Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 19 f(x 1 , x 2 , x 3 ) = [f(0,0,0)+x 1 + x 2 +x 3 ].[f(0,0,1)+x 1 +x 2 +x 3 ]. [f(0,1,0)+x 1 +x 2 +x 3 ].[f(0,1,1)+x 1 +x 2 +x 3 ]. [f(1,0,0)+ x 1 +x 2 +x 3 ].[f(1,0,1)+x 1 +x 2 +x 3 ]. [f(1,1,0)+ x 1 +x 2 +x 3 ].[f(1,1,1)+x 1 +x 2 +x 3 ] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m trong âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole dỉåïi dảng tháût hồûc dảng b. Chụ : Xẹt vê dủ 1: f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 , Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 1: f(x 1 , x 2 ) = 0.x 1 x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 = x 1 .x 2 + x 1 .x 2 + x 1 .x 2 Tỉì vê dủ trãn ta tháúy: Dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra bàòng 1. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng b ( x ). Xẹt vê dủ 2: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = [0+x 1 +x 2 +x 3 ].[0+x 1 +x 2 +x 3 ].[0+x 1 +x 2 +x 3 ]. [1+x 1 +x 2 +x 3 ].[1+x 1 +x 2 +x 3 ].[1+x 1 +x 2 +x 3 ]. [1+ x 1 +x 2 +x 3 ].[1+x 1 +x 2 +x 3 ] Hay: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 = [x 1 +x 2 +x 3 ].[x 1 +x 2 +x 3 ].[x 1 +x 2 +x 3 ] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø håüp nhë phán cạc biãún vo sao cho tỉång ỉïng våïi nhỉỵng täø håüp âọ giạ trë ca hm ra bàòng 0. Khi liãût kã nãúu biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng tháût (x), v biãún tỉång ỉïng bàòng 1 âỉåüc viãút åí dảng b ( x ). Xẹt vê dủ âån gin sau âãø hiãøu r hån vãư cạch thnh láûp bng giạ trë ca hm, tçm hm mảch v thiãút kãú mảch: Hy thiãút kãú mảch âiãûn sao Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 20 cho khi cọng từc 1 õoùng thỗ õeỡn õoớ, cọng từc 2 õoùng õeỡn õoớ, caớ hai cọng từc õoùng õeỡn õoớ. Giaới Ta qui õởnh: - Cọng từc hồớ : 0 eỡn từt : 0 - Cọng từc õoùng : 1 eỡn õoớ : 1 Luùc õoù ta coù baớng traỷng thaùi mọ taớ hoaỷt õọỹng cuớa maỷch: Cọng từc 1 x 1 Cọng từc 2 x 2 eỡn f(x 1 ,x 2 ) 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 Vióỳt theo daỷng chờnh từc 1 ta coù: f(x 1 , x 2 ) = 0.x 1 x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 + 1.x 1 .x 2 = x 1 . x 2 + x 1 .x 2 + x 1 .x 2 = x 1 . x 2 + x 1 (x 2 + x 2 ) = x 1 . x 2 + x 1 = x 1 + x 2 Vióỳt theo daỷng chờnh từc 2 ta coù: f(x 1 , x 2 ) = [0+x 1 +x 2 ].[1+x 1 +x 2 ].[1+x 1 + x 2 ].[1+x 1 +x 2 ] = [x 1 + x 2 ].1.1.1 = x 1 + x 2 Vỏỷy, duỡ vióỳt theo daỷng chờnh từc 1 hay chờnh từc 2 ta õóửu coù haỡm maỷch: f(x 1 , x 2 ) = x 1 + x 2 2.2.2.3. Phổồng phaùp bióứu dióựn bũng baớng Karnaugh ỏy laỡ caùch bióứu dióựn laỷi cuớa phổồng phaùp baớng dổồùi daỷng baớng gọửm caùc ọ vuọng coù daỷng nhổ hỗnh bón. Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 21 Trãn bng ny ngỉåìi ta bäú trê cạc biãún vo theo hng hồûc theo cäüt ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l chàơn, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang bàòng säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc ca bng. Trong trỉåìng håüp säú lỉåüng biãún vo l l, ngỉåìi ta bäú trê säú lỉåüng biãún vo theo hng ngang nhiãưu hån säú lỉåüng biãún vo theo cäüt dc 1 biãún hồûc ngỉåüc lải. Cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng âỉåüc bäú trê sao cho khi ta âi tỉì mäüt ä sang mäüt ä lán cáûn våïi nọ chè lm thay âäøi mäüt giạ trë ca biãún, nhỉ váûy thỉï tỉû bäú trê hay sàõp xãúp cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo theo hng ngang hồûc theo cäüt dc ca bng Karnaugh hon ton tn th theo m Gray. Giạ trë ghi trong mäùi ä vng ny chênh l giạ trë ca hm ra tỉång ỉïng våïi cạc täø håüp giạ trë ca biãún vo. ÅÍ nhỉỵng ä m giạ trë hm l khäng xạc âënh, cọ nghéa l giạ trë ca hm l ty (hay ty âënh), ngỉåìi ta kê hiãûu bàòng chỉỵ x. Nãúu cọ n biãún vo s cọ 2n ä vng. 2.3. TÄÚI THIÃØU HM BOOLE 2.3.1. Âải cỉång Trong thiãút bë mạy tênh ngỉåìi ta thỉåìng thiãút kãú gäưm nhiãưu modul (kháu) v mäùi modul ny âỉåüc âàûc trỉng bàòng mäüt phỉång trçnh logic. Trong âọ, mỉïc âäü phỉïc tảp ca så âäư ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng. Viãûc âảt âỉåüc âäü äøn âënh cao hay khäng l ty thüc vo phỉång trçnh logic biãøu diãùn chụng åí dảng täúi thiãøu họa hay chỉa. Âãø thỉûc hiãûn âỉåüc âiãưu âọ, khi thiãút kãú mảch säú ngỉåìi ta âàût ra váún âãư täúi thiãøu họa cạc hm logic. Âiãưu âọ cọ nghéa l phỉång trçnh logic biãøu diãùn sao cho thỉûc sỉû gn nháút (säú lỉåüng cạc phẹp tênh v säú lỉåüng cạc säú âỉåüc biãøu diãùn dỉåïi dảng tháût hồûc b l êt nháút). Tuy nhiãn trong thỉûc tãú, khäng phi lục no cng âảt âỉåüc låìi gii täúi ỉu cho bi toạn täúi thiãøu họa. Bi ging K Thût Säú Trang 22 2.3.2. Cạc bỉåïc tiãún hnh täúi thiãøu họa - Dng cạc phẹp täúi thiãøu âãø täúi thiãøu họa cạc hm säú logic. - Rụt ra nhỉỵng thỉìa säú chung nhàòm mủc âêch täúi thiãøu họa thãm mäüt bỉåïc nỉỵa cạc phỉång trçnh logic. 2.3.3. Cạc phỉång phạp täúi thiãøu họa 2.3.3.1. Phỉång phạp gii têch Âọ l phỉång phạp täúi thiãøu họa hm Boole (phỉång trçnh logic) dỉûa vo cạc tiãn âãư, âënh l ca âải säú Boole. Vê dủ: f(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 = (x 1 + x 1 )x 2 + x 1 x 2 = x 2 + x 1 x 2 = x 2 + x 1 Vê dủ: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) + x 1 x 2 = x 1 x 2 x 3 + x 1 (x 2 + x 2 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 = x 1 + x 2 x 3 2.3.3.2. Phỉång phạp bng Karnaugh a. Täúi thiãøu họa hm Boole bàòng bng Karnaugh Âãø täúi thiãøu họa hm Boole bàòng phỉång phạp bng Karnaugh phi tn th theo qui tàõc vãư ä kãú cáûn: “Hai ä âỉåüc gi l kãú cáûn nhau l hai ä m khi ta tỉì ä ny sang ä kia chè lm thay âäøi giạ trë ca 1 biãún. “ Quy tàõc chung ca phỉång phạp rụt gn bàòng bng Karnaugh l gom (kãút håüp) cạc ä kãú cáûn lải våïi nhau. Khi gom 2 ä kãú cáûn nhau s loải âỉåüc 1 biãún (2 ä =2 1 loải 1 biãún). Khi gom 4 ä kãú cáûn s loải âỉåüc 2 biãún (4 ä =2 2 loải 2 biãún). Khi gom 8 ä kãú cáûn s loải âỉåüc 3 biãún (8 ä = 2 3 loải 3 biãún ). Täøng quạt, khi gom 2 n ä kãú cáûn s loải âỉåüc n biãún. Nhỉỵng biãún bë loải l nhỉỵng biãún khi ta âi vng qua cạc ä kãú cáûn m giạ trë ca chụng thay âäøi. Chổồng 2. aỷi sọỳ BOOLE Trang 23 Nhổợng õióửu cỏửn lổu yù: - Voỡng gom õổồỹc goỹi laỡ hồỹp lóỷ khi trong voỡng gom õoù coù ờt nhỏỳt 1 ọ chổa thuọỹc voỡng gom naỡo. - Vióỷc kóỳt hồỹp nhổợng ọ kóỳ cỏỷn vồùi nhau coỡn tuỡy thuọỹc vaỡo phổồng phaùp bióứu dióựợn haỡm Boole theo daỷng chờnh từc 1 hoỷc chờnh từc 2. ióửu naỡy coù nghộa laỡ: nóỳu ta bióứu dióựn haỡm Boole theo daỷng chờnh từc 1 thỗ ta chố quan tỏm nhổợng ọ kóỳ cỏỷn naỡo coù giaù trở bũng 1 vaỡ tuỡy õởnh, ngổồỹc laỷi nóỳu ta bióứu dióựn haỡm Boole dổồùi daỷng chờnh từc 2 thỗ ta chố quan tỏm nhổợng ọ kóỳ cỏỷn naỡo coù giaù trở bũng 0 vaỡ tuỡy õởnh. Ta quan tỏm nhổợng ọ tuỡy õởnh sao cho nhổợng ọ naỡy kóỳt hồỹp vồùi nhổợng ọ coù giaù trở bũng 1 (nóỳu bióứu dióựn theo daỷng chờnh từc 1) hoỷc bũng 0 (nóỳu bióứu dióự n theo daỷng chờnh từc 2) seợ laỡm cho sọỳ lổồỹng ọ kóỳ cỏỷn laỡ 2n lồùn nhỏỳt. - Caùc ọ kóỳ cỏỷn muọỳn gom õổồỹc phaới laỡ kóỳ cỏỷn voỡng troỡn nghộa laỡ ọ kóỳ cỏỷỷn cuọỳi cuợng laỡ ọ kóỳ cỏỷn õỏửu tión. c. Caùc vờ duỷ Vờ duỷ 1: Tọỳi thióứu hoùa haỡm sau bũng phổồng phaùp baớng Karnaugh. 0 1 x 2 f(x 1 ,x 2 ) x 1 0 0 1 1 1 1 Tọỳi thióứu hoùa theo daỷng chờnh từc 2: f(x 1 ,x 2 ) = x 1 + x 2 Vờ duỷ 2: Tọỳi thióứu hoùa haỡm sau bũng phổồng phaùp baớng Karnaugh. 00 01 11 10 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Voỡng gom 2: x 2 .x 3 Voỡn g g om 1: x 1 x 1 ,x 2 Tọỳi giaớn theo daỷng chờnh từc 1: Ta chố quan tỏm õóỳn nhổợng ọ coù giaù trở bũng 1 vaỡ tuỡy õởnh, nhổ vỏỷy seợ coù 2 voỡng gom õóứ phuớ hóỳt caùc ọ coù giaù trở bũng 1: voỡng gom 1 gọửm 4 ọ kóỳ cỏỷn, vaỡ voỡng gom 2 gọửm 2 ọ kóỳ cỏỷn (hỗnh veợ). Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 24 ọỳi vồùi voỡng gom 1: Coù 4 ọ = 2 2 nón seợ loaỷi õổồỹc 2 bióỳn. Khi õi voỡng qua 4 ọ kóỳ cỏỷn trong voỡng gom chố coù giaù trở cuớa bióỳn x 1 khọng õọứi (luọn bũng 1), coỡn giaù trở cuớa bióỳn x 2 thay õọứi (tổỡ 10) vaỡ giaù trở cuớa bióỳn x 3 thay õọứi (tổỡ 01) nón caùc bióỳn x 2 vaỡ x 3 bở loaỷi, chố coỡn laỷi bióỳn x 1 trong kóỳt quaớ cuớa voỡng gom 1. Vỗ x 1 =1 nón kóỳt quaớ cuớa voỡng gom 1 theo daỷng chờnh từc 1 seợ coù x1 vióỳt ồớ daỷng thỏỷt: x 1 ọỳi vồùi voỡng gom 2: Coù 2 ọ = 2 1 nón seợ loaỷi õổồỹc 1 bióỳn. Khi õi voỡng qua 2 ọ kóỳ cỏỷn trong voỡng gom giaù trở cuớa bióỳn x 2 vaỡ x 3 khọng õọứi, coỡn giaù trở cuớa bióỳn x 1 thay õọứi (tổỡ 01) nón caùc bióỳn x 2 vaỡ x 3 õổồỹc giổợ laỷi, chố coù bióỳn x 1 bở loaỷi. Vỗ x 2 =1 vaỡ x 3 =1 nón kóỳt quaớ cuớa voỡng gom 2 theo daỷng chờnh từc 1 seợ coù x 2 vaỡ x 3 vióỳt ồớ daỷng thỏỷt: x 2 .x 3 Kóỳt hồỹp 2 voỡng gom ta coù kóỳt quaớ tọỳi giaớn theo daỷng chờnh từc 1: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 + x 2 .x 3 Tọỳi giaớn theo daỷng chờnh từc 2: Ta quan tỏm õóỳn nhổợng ọ coù giaù trở bũng 0 vaỡ tuỡy õởnh, nhổ vỏỷy cuợng coù 2 voỡng gom (hỗnh veợ), mọựi voỡng gom õóửu gọửm 2 ọ kóỳ cỏỷn. ọỳi vồùi voỡng gom 1: Coù 2 ọ = 2 1 nón loaỷi õổồỹc 1 bióỳn, bióỳn bở loaỷi laỡ x 2 (vỗ coù giaù trở thay õọứi tổỡ 01). Vỗ x 1 =0 vaỡ x 3 =0 nón kóỳt quaớ cuớa voỡng gom 1 theo daỷng chờnh từc 2 seợ coù x 1 vaỡ x 3 ồớ daỷng thỏỷt: x 1 + x 3 . ọỳi vồùi voỡng gom 2: Coù 2 ọ = 2 1 nón loaỷi õổồỹc 1 bióỳn, bióỳn bở loaỷi laỡ x 3 (vỗ coù giaù trở thay õọứi tổỡ 0 1). Vỗ x 1 =0 vaỡ x 2 =0 nón kóỳt quaớ cuớa voỡng gom 2 theo daỷng chờnh từc 2 seợ coù x 1 vaỡ x 2 ồớ daỷng thỏỷt: x 1 + x 2 . 00 01 11 10 x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 Voỡn g g om 2: x 1 + x 2 Voỡn g g om 1: x 1 + x 3 x 1 ,x 2 Kóỳt hồỹp 2 voỡng gom coù kóỳt quaớ cuớa haỡm f vióỳt theo daỷng chờnh từc 2: f (x 1 , x 2 , x 3 ) = (x 1 +x 3 ).(x 1 +x 2 ) = x 1 .x 1 + x 1 .x 2 + x 1 .x 3 + x 2 .x 3 = x 1 + x 1 .x 2 + x 1 .x 3 + x 2 .x 3 Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 25 = x 1 (1+ x 2 + x 3 ) + x 2 .x 3 = x 1 + x 2 .x 3 Nháûn xẹt: Trong vê dủ ny, hm ra viãút theo dảng chênh tàõc 1 v hm ra viãút theo dảng chênh tàõc 2 l giäúng nhau. Tuy nhiãn cọ trỉåìng håüp hm ra ca hai dảng chênh tàõc 1 v 2 l khạc nhau, nhỉng giạ trë ca hm ra ỉïng våïi mäüt täø håüp biãún âáưu vo l giäúng nhau trong c 2 dảng chênh tàõc. Chụ : Ngỉåìi ta thỉåìng cho hm Boole dỉåïi dảng biãøu thỉïc rụt gn. Vç cọ 2 cạch biãøu diãùn hm Boole theo dảng chênh tàõc 1 hồûc 2 nãn s cọ 2 cạch cho giạ trë ca hm Boole ỉïng våïi 2 dảng chênh tàõc âọ: Dảng chênh tàõc 1: Täøng cạc têch säú. f(x 1 , x 2 , x 3 ) = Σ (3, 4, 7) + d(5, 6) Trong âọ d: giạ trë cạc ä ny l ty âënh (d: don’t care) 00 01 11 10 0 00X1 1 011X x 3 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) x 1 ,x 2 Lục âọ bng Karnaugh s âỉåüc cho nhỉ hçnh trãn. Tỉì biãøu thỉïc rụt gn ca hm ta tháúy tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp nhë phán cạc biãún vo cọ giạ trë l 3, 4, 7 thç hm ra cọ giạ trë bàòng 1; tải cạc ä ỉïng våïi täø håüp nhë phán cạc biãún vo cọ giạ trë l 5,6 thç hm ra cọ giạ trë l ty âënh; hm ra cọ giạ trë bàòng 0 åí nhỉỵng ä cn lải ỉïng våïi täø håüp cạc biãún vo cọ giạ trë l 0, 1, 2. Dảng chênh tàõc 2: Têch cạc täøng säú. Phỉång trçnh logic trãn cng tỉång âỉång: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = (0, 1, 2) + d(5, 6) Π Baỡi giaớng Kyợ Thuỏỷt Sọỳ Trang 26 Vờ duỷ 3: Tọỳi thióứu hoùa haỡm 4 bióỳn sau õỏy: 00 01 11 10 00 x x 1 x 01 x 0 1 x 11 0 x x 1 10 1 1 x 1 x 1 ,x 2 x 3 ,x 4 Voỡng gom 1 Voỡng gom 2 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 00 01 11 10 00 x x 1 x 01 x 0 1 x 11 0 x X 1 10 1 1 X 1 x f(x x 3 ,x 4 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 1 ,x 2 Ta thổỷc hióỷn tọỳi thióứu hoùa theo daỷng chờnh từc 1: Tổỡ baớn õọử Karnaugh ta coù 2 voỡng gom, voỡng gom 1 gọửm 8 ọ kóỳ cỏỷn vaỡ voỡng gom 2 gọửm 8 ọ kóỳ cỏỷn. Kóỳt quaớ tọỳi thióứu hoùa nhổ sau: Voỡng gom 1: x 4 Voỡng gom 2: x 1 Vỏỷy: f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 4 + x 1 Bi ging K Thût Säú Trang 12 Chỉång 2 ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1. CẠC TIÃN ÂÃƯ V ÂËNH L ÂẢI SÄÚ BOOLE 2.1.1. Cạc tiãn âãư Cho mäüt táûp håüp B hỉỵu hản trong âọ ngỉåìi ta trang bë cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic), - (b logic ) v hai pháưn tỉí 0 v 1 láûp thnh mäüt cáúu trục âải säú Boole. ∀x,y ∈ B thç: x + y ∈ B, x.y ∈ B tha mn 5 tiãn âãư sau: 2.1.1.1. Tiãn âãư giao hoạn ∀x,y ∈ B: x + y = y + x 2.1.1.2. Tiãn âãư phäúi håüp ∀x,y,z ∈ B: (x + y) + z = x + ( y + z ) = x + y + z (x. y).z = x.(y. z) = x.y.z 2.1.1.3. Tiãn âãư phán bố ∀x,y,z ∈ B: x.(y + z ) = x.y + x.z x + (y.z) = (x + y)(x + z) 2.1.1.4. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí trung ha Trong táûp B täưn tải hai pháưn tỉí trung ha, âọ l pháưn tỉí âån vë v pháưn tỉí kh, pháưn tỉí âån vë k hiãûu l 1, pháưn tỉí 0 k hiãûu l 0. ∀x ∈ B: x + 1 = 1 x . 1 = x x + 0 = x x . 0 = 0 2.1.1.5. Tiãn âãư vãư pháưn tỉí b ∀x ∈ B, bao giåì cng täưn tải pháưn tỉí b tỉång ỉïng sao cho ln tha mn: x + x = 0 Chỉång 2. Âải säú BOOLE Trang 13 x. x = 0 Nãúu B = B* = {0, 1} v tha mn 5 tiãn âãư trãn thç cng láûp thnh cáúu trục âải säú Boole nhỉng l cáúu trục âải säú Boole nh nháút. 2.1.2. Cạc âënh l 2.1.2.1 Váún âãư âäúi ngáùu trong âải säú Boole Hai mãûnh âãư (hai biãøu thỉïc, hai âënh l) âỉåüc gi l âäúi ngáùu våïi nhau nãúu trong mãûnh âãư ny ngỉåìi ta thay phẹp toạn cäüng thnh phẹp toạn nhán v ngỉåüc lải,thay 0 bàòng 1 v ngỉåüc lải thç s suy ra âỉåüc mãûnh âãư kia. Khi hai mãûnh âãư âäúi ngáùu våïi nhau, nãúu 1 trong 2 mãûnh âãư âỉåüc chỉïng minh l âụng thç mãûnh âãư cn lải l âụng. Vê dủ: x.(y + z ) = ( x. y) + ( x. z ) x + (y. z ) = ( x + y )( x + z ) Vê dủ: x + x = 1 x. x = 0 2.1.2.2. Cạc âënh l a. Âënh l vãư pháưn tỉí b l duy nháút ∀x, y ∈ B: xy 0 x.y 1yx =⇒ = =+ ⎭ ⎬ ⎫ ∀x ∈ B: x + x +. . . . . + x = x x. x. x. . . . . . x = x b. Âënh l De Morgan ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: zyx =++ zyx zyxx.y.z ++= ∀x ∈ B, ta cọ: x = x ∀x, y, z ∈ B, ta cọ: [...]... hm Boole theo n biãún Boole âỉåüc k hiãûu nhỉ sau: f(x1, x2, ., xn ) 2. 2.1 .2 Cạc tênh cháút ca hm Boole Nãúu f(x1, x2, , xn) l mäüt hm Boole thç: + α.f(x1, x2, , xn) cng l mäüt hm Boole cng l mäüt hm Boole + f (x1, x2, , xn) Nãúu f1(x1, x2, , xn) v f2(x1, x2, , xn) l nhỉỵng hm Boole thç: + f1(x1, x2, , xn) + f2(x1, x2, , xn) cng l mäüt hm Boole cng l mäüt hm Boole + f1(x1, x2, , xn).f2(x1, x2,... f(1,1) x2 Suy ra: f(x1, x2 ) = f(0,0) x 1 x 2 + f(0, 1) x 1x2 + f(1,0 )x1 x 2 + f(1,1)x1x2 2 2 −1 Váûy: f ( x1, x 2) = ∑ f(α1 , α 2 )x1α x 2 1 2 e=0 trong âọ e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m (α1, 2) v: x1 nãúu α1 = 1 α x1 1 = x 1 nãúu α1 = 0 α x2 2 = x2 nãúu 2 = 1 x 2 nãúu 2 = 0 Bi ging K Thût Säú Trang 18 Täøng quạt cho n biãún: 2n −1 α f(x1, x2, , xn) = ∑ f(α1 , α 2 , , α n )x 1α1 x 2 2 x n... x 2 + 1 x 1.x2 + 1.x1 x 2 + 1.x1.x2 = x 1 x2 + x1 x 2 + x1.x2 = x 1 x2 + x1( x 2 + x2) = x 1 x2 + x1 = x1 + x2 Viãút theo dảng chênh tàõc 2 ta cọ: f(x1, x2) = [0+x1+x2].[1+x1+ x 2] .[1+ x 1+ x2].[1+ x 1+ x 2] = [x1+ x2].1.1.1 = x1 + x2 Váûy, d viãút theo dảng chênh tàõc 1 hay chênh tàõc 2 ta âãưu cọ hm mảch: f(x1, x2) = x1 + x2 2. 2 .2. 3 Phỉång phạp biãøu diãùn bàòng bng Karnaugh Âáy l cạch biãøu diãùn... v biãún tỉång ỉïng bàòng 0 âỉåüc viãút åí dảng b ( x ) Xẹt vê dủ 2: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 Viãút dỉåïi dảng chênh tàõc 2: f(x1, x2, x3) = [0+x1+x2+x3].[0+x1+x2+ x 3].[0+x1+ x 2+ x3] [1+x1+ x 2+ x 3].[1+ x 1+x2+x3].[1+ x 1+x2+ x 3] [1+ x 1+ x 2+ x3].[1+ x 1+ x 2+ x 3] Hay: f(x1, x2, x3) = x1 + x2.x3 = [x1+x2+x3].[x1+x2+ x 3].[x1+ x 2+ x3] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng liãût kã táút c cạc täø... B, ta cọ: 2. 2 HM BOOLE V CẠC PHỈÅNG PHẠP BIÃØU DIÃÙN 2. 2.1 Hm Boole 2. 2.1.1 Âënh nghéa Hm Boole l mäüt ạnh xả Boole tỉì âải säú Boole vo chênh nọ Tỉïc l ∀x, y ∈ B âỉåüc gi l biãún Boole thç hm Boole, k hiãûu l f, âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc biãún Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic ), x (nhán logic ), hồûc nghëch âo logic (-) Hm Boole âån gin nháút l hm Boole theo 1 biãún Boole K hiãûu:... f(x1,x2)=[f(0,0)+x1+x2][f(0,1)+x1+ x 2] [f(1,0)+ x 1+x2][f(1,1)+ x 1+ x 2] Chỉång 2 Âải säú BOOLE Trang 19 f(x1, x2, x3) = [f(0,0,0)+x1+ x2+x3].[f(0,0,1)+x1+x2+ x 3] [f(0,1,0)+x1+ x 2+ x3].[f(0,1,1)+x1+ x 2+ x 3] [f(1,0,0)+ x 1+x2+x3].[f(1,0,1)+ x 1+x2+ x 3] [f(1,1,0)+ x 1+ x 2+ x3].[f(1,1,1)+ x 1+ x 2+ x 3] Váûy, dảng chênh tàõc thỉï hai l dảng têch ca cạc täøng säú m trong âọ mäùi täøng säú ny chỉïa âáưy â cạc biãún Boole. .. e l säú tháûp phán tỉång ỉïng våïi m nhë phán (α1, 2, , αn); α v: xi nãúu αi = 1 xi i = x i nãúu αi = 0 Vê dủ: 2 3 −1 f(x1, x2, x3) = ∑ f (α1, 2, α3) x1α1 x2 2 x3α3 e=0 f(x1, x2, x3) = f(0,0,0) x 1 x 2 x 3 + f(0,0,1) x 1 x 2 x3 + f(0,1,0) x 1x2 x 3 + f(0,1,1) x 1 x2 x3 + f(1,0,0) x1 x 2 x 3 + f(1,0,1)x1 x 2 x3 + f(1,1,0) x1 x2 x 3 + f(1,1,1) x1 x2 x3 Váûy dảng chênh tàõc thỉï nháút l dảng täøng ca... Trang 20 cho khi cäng tàõc 1 âọng thç ân â, cäng tàõc 2 âọng ân â, c hai cäng tàõc âọng ân â Gii Ta qui âënh: - Cäng tàõc håí : 0 Ân tàõt : 0 - Cäng tàõc âọng: 1 Ân â : 1 Lục âọ ta cọ bng trảng thại mä t hoảt âäüng ca mảch: Cäng tàõc 1 x1 0 0 1 1 Cäng tàõc 2 x2 0 1 0 1 Ân f(x1,x2) 0 1 1 1 Viãút theo dảng chênh tàõc 1 ta cọ: f(x1, x2) = 0 x 1 x 2 + 1 x 1.x2 + 1.x1 x 2 + 1.x1.x2 = x 1 x2 + x1 x 2 + x1.x2... Chỉång 2 Âải säú BOOLE Trang 15 Váûy, mäüt hm Boole f cng âỉåüc hçnh thnh trãn cå såí liãn kãút cạc hm Boole bàòng cạc phẹp toạn + (cäüng logic), x (nhán logic) hồûc nghëch âo logic (-) 2. 2.1.3 Giạ trë ca hm Boole Gi f (x1, x2, , xn) l mäüt hm Boole theo biãún Boole Trong f ngỉåìi ta thay cạc biãún xi bàòng cạc giạ trë củ thãø αi (i = 1, n ) thç hm f (α1, 2, α3, , αn) âỉåüc gi l giạ trë ca hm Boole. .. f(x1, x2 ) = x1 + x2 Xẹt B = B* ={0,1} ⇒ f(0,0) = 0 Nãúu x1 = x2 =0 Nãúu x1 = 0, x2 = 1 ⇒ f(0,1) = 1 Nãúu x1 = 1, x2 = 0 ⇒ f(1,0) = 1 Nãúu x1 = 1, x2 = 1 ⇒ f(1,1) = 1 Ta láûp âỉåüc bng giạ trë ca hm trãn Vê dủ: f (x1, x2, x3 ) = x1 + x2.x3 Xẹt B = B* = {0,1 } Bng giạ trë ca hm: x1 x2 x3 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 f (x1, x2, x3) 0 0 0 1 1 1 1 1 x1 0 0 1 1 x2 0 1 0 1 f(x1, x2) 0 1 . f(x 1 , x 2 ) = x 1 x 2 + x 1 x 2 + x 1 x 2 = (x 1 + x 1 )x 2 + x 1 x 2 = x 2 + x 1 x 2 = x 2 + x 1 Vê dủ: f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 . x 1 .x 2 + x 1 .x 2 = x 1 . x 2 + x 1 (x 2 + x 2 ) = x 1 . x 2 + x 1 = x 1 + x 2 Vióỳt theo daỷng chờnh từc 2 ta coù: f(x 1 , x 2 ) = [0+x 1 +x 2 ].[1+x 1 +x 2 ].[1+x 1 + x 2 ].[1+x 1 +x 2 ]. + x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) + x 1 x 2 = x 1 x 2 x 3 + x 1 (x 2 + x 2 ) = x 1 x 2 x 3 +