ÔN THI đại học môn TOÁN năm học 2013 2014

Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TÓAN NGUYỄN HỒNG LẬP TRƯỜNG THPT CHÂU THÀNH 2 NGÔ PHONG PHÚ CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU TRẦN THỊ THU THỦY THPT TP CAO LÃNH CHUYÊN ĐỀ : ÔN THI ĐẠI HỌC NH 2013-2014 Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và bài toán liên quan I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng phương và nhất biến. 1. Hàm số bậc ba. 2. Hàm số trùng phương. 3. Hàm số nhất biến. B. Bài toán liên quan đến đồ thị. B1. Cực trị của hàm số 1. Tìm cực trị của hàm số. 1) Hàm số y = f(x) có cực trị ⇔ y’ đổi dấu. 2) Hàm số y = f(x) không có cực trị ⇔ y’ không đổi dấu. 3) Hàm số y = f(x) chỉ có một cực trị ⇔ y’ đổi dấu một lần. 4) Hàm số y = f(x) chỉ có hai cực trị ⇔ y’ đổi dấu hai lần. 5) Hàm số y = f(x) chỉ có ba cực trị ⇔ y’ đổi dấu ba lần. 6) Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x 0 nếu 0 0 '( ) 0 "( ) 0 f x f x =   <  . 7) Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x 0 nếu 0 0 '( ) 0 "( ) 0 f x f x =   >  . 8) Hàm số y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị tại x 0 ⇔ f’(x 0 ) = 0. 9) Hàm số y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại x = x 0 ⇔ 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x c =   =  . Chú ý : đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định. 2. Một số hàm số thường gặp. a) Hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 +cx+d. y’= 3ax 2 +2bx+c . Đặt g(x) = 3ax 2 +2bx+c. (1) Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với Ox: Hàm số có hai cực trị cùng dấu ⇔ ' max min 0 : 0 . 0 y a y y ≠ ∆ >    >   (2) Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với Ox: Hàm số có hai cực trị trái dấu ⇔ ' max min 0 : 0 . 0 y a y y ≠ ∆ >    <   (3) Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (D): Ax+By+C = 0. Gọi M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ,y 2 ) là hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị. Khoảng cách đại số từ M 1 , M 2 đến ( D ) : t 1 = 1 1 2 2 Ax By C A B + + + , t 2 = 2 2 2 2 Ax By C A B + + + . Trang 1 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH Đồ thị có hai điểm cực đại, cực tiểu ở hai phía đối với ( D ) ⇔ 1 2 ' 0 0 y t t =   <  (4) Đồ thị có hai điểm cực trị ở ở cùng phía đối với ( D ) ⇔ 1 2 ' 0 0 y t t =   >  b) Hàm số bậc bốn trùng phương: y = ax 4 +bx 2 +c(a ≠ 0). y’= 4ax 3 +2bx = 2ax(x 2 + b). Đặt g(x) = 3ax 2 +2bx+c. y’ = 0 ⇔ 2ax(x 2 + b) = 0 ⇔ 2 0(1) 2 0(2) x ax b =   + =  (1) Hàm số có ba cực trị ⇔ (2) có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ab < 0. (2) Hàm số có đúng một cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng 0 ⇔ b = 0 hoặc ab>0. c) Hàm số hửu tỉ: y = 2 ' ' ax bx c b x c + + + (ab’ ≠ 0, tử không chia hết cho mẫu). y’= 2 2 ' 2 ' ' ' ( ' ') ab x ac x bc b c b x c + + − + . y’ = 0 ⇔ g(x) = ab’x 2 +2ac’x+bc’-b’c = 0 (1) Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ' 0 0 g ab ≠   ∆ >  . (2) Hàm số không có cực trị ⇔ y’ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ' 0 0 g ab ≠   ∆ >  . (3) Đồ thị có 2 điểm cực trị ở cùng một phía đối với trục Ox ⇔ max min ' 0 0 0 g ab y y  ≠  ∆ >   >  ⇔ ' 0 0 0 : 2 ê g ab y nghi m  ≠  ∆ >   =  (4) Đồ thị có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox ⇔ max min ' 0 0 0 g ab y y  ≠  ∆ >   <  ⇔ ' 0 0 0 : g ab y vn  ≠  ∆ >   =  3. Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. a. Hàm số bậc ba: y = ax 3 +bx 2 +cx+d (a ≠ 0) y’= f’(x) = 3ax 2 +2bx+c . f’(x) = 0 ⇔ 1 2 x x x x = = Chia f(x) cho f’(x) ta được: y =f(x) = f’(x).q(x)+ α x+ β . Trang 2 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH (1) Ta có f’(x 1 ) = 0, f’(x 2 ) = 0. Suy ra giá trị cực trị là: 1 1 2 2 ( ) ( ) f x x f x x α β α β = +   = +  (2) Gọi M(x;y) là điểm cực trị của đồ thị ( C ) ta có : f’(x) = 0 ⇒ y = α x+ β . Vậy y = α x+ β là phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực trị của ( C ). b) Hàm số hửu tỉ dạng: y = 2 ' ' ax bx c a x b + + + = ( ) ( ) u x v x ⇒ y’= 2 ' 'u v uv v − . y’= 0 ⇔ 1 2 x x x x = = . Ta có y’= 0 ⇔ ( ) ( ) u x v x = '( ) '( ) u x v x . (1) Giá trị cực trị là: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) '( ) 2 ( ) ( ) '( ) ' ( ) '( ) 2 ( ) ( ) '( ) ' u x u x ax b f x v x v x a u x u x ax b f x v x v x a +  = = =    +  = = =   (2) Gọi M(x;y) là điểm cực trị của đồ thị ( C ) ta có : y’ = 0 ⇒ y = 2 ' ax b a + . Vậy y = 2 ' ax b a + là phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực trị của ( C ). B2. Hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị ( C ). 1. Vẽ đồ thị ( C 1 ) : y 1 = ( )f x . Ta có : y 1 = ( ) nê f(x) 0 ( ) nê f(x)<0 f x u f x u ≥   −  . Vì y 1 ≥ 0 nên ( C 1 ) nằm ở phía trên trục Ox. Đồ thị ( C 1 ) được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng cách: - Phần ( C ) ở phía trên Ox giử nguyên. - Bỏ phần của ( C ) ở dưới trục Ox và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox. 2. Vẽ đồ thị ( C 1 ) : y 1 = f( x ). Ta có : f( x ) = f( x − ). Đây là hàm số chẳn nên ( C 1 ) nhân trục tung là trục đối xứng. Đồ thị ( C 1 ) được suy ra từ đồ thị ( C ) bằng cách: - Phần của ( C ) ở phía bên phải trục Oy giử nguyên. - Bỏ phần của ( C ) ở phía bên trái trục Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của ( C ) qua trục Oy. 3. Vẽ đồ thị ( C 1 ) : 1 y = f(x). a) Nếu y 1 ≥ 0 thì y 1 =f(x): ( C 1 )=(C) trên trục Ox. b) Nếu y 1 ≤ 0 thì y 1 = -f(x): ( C 1 ) đối xứng với (C) qua trục Ox. Đố thị ( C 1 ) suy từ đồ thị ( C ) bằng cách: - Phần của ( C ) ở phía trên trục Ox giử nguyên. - Bỏ phần của ( C ) ở phía bên dưới trục Ox và lấy phần đối xứng của ( C ) ở dưới trục Ox qua trục Ox. 4. Cho đồ thị hàm số y = ( ) ( ) p x q x có đồ thị ( C ). 4.1 Vẽ đồ thị ( C 1 ) : y 1 = ( ) ( ) p x q x . Ta có : y 1 = ( ) ê q(x)>0 ( ) ( ) ê q(x)<0 ( ) p x n u q x p x n u q x      −   . Đố thị ( C 1 ) suy từ đồ thị ( C ) bằng cách: - Phần của ( C ) ở miền q(x)>0 giử nguyên. Trang 3 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH - Bỏ phần của ( C ) ở ở miền q(x)<0 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox. 4.2 Vẽ đồ thị ( C 1 ) : y 1 = ( ) ( ) p x q x . Ta có : y 1 = ( ) ê p(x) 0 ( ) ( ) ê p(x)<0 ( ) p x n u q x p x n u q x  ≥     −   . Đố thị ( C 1 ) suy từ đồ thị ( C ) bằng cách: - Phần của ( C ) ở miền p(x) ≥ 0 giử nguyên. - Bỏ phần của ( C ) ở ở miền p(x)<0 và lấy phần đối xứng của phần này qua trục Ox. Chú ý : dạng toán này thường đi kèm với biện luận số nghiệm của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. B3. Giao điểm và sự tiếp xúc của hai đồ thị. Cho hai đồ thị (C 1 ) y =f(x) và ( C 2 ) y = g(x). B3.1. Giao điểm của hai đồ thị. Các đồ thị của hai hàm số y =f(x) và y = g(x) cắt nhau tại điểm M(x 0 ;y 0 ) khi và chỉ khi y 0 =f(x 0 ) và y 0 =g(x 0 ) tức (x 0 ;y 0 ) là một nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) y f x y g x =   =  . Như vậy hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình f(x)=g(x). -Tọa độ giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và ( C 2 ) là nghiệm của hệ phương trình ( ) ( ) y f x y g x =   =  - Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và ( C 2 ) là f(x) = g(x) (1). - Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ) và ( C 2 ). 3.1.1. Phương trình bậc ba : ax 3 +bx 2 +cx+d = 0(a ≠ 0). - Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số y = ax 3 +bx 2 +cx+d (a ≠ 0). Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục ( Ox) : ax 3 +bx 2 +cx+d = 0(a ≠ 0) (1). Trường hợp 1: (1) có nghiệm đặc biệt x 0 , khi đó : (1) ⇔ (x-x 0 )(ax 2 +bx+c) = 0 ⇔ 0 2 ( ) 0(2)( 0) x x g x ax bx c a = = + + = ≠ 1. ( C ) và Ox có một điểm chung ⇔ (1) có một nghiệm ⇔ (2) vô nghiệm hay (2) có nghiệm kép bằng x 0 ⇔ 0 0 0 ( ) 0 g g g x ∆ < ∆ = ∧ = . 2. ( C ) và Ox có hai điểm chung ⇔ (1) có hai nghiệm ⇔ 0 1 0 2 0 (2) có nghiem ké khác x (2) có x , p x x x= ≠ . ⇔ 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 0 g g g x g x ∆ = ∧ ≠ ∆ > ∧ = 3. ( C ) và Ox có ba điểm chung ⇔ (1) có ba nghiệm ⇔ (2) có hai nghiệm phân biết khác x 0 ⇔ 0 0 ( ) 0 g g x ∆ >    ≠   . 4. ( C ) và Ox tiếp xúc ⇔ (1) có nghiệm kép (hoặc bội ) ⇔ (2) có hai nghiệm kép hoặc có nghiệm x 0 ⇔ 0 0 ( ) 0 g g x ∆ = = Trường hợp 2: (1) không có nghiệm đặc biệt, khi đó : Trang 4 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH Cách 1: -Đưa (1) về dạng F(x) = 0 0 ( ) ( ) m kx m m x x y ϕ + − + , trong đó (C F ) : y= F(x) là đường cố định và (D m ): y= ϕ (m), y=kx+m là đường chuyển động khi m thay đổi. - Dựa vào đồ thị, số điểm chung của (C F ) và (D m ) chính là số nghiệm của của phương trình (1) Cách 2: Dựa vào đồ thị ( C ) và phương pháp dời trục Ox, Oy. ( C ) : y = ax 3 +bx 2 +cx+d (a ≠ 0) ⇒ y’= f’(x) = 3ax 2 +2bx+c . 1. (C) và Ox có một điểm chung ⇔ y không có cực trị hoặc y có hai cực trị cùng dấu ⇔ 'y ∆ ≤ 0 hoặc ' min max 0 . 0 y y y ∆ >    >   . 2. (C) và Ox có hai điểm chung ⇔ y có cực trị bằng 0 ⇔ ' min max 0 . 0 y y y ∆ >    =   . 3. (C) và Ox có ba điểm chung ⇔ y có 2 cực trị trái dấu ⇔ ' min max 0 . 0 y y y ∆ >    <   . 4. (C) và Ox tiếp xúc ⇔ hệ 0 ' 0 y y =   =  có nghiệm 5. (C) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ dương ⇔ 1 2 min max 1 2 ' 0 có 2 nghiê pb x , . 0 (0) 0 0 y m x y y ay x x =   <   <   < <  6. (C) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ âm ⇔ 1 2 min max 1 2 ' 0 có 2 nghiê pb x , . 0 (0) 0 0 y m x y y ay x x =   <   >   < <  7. (C) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ lớn hơn α ⇔ 1 2 min max 1 2 ' 0 có 2 nghiê pb x , . 0 ( ) 0 y m x y y ay x x α α =   <   <   < <  8. (C) cắt Ox tại ba điểm có hoành độ nhỏ hơn α ⇔ 1 2 min max 1 2 ' 0 có 2 nghiê pb x , . 0 ( ) 0 y m x y y ay x x α α =   <   >   < <  9. (C) cắt Ox tại ba điểm trong đó có đúng hai nghiệm có hoành độ âm ⇔ 1 2 min max 1 2 ' 0 có 2 nghiê x . 0 (0) 0 0 y m x y y ay x x = <   <   <   < <  10. (C) cắt Ox tại ba điểm trong đó có đúng hai nghiệm có hoành độ dương Trang 5 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH ⇔ 1 2 min max 1 2 ' 0 có 2 nghiê x . 0 (0) 0 0 y m x y y ay x x = <   <   >   < <  Chú ý: vẽ đồ thị minh họa cách giải. Chú ý: Vấn đề khó khăn nhất trong các dạng toán trên là tính min max .y y ; ta làm theo thứ tự sau: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị y = α x+ β . Nếu x 1 , x 2 đơn giản thì tính x 1 , x 2 ; Khi đó min max .y y = y(x 1 )y(x 2 ) = ( α x 1 + β )( α x 2 + β ). Nếu x 1 , x 2 phức tạp thì áp dụng định lý Viét : min max .y y = ( α x 1 + β )( α x 2 + β ) = α P 2 + α β S+ β 2 . B3.2. Sự tiếp xúc của hai đồ thị. Cho hai đồ thị (C 1 ) y =f(x) và ( C 2 ) y = g(x). 1. Giả sử hai hàm số f và g có đạo hàm tại điểm x 0 . Ta nói rằng hai đường cong (C 1 ) y =f(x) và ( C 2 ) y = g(x) tiếp xúc nhau tại điểm M(x 0 ;y 0 ) nếu M là điểm chung của chúng và hai đường cong có tiếp tuyến chung tại điểm M. Điểm M được gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho. Vẽ hình minh họa 2. Hai đồ thị (C 1 ) y =f(x) và ( C 2 ) y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  có nghiệm và nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó II. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1. Dạng 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Phương pháp : Bước 1 : Tập xác định. Bước 2: Sự biến thiên (1) Giới hạn, tiệm cận ( nếu có). (2) Chiều biến thiên: Đạo hàm, nghiệm đạo hàm và bảng biến thiên. (3) Khoảng đồng biến, nghịch biến. (4) Cực đại, cực tiểu. Bước 3: Đồ thị (1) Điểm đặc biệt. (2) đồ thị. Chú ý hàm số bậc ba, trùng phương, nhất biến. 2. Dạng 2: Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. 2.1 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) y = f(x) Phương pháp : Bước 1 : Dạng pttt y - y 0 = f’(x 0 )(x-x 0 ), trong đó hệ số góc k = f’(x 0 ). Bước 2: Tìm các yếu tố chưa biết x 0 , y 0 và f’(x 0 ). Bước 3: kết luận. Chú ý 1) Loại 1: pttt của đồ thị tại một điểm. Loại 2: pttt của đồ thị biết hệ số góc. Loại 3: pttt của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm. Chú ý 2) Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc. Hai đường thẳng vuông góc thì tích hệ số góc của chúng bằng -1. Chú ý 3): điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị. 2.2 Bài toán liên quan đến khảo sát hàm số. Trang 6 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH a. Sự tương giao của hai đồ thị ( C 1 ) y = f(x) và ( C 2 ) y = g(x). a) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình (1) bằng đồ thị. Phương pháp : Bước 1 : Biến đổi pt(1) về dạng f(x) = m (*) hay g(m)=am+b…. Bước 2: Lập luận : số nghiệm của pt là số giao điểm của hai đồ thị (C) và (d) y= m hay g(m) Bước 3: Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt(1) bằng đồ thị. Chú ý 1) So sánh tham số m với các giá trị cực đại và giá trị cực tiểu. b) Biện luận theo m số giao điểm của hai đồ thị( C 1 ) y=f(x) và (C 2 ) y = g(x). Phương pháp : Bước 1 : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường f(x) = g(x) (1) Bước 2: Lập luận : số nghiệm của pt là số giao điểm của hai đồ thị (C) và (d) y= m hay g(m) Bước 3: Biện luận theo tham số m số nghiệm của pt(1) suy ra số giao điểm của hai đường. Chú ý 1) Giải và biện luận phương trình bậc hai. c) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị( C 1 ) y=f(x) và (C 2 ) y = g(x). Phương pháp : Bước 1 : Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường f(x) = g(x) (1) Bước 2: Giải pt (1) tìm nghiệm. Lập luận : số nghiệm của pt là số giao điểm của hai đồ thị. Bước 3: suy ra tọa độ giao điểm của hai đường. Chú ý 1) Giải và biện luận phương trình bậc hai, bậc ba… 2.3 Định tham số, biết điều kiện cho trước của hàm số hay đồ thị. (C 1 ) y = f(x) và ( C 2 ) y = g(x). Phương pháp : Bước 1 : Từ điều kiện cho trước biến đổi pt chứa tham số hoặc bpt chứa tham số m(1) Bước 2: Giải pt hoặc bpt (1) tìm tham số m. Bước 3: kết luận. Chú ý điều kiện của bài toán về hàm số 1) đồng biến, nghích biến. 2) Cực trị:cực đại, cực tiểu hay giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. (lồi, lỏm, điểm uốn ( nâng cao)) . 3) Tiệm cận. 4) sự tương giao của hai đường : số giao điểm, số nghiệm, tiếp xúc của hai đồ thị…5) điều kiện khác. 2.4 Diên tích hình phẳng, thể tích hình tròn xoay. Phương pháp : Bước 1 : Xác định các hàm số và các cận (các cận là nghiệm pt hoành độ giao điểm) Bước 2: công thức diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay và tính tích phân Bước 3: kết luận. Chú ý tính tích phân của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối. 2.5 Đồ thị ( C’) hàm số y = g(x) chứa dấu giá trị tuyệt đối dựa vào đồ thị ( C ) y=f(x). Phương pháp : Bước 1 : Xét dấu biểu thức chứa trong dấu giá trị tuyệt đối, suy ra hàm số không còn dấu giá trị tuyệt đối ( hàm nhiều biểu thức chứa f(x)) Bước 2: Từ đồ thị ( C ) suy ra đồ thị ( C’) bằng phép đối xứng qua các trục. Bước 3: Vẽ đồ thị (C’). Trang 7 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH Chú ý: Đồ thị hàm số chẳn nhân trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số lẻ nhân gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số nhất biến nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. Chú ý : 1) đồ thị hàm số y =f( x ) là hàm số chẳn đối với x nên nhận trục tung làm trục đối xứng. 2) đồ thị hàm số y = ( )f x . 3) y = ( ) ( ) p x q x hoặc y = ( ) ( ) p x q x . 2.6 Dạng khác của bài toán có liên quan đến khảo sát hàm số. III. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Vấn đề : TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Giả sử hàm số y f x( )= có tập xác định D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y x D0, ′ ≥ ∀ ∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y x D0, ′ ≤ ∀ ∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. • Nếu y ax bx c a 2 ' ( 0) = + + ≠ thì: + a y x R 0 ' 0, 0 ∆  > ≥ ∀ ∈ ⇔  ≤  + a y x R 0 ' 0, 0 ∆  < ≤ ∀ ∈ ⇔  ≤  • Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x ax bx c a 2 ( ) ( 0) = + + ≠ : + Nếu ∆ < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a. + Nếu ∆ = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ b x a2 = − ) + Nếu ∆ > 0 thì g x( ) có hai nghiệm x x 1 2 , và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a. • So sánh các nghiệm x x 1 2 , của tam thức bậc hai g x ax bx c 2 ( ) = + + với số 0: + x x P S 1 2 0 0 0 0 ∆  ≥  ≤ < ⇔ >   <  ; x x P S 1 2 0 0 0 0 ∆  ≥  < ≤ ⇔ >   >  ; x x P 1 2 0 0 < < ⇔ < • a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( ) ≤ ∀ ∈ ⇔ ≤ ; a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( ) ≥ ∀ ∈ ⇔ ≥ *Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y f x( ) = đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định). • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y x D0, ′ ≥ ∀ ∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y x D0, ′ ≤ ∀ ∈ và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. • Nếu y ax bx c a 2 ' ( 0) = + + ≠ thì: + a y x R 0 ' 0, 0 ∆  > ≥ ∀ ∈ ⇔  ≤  + a y x R 0 ' 0, 0 ∆  < ≤ ∀ ∈ ⇔  ≤  Trang 8 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH 2. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( ) = = + + + đơn điệu trên khoảng ( ; ) α β . Ta có: y f x ax bx c 2 ( ) 3 2 ′ ′ = = + + . a) Hàm số f đồng biến trên ( ; ) α β ⇔ y x0, ( ; ) ′ ≥ ∀ ∈ α β và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) α β . Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( ) ′ ≥ ⇔ ≥ (*) thì f đồng biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) max ( ) ≥ α β • Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( ) ′ ≥ ⇔ ≤ (**) thì f đồng biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) min ( ) ≤ α β Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0 ′ ≥ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x = − α . Khi đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 α α α ′ = = + + + + + . – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; )−∞ ⇔ g t t( ) 0, 0≥ ∀ < ⇔ a a S P 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆  >    > > ∨   ≤ >   ≥   – Hàm số f đồng biến trên khoảng a( ; ) +∞ ⇔ g t t( ) 0, 0 ≥ ∀ > ⇔ a a S P 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆  >    > > ∨   ≤ <   ≥   b) Hàm số f nghịch biến trên ( ; ) α β ⇔ y x0, ( ; ) ′ ≥ ∀ ∈ α β và y 0 ′ = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc ( ; ) α β . Trường hợp 1: • Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( ) ′ ≤ ⇔ ≥ (*) thì f nghịch biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) max ( ) ≥ α β • Nếu bất phương trình f x h m g x( ) 0 ( ) ( ) ′ ≥ ⇔ ≤ (**) thì f nghịch biến trên ( ; ) α β ⇔ h m g x ( ; ) ( ) min ( ) ≤ α β Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f x( ) 0 ′ ≤ không đưa được về dạng (*) thì đặt t x = − α . Khi đó ta có: y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2 α α α ′ = = + + + + + . – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; )−∞ ⇔ g t t( ) 0, 0≤ ∀ < ⇔ a a S P 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆  <    < > ∨   ≤ >   ≥   – Hàm số f nghịch biến trên khoảng a( ; ) +∞ ⇔ g t t( ) 0, 0 ≤ ∀ > ⇔ a a S P 0 0 0 0 0 0 ∆ ∆  <    < > ∨   ≤ <   ≥   3. Tìm điều kiện để hàm số y f x ax bx cx d 3 2 ( ) = = + + + đơn điệu trên khoảng có độ dài Trang 9 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH bằng k cho trước. • f đơn điệu trên khoảng x x 1 2 ( ; ) ⇔ y 0 ′ = có 2 nghiệm phân biệt x x 1 2 , ⇔ a 0 0 ∆  ≠  >  (1) • Biến đổi x x d 1 2 − = thành x x x x d 2 2 1 2 1 2 ( ) 4+ − = (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số ax bx c y a d dx e 2 (2), ( , 0) + + = ≠ + a) Đồng biến trên ( ; ) α −∞ . b) Đồng biến trên ( ; ) α +∞ . c) Đồng biến trên ( ; ) α β . Tập xác định: e D R d \   − =     , ( ) ( ) adx aex be dc f x y dx e dx e 2 2 2 2 ( ) ' + + − = = + + Trang 10 [...]... thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O 2 2 4 Trang 25 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH 3 2 Ví dụ 2 Cho hàm số y = x − 3 x + 3 ( 1 − m ) x + 1 + 3m ( Cm ) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) với m = 1 2 Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa... điểm Trang 14 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH • Hai đồ thi tiếp xúc với nhau khi và chi khi hệ phương trình sau có nghiệm: f (x) = g(x) Nghiệm của phương trình trên là hoành độ tiếp điểm  f '(x) = g '(x) Ví dụ 1: Cho hàm số y = x+3 có đồ thi là (C) x +1 a) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm... thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông Câu 10 Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m 4 (1) Trang 24 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 2 Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số (1) lập thành một tam giác đều DẠNG... tục nhưng không có đạo hàm Trang 11 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH • Lập bảng xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua xi thi hàm số đạt cực trị tại xi Phương pháp 2 • Tìm f’(x) • Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,…) • Tính f’’(xi) Nếu f’’(xi) < 0 thi hàm số đạt cực đại tại điểm xi Nếu f’’(xi) > 0 thi hàm... chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu 1 (x CÐ x CT = − < 0) 4 b) Cho hàm số y = x 3 + 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x + m 3 − 3m Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định (y = ±2) Trang 13 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH 4 a) Cho hàm số y = x 3 + 2(m − 1)x 2 + (m... hàm số y = x − 2m x + 1 ( Cm ) (1) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) với m=1 2 Tìm m dể hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân GIẢI 1 Học sinh tự vẽ đồ thị (C) x = 0 3 2 2 2 ⇒ m ≠ 0 (*) 2 Ta có : y ' = 4 x − 4m x = 4 x ( x − m ) = 0 ⇔  2 2 x = m 4 2 2 Trang 22 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH - Với điều kiện (*) thì hàm số... sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) 2 Gọi A, B lần lượt là các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2 3 2 2 2 Câu 4 Cho hàm số y = − x + 3 x + 3 ( m − 1) x − 3m − 1 (1), với m là tham số thực 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1 Trang 26 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển... d : h = - Vậy theo giả thi t : 1 1 k S = h.BC = 2 k 2 2 1+ k 2 ( x2 − x1 ) 2 ( 1+ k ) = x 2 − x1 ( 1+ k ) 2 k 1+ k 2 1+ k 2 = 2 k 3 = 1⇒ k 3 = Đáp số : k = 2 1 1 1 ⇔ k3 = ⇒ k = 3 2 4 4 1 , thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán 3 4 m−x ( Hm ) x+2 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (H) với m = 1 Ví dụ 2 Cho hàm số y = Trang 27 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH 2 Tìm... thỏa mãn yêu cầu bài toán Trang 34 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH 1 1     M1 − 2 − ; 2 + 2  ; M 2− 2 + ; 2− 2 2 2     Ví dụ 2.(KB-2007) Cho hàm số y = x 1 = 1− x +1 x +1 ( C) 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) 2 Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành một tam giác cân GIẢI 1 Học sinh tự vẽ đồ thị... Trang 23 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = −1+ 5 2 * Với I(0 ; 2) IA = R ⇔ m + (−1 − m 2 ) 2 = 1 ⇔ m 4 + 2m 2 + m = 0 (*) Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0 Vậy bài toán thỏa mãn khi m = 1 và m = −1 + 5 2 BÀI TẬP Câu1 Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 − m − 1 (1) , với m là tham số thực 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị . Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TÓAN NGUYỄN HỒNG LẬP TRƯỜNG THPT CHÂU THÀNH. THU THỦY THPT TP CAO LÃNH CHUYÊN ĐỀ : ÔN THI ĐẠI HỌC NH 2013-2014 Chủ đề 1: Khảo sát hàm số và bài toán liên quan I. KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị hàm số bậc ba, trùng. tục nhưng không có đạo hàm. Trang 11 Hội đồng bộ môn Toán tỉnh Đồng Tháp - Tài liệu ôn thi tuyển sinh CĐ-ĐH • Lập bảng xét dấu f’(x). Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua x i thi hàm số