Lượng giác qua các kỳ thi FULL

Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 1 LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Công thức lượng giác Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm ( ) 0 0 ; M x y sao cho số đo cung  AM α = . tan AP α = có nghĩa k.v.c.k 2 k π α π ≠ + cot BQ α = có nghĩa k.v.c.k k α π ≠ 3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt 2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 tan α 0 3 3 1 3  cot α  3 1 3 3 0 1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG sin tan cos α α α = cos cot sin α α α = 2 2 1 1 tan cos α α + = 2 2 1 1 cot sin α α + = 2 2 sin cos 1 α α + = ( ) ( ) 2 sin 1 cos 1 cos α α α = + − ( ) ( ) 2 cos 1 sin 1 sin α α α = + − ( ) 2 1 sin 2 sin cos α α α ± = ± 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos α α α α + = − 6 6 2 2 sin cos 1 3sin cos α α α α + = − a. Hai góc đối nhau ( ) cos cos α α − = ( ) sin sin α α − = − ( ) tan tan α α − = − ( ) cot cot α α − = − b. Hai góc bù nhau ( ) cos cos π α α − = − ( ) sin sin π α α − = ( ) tan tan π α α − = − ( ) cot cot π α α − = − d. Hai góc hơn kém π ( ) cos cos π α α + = − ( ) sin sin π α α + = − ( ) tan tan π α α + = ( ) cot cot π α α + = c. Hai góc phụ nhau cos sin 2 π α α   − =     sin cos 2 π α α   − =     tan cot 2 π α α   − =     cot tan 2 π α α   − =     e. Hai góc hơn kém 2 π cos sin 2 π α α   + = −     sin cos 2 π α α   + =     tan cot 2 π α α   + = −     cot tan 2 π α α   + = −     Khi đ ó, 0 cos x α = 0 sin y α = 0 0 tan y x α = 0 0 cot x y α = ( ) sin 2 sin k α π α + = ( ) cos 2 cos k α π α + = ( ) sin , sin sin , k k k α α π α  + =  −  ch½n lÎ ( ) tan tan k α π α + = ( ) cot cot k α π α + = ( ) cos , cos cos , k k k α α π α  + =  −  ch½n lÎ Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 2 11. Phép biến đổi hàm số ( ) 2 2 asin cos 0 y x b x a b = + + ≠ Cũng có thể biến đổi Đặc biệt, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có 10. Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + −     = − + − −     = + + −     = + − −     4. Công thức cộng ( ) cos cos cos sin sin α β α β α β ± = ∓ ( ) sin sin cos cos sin α β α β α β ± = ± ( ) tan tan tan 1 tan tan α β α β α β ± ± = ∓ 5. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cos α α α = 2 2 cos2 cos sin α α α = − 2 2 2cos 1 1 2sin α α = − = − 2 2tan tan2 1 tan α α α = − 6. Công thức nhân ba 3 sin3 3sin 4sin α α α = − 3 cos3 4cos 3cos α α α = − 3 2 3tan tan tan3 1 3tan α α α α − = − 7. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 cos 2 α α + = 2 1 cos2 sin 2 α α − = 2 1 cos2 tan 1 cos2 α α α − = + 3 3sin sin3 sin 4 α α α − = 3 cos3 3cos cos 4 α α α + = 9. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 α β α β α β + − + = cos cos 2sin sin 2 2 α β α β α β + − − = − sin sin 2sin cos 2 2 α β α β α β + − + = sin sin 2cos sin 2 2 α β α β α β + − − = ( ) sin tan tan cos cos α β α β α β ± ± = 8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi Đặt tan 2 t α = . Khi đó, 2 2 sin 1 t t α = + 2 2 1 cos 1 t t α − = + 2 2 tan 1 t t α = − 2 1 cot 2 t t α − = 2 2 2 2 2 2 sin cos a b y a b x x a b a b   = + +   + +   ( ) 2 2 cos sin sin cos a b x x ϕ ϕ = + + ( ) 2 2 sina b x ϕ = + + với tan . b a ϕ = ( ) 2 2 sin sin cos cos y a b x x α α = + + ( ) 2 2 cosa b x α = + − với tan . a b ϕ = sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x π π     + = + = −         sin cos 2sin 2 cos . 4 4 x x x x π π     − = − = +         sin 3cos 2sin 2cos 3 6 x x x x π π     ± = ± = ±         ∓ 3sin cos 2sin 2cos 6 3 x x x x π π     ± = ± = ±         ∓ Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 3 b. Phương trình cos x m = - Nếu 1 m > thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 1 m ≤ thì chọn góc α sao cho cos m α = . Khi đó, ( ) 2 cos cos 2 x k x k x k α π α α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ Đặc biệt, cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + cos 1 2 x x k π = ⇔ = ( ) k ∈ ℤ cos 1 2 x x k π π = − ⇔ = + ( ) cos cos cos cosx x α π α = − ⇔ = − *Tổng quát 2 cos cos 2 k k α β π α β α β π = +  = ⇔  = − +  II. Phương trình lượng giác 1. Phương trình lượng giác cơ bản 2. 3. 4. 5. 6. 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác  Phương pháp giải. 3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x  Phương trình có dạng sin cos a x b x c + =  Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 a b c + ≥ .  Phương pháp giải. a. Phương trình sin x m = - Nếu 1 m > thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 1 m ≤ thì chọn góc α sao cho sin m α = . Khi đó, ( ) 2 sin sin 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ℤ Đặc biệt, sin 0 x x k π = ⇔ = sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + ( ) k ∈ ℤ sin 1 2 2 x x k π π − = − ⇔ = + * Tổng quát 2 sin sin 2 k k α β π α β α π β π = +  = ⇔  = − +  c. Phương trình tan x m = Chọn góc α sao cho tan m α = . Khi đó, ( ) tan tan x x k k α α π = ⇔ = + ∈ ℤ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m . *Tổng quát tan tan k α β α β π = ⇔ = + d. Phương trình cot x m = Chọn góc α sao cho cot m α = . Khi đó, ( ) cot cot x x k k α α π = ⇔ = + ∈ ℤ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m . *Tổng quát cot cot k α β α β π = ⇔ = + Phương pháp 1. Dùng tan b a ϕ = để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau: ( ) sin cos sin tan cos sin cos b c c x x x x a a a c x a ϕ ϕ ϕ + = ⇔ + = ⇔ + = Phương pháp 2*. Chia 2 vế cho 2 2 a b + để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos a b c x x a b a b a b c x a b ϕ + = + + + ⇔ − = + với 2 2 sin a a b ϕ = + và 2 2 cos b a b ϕ = + . Phương pháp 3. (Thường dùng khi phương trình chứa tham số) Dùng ẩn số phụ tan 2 x t = thì phương trình trở thành: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 . . 1 1 2 0 t t a b c t t b c t at c b − + = + + ⇔ + − + − = (Đây là phương trình bậc hai theo t ). - Dạng 2 sin sin 0 a x b x c + + = , đặt sin , 1 1. t x t = − ≤ ≤ - Dạng 2 cos cos 0 a x b x c + + = , đặt cos , 1 1. t x t = − ≤ ≤ - D ạng 2 tan tan 0 a x b x c + + = , đ ặt tan t x = . Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 4  Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng asin cos x b x c + = về phương trình lượng giác cơ bản ( ) sin X x Y c + = hoặc ( ) cos X x Y c − = . ☺ ☺☺ ☺ * Đưa về dạng ( ) sin X x Y c + = - Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4 - Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập b. - Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X. - Bấm ALPHA S D ⇔ = để xem giá trị của Y. - Khi đó, ( ) asin cos sin x b x c X x Y c + = ⇔ + = . * Đưa về dạng ( ) cos X x Y c − = thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y. Khi đó, ( ) asin cos cos x b x c X x Y c + = ⇔ − = . Chú ý: • Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu. • Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu.    Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin 2 cos2 3 x x− =  Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 3, 1 Pol − ta được 2 X = và 6 Y π = − . Giải: 3sin 2 cos2 3 2sin 2 3 6 x x x π   − = ⇔ − =     3 sin 2 sin 6 2 3 x π π   ⇔ − = =     2 2 6 3 2 2 6 3 x k x k π π π π π π π  − = +  ⇔   − = − +   2 2 2 5 2 2 6 x k x k π π π π  = +  ⇔   = +   4 5 12 x k x k π π π π  = +  ⇔   = +   .  Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: ( 1, 3 Pol − ta được 2 X = và 2 3 Y π = . Giải: 2 3sin 2 cos2 3 2cos 2 3 3 x x x π   − = ⇔ − =     2 3 cos 2 cos 3 2 6 x π π   ⇔ − = =     2 2 2 3 6 2 2 2 3 6 x k x k π π π π π π  − = +  ⇔   − = − +   5 2 2 6 2 2 2 x k x k π π π π  = +  ⇔   = +   5 12 4 x k x k π π π π  = +  ⇔   = +   .    Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin 2cos 2 x x − + = Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 2,2 Pol − ta được 2 2 X = và 3 4 Y π = . Giải: 3 2sin 2cos 2 2 2sin 2 4 x x x π   − + = ⇔ + =     3 1 sin sin 4 2 6 x π π   ⇔ + = = ⇔     Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: (2, 2 Pol − ta được 2 2 X = và 4 Y π = − . Giải: 2sin 2cos 2 2 2cos 2 4 x x x π   − + = ⇔ + =     1 cos cos 4 2 3 x π π   ⇔ + = = ⇔        Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 3cos3 1 x x + = Giải: 1 sin3 3cos3 1 2sin 3 1 sin 3 sin 3 3 2 6 x x x x π π π     + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔         Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 5 hoặc 1 sin3 3cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos 6 6 2 3 x x x x π π π     + = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔         4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x  Phương trình có dạng ( ) sin cos sin cos 0 a x x b x x c ± + + =  Phương pháp giải. 5. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x - Đẳng cấp bậc 2 có dạng 2 2 sin cos sin cos a x b x c x x d + + =  Phương pháp giải. - Đẳng cấp bậc 3 có dạng 3 3 2 2 sin cos sin cos sin cos esin cos 0 a x b x c x x d x x x f x + + + + + =  Phương pháp giải. Dùng ẩn số phụ ( ) sin cos 2sin 2 . 4 t x x x t π   = ± = ± ≤     2 2 1 1 2sin cos sin cos 2 t t x x x x − ⇒ = ± ⇒ = ± . Phương trình trở thành ( ) 2 2 1 . 0 2 2 0. 2 t at b c bt at c b − ± + = ⇔ ± + + = ∓ (Đây là phương trình bậc hai theo t với 2 t ≤ ).  Phương pháp 1. i. Nếu cos 0 x = không thỏ a ph ươ ng trình thì chia 2 v ế cho 2 cos x ta đượ c ph ươ ng trình b ậ c hai đố i v ớ i tan t x = là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 tan tan 1 tan tan tan 0. a x b c x d x a d x c x b d + + = + ⇔ − + + − = ii. N ế u cos 0 x = th ỏ a ph ươ ng trình thì đặ t cos x làm th ừ a s ố chung r ồ i gi ả i, b ằ ng cách thay 2 2 sin 1 cos x x = − .  Phương pháp 2. Dùng công th ứ c h ạ b ậ c 2 1 cos2 sin 2 x x − = ; 2 1 cos2 cos 2 x x + = và sin2 sin cos 2 x x x = để đư a ph ươ ng trình đ ã cho v ề i. N ế u cos 0 x = không th ỏ a ph ươ ng trình thì chia 2 v ế cho 3 cos x ta đượ c ph ươ ng trình b ậ c ba đố i v ớ i tan t x = là ( ) ( ) 3 2 2 2 tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0 a x b c x d x e x x f x + + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 tan tan tan 0. a e x d f x c e x b f ⇔ + + + + + + + = ii. N ế u cos 0 x = th ỏ a ph ươ ng trình thì đặ t cos x làm th ừ a s ố chung r ồ i gi ả i, b ằ ng cách thay 2 2 sin 1 cos x x = − . 6. i. Phương trình dạng sin ,cos ,tan ,tan ,cot 0 2 x f x x x x   =      Phương pháp giải. Đặ t tan 2 x t = , r ồ i áp d ụ ng công th ứ c tang góc chia đ ôi bi ể u di ễ n sin ,cos ,tan ,cot x x x x theo t . ii. Phương trình dạng ( ) sin 2 ,cos2 ,tan ,tan 2 ,cot2 0 f x x x x x =  Phương pháp giải. Đặ t tan t x = , r ồ i áp d ụ ng công th ứ c tang góc chia đ ôi bi ể u di ễ n sin 2 ,cos2 ,tan2 ,cot 2 x x x x theo t . Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 6 B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phân tích thành nhân tử Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học. Để tìm một nhân tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhóm thừa số chung theo nhân tử đó ☺. Phương pháp - Bước 1: Sử dụng MTBT nhẩm nghiệm. • Chuyển phương trình về dạng ( ) 0 f x = . • Nhập vào MTBT hàm số ( ) f x . • Tiến hành thử lần lượt các góc lượng giác đặc biệt 2 3 5 0; ; ; ; ; ; ; ; ;2 6 4 3 2 3 4 6 π π π π π π π π π với chức năng CALC của MTBT. - Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm 3 x π = . Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc biệt với nó. • Thử với góc đối: 3 x π = − nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x sao cho 1 cos 2 x = hay phương trình có một nhân tử là 2cos 1 x − . • Thử với góc bù: 2 3 x π = n ế u th ỏ a mãn ph ươ ng trình thì ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho 3 sin 2 x = hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là 2sin 3 x − . • Thử với góc hơn kém π : 4 3 x π = ho ặ c 2 3 x π − = n ế u th ỏ a mãn ph ươ ng trình thì ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho tan 3 x = hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là sin 3cos x x − . Trong tr ườ ng h ợ p này, n ế u ph ươ ng trình có h ệ s ố t ự do a thì ta thay b ở i ( ) 2 2 sin cos a x x + r ồ i ti ế n hành nhóm nhân t ử chung. - Bước 3: Nhóm th ừ a s ố chung theo nhân t ử đ ã bi ế t. - Bước 4: Gi ả i ph ươ ng trình tích.    Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x − + − − = (KD – 2010) Nh ậ p vào MTBT sin 2 cos2 3sin cos 1 x x x x − + − − . S ử d ụ ng ch ứ c n ă ng CALC c ủ a MTBT ta tìm đượ c m ộ t nghi ệ m 6 x π = . • Th ử v ớ i giá tr ị đố i: 6 x π − = không th ỏ a ph ươ ng trình. • Th ử v ớ i giá tr ị bù: 5 6 x π = th ỏ a ph ươ ng trình. V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho 1 sin 2 x = hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là 2sin 1 x − ☺ . Giải: Ta có sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x − + − − = ( ) 2 2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0 x x x x x ⇔ − − + − − = ( ) ( ) 2 cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0 x x x x ⇔ − + + − = ( ) ( ) ( ) cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0 x x x x ⇔ − + − + = ( ) ( ) 2sin 1 sin cos 2 0 x x x ⇔ − + + = Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 7 ( ) 1 sin 2 sin cos 2 x x x VN  =  ⇔  + = −   2 6 5 2 6 x k x k π π π π  = +  ⇔   = +   ( ) k ∈ ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 6 x k π π = + ; 5 2 6 x k π π = + . Chú ý: Trong bài trên cos2 x có 3 công thứ c, ở đ ây ph ươ ng trình có nhân t ử là 2sin 1 x − nên ta áp d ụ ng công th ứ c đư a v ề sin , t ứ c là 2 cos2 1 2sin x x = − ☺ .    Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + (KB – 2012) Nh ậ p vào MTBT ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + − + − . S ử d ụ ng ch ứ c n ă ng CALC c ủ a MTBT ta tìm đượ c m ộ t nghi ệ m 2 3 x π = . • Th ử v ớ i giá tr ị đố i: 2 3 x π − = th ỏ a ph ươ ng trình. V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho 1 cos 2 x = − hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là 2cos 1 x + ☺ . Giải: Ta có ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + 2 2cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0 x x x x x ⇔ + − + − = ( ) ( ) 2 2cos cos 1 3sin 2cos 1 0 x x x x ⇔ − − + + = ( ) ( ) ( ) cos 1 2cos 1 3sin 2cos 1 0 x x x x ⇔ − + + + = ( ) ( ) 2cos 1 3sin cos 1 0 x x x ⇔ + + − = 2cos 1 0 3sin cos 1 x x x + =  ⇔  + =  1 cos 2 1 sin 6 2 x x π −  =   ⇔    + =       2 2 3 2 x k x k π π π  = ± +  ⇔  =  ( ) k ∈ ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là 2 2 3 x k π π = ± + ; 2 x k π = .    Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x + + = + (DBII – KA – 2007) Nh ậ p vào MTBT ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3 cos x x x x x + + − + . S ử d ụ ng ch ứ c n ă ng CALC c ủ a MTBT ta tìm đượ c m ộ t nghi ệ m 2 3 x π = . • Th ử v ớ i giá tr ị đố i: 2 3 x π − = không th ỏ a ph ươ ng trình. • Th ử v ớ i giá tr ị bù: 3 x π = không th ỏ a ph ươ ng trình. • Th ử v ớ i giá tr ị h ơ n π : 5 3 x π = th ỏ a ph ươ ng trình. V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho tan 3 x = − hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là sin 3cos x x + ☺ . Khi đ ó để nhóm đượ c nhân t ử sin 3cos x x + , ta thay h ệ s ố t ự do 2 2 1 sin cos x x = + . Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 8 Giải: Ta có ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x + + = + ( ) 2 2 2 2cos 2 3sin cos sin cos 3 sin 3cos 0 x x x x x x x ⇔ + + + − + = ( ) 2 2 sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3cos 0 x x x x x x ⇔ + + − + = ( ) ( ) 2 sin 3cos 3 sin 3 cos 0 x x x x ⇔ + − + = ( ) ( ) sin 3cos sin 3cos 3 0 x x x x ⇔ + + − = ( ) sin 3cos 0 sin 3cos 3 x x x x VN  + = ⇔  + =   tan 3 3 x x k π π − ⇔ = − ⇔ = + ( ) k ∈ ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 3 x k π π − = + .    Ví dụ 4: Giải phương trình ( ) 2 4cos sin 1 2 3cos cos2 2sin 1 0 x x x x x + + − − = Nhập vào MTBT ( ) 2 4cos sin 1 2 3cos cos2 2sin 1 x x x x x + + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta tìm được một nghiệm 2 3 x π = . • Thử với giá trị đối: 2 3 x π − = không thỏa phương trình. • Thử với giá trị bù: 3 x π = không thỏa phương trình. • Thử với giá trị hơn π : 5 3 x π = thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho tan 3 x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3cos x x + ☺. Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3cos x x + , ta thay hệ số tự do 2 2 1 sin cos x x = + . Giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4sin cos 4cos 2 3cos 2cos 1 2sin sin cos 0 x x x x x x x x ⇔ + + − − − + = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4sin cos 4 3cos 2sin 2 3cos sin 3cos 0 x x x x x x x ⇔ + − + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4cos sin 3cos 2 sin 3 cos sin 3cos sin 3cos 0 x x x x x x x x x ⇔ + − + − + − = ( ) ( ) 2 sin 3 cos 4cos 2 sin 3cos 0 x x x x x ⇔ + − − + = ( ) ( ) sin 3 cos 2cos2 sin 3cos 0 x x x x x ⇔ + − + = sin 3cos 0 2cos2 sin 3cos x x x x x  + = ⇔  = −   tan 3 5 cos2 cos 6 x x x π  = −  ⇔    = −       3 5 2 2 6 5 2 2 6 x k x x k x x k π π π π π π  = − +    ⇔ = − +    = − + +   3 5 2 6 5 2 18 3 x k x k x k π π π π π π  = − +    ⇔ = − +    = +   ( ) k ∈ ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 3 x k π π = − + ; 5 2 6 x k π π = − + ; 5 2 18 3 x k π π = + . Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 9 II. Biến đổi phương trình về dạng sin cos a x b x c + =  Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện 3sin kx hoặc 3cos kx thì phương trình đó có thể đưa được về dạng sin cos a x b x c + = ☺.    Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) ( )( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x I x x − = + − (KA – 2009) Giải: Điều kiện: 2 2 sin 1 2 1 6 sin 2 7 2 6 x k x x k x x k π π π π π π  ≠ +  ≠   −   ⇔ ≠ +  − ≠     ≠ +   . Với điều kiện trên, ta có ( ) ( ) 2 cos sin2 3 1 sin 2sin I x x x x ⇔ − = + − ( ) cos sin 2 3 cos2 sin x x x x ⇔ − = + sin 2 3cos2 3sin cos x x x x ⇔ + = − + 5 2sin 2 2sin 3 6 x x π π     ⇔ + = +         5 sin 2 sin 3 6 x x π π     ⇔ + = +         5 2 2 3 6 5 2 2 3 6 x x k x x k π π π π π π π  + = + +   ⇔    + = − + +       2 2 2 18 3 x k k x π π π π  = +  ⇔  −  = +   ( ) k ∈ ℤ . Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình 2 18 3 k x π π − = + .    Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin x x x x x x + + = + (KB – 2009) Giải: Ta có ( ) 3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin x x x x x x + + = + ( ) 2 1 2sin sin cos sin2 3cos3 2cos4 x x x x x x ⇔ − + + = sin cos2 cos sin2 3cos3 2cos4 x x x x x x ⇔ + + = sin3 3cos3 2cos4 x x x ⇔ + = cos 3 cos4 6 x x π   ⇔ − =     4 3 2 6 4 3 2 6 x x k x x k π π π π  = − +  ⇔   = − + +   ( ) 2 6 2 42 7 x k k x k π π π π −  = +  ⇔ ∈   = +   ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 6 x k π π − = + ; 2 42 7 x k π π = + .    Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + (KB – 2012) Giải: Ta có ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + ( ) 2 2cos 1 2 3sin cos cos 3sin x x x x x ⇔ − + = − Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 10 cos2 3sin 2 cos 3sin x x x x ⇔ + = − cos 2 cos 3 3 x x π π     ⇔ − = +         ( ) 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 x x k x k k k x x k x π π π π π π π π π   − = + + = +   ⇔ ⇔ ∈     − = − − + =     ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 2 3 x k π π = + ; 2 3 k x π = . III. Biến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác    Ví dụ 1: Giải phương trình sin3 cos2 sin 0 x x x + − = (KD – 2013) Giải: Ta có sin3 cos2 sin 0 x x x + − = 3 2 3sin 4sin 1 2sin sin 0 x x x x ⇔ − + − − = 3 2 4sin 2sin 2sin 1 0 x x x ⇔ + − − = ( ) ( ) 2 2sin 1 2sin 1 0 x x ⇔ + − = 2 2sin 1 0 2sin 1 0 x x + =  ⇔  − =  1 sin 2 cos2 0 x x −  =  ⇔  =  2 6 7 2 6 4 2 x k x k k x π π π π π π −  = +    ⇔ = +    = +   ( ) k ∈ ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 6 x k π π − = + ; 7 2 6 x k π π = + ; 4 2 k x π π = + .    Ví dụ 2: Giải phương trình cos3 cos2 cos 1 0 x x x + − − = (KD – 2006) Giải: Ta có cos3 cos2 cos 1 0 x x x + − − = 3 2 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x ⇔ − + − − − = 3 2 4cos 2cos 4cos 2 0 x x x ⇔ + − − = cos 1 cos 1 1 cos 2 x x x   =  ⇔ = −   − =   2 2 3 x k x k π π π =   ⇔  = ± +  ( ) k ∈ ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x k π = ; 2 2 3 x k π π = ± + .    Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x − + − = (KD – 2002) Giải: Ta có cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x − + − = ( ) 3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 x x x x ⇔ − − − + − = 3 2 4cos 8cos 0 x x ⇔ − = ( ) 2 4cos cos 2 0 x x ⇔ − = ( ) cos 0 cos 2 2 x x k x VN π π =  ⇔ ⇔ = +  =  ( ) k ∈ ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là 2 x k π π = + . [...].. .Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin C LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI Giải các phương trình sau (KA – A1 – 2014) 1 sin x + 4cos x = 2 + sin 2 x π  2 1 + tan x = 2 2 sin  x +  4  3 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1 1 + sin 2 x + cos 2... 01 Nguyễn Trường Tộ Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638 ☺ ☺☺ 14 Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 103 sin 3 x + 2cos 2 x = 3 + 4sin x + cos x (1 + sin x ) 104 2 cos 2 x − ( sin x + cos x ) 1 + tan x 2 2 = (Đại học Vinh) 3  π  π  sin  4 + 3 x  − sin  4 + x   (THPT Hồng Quang) 2 2     π  cos 2 x − 2 sin  x +  + 2 4  105 =1 1 − sin x... (THPT Nguyễn Huệ - Huế) (VNMATH.COM) Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ 17 Chuyên đề lượng giác Nguyễn Văn Rin ĐÁP ÁN LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI 1 x = ± π 3 + k 2π 23 x = −π π + kπ ; x = ± + k 2π 4 3 π 2π 3 x = + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π 2 3 2 x = 4 x = 5 6 7 8 9 π + kπ ; x = π 11 x = 12 x = π 4 π 3 π 2 25 x... (THPT Chuyên Tỉnh Lào Cai) (THPT Hà Huy Tập) (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) ) 3 sin 3 x + cos3 x − 3 − 3 3 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) 154 π  2 sin  2 x −  = 2sin x − 1 4  (THPT ĐặngThúc Hứa) 16 Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin π  π  4 + sin x 155 cos 2  + x  + cos 2  − x  = 2 3  3  156 sin 4 x + 2 = cos 3x + 4sin x + cos x 1 − cos x 7π   157 + sin x = 2 sin  2 x +  tan x 4   158... 52 2sin  x +  − sin  2 x −  = 3 6 2   π π 3   53 sin  2 x −  = sin  x −  + 4 4 2   54 tan x = cot x + 4cos 2 2 x (DBI – KB – 2008) (DBII – KA – 2008) (DBI – KA – 2008) 12 Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 55 (1 − tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x (DBII – KD – 2007) π   56 2 2 sin  x −  cos x = 1 12   sin 2 x cos 2 x 57 + = tan x − cot x cos x sin x 3x  5x π  x π 58... x = + k ;x = + kπ 4 2 3 π π π 2π 5π 2π x = + k ;x = + k ;x = +k 8 4 18 3 18 3 π 5π x = + kπ ; x = + kπ 12 12 −π 2π x= + kπ ; x = ± + k 2π 4 3 39 40 41 42 43 44 x = ± 18 −π + kπ 4 π 8 Lượng giác qua các kỳ thi 45 x = π +k π ;x = π +k π ;x = Nguyễn Văn Rin π 5π + k 2π 6 6 5π 17π 5π 69 x = ;x = ;x = 18 18 6 + kπ 68 x = 6 3 8 2 4 2π 46 x = + kπ 3 π −π π 2π + k 2π ; x = + k 47 x = k ; x = 2 6... 118 x = π + k 2π π kπ 119 x = + 4 2 + kπ ; x = π + k 2π ; x = ± 2 117 x = π 136 x = ± + kπ 137 x = + kπ 138 x = + k 2π 20 π 4 π 3 π 4 + k 2π ; x = ± + kπ ; x = − + kπ π 2 π 3 + k 2π + k 2π Lượng giác qua các kỳ thi 2π + k 2π 3 139 x = ± 140 x = π 159 x = + kπ ; x = 6 π π 143 x = 144 x = 3 π 3 π + k 2π 161 x = + k 2π ; x = + k 2π 2 5π 7π 2π + k 2π ; x = +k 163 x = 6 18 3 6 π 6 7π + k 2π 6 π 3 π 165... – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638 21 Chuyên đề lượng giác Nguyễn Văn Rin Chú ý: Có thể giải phương trình lượng giác bằng trang web http://www.wolframalpha.com/ ☺ Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội... 4 x = sin 5 x − cos 2 6 x 26 sin 3 x + cos 2 x − sin x = 0 27 sin 3 x + cos3 x − sin x + cos x = 2 cos 2 x 24 cot x − tan x + 4sin 2 x = (KB – 2003) (KB – 2002) (KD – 2013) (KD – 2012) 11 Chuyên đề lượng giác Nguyễn Văn Rin sin 2 x + 2cos x − sin x − 1 =0 tan x + 3 29 sin 2 x − cos 2 x + 3sin x − cos x − 1 = 0 30 3 cos 5 x − 2sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 31 2sin x (1 + cos 2 x ) + sin 2 x = 1 + 2cos... cos  − x  = 1 + cot x 4  sin x 120 (1 − tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) 121 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) (THPT Chuyên Lý Tự Trọng) (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) (THPT Hùng Vương) (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) (THPT Chuyên Lương Văn Chánh) ( tan x + 1) sin 2 x + cos 2 x + 2 = 3 ( cos x + sin x ) sin x 1 122 cos 2 2 x − sin (12π + 4 x ) − cos ( 2013π − 2 x ) = 0 2 3sin 2 x . ( ) sin X x Y c + = - Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4 - Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập b. - Bấm ALPHA ) =. Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.  CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ.  Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638 ☺ ☺☺ ☺☺ ☺☺ ☺☺ ☺☺ ☺. Nguyễn Huệ - Huế) 176. 3 1 2 2 3 1 cos2 sin2 cot 3 x x x + = + + (VNMATH.COM) Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế.  CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01