Bài tập luyện thi đại học về hình học phẳng

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG VẤN ĐỀ 1: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Điểm – vectơ 1. Tọa độ điểm: ( ) ;OM xi y j M x y= + ⇔ uuuur r r Các điểm đặc biệt: a. Điểm nằm trên trục tọa độ: M nằm trên trục Ox thì M(x; 0) M nằm trên trục Oy thì M(0; y) b. Điểm đối xứng: Cho M(x; y) M’ đối xứng với M qua Ox thì M’(x; -y) M’ đối xứng với M qua Oy thì M’(- x; y) M’ đối xứng với M qua O thì M’(-x; -y) M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x thì M’(y; x) c. Công thức tọa độ trung điểm: I là trung điểm của AB thì ; 2 2 A B A B x x y y I + +    ÷   d. Công thức tọa độ trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABCthì: ; 3 3 A B C A B C x x x y y y G + + + +    ÷   2. Tọa độ vectơ: ( ) ;u xi y j u x y= + ⇔ = r r r r a. Nhận xét: ( ) ( ) ( ) 0 0;0 ; 1;0 ; 0;1i j= = = r r r b. Nếu ( ) ( ) ; ; ; A A B B A x y B x y thì ( ) ; B A B A AB x x y y= − − uuur c. Các phép toán trên vectơ: : Cho ( ) ( ) ; ; ' '; 'u x y u x y= = r ur  ' ' ' x x u u y y =  = ⇔  =  r ur  ( ) ' '; 'u u x x y y± = ± ± r ur  ( ) ;ku kx ky= r  . ' . ' . 'u u x x y y= + r ur 3. Độ lớn của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm: ( ) 2 2 ;u x y u x y= ⇒ = + r r ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ; ; ; A A B B B A B A A x y B x y AB x x y y⇒ = − + − 4. Góc giữa hai vectơ: Cho ( ) ( ) ; ; ' '; 'u x y u x y= = r ur ( ) 2 2 2 2 . ' . ' . ' cos ; ' . ' . ' ' u u x x y y u u u u x y x y + = = + + urur r ur r ur • Chú ý : ' ' ' 0u u xx yy⊥ ⇔ + = r ur ; , 'u u r ur cùng phương ' ' x kx y ky =  ⇔  =  II. Đường thẳng 1. Phương trình đường thẳng a. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Ax + By + C = 0, + ≠ 2 2 A B 0 ( ) ;n A B= r là VTPT và ( ) ;u B A= − r là VTCP của đường thẳng Chú ý: Đường thẳng qua điểm ( ) 0 0 ;M x y và có VTPT ( ) ;n A B= r , có phương trình: A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0 b. Phương trình tham số: = +   = +  0 0 x x at y y bt 1 ( ) ;u a b= r là VTCP, (x 0 ; y 0 ) là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng c. Phương trình đường thẳng qua M(x 0 ;y 0 ) và có hệ số góc k là: y = k(x – x 0 ) + y 0 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng : Cho ∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ’ : a’x + b’y +c’ = 0 Xét hệ phương trình: 0 ' ' ' 0 ax by c a x b y c + + =   + + =  TH1: hệ có duy nhất một cặp nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau TH2: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song TH3: hệ có vô số nghiệm thì hai đường htẳng trùng nhau Chú ý: Có thể xét các trường hợp ( a’ và b’ khác 0) 1: ' ' a b TH a b ≠ thì hai đường thẳng cắt nhau 2 : ' ' ' a b c TH a b c = ≠ thì hai đường thẳng song song 3: ' ' ' a b c TH a b c = = thì hai đường thẳng trùng nhau 3. Khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng Cho ∆ : ax + by + c = 0 và M(x 0 ; y 0 ). Ta có: + + ∆ = + 0 0 2 2 ax by c d(M, ) a b 4. Đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng : Cho ∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ’ : a’x + b’y +c’ = 0 Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng trên là: + + + + =± + + 2 2 2 '2 ax by c a'x b'y c' a b a' b 5. Góc giữa hai đường thẳng Cho ∆ : ax + by + c = 0 và ∆ ’ : a’x + b’y +c’ = 0 Gọi ϕ là góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆ ’, ta có: + ϕ= + + 2 2 2 2 a.a' b.b' cos a b a' b' B. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP 1. Viết phương trình tổng quát c ủa đường thẳng : B1: Tìm một VTPT = r n (A;B) (là vectơ có giá vuông góc với đường thẳng). Điều kiện: + ≠ 2 2 A B 0 B2: Tìm một điểm M(x 0 ; y 0 ) nằm trên đường thẳng B3: Thế vào phương trình : A(x – x 0 ) +B(y –y 0 ) = 0 và khai triển về phương trình : Ax+ By + C = 0 2. Viết phương trình tham số c ủa đường thẳng : B1: Tìm một VTCP r u(a;b) (là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng). Điều kiện: + ≠ 2 2 a b 0 B2 : Tìm một điểm M(x 0 ; y 0 ) nằm trên đường thẳng B3: thế vào phương trình : = +   = +  0 0 x x at y y bt 3. Viết phương trình đường thẳng đi qua (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k: y = k(x-x 0 ) + y 0 4. Phương trình đoạn chắn: Nếu đường thẳng cắt trục Ox tại A(a; 0) và cắt trục Oy tại B(0; b) ,với A, B không trùng gốc toạ độ O(0; 0) thì phương trình đường thẳng có dạng: x y 1 a b + = Chú ý: Cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 d 1 //d thì d 1 có phương trình : Ax + By + C’ = 0, 'C C≠ 2 d d⊥ thì d 2 có phương trình : -Bx + Ay + C’ = 0 Nếu M(x 0 ; y 0 ) nằm trên đường thẳng thì Ax 0 +By 0 + C = 0 5. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng d: Ax +By + C = 0 ( 1) và M(x 0 ; y 0 ). Tìm H là hình chiếu của M trên d. Ta viết phương trình đường thẳng d’ ⊥ d thì d’ : - Bx +Ay + C’ = 0 (2), thế tọa độ M vào (2) để tìm C’. Khi đó H là giao điểm của d và d’ nên tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2). 2 Đặc biệt: Nếu H là hình chiếu của M trên trục hoành thì H(x 0 ; 0) Nếu H là hình chiếu của M trên trục tung thì H(0; y 0 ). Nếu tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM’ nên: M' H M M' H M x 2x x y 2y y = −   = −  Ta xét các bài tập dưới đây trong hệ trục Oxy. 1. Viết phương trình tổng qt của đường thẳng; a. đi qua A(1; 2) và có vectơ pháp tuyến = r n (2;1) b. đi qua B(-2; 3 ) và vuông góc với trục Ox c. đi qua C( 3 ; -1) và vuông góc với trục Oy d. đi qua D( 3 ; 0) và vuông góc với AB, biết A(1; 2), B(-2; 3 ) 2. Trong mp Oxy cho A(2;1), B(-1;-2), C(3;-3) a. Viết phương trình tổng qt của đường thẳng chứa cạnh AB b. Viết phương trình tổng qt đường cao AH của tam giác ABC c. Viết phương trình tổng qt đường trung tuyến AM của tam giác ABC. 3. Cho tam giác ABC với A(0;5), B(-2;2), C(3;1). a. Viết phương trình tổng qt của đường cao kẻ từ đỉnh A b. Viết phương trình tổng qt của đường thẳng qua trọng tâm G và song song với BC c. Gọi M, N là trung điểm AB, AC. Viết phương trình tổng qt của đường thẳng qua M, N. 4. a. Góc hợp bởi đường thẳng 3 3 6 0x y− + = và trục Ox có số đo bằng bao nhiêu? b. Góc giữa hai đường thẳng 2 3 0x y− + = và 3 4 0x y− − = có số đo bao nhiêu? 5. Biết khoảng cách từ điểm A(1;3) đến đường thẳng ∆ : 3 3 0mx y+ − = bằng 2. Hỏi giá trị của m là bao nhiêu? 6. Cho tam giác ABC có các đỉnh A(2;-2), B(2;3), C(-2;0). Hỏi độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác là bao nhiêu? 7. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của M( -6; 4) trên đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0. Suy ra tọa độ điểm N đối xứng với M qua d 8. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M (-5; 13) qua đường thẳng 2x -3y – 3 = 0 9. Cho hai điểm A( 1; 6) , B( -3; -4). Hãy tìm điểm M trên đường thẳng : 2x – y – 1 = 0 sao cho MA+MB bé nhất. 10. Cho hai điểm A( 1; 2), B( 3; 4). Hãy tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA+MB bé nhất. 11.Cho hai điểm A( -7; 1) , B(-5; 5). Hãy tìm trên đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0 điểm M sao cho MA+MB bé nhất. 12.( A – 2002) Cho tam giác ABC vng tại A, phương trình cạnh BC: 3 3 0x y− − = , các đỉnh A, B thuộc trục hồnh và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa trọng tâm G của tam giác ABC. (Đs: 7 4 3 6 2 3 4 3 1 6 2 3 ; ; ; 3 3 3 3 G G     + + − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     13.Cho tam giác ABCcó A(1; 0), đường cao BH: x – 2y + 1 = 0 và đường cao CH: 3x + y – 1 = 0. Tính diện tích tam giác ABC. ( Đs: 14) 14.(B – 2004) Cho A(1;1), B(4; -3). Tìm C trên đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến cạnh AB bằng 6 ( Đs: C(7; 3), 43 27 ; 11 11 C − −    ÷   15.(D – 2004) Cho A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m), 0m ≠ . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vng tại G ( Đs: m= 3 6± ) 16.(A – 2005) Cho đường thẳng d: x – y = 0 và d’: 2x + y – 1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh hình vng ABCD biết rằng A thuộc d, C thuộc d’ và B, D thuộc trục hồnh. ( Đs: A(1;1), C(1; -1) , B(0; 0), D(2; 0) hoặc A(1;1), C(1; -1) , B(2; 0), D(0; 0) ) 17.Cho tam giác ABC cân tại A, trọng tâm G 4 1 ; 3 3    ÷   , phương trình BC: x – 2y – 4 = 0, phương trình BG: 7x – 4y – 8 = 0. Tìm tọa độ 3 đỉnh của tam giác. ( Đs: B(0; -2), C(4; 0), A(0; 3)) 18.Cho A(0; 2) và đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Tìm trên d, hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vng ở B và AB = 2BC. 3 ( Đs: ( ) 2 6 4 7 ; ; 0;1 ; 5 5 5 5 B C C     ∨  ÷  ÷     ) 19. (A- 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B(- 3 ; - 1) . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. 20.(A- 2006) Cho d 1: x + y + 3 = 0, d 2 : x – y – 4 = 0, d 3 : x – 2y =0. Tìm tọa độ điểm M thuộc d 3 sao cho khoảng cách từ M đến hai đường thẳng d 1 gấp đơi khoảng cách từ M đến d 2 . ( Đs: M(-22; -11) hoặc M(2; 1)) 21.Cho tam giác ABC có A nằm trên đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, đường thẳng BC song song với đường thẳng d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0, trung điểm cạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ A, B, C. ( Đs: 2 2 ; 3 3 A − −    ÷   , 8 8 ; 3 3 C    ÷   , B(-4; 1) 22.Cho tam giác ABC cân tại B, A(1; -1), C(3; 5). Đỉnh B nằm trên đường thẳng d: 2x – y = 0. Viết phương trình các đường thẳng AB, BC.( đs: AB: 23x – y – 24 = 0, BC: 19x – 13y + 8 = 0) 23.Cho tam gíac ABC có A(2; 1), đường cao đỉnh B: x – 3y – 7 = 0 và đường trung tuyến đỉnh C: x + y + 1 = 0. Xác định điểm B, C. ( Đs: C(4; -5), B(-2; -3)) 24.Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(1/2; 0), phương trình đường thẳng AB: x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ A, B, C, D biết rằng A có hồnh độ âm. ( Đs: A(-2; 0), B(2; 2), C(3; 0), D(-1; -2) 25.Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 1 = 0, M(1; 1). Viết phương trình các đường thẳng qua M và tạo với d một góc 45 0 .( Đs: 5x + y – 6 = 0; x – 5y + 4 = 0) 26.( Cđ – 05) Cho một hình thoi có một đường chéo có phương trình : x + 2y – 7 = 0, một cạnh của phương trình là: x + 3y – 3 = 0, một đỉnh là (0; 1). Tìm phương trình các cạnh còn lại của hình thoi. ( Đs: 9x + 13y – 83 = 0; 9x + 13y – 13 = 0, x + 3y – 17 = 0) 27.Cho tam giác ABC có A(1; 2), đường trung tuyến BM: 2x + y + 1 = 0, đường phân giác trong CD có phương trình: x + y – 1 = 0. Hãy viết phương trình cạnh BC. (Đs: 4x + 3y + 4 = 0) 28.Cho điểm A(1; 0), B(2; 3). Viết phương trình đường thẳng d cách AB một khoảng bằng 10 . (Đs: 3x – y + 7 = 0 , 3x – y – 13 = 0) 29.Cho đường thẳng d: x – y + 2 = 0, d ’ : 2x + y – 5 = 0 và M(-1; 4). Viết phương trình đường thẳng cắt d, d’ tại A, B sao cho M là trung điểm AB. ( Đs: x + 1 = 0) 30. Viết phương trình đường thẳng qua M(4; 3) và tạo với 2 trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 3. ( Đs: 3x – 8y + 12 =0, 3x – 2y – 6 = 0) 31.Cho I(-2; 0), d; 2x – y + 5 = 0. d’: x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d qua I và cắt d, d’ tại A, B sao cho 2IA IB= uur uur (Đs: 7x – 3y + 14 = 0) 32. (B – 2007) Cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng d 1 : x + y – 2 = 0; d 2 : x + y – 8 =0. Tìm 2 điểm B, C thuộc d 1 ; d 2 sao cho tam giác ABC vng cân tại A. ( Đs: B(-1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; -1), C(5; 3)) 33.( D- 2009) Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương trình 7x – 2y – 3 = 0; 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC. (Đs: 3x – 4y + 5 = 0) 34.(B- 2009) Cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4), hai điểm B, C thuộc đường thẳng x – y – 4 = 0. Tìm tọa độ B, C biết diện tích tam giác ABC bằng 18. (đs: 11 3 3 5 ; , ; 2 2 2 2 B C     −  ÷  ÷     hoặc 3 5 11 3 ; , ; 2 2 2 2 B C     −  ÷  ÷     35.Tìm A trên trục hồnh, B trên trục tung sao cho A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0 (Đs: A(2; 0), B(0; 4) 36. (B – 2008) Hãy xác định tọa độ điểm C của tam giác ABC biết hình chiếu của C lên đường thẳng AB là H(-1; -1), đường phân giác trong của góc A có phương trình x – y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0 ( Đs: 10 3 ; 3 4 C   −  ÷   37. (A- 2009)Trong mp (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có I(6; 2) là giao điểm 2 đường chéoAC và BD. Điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y – 5 = 0. Viết pt đường thẳng AB. 38. (B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, C(-4; 1), đường phân giác trong góc A có phương trình ; x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24, A có hồnh độ dương. 4 39.(D – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -7), trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ C, biết C có hồnh độ dương. 40. (D – 2010 NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(0; 2), đường thẳng ∆ qua O, H là hình chiếu của A lên ∆ . Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ H đến trục hồnh bằng AH. 41.(A – 2010 NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A(6; 6). Đường thẳng qua trung điểm AB, AC có phương trình : x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B, C biết E(1; -3) nằm trên đường cao qua đỉnh C của tam giác đã cho. 42.Cho tam giác ABC, có B(4; -1), đường cao AH có phương trình : 2x – 3y + 12 = 0, đường trung tuyến AM có phương trình : 2x + 3y = 0. Viết phương trình các đường thẳng qua 3 cạnh của tam giác. (Đs: 3x + 2y – 10 = 0, 3x + 7y – 5 = 0; 9x + 11y + 5 = 0 VẤN ĐỀ 2: ĐƯỜNG TRỊN A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Phương trình đường tròn 1. Dạng thu gọn: (x –a) 2 + (y – b) 2 = R 2 , tâm I(a; b), bán kính: R 2. Dạng khai triển: x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0, điều kiện: a 2 + b 2 – c > 0 Tâm I(a; b), bán kính: 2 2 R a b c= + − 3. Các trường hợp đặc biệt: a. Đường tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính R: x 2 + y 2 = R 2 b. Tâm I(a; b) và qua gốc tọa độ: (x-a) 2 + (y-b) 2 = a 2 + b 2 c. Tâm I(a; b), tiếp xúc với trục Ox là: (x-a) 2 + (y – b) 2 = b 2 d. Tâm I(a; b), tiếp xúc với trục Oy là: (x-a) 2 + (y – b) 2 = a 2 4. Chú ý: Viết phương trình đường tròn Cách 1: Xác đònh tâm I( a, b) và tính bán kính R rồi thế vào phương trình : (x – a) 2 + (y – b ) 2 = R 2 (*) Chú ý : 1. Nếu đường tròn qua điểm A thì R = IA 2. Nếu đường tròn có đường kính AB thì tâm là trung điểm AB và bán kính R = 1 2 AB 3. Nếu đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 thì R = + + ∆ = + 0 0 2 2 Ax By C d(I, ) A B 4. Đường tròn có tâm I nằm trên đường thẳng d và tiếp xúc với d 1 ; d 2 : Gọi I (a, b). Ta có 1 2 I d d(I,d ) d(I,d ) ∈   =  . Giải hệ tìm a, b. Tính R = d(I, d 1 ) rồi thế vào (*) Cách 2: Ta viết phương trình của đường tròn có dạng: x 2 +y 2 + 2ax + 2by + c = 0 ( **) Từ điều kiện của bài toán đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c. Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (**)ta được phương trình đường tròn. II. Vị trí của điểm so với đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R, một điểm M(x 0 ; y 0 ) Tính ( ) ( ) 2 2 0 0 IM x a y b= − + − 1. Nếu IM > R thì M nằm ngồi (C) 2. Nếu IM = R thì M nằm trên (C) 3. Nếu IM < R thì M nằm trong (C) III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R, đường thẳng : 0Ax By C∆ + + = Tính ( ) 2 2 ; Aa Bb C d I A B + + ∆ = + 1. Nếu ( ) ,d I R∆ > thì ∆ và (C) khơng có điểm chung 5 2. Nếu ( ) ,d I R∆ = thì ∆ và (C) có một điểm chung , ta nói ∆ tiếp xúc với ©) khi đó ∆ là tiếp tuyến của ∆ đường tròn (C) 3. Nếu ( ) ,d I R∆ < thì ∆ và (C) có hai điểm chung IV. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn: Cho 2 đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R và (C') có tâm I(a';b'), bán kính R'. Tính 2 2 II' (a' a) (b' b)= − + − Nếu II' > R + R' thì 2 đường tròn không giao nhau. Nếu II' = R + R' thì 2 đường tròn tiếp xúc ngoài Nếu II' = |R - R'| thì 2 đường tròn tiếp xúc trong Nếu |R - R'| <II' < R + R' thì 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm V. Tiếp tuyến của đường tròn Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc đường tròn o Xác đònh tâm I(a;b) o Tiếp tuyến qua M và vuông góc với IM nên có VTPT là IM uuur Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với d: Ax + By + C = 0 o Xác đònh tâm I(a;b) và bán kính R. o Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng : Ax + By + C’ = 0 ( C’ chưa biết và C’ ≠ C) o Dùng điều kiện tiếp xúc d(I, ∆ ) = R để tìm C’ rồi thế vào phương trình tiếp tuyến Loại 3: Lập phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với d: Ax + By + C = 0 o Xác đònh tâm I(a;b) và bán kính R. o Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng : -Bx + Ay + C’ = 0 ( C’ chưa biết ) o Dùng điều kiện tiếp xúc d(I, ∆ ) = R để tìm C’ rồi thế vào phương trình tiếp tuyến Loại 4: Lập phương trình tiếp tuyến qua điểm M(x 1 ;y 1 ) nằm ngoài đường tròn o Xác đònh tâm I(a;b) và bán kính R. o Viết phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng : A(x - x 1 ) + B(y –y 1 ) = 0 ; 2 2 A B 0+ ≠ o Dùng điều kiện tiếp xúc d(I, ∆ ) = R để tìm A, B rồi thế vào phương trình tiếp tuyến B. CÁC DẠNG TỐN: 1. Viết phương trình đường tròn: a) đi qua A(3; 1) và có tâm I(1; 2) b) có đường kính AB với A(1; 1) , B(3; 3) c) Đi qua 2 điểm A(0; 1), B(1; 0) và có tâm thuộc d: x+ y + 2 = 0 d) Có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng: x – 2y – 2 = 0 e) Đi qua hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và tiếp xúc với d: 3x + y -3 = 0 f) Tiếp xúc với Ox tại A(-1; 0) và đi qua B(3; 2) g) Tiếp xúc với d: x – y – 2 = 0 tại M(1; -1) và có bán kính bằng 3. h) Tiếp xúc với 2 đường thẳng d 1 : 3x – y + 3 = 0, d 2 : x – 3y + 9 = 0 và có tâm thuộc đường thẳng d: x – 5 = 0 i) Qua 3 điểm A(1; 4), B(-4; 0), C(-2; -2) j) qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy. 2. Cho hai đường thẳng d 1 : 4x-3y-12= 0 và d 2 :4x+3y-12= 0 a. xác đònh các đỉnh của tam giác có ba cạnh là d 1 ,d 2 , và Oy. b. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vừa xác đònh 3. Trong mp Oxy, hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết các cạnh AB, BC, CA lần lượt có các phương trình sau: y- x- 2=0, 5y- x+2= 0 và y + x – 8 = 0 4. Cho họ đường cong (C m ): x 2 + y 2 + (m+2)x – (m+4)y + m + 1 = 0 (*) a) Chứng minh với mọi m thì (*) là phương trình của một đường tròn b) Tìm tập hợp tâm các đường tròn. c) Tìm đường tròn có bán kính nhỏ nhất trong họ (C m ) d) Tìm các điểm cố định mà mọi đường tròn của (C m ) đều đi qua. 5. Cho (C m ): x 2 +y 2 - 2mx+2(1+m)y-12 = 0 a. Tìm quỹ tích tâm đường tròn b. với giá trò nào của m thì bán kính nhỏ nhất c. cho m = 2, tìm khoảng cách ngắn nhất giữa đường tròn với đường thẳng: 3x –4y +12 = 0 6 6. Trong hệ truc Oxy, cho (C m ): x 2 +y 2 - 2mx-2(1-m)y+2m 2 -2m-3 = 0. Tìm quỹ tích của tâm đường tròn 7. Trong mp Oxy xét họ đường tròn có phương trình :x 2 +y 2 - 2(m+1)x-2(m+2)y+6m+7= 0 a. tìm quỹ tích tâm của đường tròn b. Xác đònh tọa độ tâm của đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với Oy. 8. Cho đường tròn ( C): x 2 +y 2 +2x-4y-4 = 0 và A(2;5). Hãy tìm phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M, N ; hãy tính MN. 9. Trong mp Oxy cho họ đường cong (C m ) : x 2 +y 2 + 2mx -6y+4 - m= 0 a) Chứng minh rằng (C m ) là đường tròn với mọi m. Hãy tìm tập hợp tâm đường tròn khi m thay đổi. b) Với m = 4, hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với(d): 3x- 4y + 10 = 0 và cắt đường tròn tại hai điểm A, B sao cho AB=6. 10. Cho (C m ): x 2 +y 2 - 2mx-2(m+1)y+2m-1 = 0 a) Chứng minh khi m thay dổi, họ đường tròn luôn đi qua hai điểm cố đònh. b) Chứng minh với mọi m, họ đường tròn luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt. 11. ( D – 2003) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d: x– y – 1 = 0 và đường tròn (C) : (x -1) 2 + (y -2) 2 = 4. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng (C ) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C ) và (C’). 12. (B – 2005) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0), B(6; 4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A và khoảng cách từ tâm của (C ) đến điểm B bằng 5. 13. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 +6x – 8y -1 = 0 và đường thẳng d: x – 5y – 6 = 0. Tìm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến d đạt giá trị lớn nhất 14. (D – 2006): Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x – 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: x – y + 3 = 0. Tìm điểm M thuộc d sao cho đường tròn tâm M, bán kính gấp đơi bán kính (C), tiếp xúc ngồi với (C) ( Đs: M(1; 4), M(-2; 1) 15. (A – 2007) Cho tam giác ABC có A(0; 2), B(-2; -2) và C(4; -2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B, M và N là trung điểm của AB và BC. Lập phương trình đường tròn qua H, M, N. ( Đs: x 2 + y 2 – x + y – 2 = 0) 16. (B – 2009) Cho đường tròn(C): ( ) 2 2 4 2 5 x y− + = và hai đường thẳng d 1 :x – y = 0, d 2 : x – 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C 1 ), biết (C 1 ) tiếp xúc với 2 đường thẳng d 1 , d 2 và có tâm K thuộc (C). 17. Cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 8 8 0C x y x y+ − − − = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết: a) Tiếp tuyến đi qua (4;0)M b) Tiếp tuyến đi qua điểm ( 4; 6)A − − 18. Cho đường tròn 2 2 ( ) : 2 6 9 0C x y x y+ − − + = . Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết a) Tiếp tuyến song song với ( ) : 0x y∆ − = . b) Tiếp tuyến vng góc với ( ) : 3 4 0x y∆ − = . 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): x 2 + y 2 + 4x - 2y - 11 = 0 và điểm A(2 ; 0). a) Chứng minh điểm A nằm ngồi (C). b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : 3x + 4y + 1 = 0. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A 20. Cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = 4 và điểm M(2; 4). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT 1 ; MT 2 với (C) trong đó T 1 , T 2 là các tiếp điểm. a) Viết phương trình đường thẳng T 2 T 1 b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với T 1 T 2 21. Cho điểm M(6; 2) và đường tròn (C): x 2 + y 2 – 2x – 4y = 0. Lập phương trình d qua M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho 10AB = 22. Cho(C): (x-1) 2 + (y -2) 2 = 9. Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2; 1) và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. 23. (D- 2007) Cho đường tròn (C): (x-1) 2 + (y +2) 2 = 9 và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất 1 điểm P mà từ đó kẻ 2 tiếp tuyến PA, PB đến (C) sao cho tam giác PAB đều. ( Đs: m = 19 hoặc m = -41) 7 24.(A – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng 1 2 : 3 0; : 3 0d x y d x y+ = − = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d 1 tại A, cắt d 2 tại B, C sao cho tam giác ABC vng tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và A có hồnh độ dương. VẤN ĐỀ 3: ELIP Đònh nghóa (E) = {M ∈ mp / MF 1 +MF 2 = 2a} với F 1 , F 2 cố đònh, F 1 F 2 =2c và a> c > 0 Phương trình chính tắc 1 2 2 2 2 =+ b y a x ; 222 cab −= Đỉnh ),(),,(),,(),,( bBbBaAaA 0000 2121 −− Trục Lớn : 2a, nhỏ: 2b Tiêu điểm F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0) Tiêu cự 2c Tâm sai e=c/a Hình chữ nhật cơ cở Kích thước: 2a X 2b 1. Viết phương trình chính tắc của elip, biết: a) tiêu cự bằng 8 và độ dài trục nhỏ bằng 10 b) độ dài trục lớn bằng 8 và tiêu cự bằng 4 c) tâm sai bằng 2/3 và tiêu điểm (-4; 0) d) tiêu điểm ( ) 2 2 3;0F và elip qua điểm ( ) 2; 3M − e) elip đi qua 2 điểm M(3; -2) và ( ) 0;2 2N f) elip có tâm sai bằng 2/5 và độ dài trục nhỏ bằng 10 2. Cho elip (E) có phương trình chính tắc: 2 2 2 2 1 x y a b + = . Tính tâm sai của elip trong mỗi trường hợp sau: a) Khoảng cách từ một đỉnh nằm trên trục lớn đến một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự của elip. b) Các đỉnh trên trục bé nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vng 3. Cho elip (E): 2 2 1 9 1 x y + = . Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vng góc với trục chứa 2 tiêu điểm. 4. Cho (E): 9x 2 + 25y 2 = 225. Tìm tọa độ các điểm M thuộc (E) có tổng các khoảng cách từ đó đến 2 điểm A(0; 4) và B(0; -4) bằng 10. 5. Cho (E) có phương trình chính tắc: 2 2 2 2 1 x y a b + = a) Một đường thẳng d qua tiêu điểm F 2 của (E) và cắt (E) tại 2 điểm M và N. Chứng minh : 2 2 2 1 1 2a MF NF b + = b) Một góc vng xOy cắt (E) tại A, B. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 1 a b OA OB a b + + = 8 6. (A – 2008) Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng 5 3 và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20 ( Đs: 2 2 1 9 4 x y + = ) 7. (B- 2010NC) Cho ( ) ( ) 2 2 2; 3 , : 1 3 2 x y A elip E + = có 2 tiêu điểm F 1 , F 2 ( F 1 có hoành độ âm), Gọi M là giao điểm có tung độ dương của AF 1 với (E), N là điểm đối xứng của F 2 qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp đường tròn tam giác ANF 2 . 9 . PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG VẤN ĐỀ 1: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I. Điểm – vectơ 1. Tọa độ điểm: (. trên đường thẳng thì Ax 0 +By 0 + C = 0 5. HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG Cho đường thẳng d: Ax +By + C = 0 ( 1) và M(x 0 ; y 0 ). Tìm H là hình chiếu của M trên d. Ta viết phương trình. điểm H là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2). 2 Đặc biệt: Nếu H là hình chiếu của M trên trục hoành thì H(x 0 ; 0) Nếu H là hình chiếu của M trên trục tung thì H(0; y 0 ). Nếu tìm tọa độ M’ đối