CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNGTrong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học trường ứng suất và mặt hình học trường b
Trang 1CHƯƠNG 4 : QUAN HỆ GIỮA ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG
Trong hai chương trên ta đã nghiên cứu hai mặt riêng biệt của môi trường liên tục đó là mặt tĩnh học (trường ứng suất) và mặt hình học (trường biến dạng), giữa hai mặt này có quan hệ với nhau Sự phân bố ứng suất và biến dạng của môi trường phụ thuộc vào quan hệ đó Xét quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tức là xét về mặt vật lý của môi trường Sự khác nhau về mặt vật lý đã dẫn đến những nội dung khác nhau trong lý thuyết cơ học vật rắn biến dạng như lý thuyết đàn hồi tuyến tính, lý thuyết đàn hồi phi tuyến
và lý thuyết đàn hồi dẻo
Trong lý thuyết đàn hồi nói chung ứng suất là hàm của biến dạng :
σx = f1(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx);
σy = f2(εx, εy, );
σz = f3(εx, εy, );
Tyz= f5(εx, εy, );
Tzx= f6(εx, εy, );
Trong môn học này ta giả thiết vật liệu làm việc đàn hồi tuyến tính tức quan hệ ứng suất và biến dạng là các quan hệ tuyến tính Do đó (4.1) viết thành :
σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx;
σy = a21εx + a22εy + a23εz + a24γxy + a25γyz + a26γzx; (4.2)
Tzx = a61εx + a62εy + a63εz + a64γxy + a65γyz + a66γzx
Trong đó :
Các hệ số aij : Là các hằng số đàn hồi của vật liệu
Trong (4.2) : Có tất cả là 36 hằng số đàn hồi Ta sẽ chứng minh rằng
đối với vật liệu hoàn toàn đàn hồi và đẳng hướng chỉ có 2 hằng số độc lập
với nhau
§4.1 CÔNG VÀ THẾ CỦA LỰC ĐÀN HỒI
Xét 1 phần tử hình hộp có các cạnh dx, dy, dz tại điểm M(x,y,z) Các mặt của phân tử có các ứng suất như hình vẽ (H,4.1) Ứng với các ứng suất
ấy phần tử có chuyển vị đường và chuyển vị góc
Khi phần tử bị biến dạng các nội lực sinh ra một công
Trang 2Hình 4.1
4.1.1 Số gia của công do ứng suất pháp sinh ra:
Ứng suất pháp trên 2 mặt vuông góc trục x là : σx và σx + ∂∂σxx.dx, có
độ dài tương đối εx, độ dãn dài tuyệt đối : εx.dx
Sau thời gian vô cùng bé δt, phân tố có độ dài tương đối thêm số gia:
δεx Số gia của độ dãn dài tuyệt đối của cạnh dx : δεx dx
Số gia của công do σx sinh ra : (σx.dydz)( δεx.dx)
Tương tự số gia của công σy và σz sinh ra : (σy.dxdz)( δεy dy) (a)
(σz.dxdy)( δεy dz)
4.1.2 Số gia của công do ứng suất tiếp sinh ra:
Xét thành phần Txy ở tại thời điểm t, góc trượt tỷ đối là γxy Sau thời gian δt, góc trượt đó có số gia δγxy
Lực do Txy : Txy.dy.dz
Moment do Txy tác dụng trên 2 mặt phẳng đối diện vuông góc ox : (Txy.dydz).dx
Số gia của công do Txy sinh ra : (Txy.dydz.dx) δγxy
Tương tự số gia của công do các ứng suất tiếp Tyz và Tzx sinh ra là :
(Tyz.dzdx.dy) δγxz (b)
(Tzx.dxdy.dz) δγzx
z
x
y
dx
dz P(x,y+dy,z)
N(x+dx,y,z) Q(x,y,z+dz)
dx x
x x
∂
∂
σ
dx x
xy xy
∂
∂
τ
dx x
xz xz
∂
∂
τ
τxy
σx
τxy
Trang 3Số gia công của phần tử hình hộp bằng tổng số gia của công do các ứng suất sinh ra (a+b):
δT = (σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx )dxdydz (4.3)
Ta có: dV = dxdydz : Thể tích của phần tử trước biến dạng
*Số gia của công của một đơn vị thể tích (công riêng) δA sẽ là :
δA =
V
T
δ
δ
= σx δεx +σy δεy +σz δεz +Txyδγxy + Tyzδγyz + Tzxδγzx (4.4)
* Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi năng lượng sinh ra do biến dạng được bảo toàn Nếu gọi W là thế năng biến dạng đàn hồi tích lũy khi vật thể biến dạng thì độ lớn của thế năng biến dạng đàn hồi bằng công ngoại lực A
Lực đàn hồi thỏa mãn điều kiện (4.5) gọi là có thế
Thế năng sinh ra do biến dạng và chỉ do biến dạng mà có, vì vậy thế năng biến dạng đàn hồi là hàm số của các thành phần biến dạng :
W = f(εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx)
Trong miền đàn hồi quá trình biến dạng là thuận nghịch nên δW là 1
vi phân toàn phần Nếu bỏ qua các vô cùng bé bậc cao khi khai triển số gia của thế năng biến dạng đàn hồi theo biến dạng ta được :
δW =
x
w
ε
∂
∂
.δεx +
y
w
ε
∂
∂
.δεy +
z
w
ε
∂
∂ δεz +
xy
w
δγ
∂
δγxy +
yz
w
δγ
∂
δγyz +
zx
w
δγ
∂
δγzx (4.7)
So sánh (4.4) và (4.7) : δA = δW : ta có :
σx =
x
w
ε
∂
∂
xy
w
γ
∂
∂
;
σy =
y
w
ε
∂
∂
yz
w
γ
∂
∂
σz =
z
w
ε
∂
∂
zx
w
γ
∂
∂ ;
Từ (4.8) cho phép phát biểu kết luận định lý Green: Các phần tử ứng suất là các đạo hàm riêng của thế năng biến dạng đàn hồi đối với các biến dạng tương ứng
§4.2 ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT-
CÁC HẰNG SỐ ĐÀN HỒI CỦA VẬT LIỆU
4.2.1 Dựa vào định lý Green :
Từ (4.2) ta có : σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx
Trang 4(4.8) ta có : σx =
x
w
ε
∂
∂
⇒
yz x
w
γ
ε ∂
∂
∂2
Từ (4.2) ta có: Tyz = a51εx + a52εy + a53εz + a54γxy + a55γyz + a56γzx
Từ (4.8) ta có: Tyz =
yz
w
γ
∂
∂
⇒
yz x
w
ε
γ ∂
∂
∂2
Vì giá trị đạo hàm không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm, so sánh (a) và (b) ta có : a15 = a51
Tổng quát đối với các hằng số đàn hồi của (4.2) ta có:
Vậy các hằng số của hệ phương trình (4.2) đối xứng qua đường chéo chính
Do đó các hằng số cần xác định chỉ còn 36 - 15 = 21 hệ số
4.2.2 Dựa vào tính chất vật liệu đẳng hướng :
Vật thể đẳng hướng là vật thể có tính chất đối xứng hoàn toàn, bất kỳ mặt phẳng nào đi qua phần tử cũng là mặt phẳng đối xứng Tính chất cơ, lý của vật liệu theo mọi phương là như nhau
Do đó các phương trình (4.2) không thay đổi khi ta thay đổi hệ tọa độ :
+Giả sử đổi chiều trục y thì ứng suất pháp σx của phương trình thứ nhất trong
hệ (4.2) không thay đổi:
σx = a11εx + a12εy + a13εz + a14γxy + a15γyz + a16γzx (c) Nhưng các biến dạng góc γxy
và γyz đổi dấu vì khi đổi chiều
trục y thì góc trượt trước đây
làm góc vuông nhỏ lại nay làm
cho góc vuông lớn lên
⇒σx = a11εx + a12εy + a13εz - a14γxy - a15γyz + a16γzx (d) Đồng nhất (c) và (d) ta có :
0
15 14 15
15
14 14
=
=
⇒
−
=
−
=
a a a
a
a a
Tương tự nếu đổi chiều trục z ta có a16 = 0
Bằng cách chứng minh tương tự ta đi đến kết luận ba hằng số cuối của
ba phương trình đầu trong hệ phương trình (4.2) đều bằng 0
Trang 5Do aij = aji nên ba hằng số đầu của ba phương trình cuối trong hệ phương trình (4.2) cũng bằng 0
* Hệ phương trình (4.2) trở thành :
σx = a11εx + a12εy + a13εz
σy = a21εx + a22εy + a23εz
Tyx = a44γxy + a45γyz + a46γzx
Tyz = a54γxy + a55γyz + a56γzx
Tzx = a64γxy + a65γyz + a66γzx
Hệ phương trình (4.9) cho ta kết luận :
- Các ứng suất pháp không có quan hệ với các biến dạng góc
- Các ứng suất tiếp không có quan hệ với các biến dạng dài tương đối Xét phương trình thứ (4) của hệ phương trình ( 4.9) :
Tyx = a44γxy - a45γyz + a46γzx (e) Nếu ta đổi chiều trục z thì Txy không đổi nhưng γyz và γzx sẽ đổi dấu:
46 46
45 45
=
=
⇒
−
=
−
=
a a a
a
a a
Do aij = aji⇒ a54 = a64 = 0
Tương tự ta có : a56 = a65 = 0
Hệ phương trình (4.9) có thể rút gọn như sau:
σx = a11εx + a12εy + a13εz
σy = a21εx + a22εy + a23εz
σz = a31εx + a32εy + a33εz
Tyz = a55γxy
Tzx = a66γxy
Bằng cách hoán vị vòng phương trình (3) của hệ phương trình (4.10), ta có:
x
σz = a31εx + a32εy + a33εz
Hoán vị vòng ta có: σx = a31εy + a32εz + a33εx (4.14)
Phương trình (1) của hệ phương trình (4.10) : σx = a12εy + a13εz + a11εx
Đồng nhất (4.14) và (1) ta có : a31 = a12
a32 = a13
a33 = a11
⇒
Trang 6a31 = a13
a32 = a23
* Đặt a = a11 = a22 = a33
b = a12 = a21 = a13 = a31 = a23
Bằng phép hoán vị vòng các phương trình (4,5,6) của hệ (4.10) ta có : (4.15)
c = a44 = a55 = a66
Do đó (4.10) có dạng :
σx = aεx + b(εy + εz)
σy = aεy + b(εx + εz)
Txy = cγxy
Tyz = cγyz
Tzx = cγzx
*Ta có: θ = εx + εy + εz: là biến dạng thể tích tương đối
nên σx = bθ + (a - b) εx
σz = bθ + (a - b) εz
*Đặt b = λ
a -b = 2 ν
(4.12) ⇔ σx = λθ +2νεx
σz = λθ +2νεz
2
⇒ c = ν
→ Txy = νγxy
Tzx = νγzx
Các hệ phương trình (4.18) và (4.19) là quan hệ giữa ứng suất và biến dạng của vật thể đàn hồi và đẳng hướng được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng ứng suất theo biến dạng Đối với loại vật liệu này chỉ có hai hằng số vật lý là λ và ν Hai hằng số này được gọi là hằng số LaMê
$4.3 MỘT DẠNG KHÁC CỦA ĐỊNH LUẬT HOOKE TỔNG QUÁT
Từ (4.18) ta có : σx + σy + σz = 3λθ + 2νθ
Trong đó : θ = εx + εy + εz : Độ biến dạng thể tích tương đối
Trang 7⇒θ = 3 λ 2 υ
1
λθ ν
ν λθ ν
λθ
σ σ ε ε σ
ε
σ
ε
−
−
= +
⇒
−
=
−
=
2 2
z y z
z
y y
(b)
Mặt khác εx = θ - (εy + εz) (c)
Thay (a) và (b) vào(c) ta có :
+
−
+
− + +
3
1
z y x z
x z
y
ν λ
ν
2 ) (
) 2 3 (
y x z y
+ +
+
− +
) ( )
2 3
ν λ
ν +
+2 ) 3
(
µ = 2(λ ν)
λ
Ta có (4.20) : εx = 1[ x ( y z )]
E σ − µσ +σ ;
: εz = 1[ z ( x y)]
E σ −µ σ +σ
Từ (4.21) ta có :
+ +
=
+
+ + +
= +
ν λ
λ ν ν λ
ν
λ ν λ
λ ν ν
λ
ν λ ν
⇒ ν = 2(µ+1)
E
Mà G =2(µ+1)
E
⇔ν = G Lúc này (4.19) có dạng :
γxy =
G
1
Txy
γyz = G
1
Trang 8γzx = G
1
Tzx
Các hệ phương trình (4.22) và (4.23) được gọi là định luật Hooke tổng quát viết dưới dạng biến dạng theo ứng suất
*Định luật Hooke khối
Từ (4.17) ta có :
E(εx + εy + εz) = (σx + σy + σz) - 2µ(εx + εy + εz) (*)
E .
2
Với: θ = εx + εy + εz : Biến dạng thể tích tương đối
S =σx + σy + σz: Hàm ứng suất tổng
Phương trình (4.19) được gọi là Định luật Hooke khối