Đây là ebook logic mệnh đề của thầy Vũ Quốc Hoàng, giảng dạy tại trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, tài liệu rất hay và rất ý nghĩa
Logic Toán Bài 1 Logic mệnh đề 1 Logic mệnh đề 1 Vũ Quốc Hoàng (vqhoang@fit.hcmus.edu.vn) ĐTTX, FIT, HCMUS HCMC, 2013 Nội dung • Cú pháp Logic mệnh đề • Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Chân lý và mâu thuẫn • Hệ quả và tương đương logic • Hệ quả và tương đương logic • Dạng chuẩn CNF 2 Logic? • Trí tuệ = Tri thức ⊕ Suy luận (Intelligence = Knowledge ⊕ Reasoning) – Hai vấn đề cơ bản là biểu diễn và xử lý tri thức • Logic là một phương tiện gần gũi, mạnh mẽ và hiệu quả để biểu diễn và xử lý tri thức của con 3 hiệu quả để biểu diễn và xử lý tri thức của con người • Logic là một ngôn ngữ hình thức: – mỗi tri thức được biểu diễn bằng một câu logic đúng cú pháp và có ngữ nghĩa xác định (chính xác và đơn giản) – ngữ nghĩa của một câu logic là đúng hoặc sai Cú pháp Logic mệnh đề (Propositional Logic) • Tập các kí hiệu Logic mệnh đề (dictionary): – 2 hằng: true và false – Các biến: A, B, C, …, P, Q, R, … – 5 toán tử: ¬, ∧, ∨, →, ↔ – 2 kí hiệu phụ: ( và ) 4 – 2 kí hiệu phụ: ( và ) • Biểu thức logic là dãy các kí hiệu logic • Ví dụ: – ¬(A ∨ B) → C là biểu thức logic – A¬ ∨ B) → là biểu thức logic – A and B ? không là biểu thức logic vì and và ? không là những kí hiệu logic Cú pháp Logic mệnh đề • Câu logic (sentence) là biểu thức logic đúng theo các qui tắc cú pháp sau: (1) true và false là các câu (2) Các biến là các câu: …, P, Q, R, … (3) Nếu α , β là các câu thì ∧ ∨ 5 (3) Nếu α , β là các câu thì ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β, α ↔ β cũng là các câu (4) Nếu α là câu thì (α) cũng là câu (5) Ngoài ra, không còn câu nào khác • Câu theo qui tắc (1), (2) gọi là câu đơn; câu theo qui tắc (3) gọi là câu phức Cú pháp Logic mệnh đề • Ví dụ: – true là câu đơn – P là câu đơn – ¬ P là câu phức 6 P là câu phức – ¬(A ∨ B) là câu phức – ¬(A ∨ B) → C là câu phức – ¬ không là câu – ¬(A không là câu – A¬ ∨ B) → không là câu Cú pháp Logic mệnh đề Độ ưu tiên của các toán tử • Độ ưu tiên của các toán tử logic giúp xác định qui tắc cú pháp nào được áp dụng trước • Các toán tử logic có độ ưu tiên giảm dần như sau: ¬, ∧, ∨, →, ↔ • Cặp ngoặc tròn xác định qui tắc cú pháp được áp dụng 7 • Cặp ngoặc tròn xác định qui tắc cú pháp được áp dụng trước tiên • Ví dụ: – ¬A ∨ B là (¬A) ∨ B – A ∨ B ∧ C là A ∨ (B ∧ C) – A ↔ B ∨ C → D là A ↔ ((B ∨ C) → D) – (A ∨ B) ∧ C Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Tập gồm 2 giá trị {đúng, sai} hay {t, f} hay {1, 0} được gọi là tập chân trị • Phép gán biến là phép gán chân trị cho tập biến logic – Ví dụ: {A = 1, B = 0, C = 1, …} • Ngữ nghĩa của một câu logic mệnh đề là một chân trị, tức là 8 • Ngữ nghĩa của một câu logic mệnh đề là một chân trị, tức là hoặc đúng (1) hoặc sai (0) • Ngữ nghĩa của câu có chứa biến phụ thuộc vào chân trị của biến • Ngữ nghĩa của câu phức thì phụ thuộc vào ngữ nghĩa của câu thành phần Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Cho Φ là một phép gán biến, A là một biến, ta kí hiệu Φ(A) là chân trị được gán cho biến A trong phép gán biến Φ – Ví dụ, Φ = {A = 1, B = 0, C = 1, …} thì Φ(A) = 1 • Ngữ nghĩa của một câu đơn được xác định theo các qui tắc ngữ nghĩa sau: 9 ngữ nghĩa sau: – Φ(true) = 1 không phụ thuộc vào Φ – Φ(false) = 0 không phụ thuộc vào Φ – Với A là biến thì Φ(A) là chân trị được gán cho biến A trong phép gán biến Φ Φ đọc là phi Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Ngữ nghĩa của một câu phức được xác định theo các qui tắc ngữ nghĩa cho trong các bảng chân trị (truth table) như sau Φ ΦΦ Φ(α αα α) Φ ΦΦ Φ(¬α ¬α¬α ¬α) 0 1 10 0 1 1 0 Φ ΦΦ Φ(α αα α) Φ ΦΦ Φ(β ββ β) Φ ΦΦ Φ(α∧β α∧βα∧β α∧β) Φ ΦΦ Φ(α∨β α∨βα∨β α∨β) Φ ΦΦ Φ(α→β α→βα→β α→β) Φ ΦΦ Φ(α↔β α↔βα↔β α↔β) 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 [...]... • Các toán tử logic “phản ánh” các phát biểu thông thường của con người: – – – – – ¬ (phủ định – negation): không, chẳng phải, … ∧ (hội – conjunction): và, vừa, hơn nữa, lại còn, … ∨ (tuyển – disjunction): hoặc, hay, vừa, … → (kéo theo – implication): suy ra, cho thấy, nếu/thì, … ↔ (tương đương – equivalence): khi và chỉ khi, nếu và chỉ nếu, cũng như, … • Tuy nhiên ngữ nghĩa của các toán tử logic là... của câu α nếu với mọi phép gán biến Φ, nếu Φ |= α thì Φ |= β, kí hiệu α |= β • Nếu β là hệ quả logic của α và α là hệ quả logic của β thì α và β được gọi là tương đương logic (equivalent) với nhau, kí hiệu α ≡ β • Định lý: – α |= β khi và chỉ khi α ⇒ β – α ≡ β khi và chỉ khi α ⇔ β 17 Hệ quả và tương đương logic Qui tắc tương đương • • • • • • • • • α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) α → β ≡ ¬α ∨ β α ∨ α ≡ α... γ) và α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) 18 Hệ quả và tương đương logic • Bảng chân trị là một công cụ mạnh để kiểm tra hệ quả và tương đương logic của logic mệnh đề A B A∧B A 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 A B ¬A A→B ¬A ∨ B 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 A là hệ quả của A ∧ B A → B và ¬A ∨ B là tương đương 19 Hệ quả và tương đương logic • Câu α được gọi là biến đổi tương đương thành câu β nếu...Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Ví dụ, cho phép gán biến Φ = {A = 1, B = 0, C = 1, D = 0, … } Thì ngữ nghĩa của vài câu theo Φ như sau: – Φ(true) = 1 – Φ(A) = 1, Φ(B) = 0, Φ(C) = 1, Φ(D) = 0 – Φ(¬A) = 0 – Φ(¬A → B) = 1 – Φ((¬A → B) ∧ C) = 1 – Φ(A ∧ D) = 0 – Φ(¬(A ∧ D)) = 1 – Φ((¬A → B) ∧ C ∨ ¬(A ∧ D)) = 1 – ¬(A ∧ không là câu (biểu thức logic không đúng cú pháp) nên không có ngữ nghĩa 11 Ngữ nghĩa Logic mệnh... chân trị là một công cụ mạnh để kiểm tra một câu logic mệnh đề có thỏa mãn được, có là hằng đúng hay là hằng sai A B A→B A ∧ (A → B) A ∧ (A → B) → B 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Hằng đúng Hằng sai A B A→B (A → B) → A ¬A ((A → B) → A) ∧ ¬A 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 16 Hệ quả và tương đương logic • Câu β được gọi là hệ quả logic (consequence) của câu α nếu với mọi phép... đề - clause với mệnh đề - proposition 21 Dạng chuẩn CNF • Chuyển câu α về dạng chuẩn CNF là biến đổi tương đương câu α thành một câu CNF – Việc chuẩn hóa hình thức câu logic giúp cho việc xử lý câu logic hiệu quả hơn • Định lý: Mọi câu logic mệnh đề đều có thể chuyển về dạng chuẩn CNF Thực hiện theo các bước: – – – – Bước 1: Xóa ↔ Bước 2: Xóa → Bước 3: Đưa mọi phủ định không là trực kiện âm vào trong... • Tuy nhiên ngữ nghĩa của các toán tử logic là hoàn toàn xác định (và đơn giản) như đã thấy 12 Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Ví dụ, xét hai câu ngôn ngữ tự nhiên: S1 : “Tôi bị đau và tôi đến khám bác sĩ” S2 : “Tôi đến khám bác sĩ và tôi bị đau” – ngữ nghĩa hai câu này là khác nhau – tuy nhiên, trong logic mệnh đề thì câu α ∧ β luôn luôn cùng ngữ nghĩa với câu β ∧ α • Ví dụ, xét câu sau trong ngôn ngữ tự... câu sau trong ngôn ngữ tự nhiên: S : “Nếu tôi sinh ra trước Albert Einstein thì tôi sẽ phát minh ra thuyết tương đối” – câu này có lẽ được xem là “không tưởng” (sai) hoặc “có vấn đề” – tuy nhiên, trong logic mệnh đề thì câu α → β là đúng bất cứ khi nào α sai (mà không phụ thuộc ngữ nghĩa của β) 13 Chân lý và mâu thuẫn • Nếu một câu α đúng theo phép gán biến Φ, tức là Φ(α) = 1, thì ta nói Φ là một mô . Logic Toán Bài 1 Logic mệnh đề 1 Logic mệnh đề 1 Vũ Quốc Hoàng (vqhoang@fit.hcmus.edu.vn) ĐTTX, FIT, HCMUS HCMC, 2013 Nội dung • Cú pháp Logic mệnh đề • Ngữ nghĩa Logic mệnh đề • Chân. đơn giản) – ngữ nghĩa của một câu logic là đúng hoặc sai Cú pháp Logic mệnh đề (Propositional Logic) • Tập các kí hiệu Logic mệnh đề (dictionary): – 2 hằng: true và false – Các biến: A, B, C, …,. Biểu thức logic là dãy các kí hiệu logic • Ví dụ: – ¬(A ∨ B) → C là biểu thức logic – A¬ ∨ B) → là biểu thức logic – A and B ? không là biểu thức logic vì and và ? không là những kí hiệu logic Cú