PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm Mx,y,z.. Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng
Trang 1z
x
M N
Q P
dy y
v v
y
x
M1 P(x,y+dy)
M(x,y) N(x+dx,y)
U
dx
N2 N1 P1
O
dx x
v v
dy y
u u
dx x
u u
CHƯƠNG 3
LÝ THUYẾT TRẠNG THÁI CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
§3.1 PHƯƠNG TRÌNH QUAN HỆ GIỮA CHUYỂN VỊ VÀ BIẾN DẠNG
Xét biến dạng của phần tử vật chất lấy tại điểm M(x,y,z) Với các biến dạng là bé, ta có thể quan sát biến dạng của phần tử qua biến dạng các hình chiếu của nó trên các mặt phẳng tọa độ
(Hình 3.1) + Xét biến dạng trong mặt phẳng xoy (H.3.2) Phân tố chữ nhật MNQP với các cạnh ban đầu dx, dy sau biến dạng trở thành phân tố M1N1Q1P1
(Hình 3.2)
- Điểm M(x,y) có chuyển vị theo phương x,y là : u; v
- Điểm N(x+dx,y) có các chuyển vị theo phương x,y, khai triển Taylor bỏ qua các vô cùng bé bậc cao là : u + dx
x
u
; v+ dx
x
v
Trang 2- Biến dạng dài tương đối của các cạnh theo phương x,y là x , y.
- Biến dạng góc trong mặt phẳng đang xét xoy là xy = α+β.
Theo giả thiết biến dạng bé, ta có : /x /<< 1; /y /<< 1; /α/ << 1; /β/ << 1
Sử dụng các công thức gần đúng :
1 cos
; 1 cos
tg sin
; sin tg
3.1.1.Tính biến dạng dài tương đối :
Ta có :
MN
MN N
M1 1
x
Trong đó : MN = dx
M1N1 = 1 2
2 1 1
cos
N M N
Từ hình vẽ ta có :
dx ) x
u 1 ( u dx x
u u dx N
M1 2
x
u dx
dx dx dx ) x
u 1 ( MN
MN N
M )
a
x
Tương tự ta có : y yv
Góc quay của cạnh MN sẽ là :
α tgα =
2 1
2 1
N M
N N
=
x ) x
u 1 (
v ) dx x
u v (
=
x
u 1 x v
=
x
1 x v
Theo giả thiết biến dạng bé ta có x << 1 có thể bỏ qua x so với 1
α = xv
Tương tự β = yu => xy = α+β= x v + u y
(c)
Các kết quả (b) và (c) cho trong mặt phẳng xoy được sử dụng cho hai mặt phẳng còn lại yoz và zox Bằng cách hoá vị vòng các chỏ số theo thứ tự của tam diện thuận x,y,z ta nhận được quan hệ chuyển vị và các biến dạng như sau :
x(u) y(v) z(w)
Trang 3y
n
K
x
dy
dx
dz
M y
z
x M1 K1
x w z u
; z w
) 1 3 ( z
v y w
; y
y x x
zx z
yz y
Công thức (3.1) thiết lập mối quan hệ tuyến tính giữa các thành phần biến dạng và các chuyển vị xét ở thời điểm t, được gọi là phương trình quan hệ hình học CAUCHY
Từ (3.1) có thể kết luận các biến dạng là bé khi đạo hàm bậc nhất các chuyển vị theo phương toạ độ là bé
§3.2 TRẠNG THÁI BIẾN DẠNG - TENXƠ BIẾN DẠNG
3.2.1.Biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ :
Hệ (3.1) cho phép ta tính biến dạng dài tương đối theo các phương x,y,z Đặt vấn đề làm sao tính biến dạng dài tương đối theo phương bất kỳ ?
(Hình 3.3) Trong hệ trục toạ độ Descartes.Xét vi phân chiều dài MK= ds theo phương
n với các cosin chỉ phương là l,m,n
Hình chiếu của ds lên các trục x,y,z là dx, dy, dz
l = cos (n, x) =dxds có
n to
Véc m = cos (n, y) =
ds
dy
(a)
n = cos (n, z) =dzds +Ở trạng thái ban đầu, toạ độ điểm đầu và điểm cuối của vi phân MK là M(x,y,z) và K(x+dx, y+dy, z+dz)
+Điểm M(x,y,z) chuyển vị theo ba phương x,y,z là u,v, w
+Điểm K(x+dx, y+dy, z+dz) chuyển vị theo ba phương là : u+du; v+dv; w+dw
Với du, dv, dw là các vi phân toàn phần của thành phần chuyển vị u,v,w
du = xu.dx + u y .dy + u z .dz
dv = v .dx + v .dy + v .dz
Trang 4dw = w x .dx + w y .dy + w z .dz
+ Sau biến dạng MK trở thành M1K1 = ds1 trong đó :
M(x,y,z) trở thành M1( x+u, y+v, z+w)
K(x+dx, y+dy, z+dz) trở thành K1(x+dx+u+du, y+dy+v+dv, z+dz+w+dw) + Chiều dài vi phân trước biến dạng: ds2 = dx2 + dy2 + dz2 (b)
+ Chiều dài vi phân ds1 sau biến dạng:
ds12 = (dx+du)2 + (dy+dv)2 + (dz+dw)2 (c) Biến dạng dài tương đối theo phương n của ds Ký hiệu n là :
n = ds1ds ds
= dsds1 - 1
(n + 1)2 = 2
2 1
ds ds
1+2n + n2 = 2
2 1
ds
ds
n = 2
2 2 1
ds 2
ds
ds
(d) (Với giả thiết biến dạng bé có thể bỏ qua n2 so với n) Tính ds12 = [dx + (
x
u
.dx + u y dy + u z
.dz)]2 + + [dy + ( x v
.dx + y v dy + z v
.dz)]2 + + [dz + (
x
w
.dx + w y dy +
z
w
.dz)]2 (e) Khai triển (e) và bỏ qua các thành phần vô cùng bé bậc cao
(
x
u
.dx+ y u dy+ u z
.dz)2;( x v
.dx+ y v dy+ z v
.dz)2;( w x
.dx+ w y dy+ w z
.dz)2 so với
x
u
; y v ;
z
w
(vì theo giả thiết biến dạng bé
x
u
; y v ;
z
w
<< 1) và rút gọn :
(e) ds12 = (dx2 + dy2 + dz2) + 2 [(
x
u
.dx2 + u y dxdy + u z
.dxdz) + + ( x v
.dxdy + y v dy2 + v z
.dydz) + + ( w x
.dxdz + w y dydz + w z
.dz2)]
ds12 - ds2 = 2 [(
x
u
.dx2 + y u dxdy + u z
.dxdz) + +( x v
.dxdy + y v dy2 + v z
.dydz) + + (
x
w
.dxdz + w y dydz +
z
w
.dz2)]
Trang 5Theo (d) 2
2 2 1 n
ds 2
ds
ds
=>
ds
dz z
w ds
dydz y
w ds
dxdz x w
ds
dydz z
v ds
dy y
v ds
dxdy x v
ds
dxdz z
u ds
dxdy y
u ds
dx x u
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
n
Thay
ds
dz n
; ds
dy m
; ds
dx
l và biểu thức (3.1) vào n :
n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + xy.lm + yz.mn + zx.nl (3.4)
n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + 2
yzmn zxnl lm
xy
2 2
2
Đặt xyxy
2 ; yzyz
2 ; zxzx
n = x.l2 + y.m2 + z.n2 + 2( xy.lm + yz.mn + zx.nl)
(3.5)
Có thể viết dưới dạng toàn phương :
z yz
xz
zy y
xy
zx yx
x
n m l
(3.6) + Sau khi nhận được (3.5) ta thấy (3.5) hoàn toàn tương tự với (2.7) :
n = x.l2 + y.m2+z.n2 + 2(Txy.ml + Tyz.mn + Txz.nl) (2.7)
Nên có thể kết luận : Trạng thái biến dạng tại 1 điểm được đặc trưng bởi 9 thành phần biến dạng trên các mặt cắt vuông góc với hệ trục toạ độ Chín thành phần này cũng thành lập 1 tenxơ hạng 2 đối xứng gọi là tenxơ biến dạng bé
Ký hiệu : T
z yz
xz
zy x
xy
zx yx
x
II Tenxơ lệch biến dạng và Tenxơ cầu biến dạng :
Tenxơ biến dạng T có thể phân tích thành tổng của hai tenxơ hạng 2 là tenxơ lệch biến dạng D và Tenxơ cầu biến dạng T0
Trang 6
z zy
zx
yz y
yx
xz xy
x
=
tb zy
zx
yz tb
yx
xz xy
tb x
z
tb 0
0
0 tb
0
0 0
tb
Với tb = x y z
3
1
: Biến dạng dài trung bình
D: đặc trưng cho biến dạng hình dạng của phần tử
T0: đặc trưng cho biến dạng thể tích của phần tử
§3.3 BIẾN DẠNG CHÍNH VÀ PHƯƠNG BIẾN DẠNG CHÍNH
Trạng thái biến dạng tại điểm M(x,y,z) được đặc trưng bởi tenxơ biến dạng bé Tại điểm M(x,y,z) ấy ta có thể tìm được ba phương vuông góc với nhau
và trên các mặt phẳng vuông góc với ba phương đó, các biến dạng góc bằng không Những phương đó gọi là phương biến dạng chính
- Các biến dạng dài tương đối theo phương biến dạng chính là các biến dạng chính, các biến dạng chính là biến dạng dài cực trị tại điểm ấy
Ký hiệu các biến dạng chính là : 1, 2 , 3 => theo quy ước 1> 2 > 3 Tương tự như việc tìm các ứng suất chính, biến dạng chính được xác định
từ phương trình sau :
0 )
( ) (
) (
Det
n z yz
zx
zy n
y xy
zx yx
n x
(3.7) Khai triển (2.12) ta được phương trình bậc 3 đối với ứng suất chính n:
0 J J
J 2 2 n 3 n
1 3
n
) (
2 J
) (
J
2
x y z 2
z x y 2
y z x
z x
y z
x y z
y x 3
z x
y z
x y x
z z y y x 2
z y x 1
(3.9) Các hệ số J1, J2 , J3 trong phương trình tìm biến dạng chính là những giá trị không đổi khi ta xoay trục Chúng được gọi lần lượt là bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai và bất biến thứ ba của trạng thái biến dạng tại một điểm
Phương trình (3.8) cho 3 nghiệm biến dạng chính, cả ba nghiệm này đều là thực
* Tìm phương biến dạng chính :
Sau khi có các biến dạng đường chính 1, 2 , 3, ứng với mỗi i sử dụng hệ phương trình (3.10) và phương trình (3.11) ta có hệ ba phương trình tương ứng với ba ẩn số là ba cosin chỉ phương của biến dạng chính i đó
) 10 3 ( 0
n ) (
m l
0 n m
) (
l
0 n m
l ) (
n z yz
xz
z y n
y xy
z x yx
n x
Và phương trình: l2 + m2 + n2 = 1 (3.11)
Kết quả ta có 3 phương biến dạng chính tương ứng với 3 biến dạng chính
Trang 7Tenxơ biến dạng chính được viết là :
3 2 1
0 0
0 0
0 0 T
Các bất biến của trạng thái biến dạng chính :
3 2 1 3
1 3 3 2 2
1 2
3 2
1 1
J J
§3.4 PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH BIẾN DẠNG
Ở mục trên ta đã lập được 6 phương trình vi phân của biến dạng theo 3 chuyển vị u, v, w (Biểu thức 3.1)
x = xu
xy = y
u x
v
y = yv
yz = wy vz
(3.1)
z = wz
zx = wx uz
- Các phương trình này cho phép tính được các biến dạng bằng cách lấy đạo hàm của các chuyển vị u, v, w Những hàm chuyển vị này, theo tính liên tục của vật thể sẽ là những hàm đơn trị và liên tục của các biến số Dó đó, các biến dạng cũng sẽ là những hàm đơn trị và liên tục
- Để giải bài toán ngược tìm 3 hàm chuyển vị u, v, w khi biết các biến dạng, ta có 6 phương trình đạo hàm riêng đối với 3 ẩn số Số phương trình nhiều hơn ẩn số, nên để xác định được 3 ẩn số là các hàm liên tục và đơn trị thì 6 phương trình này phải có quan hệ với nhau
Các quan hệ này được gọi là các điều kiện tương thích hay điều kiện liên tục của biến dạng cũng được gọi là các điều kiện Sainti - Venant
Để nhận được các phương trình này, ta khử các chuyển vị u, v, w trong các phương trình biến dạng Cauchy - Navier
I Nhóm phương trình cho các biến dạng trong cùng 1 mặt phẳng :
Trang 82 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
.
x y
y
v x x
u y x
v y x y
u y x x
v y
u y x
xy
y
x
y x
Tương tự ta có :
z x z x
z y y z
y x x y
zx x z
yz z y
xy y x
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
) 12 3 (
II Nhóm phương trình cho các biến dạng trong các mặt phẳng khác nhau:
y x
zx z
x
xy
2 2
z
u x
w y x x
v y
u z x
2 2
+ =
x
u z
2
y
w z
v
x2 .
2
+
x
u z
2
2 2
2
x z
y
yz x
z
xy y
zx x
yz z
y x
z
xy y
zx x
yz y
x z
z
xy y
zx x
yz x
z y
z y x
2 2 2
2
) 13 3 ( 2
2
Ý nghĩa : Hệ phương trình (3.12) và (3.13) thể hiện mối quan hệ giữa các biến
dạng là điều kiện để tìm u, v, w từ phương trình biến quan hệ hình học Cauchy-Navier gọi là phương trình liên tục biến dạng
