LTĐH Chuyên đề: Phương Trình, Bất Phương Trình Chứa Căn

TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Phương pháp nâng lũy thừa khử căn a 0 B A B A B        b 0, 0 2 A B A B C A B AB C              c 2 0 B A B A B        d 3 3 A B A B    e 3 3 A B A B    f 2 0 0 0 B A A B B A B                    g 2 0 0 B A B A A B           h 3 3 ; A B A B    . i 3 3 A B A B    2. Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ hoàn toàn (đưa phương trình về hết theo ẩn mới). Đặt ẩn phụ không hoàn toàn (vẫn còn ẩn cũ). Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình. Lượng giác hóa. 3. Đưa về phương trình tích a     1 1 1 0 u v uv u v        . b     0 au bv ab uv b u a v        . 4. Trục căn thức Nhẩm nghiệm 0 x x  (thường là nghiệm đẹp). Đưa phương trình về dạng     0 0 x x g x   (thường phương trình   0 g x  vô nghiệm). 5. Phương pháp hàm số TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Hàm số   f x luôn tăng (hoặc giảm) trên D thì phương trình   0 f x  có không quá 1 nghiệm trên D. Nếu   f t là hàm số luôn tăng (hoặc giảm) trên D thì     , , f u f v u v u v D      . 6. Dạng đặc biệt a A B AB      . b 2 2 A B mA nB      . Chú ý: Việc giải bất phương trình chứa căn cũng giống như giải phương trình chứa căn nhưng khi nhân, chia hoặc qui đồng 2 vế phải để ý chiều bất đẳng thức. Phải kết hợp nghiệm với điều kiện cho chính xác. II. BÀI TẬP Bài 1. Nâng lũy thừa khử căn 1 4 1 1 2 x x x      2 3 4 2 1 3 x x x      3     2 2 1 1 2 log 0 x x x x       . 4 2 2 1 2 2 1 1 x x x x x          5 3 3 8 10 2 x x     6 3 3 3 5 6 2 11 x x x      7 3 3 3 1 2 3 0 x x x       8 2 16 5 3 3 3 x x x x       9   2 1 16 17 8 15 23 x x x x      10 2 2 2 8 6 1 2 2 x x x x       11   2 2 6 3 2 5 3 x x x x x       12 2 4 2 1 3 2 x x x x x     13   3 3 2 3 3 2 1 0 x x x x      TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 14 2 2 3 1 4 3 2 x x x x      15 3 2 3 3 1 2 1 3 2 x x x x        16 2 3 2 1 2 4 3 x x x x x x        17 4 3 4 3 x x x x     18   2 2 16 7 3 3 3 x x x x x        19 5 1 1 2 4 x x x      20 2 7 5 3 2 x x x      21 12 3 2 1 x x x      22   2 2 3 2 3 2 0 x x x x     23 2 2 12 12 11 2 9 x x x x x x        Bài 2. Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn 24 2 2 3 3 3 6 3 x x x x       25   2 2 2 2 2 3 9 x x x x      26       1 3 1 4 3 3 3 x x x x x         27 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2 x x x x x         28 2 3 2 6 2 4 4 10 3 x x x x        29   2 2 1 1 1 2 1 x x x      30 2 2 2 1 x x x    31     2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 x x x x x x       TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 32 2 2 2 5 2 2 2 5 6 1 x x x x       33 2 2 3 2 2 2 6 2 2 x x x x        34 2 2 11 31 x x    35     2 5 2 3 3 x x x x     36     2 1 2 1 2 2 x x x x      37     3 3 2 2 1 2 1 x x x x     38     3 3 2 2 2 1 1 1 1 2 1 x x x x               39 2 2 1 2 1 2 1 0 x x x x       40 6 4 2 2 64 112 56 7 2 1 x x x x      41 2 35 12 1 x x x    42 2 2 1 1 2 x x x x       43 2 2 6 1 4 5 x x x     44 2 1 2 3 1 x x x x x     45 3 2 4 2 2 1 x x x x     46     3 3 2 2 1 2 1 x x x x     47   2 2 10 3 1 1 6 3 x x x x      48 3 2 3 2 3 6 5 8 0 x x      49 3 24 12 6 x x     50 2 2 4 2 3 1 1 x x x x      51 2 2 1 4 1 x x x    TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 52       2 2 1 3 2 3 2 1 x x x x x         53 3 1 3 2 2 2 2 x x x x     54   2 1 1 2 1 x x x x      55 2 1 4 1 3 x x x x      Bài 3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 56   3 3 4 1 1 2 2 1 x x x x      57 2 2 1 2 2 x x x x    58 2 2 1 2 2 x x x x    59   2 2 4 2 2 4 x x x x x      60   2 2 1 2 3 1 x x x x      61   2 2 2 3 2 1 2 2 x x x x       62 2 4 1 1 3 2 1 1 x x x x        63   2 2 4 1 1 2 2 1 x x x x      64   2 2 3 5 2 3 4 6 1 x x x x      Bài 4. Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ 65 3 2 1 1 x x     66 3 2 3 2 3 6 5 8 0 x x      67   2 2 1 2 1 3 2 2 x x x      68 3 9 2 1 x x     69   2 1 1 0 x x x x x x        70 2 2 1 3 5 3 30 71 0 x x x x        TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 71 2 4 2 22 3 8 x x x      72 2 2 3 1 x x x x       73   3 1 1 x x    Bài 5. Phương pháp đưa về phương trình tích 74   2 2 3 10 12 x x x x      75 2 3 2 1 2 4 3 x x x x x x        76 2 2 6 2 6 x x x x x      77 3 2 3 3 1 1 1 3 2 x x x x        78 3 3 2 2 3 3 1 x x x x x      79 2 6 3 2 2 2 5 x x x x x x        80 2 10 21 3 3 2 7 6 x x x x        Bài 6. Phương pháp trục căn 81 5 2 1 2 10 3 13 x x x      82 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x        83   2 2 3 4 1 4 2 x x x x x       84 3 1 2 1 1 3 3 x x x x        85 2 4 6 2 13 17 x x x x       86   2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x           87 2 2 12 5 3 5 x x x      88 3 2 3 1 2 x x x     89 2 2 4 2 5 1 x x x x       90 2 4 2 22 3 8 x x x      TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 91 2 3 2 6 x x x     92 2 9 20 2 3 10 x x x     93   3 2 2 2 6 x x x      94 2 1 2 2 2 x x x x       95 2 2 4 6 11 x x x x       96   2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x           97   2 2 1 2 3 1 x x x x      98 2 3 2 11 21 3 4 4 x x x     99   2 2 2 21 3 9 2 x x x     100   2 2 4 1 1 x x x     101 2 2 2 3 2 4 3 2 5 4 x x x x x x         102 4 2 1 2 17 x x x     103 2 2 2 92 2 1 1 x x x x x        Bài 7. Phương pháp hàm số 104 2 4 1 4 1 1 x x     105 3 1 4 5 x x x      106 2 1 3 x x x     107 2 3 1 2 2 x x x x     108 2 2 1 3 4 x x x      109 3 3 5 2 2 1 1 0 x x x       110   2 3 2 2 3 1 2 1 1 2 1 x x x x        TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 Bài 8. Sử dụng đánh giá 111 2 2 5 1 2 x x x      112 2 2 1 1 2 x x x x       113 3 2 2 2 7 11 25 12 6 1 x x x x x       114 2 2 1 1 2 2 4 x x x x             115 2 1 3 4 1 1 x x x x        116 1 2 2 1 2 2 1 x x x x         117 3 2 1 2 1 2 x x x x x        118 3 2 2 2 5 3 3 2 6 1 x x x x x       119 3 3 2 2 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 6 x x x x x x             120 4 4 4 1 1 2 8 x x x x        Bài 9. Một số phương trình đặc biệt 121   2 3 2 2 5 1 x x    122 2 4 2 3 3 1 1 3 x x x x       123 2 2 37 4 1 9 26 0 3 3 x x x      124 2 3 2 5 1 7 1 x x x     125 2 2 2 2 1 x x x    126 2 2 6 1 4 5 x x x     127 3 3 8 4 1 6 1 x x x     128   2 3 2 3 2 3 8 x x x     129   3 3 2 3 2 2 6 0 x x x x      TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 130 3 2 3 3 4 3 2 x x x x      Bài 10. Các bài tập có tham số 131 Cho phương trình : 2 2 2 4 x x x m       a) Giải phương trình khi 2 m  . b) Định m để phương trình có nghiệm . 132 Cho phương trình : 2 6 ( 5)(1 ) 0 x x m x x       a) Giải phương trình khi m = 7. b) Định m để phương trình có nghiệm . 133 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 x m x mx     134 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2 3 2 m x x x     135 Cho hàm số : ( ) 2 4 f x x x     a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số   f x . b) Áp dụng giải phương trình: 2 2 4 6 11 x x x x       . c) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 4 x x m     d) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 4 2 6 8 1 x x x x m          136 Cho hàm số : 2 3 5 2 y x x     a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. b) Áp dụng giải phương trình: 2 2 3 5 2 4 6 0 x x x x        c) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 3 5 2 x x m     d) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 2 3 5 2 4 16 15 0 x x x x m          137 Tìm m để pt sau có nghiệm: 1 3 ( 1)(3 ) x x x x m        138 Tìm m để pt sau có nghiệm: 9 .3 2 1 0 x x m m     139 Tìm m để pt sau có nghiệm: 3 2 2 1 2 1 x x m     140 Tìm m để pt sau có nghiệm: 4 4 4 4 x x x x m       141 Tìm m để pt sau có nghiệm: 12 ( 5 4 ) x x x m x x       TTLT ĐẠI HỌC DIỆU HIỀN – 43D Đường 32 – TP Cần Thơ – ĐT: 0983. 336682 142 Cho bất phương trình : 2 2 1 mx x m     a) Giải bất phương trình khi m = 2. b) Định m để bất phương trình có nghiệm. 143 Cho bất phương trình : 2 ( 1) (3 )(8 ) 5 m x x x x m       a) Giải bất phương trình khi 12 m   . b) Tìm m để bpt đúng với m ọi   3,8 x   . 144 Tìm m để bpt sau có nghiệm: 4 2 x m x    145 Tìm m để bpt sau có nghiệm: 3 2 3 3 1 ( 1) x x m x x      146 Tìm m để các pt sau có nghiệm duy nhất: 3 2 2 1 2 1 x x m     147 Tìm m để các pt sau có nghiệm   2 2 4 2 2 1 1 2 1 1 1 m x x x x x          148 Tìm m để các pt sau có 2 nghiệm 2 2 2 1 x mx x     149 Chứng minh rằng với 0 m  thì phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt   2 2 8 2 x x m x     150 Tìm m để các pt sau có nghiệm 2 4 3 1 1 2 1 x m x x      151 Tìm m để các pt sau có đúng 2 nghiệm 4 4 2 2 2 6 2 6 x x x x m       .

CHUYÊN ĐỀ 10: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Phương pháp nâng lũy thừa khử căn

a/ A B B 0

A B





  



0, 0 2





0

B





  





d/ 3 3

A B AB

2

0 0 0

B A

B

A B

 











 

 









g/

2

0 0

B

A B

 



  







h/ 3 3

;

i/ 3 3

A B AB

2 Phương pháp đặt ẩn phụ

- Đặt ẩn phụ hoàn toàn (đưa phương trình về hết theo ẩn mới)

- Đặt ẩn phụ không hoàn toàn (vẫn còn ẩn cũ)

- Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

- Lượng giác hóa

3 Đưa về phương trình tích

a/ u v uv 1 u1v10

b/ au bv ab uv b u a v 0

4 Trục căn thức

- Nhẩm nghiệm xx0 (thường là nghiệm đẹp)

- Đưa phương trình về dạng xx0  g x 0 (thường phương trình g x   0 vô nghiệm)

5 Phương pháp hàm số

- Hàm số f x  luôn tăng (hoặc giảm) trên D thì phương trình f x   0 có không quá 1 nghiệm trên D

- Nếu f t  là hàm số luôn tăng (hoặc giảm) trên D thì f u  f v u v,u v, D

6 Dạng đặc biệt

a/  A B AB

b/  A B mA2nB2

Chú ý: Việc giải bất phương trình chứa căn cũng giống như giải phương trình chứa căn nhưng khi

nhân, chia hoặc qui đồng 2 vế phải để ý chiều bất đẳng thức Phải kết hợp nghiệm với điều kiện cho chính xác

II BÀI TẬP

Bài 1 Nâng lũy thừa khử căn

1/ x4 1x  1 2 x

2/ 3x4 2x 1 x 3

2

1x 1x2 log x x 0

4/ x 2 2 x 1 x 2 2 x   1 x 1

8x x10  2

6/ 3 x 5 3 x6  32x11

7/ 3 x 1 3 x23 x3 0

8/

2

3

x

x



1 16 17 8 15 23

x x  x  x

10/ 2x28x6 x2 1 2x2

x   x x  x  x

12/

2

x x





14/ 2 3x 1 4 x  3x2 x 2

16/ x 3 2x x 1 2x x24x3

3

x

x



18/  2 

3

x

  

19/ 5x 1 x 1 2x4

20/ 2x7 5x 3x2

21/ x12 x 3 2x 1

22/  2  2

x  x x  x 

23/



Bài 2 Phương pháp đặt ẩn phụ hoàn toàn

24/ x23x 3 x23x63

25/  2  2

2 x 2x  x 2x3 9

26/  3 1 4 3 1 3

3

x

x





3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x2

3 2x6 2x4 4x 10 3 x

1 1x x 1 2 1 x

30/

1

x

x

x



2 2 2

2

2

1 1

1

x x

x







32/ 2x25x22 2x25x6 1

33/ x23x22 2x26x2  2

34/ x2 x21131

35/    2

x x  x  x

x x   x x

37/ 3  23  2

x  x x x

1 1x  1x  1x  2 1x

39/ 1x2x 1x2 2x2 1 0

64x 112x 56x  7 2 1x

41/

2

35 12 1

x

x

x

 42/ x x2 1 x x2  1 2

43/ 2

2x 6x 1 4x5

44/ x2 2x x 1 3x 1

x

45/ x23 x4x2 2x1

46/ 3  23  2

x  x x x

10x 3x 1 1 6 x x  3

48/ 3

2 3x23 6 5 x  8 0

49/ 3

24x 12x 6

51/ 1 2 2

x x

x



52/    2  2

x x x  x   x

2 2

x x

54/

1





55/ x 1 x24x 1 3 x

Bài 3 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn

4x1 x  1 2x 2x 1

57/ x2 1 2x x22x

58/ x2 1 2x x22x

x  x x x  x

x x  x  x 

x   x  x  x 

62/ 4 x  1 1 3x2 1x 1x2

4x1 x  1 2x 2x 1

3x5 2x  3 4x 6x 1

Bài 4 Phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ

65/ 3

2x  1 x 1

66/ 3

2 3x23 6 5 x  8 0

2 1 3 2

2

x

x   x  

68/ 3

9x  2 x 1

x x  x x x x

2 x 1 3 5x3x 30x71 0

71/ 4 x2 22 3 x x2 8

72/ x2 3x x2  x 1

73/ x 1x3 1

Bài 5 Phương pháp đưa về phương trình tích

x x x  x

76/ x2 6x 2 x 6xx2

x  x   x  x

78/ 3 3 2 3 3 2

1

79/ x2 3x 2 x 2 2x x 6 5

x

80/ x210x213 x 3 2 x76

Bài 6 Phương pháp trục căn

81/ 5 2x 1 2x10 x 3 13

3x 1 6x3x 14x  8 0

x  x  x x  x

x





85/ x4 6x 2x213x17

3x 5x 1 x 2 3 x  x 1  x 3x4

87/ x212 x253x5

88/ 3 x2 1 x x32

x  x  x  x

4 x2 22 3 x x  8

91/ 2x 3 x 2x 6

92/ x29x202 3x10

93/ 3 2  x22x x6

x  x x  x

x  x x  x

3x 5x 1 x 2 3 x  x 1  x 3x4

x x  x  x 

2x 11x21 3 4 x4

99/

2 2

2

21

x

x x

 

100/

2

1 1

x

x x

 

101/ x23x2 x24x 3 2 x25x4

102/ 4 2x 1 2x 17

103/ x22x92x22x x 1 1

Bài 7 Phương pháp hàm số

104/ 4x 1 4x2 1 1

x  x  x

1 3

x   x x

1 2 2

x   x x x

2x 1 x 3 4 x

109/ 3 3

x   x   x

110/ 3 2 2 3 2

x   x    x x

Bài 8 Sử dụng đánh giá

111/ 2

112/ x x2 1 x x2  1 2

2 7x 11x 25x12x 6x1

114/ 2 x2 2 12 4 x 1

      

115/ x2 x 1 x 3 4 x  1 1

116/ x 1 2 x2  x 1 2 x2  1

2

x

118/ 2 5x33x23x2x26x1

1x  1x  1x  1x  1x  1x 6

x x x x 

Bài 9 Một số phương trình đặc biệt

121/  2  3

2 x 2 5 x  1

122/ 2 3 1 3 4 2 1

3

x  x   x x 

3 x  x  x 3 

2x 5x 1 7 x 1

125/ 2

2 2 2 1

x  x x

126/ 2

2x 6x 1 4x5

8x 4x 1 6x 1

128/  2  3

2 x 3x2 3 x  8

129/ 3 2  3

130/ 3 3 2

3x4x 3x   x 2

Bài 10 Các bài tập có tham số

131/ Cho phương trình : 2x 2x 4x2 m

a) Giải phương trình khi m 2

b) Định m để phương trình có nghiệm

132/ Cho phương trình : x26xm (x5)(1x)0

a) Giải phương trình khi m = 7

b) Định m để phương trình có nghiệm

133/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m  2x2mx3

134/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m x23x2x

135/ Cho hàm số : f x( ) x2 4x

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f x 

b) Áp dụng giải phương trình: x2 4x x26x11

c) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x2 4x m

d) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: x2 4x2 x26x 8 m1 136/ Cho hàm số : y 2x 3 5 2 x

a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

b) Áp dụng giải phương trình: 2x 3 5 2 xx24x  6 0

c) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: 2x 3 5 2 x m

d) Định m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:

2

2x 3 5 2 x 4x 16x15m0

137/ Tìm m để pt sau có nghiệm: x 1 3x (x1)(3x) m

138/ Tìm m để pt sau có nghiệm: 9xm.3x2m  1 0

139/ Tìm m để pt sau có nghiệm: 1x2 2 13 x2 m

140/ Tìm m để pt sau có nghiệm: x4 x4  x 4 x4m

141/ Tìm m để pt sau có nghiệm:x x x12 m( 5x 4x)

142/ Cho bất phương trình : mx x22m 1

a) Giải bất phương trình khi m = 2

b) Định m để bất phương trình có nghiệm

143/ Cho bất phương trình : (m1) (3x)(8x) x25xm

a) Giải bất phương trình khi m  12

b) Tìm m để bpt đúng với mọi x   3, 8

144/ Tìm m để bpt sau có nghiệm: x 4 m x 2

145/ Tìm m để bpt sau có nghiệm: x33x2 1 m( x x1)3

146/ Tìm m để các pt sau có nghiệm duy nhất: 1x2 2 13 x2 m

147/ Tìm m để các pt sau có nghiệm

m x  x  x  x  x

148/ Tìm m để các pt sau có 2 nghiệm x2mx22x1

149/ Chứng minh rằng với m 0 thì phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt

2

x  x  m x 150/ Tìm m để các pt sau có nghiệm

2 4

3 x 1 m x 1 2 x 1

151/ Tìm m để các pt sau có đúng 2 nghiệm

2x 2x2 6x2 6x m