SỞ GD VÀ ĐT THANH HOÁ ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN Lớp 10 – Năm học 2010-2011
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề )
Câu1:( 2,5 điểm) Cho biểu thức
P =
b
a
b
a
+
+
: − − − + +
+
ab a
a ab
b
b b
a
b a
2
2
b
a − ( Với a > 0 ,b > 0 và a ≠b)
1, Rút gọn biểu thức P
2, Tìm a , b sao cho b = ( a+1)2 và P =- 1
Câu2:( 2 điểm)
1, Giải phương trình ( x+1)( x+3)(x+5)(x+7) = 9
2, Gọi x1 , x2 là nghiệm của phương trình : x2 + 2010x +1 = 0 và x3 , x4 là nghiệm của phương trình : x2 + 2011x +1 = 0 không giải các phưong trình, hãy tính giá trị của biểu thức : M = (x1 + x3)(x2 + x3) (x1 – x4) (x2 – x4)
Câu3:( 1,5 điểm) Giải hệ phương trình
= +
= +
30
35
x y y x
y y x x
Câu4:( 3 điểm) Cho đường tròn (C) tâm O đường kính AB , E là một điểm nằm trên đoạn
OA , CD là dây cung vuông góc với đương kính AB tại điểm E , M là một điểm bất kỳ trên đoạn AE , đường thẳng DM cắt đường tròn (C) tại N ( khác D ) , đường tròn (C1) tâm O1
bán kính r tiếp xúc trong với (C) tại điểm J thuộc cung nhỏ CN và tiếp xúc với đoạn thẳng
CM và MN tại điểm I và K tương ứng Biết AM = a ; ME = b ; EB = c
1,Chứng minh rằng các tam giác O1KM đồng dạng với tam giác MEC
2, Tính độ dài các đoạn OO1 ; KM ; và O1M theo a,b,c và r
Câu5:( 1 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn điều kiện : abc = 1
Chứng minh rằng :
3 2
1
2
2 + b +
3 2
1
2
2 + c +
3 2
1
2
2 + a +
1
≤
dấu bằng xảy ra khi nào ?
dự kiến đáp án KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN TOÁN
Lớp 10 TRƯỜNG THPT SẦM SƠN – Năm học 2010-2011
Câu 1:
1) P =
b a
b a
+
+
: − − ( − )+ ( + )
+
b a a
a a
b b
b b
a
b a
2
2
b
a−
P =
b a
b a
+
+
: − + +( − ) (+ + )
+
b a
a b
a
b b
a b a
b a
) )(
-2
b
a −
P =
b a
b a
+
+
+
−
− +
+ +
+
) )(
b a a b a b b a
-2
b
a −
P =
b a
b a
+
+
: − +
− + + + +
) )(
ab a b ab b a
-2
b
a−
P =
b a
b a
+
+
: − +
+
) )(
(
2 2
b a b a
b a
-2
b
a−
Trang 2P =
b a
b a
+
+
+
+
−
) (
b a b a
-2
b
a−
P =
2
b
a −
-2
b
a −
nếu a ≥b ⇒ a ≥ b thì P =
2
b
a −
-2
b
a− = 0
nếu a < b ⇒ a < b thì P =
2
b
a−
-2
a
b− =
b
a −
2) vì P = -1 < 0 nên P = a − b= -1 ⇒ b = a+ 1 ⇒ b = ( )2
1
+
a mà b = (a+1)2
⇒( )2
1
+
a =(a+1)2
⇒ ( a + 1) = (a+1) ⇒ a = a vì a > 0 ⇒ a = 1 ; b = 4
Câu2: 1, Giải phương trình ( x+1)( x+3)(x+5)(x+7) = 9
( x2 +8x +7)( x2 +8x +15) = 9 đặt x2 +8x +7 = t ⇒x2 +8x +15 = t+8
Nên ta có t(t+8) = 9 ⇒ t2 + 8t – 9 = 0 ⇒t = 1 hoặc t =- 9
Vói t =1 ta có x2 +8x +7 = 1 ⇒ x2 +8x +6 = 0 ⇒∆ ,= 10 phương có hai nghiệm x1=
1
10
4 +
−
; x2=
1
10
4 −
Vói t = -9 ta có x2 +8x +7 = -9 ⇒ x2 +8x +16 = 0 ⇒∆ ,= 10 phương có hai nghiệm x3= 6 ;
x4 = 6 vậy nghiệm của phương trình là S ={6 ; − 4 + 10 ; − 4 − 10}
2) xét phương trình : x2 + 2010x +1 = 0 có ∆ ,= 1052 – 1>0 áp dụng hệ thức vi ét ta có
=
−
= +
1
2010
2 1
2 1
x x
x
x
tương tự cho phương trình 2 ta có
=
−
= +
1
2011
4 3
4 3
x x
x x
mặt khác
M = (x1.x2+x2.x3+x1.x3+ 2
3
x )(x1.x2-x2.x4-x1.x4 + 2
4
x ) thay số ta có
M = (1-2010x3+ 2
3
x )(1+2010x4+ 2
4
x )
M = 1-2010x3+ 2
3
x + 2010x4 – 20102 x4 .x3 +2010x4 2
3
x + x -2010x42 3.x +42 2
3
x x42
M = 1-2010x3+ 2
3
x + 2010x4 – 20102 +2010x3 + 2
4
x -2010x4 +1
M = 2 + 2
3
x +x -201042 2 ⇒M = 2 -20102 +( x3+x4)2 -2x3.x4 ⇒M = 2 -20102 +20112 -2 = 20112 – 2010 = 4021 vậy M = 4021
Câu3: Giải hệ phương trình
= +
= +
30
35
x y y x
y y x x
điều kiện : x ≥0 ; y≥0
= +
= +
− +
30
35
3
3
y x y x
y x y x y
= +
= +
30
125
3
y x y x
y
=
= +
6
5
y x
y x
đặt a = x ; b = y ta có hệ
=
= +
6
5
b a
b a
vậy a ;b là nghiệm của phương trình :
X2 – 5X+6 = 0⇔ Vậy X1 = 2 hoặc X2 =3 suy ra
=
=
3
2
b
a
hoặc
=
=
2
3
b
a
nên
=
=
9
4
y
x
hoặc
=
=
4
9
y x
Trang 3Câu4:
O
C
O1
A
B E
D
M
N J
Ta có : KMC = MCD +MDC ( góc ngoài của tam giác MCD) mà MK và MI là hai tiếp
tuyến của (O1) cắt nhau tại M suy ra KMO1 =
2
1
KMI =
2
1
( MCD + MDC ) do AI là đường trung trực của CD ( AB ⊥CD tại E) nên MCD = MDC
⇒KMO1=MCE
⇒ ∆O1KM ∆MCE(g.g)
Mặt khác MKO1 = CEM = 1V
2) vì ∆O1KM ∆MCE(g.g) nên
MC
M O EC
KM ME
K
=
MC
M O EC
KM b
Mà ∆ACB vuông tại C ( góc ACB nội tiếp chắn nửa đường tròn ) nên EC = (a+b).c
⇒ KM =
b
c b a
r ( + ). theo định lý pi ta go ta có ; ME2 + CE2 = MC2 ⇒ MC =
c b
a
b2 + ( + ).
O1M =
b
MC
r.
=
b
c b a b
r 2 + ( + ). vì ∆O
1KM ∆MCE(g.g)⇒ O1MI =MCE ⇒O1M⊥AE
tại M theo định lý pi ta go ta có O1O2 = O1M2 +MO2 ⇒O1O =
2
2 2
b
c b a b r
AE + OE = OA=
2
c b
a+ + ⇒
OE =
2
c b
a+ +
-(a+b) =
2
b a
c− −
⇒OM =
2
b a
c− −
+b
=
2
b
a
c− +
2
) ).
( (
c b a b r b a
− +
Câu 5:
Ta có a2 + 2b2 + 3 = (a2 + b2) + (b2 + 1 ) + 2 ≥ 2ab+ 2b+ 2
Tương tự: b2 + 2c2 + 3 = (b2 + c2) + (c2 + 1 ) + 2 ≥ 2cb+ 2c+ 2
c2 + 2a2 + 3 = (c2 + a2) + (a2 + 1 ) + 2 ≥ 2ac+ 2a+ 2
Do đó
3 2
1
2
2 + b +
1
+ +
≤
b ab
Trang 4
3
2 2
2 + c +
b 2 (bc+c+ 1 )
3 2
1
2
2 + a +
1
+ +
≤
a ac
Cộng vế với vế ta có:
3
2
1
2
2 + b +
3 2
1
2
2 + c +
3 2
1
2
2 + a +
1
+ +
≤
b
ab +2(bc+1c+1)+2(ac+1a+1) =
+ +
+ + +
+ +
1 2
1
a ac
abc bc a ac
=
+ +
+ + +
+ +
1 1
1 2
1
a ac a
ac
a ac
a ac
=
+ +
+ +
1
1 2
1
a ac
a ac
=
2
1
vì abc =1 vậy
3 2
1
2
2 + b +
3 2
1
2
2 + c +
3 2
1
2
2 + a +
1
≤ điều phải chứng minh
Trang 5: