ca . nh thuˆo . c E . Theo Bˆo ˙’ d¯ˆe ` 5.2.2, µ ij c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. Trong d¯ˆo ` thi . K(V 1 ) c´ac dˆay chuyˆe ` n µ ij tu . o . ng ´u . ng ca . nh (v i , v j ). Do d¯´o tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a V 1 d¯u . o . . c kˆe ´ t ho . . p, hai v´o . i hai, v`a c´ac ca . nh (v i , v j ) tu . o . ng ´u . ng dˆay chuyˆe ` n µ ij cu ˙’ a G , ta . o th`anh mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o K cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . K(V 1 ). (Trong d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ v´o . i sˆo ´ chˇa ˜ n d¯ı ˙’ nh luˆon luˆon tˆo ` n ta . i mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o; xem Phˆa ` n 7.5). V`ı tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o K bˇa ` ng tˆo ˙’ ng c´ac tro . ng lu . o . . ng cu ˙’ a c´ac ca . nh cu ˙’ a E nˆen l`o . i gia ˙’ i cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa l`a tˆo ´ i u . u nˆe ´ u v`a chı ˙’ nˆe ´ u K l`a mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o v´o . i tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t. Ta c´o d¯iˆe ` u pha ˙’ i ch´u . ng minh. Do d¯´o nghiˆe . m cu ˙’ a b`ai to´an ngu . `o . i d¯u . a thu . Trung Hoa d¯u . a vˆe ` b`ai to´an t`ım mˆo . t cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o c´o tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K n . Viˆe . c x´ac d¯i . nh nghiˆe . m cu ˙’ a b`ai to´an sau l`a mˆo . t thuˆa . t to´an kh´a ph´u . c ta . p v`a do d¯´o s˜e khˆong d¯u . o . . c tr`ınh b`ay o . ˙’ d¯ˆay. Ba . n d¯o . c quan tˆam c´o thˆe ˙’ tham kha ˙’ o c´ac t`ai liˆe . u [14], [30]. Nhˆa . n x´et 5.2.4 Nˆe ´ u tˆo ` n ta . i ca . nh e trong G sao cho w(e) < 0 th`ı b`ai to´an khˆong c´o nghiˆe . m tˆo ´ i u . u: Thˆa . t vˆa . y, bˇa ` ng c´ach thˆem mˆo . t tˆa . p E h˜u . u ha . n c´ac ba ˙’ n sao cu ˙’ a c´ac ca . nh cu ˙’ a G ta c´o thˆe ˙’ thˆem ca . nh e mˆo . t sˆo ´ chˇa ˜ n lˆa ` n d¯u ˙’ l´o . n, v`a do d¯´o nhˆa . n d¯u . o . . c mˆo . t d¯ˆo ` thi . Euler v´o . i d¯ˆo . d`ai nho ˙’ tu`y ´y. Vˆa . y gia ˙’ thiˆe ´ t c´ac ca . nh c´o tro . ng lu . o . . ng khˆong ˆam l`a khˆong mˆa ´ t t´ınh tˆo ˙’ ng qu´at d¯ˆe ˙’ loa . i tr`u . tru . `o . ng ho . . p tˆa ` m thu . `o . ng n`ay. V´ı du . 5.2.5 X´et d¯ˆo ` thi . trong H`ınh 5.3 v´o . i c´ac sˆo ´ trˆen c´ac ca . nh l`a tro . ng lu . o . . ng ca . nh. Ta cˆa ` n t`ım mˆo . t chu tr`ınh qua mˆo ˜ i ca . nh ´ıt nhˆa ´ t mˆo . t lˆa ` n v`a c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. Tˆo ˙’ ng c´ac tro . ng lu . o . . ng c´ac ca . nh cu ˙’ a G bˇa ` ng 31. V`ı G khˆong l`a d¯ˆo ` thi . Euler nˆen d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a chu tr`ınh cˆa ` n t`ım s˜e l´o . n ho . n 31. 133 http://www.ebook.edu.vn 7 3 3 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♠ 5 ♠ 1 ♠ 6 ♠ 4 ♠ 7 ♠ 2 ♠ 3 H`ınh 5.3: Tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh bˆa . c le ˙’ l`a V 1 = {1, 2, 3, 4}. Theo thuˆa . t to´an t`ım d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t (xem Chu . o . ng 3), ta t`ım tˆa ´ t ca ˙’ c´ac dˆay chuyˆe ` n c´o d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t gi˜u . a c´ac cˇa . p d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a V 1 trong G. Ta nhˆa . n d¯u . o . . c m`a trˆa . n d¯ˆo . d`ai d¯u . `o . ng d¯i ngˇa ´ n nhˆa ´ t: 1 2 3 4 1 0 4 5 7 2 4 0 2 5 3 5 2 0 3 4 7 5 3 0 . Tiˆe ´ p d¯ˆe ´ n ta xˆay du . . ng d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K(V 1 ) trong d¯´o tro . ng lu . o . . ng ca . nh (v i , v j ) l`a d¯ˆo . d`ai cu ˙’ a dˆay chuyˆe ` n ngˇa ´ n nhˆa ´ t gi˜u . a v i v`a v j (xem H`ınh 5.4). 3 4 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♠ 4 ♠ 1 ♠ 3 ♠ 2 H`ınh 5.4: D - ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ K(V 1 ). Cˇa . p gh´ep ho`an ha ˙’ o v´o . i tro . ng lu . o . . ng nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen K(V 1 ) gˆo ` m c´ac ca . nh (1, 2) v`a (3, 4) (tro . ng lu . o . . ng bˇa ` ng 4 + 3 = 7). C´ac dˆay chuyˆe ` n tu . o . ng ´u . ng l`a {1, 7, 2} v`a { 3, 4}. Nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cu ˙’ a b`ai to´an nhˆa . n d¯u . o . . c bˇa ` ng c´ach thˆem v`ao d¯ˆo ` thi . ban d¯ˆa ` u c´ac ca . nh (1, 7), (7, 2) v`a (3, 4). D - ˆo ` thi . G nhˆa . n d¯u . o . . c l`a d¯ˆo ` thi . Euler (H`ınh 5.5). 134 http://www.ebook.edu.vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ♠ 5 ♠ 1 ♠ 6 ♠ 4 ♠ 7 ♠ 2 ♠ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H`ınh 5.5: D - ˆo ` thi . Euler G nhˆa . n d¯u . o . . c t`u . G bˇa ` ng c´ach thˆem c´ac ca . nh tu . o . ng ´u . ng c´ac dˆay chuyˆe ` n nho ˙’ nhˆa ´ t gi˜u . a 1 v`a 2 v`a gi˜u . a 3 v`a 4. Cuˆo ´ i c`ung ta chı ˙’ cˆa ` n t`ım mˆo . t chu tr`ınh Euler trong G , chˇa ˙’ ng ha . n {6, 2, 3, 7, 2, 7, 1, 7, 4, 5, 1, 6} l`a chu tr`ınh c´o d¯ˆo . d`ai 31 + 7 = 38 l`a nghiˆe . m tˆo ´ i u . u cˆa ` n t`ım. 5.3 B`ai to´an Hamilton Gia ˙’ su . ˙’ G := (V, E) l`a d¯ˆo ` thi . liˆen thˆong (hay liˆen thˆong ma . nh trong tru . `o . ng ho . . p c´o hu . ´o . ng) c´o n d¯ı ˙’ nh. D - i . nh ngh˜ıa 5.3.1 Dˆay chuyˆe ` n (hay d¯u . `o . ng d¯i) d¯i qua tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh mˆo . t lˆa ` n, go . i l`a dˆay chuyˆe ` n Hamilton (hay d¯u . `o . ng d¯i Hamilton). Theo d¯i . nh ngh˜ıa, dˆay chuyˆe ` n (hay d¯u . `o . ng d¯i Hamilton) l`a so . cˆa ´ p, v`a c´o d¯ˆo . d`ai (n − 1). Chu tr`ınh (hay ma . ch) Hamilton l`a mˆo . t chu tr`ınh (hay ma . ch) d¯i qua tˆa ´ t ca ˙’ c´ac d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. Dˆe ˜ thˆa ´ y rˇa ` ng, chu tr`ınh Hamilton l`a chu tr`ınh so . cˆa ´ p c´o d¯ˆo . d`ai n. Ta n´oi rˇa ` ng, G l`a d¯ˆo ` thi . Hamilton nˆe ´ u n´o ch´u . a mˆo . t chu tr`ınh Hamilton (trong tru . `o . ng ho . . p vˆo hu . ´o . ng) hoˇa . c mˆo . t ma . ch Hamilton (trong tru . `o . ng ho . . p c´o hu . ´o . ng). V´ı du . 5.3.2 Nˇam 1859, nh`a to´an ho . c Hamilton (1805-1865) ngu . `o . i Ailen d¯˜a cho b´an mˆo . t d¯ˆo ` cho . i d¯ˆo . c d¯´ao, phˆa ` n ch´ınh l`a mˆo . t khˆo ´ i nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u (khˆo ´ i d¯a diˆe . n c´o 12 mˇa . t ng˜u gi´ac d¯ˆe ` u v`a 20 d¯ı ˙’ nh, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh c´o 3 ca . nh) l`am bˇa ` ng gˆo ˜ . O . ˙’ mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh c´o ghi tˆen mˆo . t th`anh phˆo ´ l´o . n: Beruych, Qua ˙’ ng chˆau, Deli, Frangfua, v.v C´ach cho . i l`a t`ım mˆo . t d¯u . `o . ng d¯i do . c theo c´ac 135 http://www.ebook.edu.vn ca . nh cu ˙’ a thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u v`a qua mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh (th`anh phˆo ´ ) v`u . a d¯´ung mˆo . t lˆa ` n. Muˆo ´ n tr`o cho . i d¯u . o . . c hˆa ´ p dˆa ˜ n ho . n c´o thˆe ˙’ quy d¯i . nh tru . ´o . c tr`ınh tu . . qua mˆo . t v`ai th`anh phˆo ´ d¯ˆa ` u tiˆen, v`a d¯ˆe ˙’ gi´up nh´o . dˆe ˜ d`ang c´ac th`anh phˆo ´ d¯˜a d¯i qua, o . ˙’ mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh cu ˙’ a khˆo ´ i thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u c´o d¯´ong mˆo . t chiˆe ´ c d¯inh m˜u to, quanh d¯´o c´o thˆe ˙’ quˆa ´ n so . . i dˆay nho ˙’ d¯ˆe ˙’ chı ˙’ d¯oa . n d¯u . `o . ng d¯˜a d¯i qua. Vˆe ` sau d¯ˆe ˙’ d¯o . n gia ˙’ n, Hamilton d¯˜a thay khˆo ´ i thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u bˇa ` ng mˆo . t h`ınh phˇa ˙’ ng. B`ai to´an d¯u . o . . c ph´at biˆe ˙’ u du . ´o . i da . ng d¯ˆo ` thi . nhu . sau. Ta biˆe ´ t rˇa ` ng h`ınh thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u c´o 12 mˇa . t, 30 ca . nh, 20 d¯ı ˙’ nh; mˆo ˜ i mˇa . t l`a mˆo . t ng˜u gi´ac d¯ˆe ` u, mˆo ˜ i d¯ı ˙’ nh l`a d¯ˆa ` u m´ut cu ˙’ a 3 ca . nh. C´ac d¯ı ˙’ nh v`a c´ac ca . nh cu ˙’ a h`ınh thˆa . p nhi . diˆe . n d¯ˆe ` u lˆa . p th`anh mˆo . t d¯ˆo ` thi . nhu . H`ınh 5.6. B`ai to´an d¯ˇa . t ra l`a h˜ay t`ım mˆo . t chu tr`ınh Hamilton cu ˙’ a d¯ˆo ` thi . G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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V´ı du . 5.3.3 (B`ai to´an ngu . `o . i ch`ao h`ang). Mˆo . t ngu . `o . i ch`ao h`ang viˆe ´ ng thˇam n kh´ach h`ang v 1 , v 2 , . . . , v n , xuˆa ´ t ph´at t`u . th`anh phˆo ´ v 0 v`a sau d¯´o tro . ˙’ vˆe ` vi . tr´ı xuˆa ´ t ph´at. Anh ta biˆe ´ t khoa ˙’ ng c´ach d 0j t`u . v 0 d¯ˆe ´ n tˆa ´ t ca ˙’ c´ac kh´ach h`ang v j v`a khoa ˙’ ng c´ach d ij gi˜u . a hai kh´ach h`ang v i v`a v j (d¯ˇa . t d ij = d ji ). Ngu . `o . i ch`ao h`ang cˆa ` n d¯i d¯ˆe ´ n c´ac kh´ach h`ang cu ˙’ a m`ınh theo th´u . tu . . n`ao d¯ˆe ˙’ tˆo ˙’ ng qu˜ang d¯u . `o . ng d¯i l`a nho ˙’ nhˆa ´ t? N´oi c´ach kh´ac cˆa ` n t`ım mˆo . t chu tr`ınh Hamilton v´o . i d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t trˆen d¯ˆo ` thi . d¯ˆa ` y d¯u ˙’ c´o tro . ng sˆo ´ d¯u . o . . c xˆay du . . ng t`u . tˆa . p c´ac d¯ı ˙’ nh v 0 , v 1 , v 2 , . . . , v n , v`a tro . ng lu . o . . ng ca . nh (v i , v j ) l`a d ij . Vˆe ` c´ac thuˆa . t to´an gia ˙’ i b`ai to´an n`ay c´o thˆe ˙’ xem, chˇa ˙’ ng ha . n [30]. Trong tru . `o . ng ho . . p d¯ı ˙’ nh cuˆo ´ i v n+1 kh´ac d¯ı ˙’ nh xuˆa ´ t ph´at v 0 , b`ai to´an d¯u . a vˆe ` t`ım dˆay chuyˆe ` n Hamilton t`u . v 0 d¯ˆe ´ n v n+1 c´o tˆo ˙’ ng d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. Bˇa ` ng c´ach biˆe ´ n d¯ˆo ˙’ i mˆo . t c´ach th´ıch ho . . p trˆen d¯ˆo ` thi . , ta c´o thˆe ˙’ d¯u . a vˆe ` b`ai to´an t`ım chu tr`ınh Hamilton c´o tˆo ˙’ ng d¯ˆo . d`ai nho ˙’ nhˆa ´ t. 136 [...]... c´ [G]n = Kn Hˆ qua 5. 3.12 suy tru.c / o e ¯ e a ¯o o e ˙ ´ ˙ ’ tiˆp t` Hˆ qua 5. 3.11 e u e ˜ a ´ a ˙ a a ¯` ’ ’ ˙ ’ Ho.n n˜.a, dˆ d`ng thˆ y rˇ ng, d` thi thoa m˜n c´c d iˆu kiˆn cua Hˆ qua 5. 3.13, 5. 3.14 u e a ` ¯ˆ o e e ˙ e ´ ’ ˙ a a ’ ˙ ’ ˙ ’ hay 5. 3. 15 c˜ng thoa m˜n c´c gia thiˆt cua Hˆ qua 5. 3.16 u e ˙ e -e u ˙ ´ ’ ˙ ’ ’ ˙ ’ e ¯` e e ¯ ˙ ¯e Dˆ’ ch´.ng minh Hˆ qua 5. 3.16, ta s˜ su dung... • • • • - ´ ’ ´ H` 5. 7: D` thi 2-liˆn thˆng c´ sˆ d ınh ´ nhˆ t khˆng c´ chu tr` Hamilton ınh o e o o o ¯˙ ıt a o o ınh -a - o o ınh a ı a o o ınh D` thi vˆ hu.´.ng Petersen (H` 5. 8) l` v´ du kh´c khˆng c´ chu tr` Hamilton Dˆy o ´ ´ ’ ` ˙ ’ a o a ˙ a ¯˙ ’ ˙ ’ ı ` l` d` thi ch´ quy 3-liˆn thˆng nho nhˆ t c´ tˆ t ca c´c d ınh bˆc ba Nhiˆu phan... ˙ 140 http://www.ebook.edu.vn - - ` ’ ˙ Dinh l´ 5. 3.10 Diˆu kiˆn d u dˆ’ G l` d` thi Hamilton l` [G]n = Kn y e e ¯ ˙ ¯e a ¯ˆ o a ˙ ’ ` ` ´ ´ ’ C´ thˆ’ chı ra rˇ ng hˆu hˆt c´c d iˆu kiˆn d u d ˜ biˆt (d u.o.c liˆt kˆ du.´.i d ay) liˆn quan o e ˙ a a e a ¯` e e ¯ ˙ ¯a e ¯ e e o ¯ˆ e ´n bˆc cua G suy ra [G]n = Kn v` do d ´ l` c´c hˆ qua cua Dinh l´ 5. 3.10 ˙ ’ ˙ ˙ - ’ ’ dˆ a ¯e a ¯o a a e y ˙... tiˆp t` Dinh l´ 5. 3.17 v´.i k = n Hˆ qua 5. 3.16 l` tˆ’ng qu´t e e u - y o e a o a ´ ’ ´ ’ ´ ´ ’ ˆ nhˆ t cua tˆ t ca c´c d iˆu kiˆn d ˜ biˆt c´ liˆn quan dˆn bˆc cua d` thi Tuy nhiˆn, d iˆu kiˆn a ˙ a ˙ a ¯` e e ¯a e o e ¯e a ˙ ¯o e ¯` e e ˙ ’ ’ ¯ˆ o ınh o o d u cua Dinh l´ 5. 3.10 l` tˆ’ng qu´t ho.n: d` thi trong H` 5. 10 c´ [G]6 = K6 nhu.ng khˆng ¯˙ ˙ - y a o a ` a ¯a ´ ’ ˙ ’ ˙ a ¯` ’ ’ ˙ ’... l` d o.n d` thi liˆn thˆng n d ınh a ¯ ¯ˆ e o o ¯˙ ´ ˙ ’ Hˆ qua 5. 3.11 [Ore] [47] Nˆu dG (vi ) + dG (vj ) ≥ n v´.i moi (vi , vj ) ∈ E th` G l` d` thi e e o / ı a ¯o ˆ Hamilton ´ ˙ ’ Hˆ qua 5. 3.12 [Dirac] [17] Nˆu dG (vi ) ≥ e e n 2 v´.i moi d ı’nh vi ∈ V th` G l` d` thi Hamilton o ı a ¯ˆ o ¯˙ ´ ´ ˙ ’ ˙ ’ Hˆ qua 5. 3.13 [P´sa] [51 ] Nˆu c´c d ı’nh cu a G d u.o.c d ´nh sˆ thu tu sao cho e o e a... thu tuc n`y tı lˆ v´.i n4 ) V` c´c u o a ` o e a ¯o ˙ ı a a - ˙ ’ o o a u a ¯ e o bˆc khˆng giam, d` thi nhˆn d u.o.c khˆng phu thuˆc v`o th´ tu c´c canh d u.o.c thˆm D` a o ¯o a ¯ ˆ a G) goi l` k−bao d ong cua G v` k´ hiˆu l` [G] V´.i k = n, t` Mˆnh d` 5. 3.8 ˙ ’ thi n`y (ch´ u ¯´ a y e a o u e ¯ˆ e k a a suy ra - ´ ´ Dinh l´ 5. 3.9 [8] G l` d` thi Hamilton nˆu v` chı’ nˆu [G]n l` d` thi... - ´ ´ ˙ ’ Dinh l´ 5. 3.17 [8] Nˆu c´c d ı’nh cu a G d u.o.c d ´nh sˆ thu tu v1 , v2 , , vn sao cho y e a ¯˙ ¯ ¯a o i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b c d (b) H`ınh 5. 1: (a) Ba ˙’ n d¯ˆo ` cu ˙’ a th`anh phˆo ´ K¨onigsberg. (b) D - ˆo ` thi . tu . o . ng d¯u . o . ng. D - i . nh l´y 5. 1.3 [Euler] D - a d¯ˆo ` thi . vˆo hu . ´o . ng. e 15 , v 4 , e 14 , v 5 , e 13 , v 4 , e 12 , v 6 , e 11 , 129 http://www.ebook.edu.vn e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 e 8 e 9 e 10 e 11 e 12 e 13 e 14 e 15 e 16 e 17 v 1 v 2 v 6 v 3 v 7 v 8 v 5 v 4 . ma . ch Hamilton (trong tru . `o . ng ho . . p c´o hu . ´o . ng). V´ı du . 5. 3.2 Nˇam 1 859 , nh`a to´an ho . c Hamilton (180 5- 1 8 65) ngu . `o . i Ailen d¯˜a cho b´an mˆo . t d¯ˆo ` cho . i d¯ˆo . c d¯´ao,