Chuyên đề tích phân ĐẠI HỌC

Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Chuyên đề: TÍCH PHÂN A – CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: I – Phương pháp đổi biến số: 1) Đổi biến dạng u = u(x): Phương pháp chung: • Bước 1: chọn t = u(x), trong đó u(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân dt = u’ (x)dx • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt • Bước 4: Khi đó I = ∫ dttg )( Dấu hiệu Cách chọn Hàm số có mẫu t là mẫu số Hàm số f(x, )(x ϕ ) t = )(x ϕ Hàm f(x) = exdxc xbxa ++ + cossin cossin t = tan 2 x (với cos 2 x 0≠ ) Hàm ( )( ) bxax xf ++ = 1 )( + Với x + a > 0 và x + b > 0, đặt t = bxax +++ +Với x + a < 0 và x + b < 0, đặt t = bxax −−++ Ví dụ: Tính các tích phân sau: a) ∫ + 3 2 x xdx b) ∫ − dxe x 1 c) ∫ + dx e e x x 1 2 3 d) ∫ + dxxx 10 )1( Giải a) Đặt xdxuduxdxuduxuxu =⇒=⇒+=⇒+= 2233 222 CxCudu u udu x xdx ++=+=== + ∫ ∫∫ 3 3 2 2 b) Đặt 1,211 22 +==⇒−=⇒−= uedxeudueueu xxxx 1 22 2 + ==⇒ u udu e udu dx x c) Đặt ( ) 2 2 2 , ueedxedueu xxxx ===⇒= CeeCuu u du du u duu u udu udxe xx x +−−−=+−= + −= + = + =− ∫∫∫∫∫ 1arctan212arctan22 1 22 1 2 1 2 .1 22 2 2 CeeCuudu u dudu u u dx e ee dx e e xx x xx x x +−=+−= + −= + = + = + ∫ ∫∫∫∫ arctanarctan 1 1 11 . 1 22 2 2 2 2 3 d) Đặt dudxuxxu =⇒−=⇒+= 11 CxxC uu duuduuduuudxxx ++−+=+−=−=−=+ ∫ ∫ ∫∫ 1112 1112 10111010 )1( 11 1 )1( 12 1 1112 )1()1( 2) Đổi biến dạng x = ϕ (t) Phương pháp chung: • Bước 1: chọn x = ϕ (t), trong đó ϕ (t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp • Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ ’ (t)dt • Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt • Bước 4: Khi đó I = ∫ dttg )(  Các dấu hiệu: Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 1 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Dấu hiệu Cách chọn 22 xa − x = a sint với 22 ππ ≤≤− t hoặc x = a cost với π ≤≤ t0 22 ax − t a x sin = với { } 0\ 2 ; 2       −∈ ππ t hoặc t a x cos = với [ ]       ∈ 2 \;0 π π t 22 ax + x = a tant với 22 ππ <<− t hoặc x = a cot t với π << t0 xa xa − + hoặc xa xa + − x = a.cos2t ( )( ) xbax −− x=a+(b-a)sin 2 t Ví dụ: Tính dxx ∫ − 2 1 Giải Đặt x = sint với 22 ππ ≤≤− t ttttxvàttx coscoscossin11cos)( 222 ===−=−= ′ ⇒ vì 22 ππ ≤≤− t Cttttddtdt t tdttdttdxx ++=+= + ===− ∫∫∫∫∫∫ 2sin 4 1 2 1 )2(2cos 4 1 2 1 2 cos21 coscos.cos1 22 Mà x = sint với Cxxtttvàxtt +−===⇒≤≤− 2 1 2 1 cos.sin 2 1 2sin 4 1 arcsin 22 ππ Nên Cx x xdxx +−+=− ∫ 22 1 2 arcsin 2 1 1 Chú ý: Tính tương tự như trên ta có công thức sau: Cxa xxa dxxa +−+=− ∫ 22 2 22 22 arcsin 2 với a > 0 (Bằng cách đặt x = asint với 22 ππ ≤≤− t ) II – Phương pháp tích phân từng phần: Ta thực hiện theo các bước sau: • Bước 1: biến đổi tích phân ban đầu về dạng: ∫ dxxgxf )().( • Bước 2: Đặt    = = ⇒    = = ? ? )( )( v du dxxgdv xfu • Bước 3: Khi đó: ∫ −= uduvuI . Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 2 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen  Dấu hiệu nhận biết : Khi tính những tích phân dạng ∫ dxxgxf )().( với f(x) và g(x) là những hàm sơ cấp cơ bản không cùng loại ta thường dùng tích phân từng phần. Cụ thể như sau: a) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là những hàm như hàm sin, cos, hàm mũ thì đặt: u = f(x) ; dv = g(x)dx b) Nếu f(x) là hàm đa thức và g(x) là hàm lôgarit thì đặt u = g(x),dv = f(x)dx c) Nếu dxbxedxxgxf ax )cos()().( ∫∫ = hoặc dxbxedxxgxf ax )sin()().( ∫∫ = thì đặt: u = cos(bx) , dv = ax e dx hoặc u = sin(bx) , dv = ax e dx d) Nếu f(x) = 22 ax ± hoặc f(x) = 22 xa − , g(x) = 1 thì đặt u = f(x) , dv = g(x)dx = dx Ví dụ: Tính tích phân sau: ∫ xdxx cos. Giải Đặt    = = ⇒    = = xv dxdu xdxdv xu sincos ∫∫ ++=−= Cxxxxdxxxxdxx cossinsinsin.cos. B – TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP: I – Tích phân hàm hữu tỉ: 1) Tích phân của các hàm hữu tỉ đơn giản: a) 0,ln 1 ≠++= + ∫ aCbax abax dx b) ( ) 0,1, )( 1 . 1 1 1 ≠≠+ + − = + − ∫ akC baxa k bax dx kk c) ∫ ++ cbxx dxA 2 . Phương pháp chung: Biến đổi 4 4 2 2 2 2 acbb xcbxx − −       +=++ Đặt 2 b xu += chuyển tích phân đã cho về dạng ∫ ± 22 . au duA Cách giải khác: • Khi biệt thức ∆ của biểu thức dưới mẫu dương ta có cách giải sau: Hướng giải ta phân tích:         − − −− = −− −−− − = −− = ++ 212121 12 2121 2 11 )( 1 ))(( )()( . )( 1 ))(( 11 xxxxxxaxxxx xxxx xxaxxxxa cbxax • Khi ∆ = 0 Khi đó C xxa A dx xxa a A cbxax Adx xxacbxax + − −= − = ++ ⇒ − = ++ ∫∫ )( )( 1 )( 11 0 2 0 22 0 2 d) ∫ ++ + cbxx dxBAx 2 )( Biến đổi cbxx bA B cbxx bxA cbxx BAx ++ − +       ++ + = ++ + 222 2 . 2 2 sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: ∫ u du và tích phân dạng c). Ví dụ: Tính dx xx x ∫ ++ + 1 32 2 Giải Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 3 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Ta có: 1 2 1 12 1 32 222 ++ + ++ + = ++ + xxxx x xx x Cxxx x dx xx xxd dx xx dx xx x dx xx x +       ++++= +       + + ++ ++ = ++ + ++ + = ++ + ∫∫∫∫∫ 2 1 3 2 arctan 3 4 )1ln( 4 3 2 1 2 1 )1( 1 2 1 12 1 32 2 22 2 222 2) Tích phân các hàm hữu tỉ dạng tổng quát dạng dx xQ xP ∫ )( )( a) Bậc P(x) nhỏ hơn bậc Q(x): - Phân tích Q(x) thành tích các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc các lũy thừa của chúng. - Phân tích ( ) ( ) ( ) )( )( 11 2 1 22 11 + ++ + ++ + + + = βα CxBxA FEx bxa B bxa A xQ xP Trong đó A, B, ….là các hằng số thực chưa biết, để tìm chúng ta quy đồng mẫu số ở vế phải, sau đó đồng nhất thức hai tử số ở VT và VP, hoặc cho x các giá trị đặc biệt đưa đến một hệ phương trình đối với các hệ số đó(Phương pháp này gọi là hệ số bất định) Ví dụ: Tính ∫ −1 3 x xdx Giải Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 )1)(()1( 1 1 111 2 2 223 ++− −++++ = ++ + + − = ++− = − xxx xCBxxxA xx CBx x A xxx x x x ( ) ( ) CAxCBAxBAxCBxxxAx −++−++=−++++=⇒ 22 )1)(()1( (*) Cách 1: Đồng nhất thức hai vế của (*) ta được:          = −= = ⇔      =− =+− =+ 3 1 3 1 3 1 0 1 0 C B A CA CBA BA Cách 2: Cho x = 1 : (*) 3 1 3.1 =⇒=⇒ AA Cho x = 0: (*) 3 1 0 ==⇒−=⇒ ACCA Cho x = - 1: (*) 3 1 3 2 2 3 1 221 −=⇒−+=−+=−⇒ BBCBA Từ đó ta có: 1 1 3 1 1 1 . 3 1 1 23 ++ − − − = − xx x x x x Suy ra : ∫∫∫ ++ − − − = − dx xx x x dx x xdx 1 1 3 1 13 1 1 23 (Bạn đọc tự giải tiếp) b) Bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc Q(x): Ta chia P(x) cho Q(x) phân tích )( )( xQ xP đưa về dạng a) trên. Ví dụ: Tính: dx x xx ∫ + + 1 2 3 4 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 4 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Giải Ta có: 11 2 33 4 + += + + x x x x xx Suy ra : dx x x xdxdx x xx ∫∫∫ + += + + 11 2 33 4 (Bạn đọc tự giải tiếp) II – Tích phân các hàm số lượng giác: 1) Dạng dxxxR ∫ )sin,(cos , với )sin,(cos xxR là biểu thức hữu tỉ đối với sinx, cosx. Phương pháp chung: Đặt 2 tan x t = Khi đó 22 2 2 1 2 1 1 cos, 1 2 sin t dt dxvà t t t t t x + = + − = + = Biến đổi tích phân dạng này về tích phân hàm hữu tỉ. Ví dụ: Tính ∫ +1sin x dx Giải Đặt 22 1 2 sin, 1 2 2 tan t t x t dt dx x t + = + =⇒= ( ) C x C t t dt t dt t t x dx + + −=+ + −= + = + + + = + ∫∫∫ 2 tan1 2 1 2 1 2 1 2 . 1 1 2 1 1sin 22 2 Đặc biệt: • Nếu R(-sinx, cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = cosx • Nếu R(sinx, -cosx) = - R(sinx, cosx) thì đặt t = sinx • Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) thì đặt t = tanx Ví dụ: Tính ∫ xdxx 32 cos.sin Giải Ta có: R(sinx, cosx) = ( ) ( ) )cos,(sincos.sincossincos,sincos.sin 32 3 232 xxRxxxxxxRxx −=−=−=−⇒ Nên ta đặt t = sinx xdxdt cos=⇒ ( ) C xx C tt dtttdtttxdxxxxdxx +−=+−=−=−== ∫∫∫∫ 5 sin 3 sin 53 )1(cos.cos.sincos.sin 5353 42222232 2) Dạng ∫ bxdxax cos.cos , ∫ bxdxax sin.sin , ∫ bxdxax sin.cos Phương pháp: Biến đổi các hàm dưới dấu tích phân thành tổng. Ví dụ: Tính ∫ xdxx 5sin.3cos Giải Ta có: [ ] xxxxxxxx 2sin 2 1 8sin 2 1 )35sin()53sin( 2 1 5sin.3cos +=−++= CxxCxxdxxxxdxx +       +−=+−−=+= ∫∫ 2cos8cos 4 1 4 1 2cos 2 1 . 2 1 8cos 8 1 . 2 1 )2sin8(sin 2 1 5sin.3cos 3) Dạng ∫ ∫ xdxxdx nn cos,sin : Phương pháp: Cách 1: Áp dụng dạng 1) phần đặc biệt. Cách 2: Nếu n chẵn (n nhỏ) dùng công thức hạ bậc 2 2cos1 sin, 2 2cos1 cos 22 x x x x − = + = Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 5 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen Ví dụ: Tính ∫ xdx 4 cos Giải Ta có: ( ) ( ) xxxx xx x xx 4cos 8 1 2cos 2 1 8 3 )4cos1( 8 1 2cos 2 1 4 1 2cos2cos21 4 1 2 2cos1 coscos 2 2 2 24 ++=+++= ++=       = == Suy ra: Cxxxxdx +++= ∫ 4sin 32 1 2sin 4 1 8 3 cos 4 III – Tích phân các hàm vô tỉ: Dạng ( ) 0,, 2 ≠++ ∫ adxcbxaxxR Phương pháp chung: Biến đổi         − −       +=++ 4 4 2 2 2 2 acbb xacbxax . Chuyển tích phân đã cho về một trong các dạng: a) ( ) duuuR ∫ + 22 1 , α . Đặt tu tan α = với 22 ππ ≤≤− t b) ( ) duuuR ∫ − 22 2 , α . Đặt tu sin α = với 22 ππ ≤≤− t c) ( ) duuuR ∫ − 22 3 , α . Đặt t u cos α = với ( )       ∈ 2 \;0 π π t Chú ý: Tích phân dạng này có nhiều phương pháp tính, trong một số trường hợp đặc biệt có thể dùng một số cách biến đổi đơn giản hơn như các ví dụ sau: Ví dụ1: Tính dxxxI ∫ ++−= 54 2 Giải Ta có: ( ) 2 22 2994454 −−=+−+−=++− xxxxx ( ) ∫ ∫∫ −=−−−=++−= duuxdxdxxxI 2 2 2 9)2(2954 , với u = x – 2 Đặt: u = 3sint với 22 ππ ≤≤− t Cxx xx Cuu u Cttdt t tdtI u ttutdtdu +++− − + − =+−+= ++= + ==⇒ ==−=⇒ ∫ ∫ 54 2 2 3 2 arcsin 2 9 9 2 1 3 arcsin 2 9 2sin 4 9 2 9 2 2cos1 9cos9 3 arcsin,cos39,cos3 22 2 2 Ví dụ 2: Tính ( ) dx xx x I ∫ +− + = 42 3 2 Giải Ta có : ( ) Cxxxxx x xd xx xxd xx dx dx xx x I ++−+−++−= +− − + +− +− = +− + +− − = ∫∫ ∫∫ 421ln442 31 )1( 4 42 )42( 2 1 42 4 42 22 2 1 22 22 2 22 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 6 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen C – BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tính các tích phân sau: 1. dxxx 2 3 3 .5 ∫ + 2. dxxx 2 1 0 3 1− ∫ 3. dxxx 2 1 0 1− ∫ 4. ∫ − + 2 1 2 2x xdx 5 . ∫ + 2 0 sin23 cos2 π x xdx 6. 1 3 1 0 2 + ∫ xx 7. ∫ 2 0 5 sin π xdx 8. ∫ + 2 0 2 3cos sin π x xdx 9. ∫ − 2 3 2 2 1xx dx 10. dxxx 3 5 ∫ 11. dx1xx 2 ∫ + 12. ( ) dxx1 2001 ∫ − 13. ∫ + dx x1 x 2 14. dx e 1e x x52 ∫ + − 15. ( ) ∫ + dx3x2 3 16. ∫ xdxsin.xcos 4 17. ∫ + dx 1e e2 x x 18. ( ) ∫ + dx x 1xln2 2 19. dx x xln43 ∫ − 20. ∫ π 0 22 sin dxe x 21. ∫ e dxx 0 2 ln. 22. xdxx e ln)1( 1 2 ∫ − 23. ∫ 2 0 2 cos. π xdxx 24. ∫ − 2 0 cos. π xdxe x 25. ( ) ∫ + dx3x2 3 26. ∫ dx 2 x sin 2 27. ∫ xdxcot 2 28. ∫ xdxtan 29. ∫ dx xcos xtan 3 30. ( ) dxe2e xx ∫ − − 31. dx 2 e x x ∫ 32. dx 2e e x x ∫ + 33. ∫ +− dx 2x3x 1 2 34. ∫ ++ 3x8x4 dx 2 35. ∫ +− 10x7x dx 2 36. ∫ −− 1x2x3 dx 2 37. ∫ −− x3x7x6 dx 23 38. ( )( ) ∫ ++ 1x21x xdx 39. dx 2x3x 7x5 2 ∫ +− − 40. dx 1x6x9 5x2 2 ∫ +− + 41. dx 6x5x 7x2 2 ∫ ++ + 42. dx 2x3x 7x2 2 ∫ +− − 43. ∫ +− 2x3x xdx 24 44. ∫ −− 1x2x xdx 24 45. ( ) ( ) ∫ −++ + 41 12 2 2 xx dxx 46. ∫ −− 2xx dxx 36 5 47. dx x x ∫ + − 1 1 4 2 48. ( ) ∫ ++ − dx xxx x 23 3 24 2 49. ∫ ++−+ − dx xxxx x 122 1 234 2 50. ( ) ∫ +1xx xdx2 2 51. dx xx4 1x 3 3 ∫ − − 52. ( ) ( ) ∫ ++ +− 1x2xx dx2x3x 2 3 53. ( ) ( ) ∫ ++ +− 1x2xx dx2x3x 2 3 54. ( ) ∫ − 10 2 x1 dxx 55. dx 10 5.3.2 x xxx2 ∫ Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: 1. ( ) 2 x cosxf 2 = 2. ( ) xsinxf 3 = 3. f(x) = (1 – 2x 2 ) 3 4. ( ) 3 2x3 x x3exx2 xf −− = 5. ( ) ( ) x x2 xf 2 + = 6. ( ) 2x34x3 1 xf +−+ = 7. (sinx + cosx) 2 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 7 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen 8.       +       − 4 x2cos. 3 x2cos ππ 9. . cos 3 x 10. cos 4 x 11. sin 4 x + cos 4 x 12. sin 6 2x + cos 6 2x 13. f(x) = lnx 14. f(x) = (x 2 + 1)e 2x 15. f(x) = x 2 sinx d. f(x) = e x sinx 16. ( ) xcosxxf = 17. f(x) = e x (1 + tanx + tan 2 x) 18. ( ) x exf = 19. ( ) 2 x xln xf       = 20. f(x) = (x + 1) 2 cos 2 x 21. f(x) = e -2x .cos3x 22. sin(lnx) 23. ( ) ( ) 0KKxxf 2 ≠+= 24. f(x) = x 3 lnx 25. f(x) = (x 2 + 2)sin2x 26. ( ) xsinxxf = Bài 3: Cho hàm số ( ) 2x3x 5x2x2 xf 2 2 +− ++ = a. Tìm m, n, p để ( ) ( ) 2x p 1x n 1x m xf 2 + + − + − = b. Tìm họ nguyên hàm của f(x) Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số 1. ( )       + = 4 xcosxsin 1 xf π 2. ( ) 1xsin2 1 xf + = 3. ( )       += 4 xtan.xtanxf π 4. ( ) xcosxsin3 2 xf + = 5. ( ) xcos2xsin xcos3xsin4 xf + + = 6. ( ) x2cosx2sin32 xcos8 xf −+ = 7. ( ) 1xcosxsin2 xsin5 xf +− = 8. ( ) xcosxsin3 1xsin4 xf 2 + + = 9. f(x) = cos3x.cos5x 10. f(x) = sin 3 xsin3x 11. f(x) = sin 3 x.cos3x + cos 3 x.sin3x 12. ( ) xcosxsin x2cos xf + = 13. ( ) xcosxsin xcosxsin xf + − = 14. ( )       ++ = 4 xcosxcos 1 xf π 15. ( ) xcosxsin2 1 xf −+ = 16. ( ) xcos3xsin xcos xf 2 + = 17. ( ) x2sin1 xsin xf + = 18. f(x) = sinx.sin2x.cos5x 19. ( )       +       −= x 3 tanx 3 tan.xtanxf ππ 20. f(x) = (sin4x + cos4x)(sin6x + cos6x) . ( ) ( ) x2sin2. 4 xsinxf +       −= π 22. ( ) x2sin3x6sinx4sin3 xsin xf 3 −− = d. ( ) xsin2x2sin 1 xf − = e. ( ) xsin x xf 2 = f. ( ) xsin1 xcot xf + = g. ( )       +       += 6 xcot 3 xtanxf ππ h. F(x) = (x 2 + 2)sin2x dx xcosxsin2 dx2 I ∫ − = Bài 5: Tính các tích phân sau: Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 8 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen 1. ∫ xdxx tan.5cos 2. ∫ xdxx tan.3cos 3. dx xx xx ∫ + 2cottan 4sin.3sin 4. ∫ + + dx x xxx sin2 cos.sincos 5. ∫ 4 53 cos.sin xx dx 6. ∫ +1sincos sin 2 xx xdx 7. dx xxxx dx ∫ −− 22 coscossin2sin3 D – CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2003 ĐẾN 2006-2007 I. Tính các tích phân sau: ( Dùng tích phân đổi biến số) 1. 1 3 2 0 4 x dx x + ∫ 2. 3ln 2 3 ln3 ( 1) x x e dx e + ∫ 3. 2 6 3 5 0 1 os sinx.cosc x x dx π − ∫ 4. 2 3 2 5 . 4 dx x x + ∫ 5. 1 3 2 0 1x x dx − ∫ 6. ln10 2 ln5 1 x x e dx e − ∫ 7. 2 1 3 0 . x x e dx ∫ 8. 7 3 0 2 . 1 x dx x + + ∫ 9. 2 4 0 1 2sin 1 sin 2 x dx x π − + ∫ 10. 2 1 . 1 1 x dx x + − ∫ 11. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 12. 2 0 sin 2 . osx . 1 osx x c dx c π + ∫ 13. 2 0 sin 2 sinx . 1 3cos x dx sx π + + ∫ 14. 2 2 2 0 sin 2 . os 4sin x dx c x x π + ∫ 15. ( ) 3 2 2 ln .x x dx − ∫ 16. 1 3 2ln . 1 2ln e x dx x x − + ∫ 17. 6 2 1 . 2 1 4 1 dx x x + + + ∫ 18. 10 5 1 2 1 dx x x − − ∫ 19. 2 4 5 0 1 x dx x + ∫ 20. ln5 ln3 1 2 3 x x dx e e − + − ∫ 21. 1 3 2 0 3x x dx + ∫ 22. 2 4 2 0 1 . 1 x x dx x − + + ∫ 23. 3 2 0 4sin 1 osx x dx c π + ∫ 24 1 5 2 0 1x x dx − ∫ 25 3 2 5 0 1.x x dx + ∫ 26. 3 5 3 2 0 2 1 x x dx x + + ∫ 27 ( ) 1 3 0 1 x dx x + ∫ 28. 3 1 3 3 1 3 x dx x x − − + + + ∫ 29. 1 2 0 1 x dx x + ∫ 30. 1 2 0 . 1x x dx + ∫ 31. 2 4 sinx-cosx 1 sin 2 dx x π π + ∫ 32. 1 0 os2 1 2sin 2 c x dx x + ∫ 33. ( ) 1 3 0 os2 sinx-cosx+3 c x dx ∫ 34. 2 2 0 os 7-5sinx-cos c x dx x π ∫ 35. 3 2 0 4sin 1 osx x dx c π + ∫ Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 9 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen 36. ln 2 2 0 7 x x e dx e + ∫ 37. 2 2 0 sin .x tgxdx π ∫ 2. Tính các tích phân sau (Dùng tích phân từng phân kết hợp đổi biến số nếu có) 1. ( ) 1 2 0 2 . x x e dx − ∫ 2 2 0 ( 1)sin 2 .x x dx π + ∫ 3. ( ) 2 1 2 ln .x x dx − ∫ 4. ( ) 4 0 1 osxx c dx π − ∫ 5 ( ) 4 sinx 0 . osx .tgx e c dx π + ∫ 6. 2 1 1 ln . e x x dx x + ∫ 7 2 3 0 sin 5 . x e x dx π ∫ 8. 2 ln 2 5 0 x x e dx ∫ 9. ( ) 1 2 0 ln 1x x dx + ∫ 10 ( ) 3 2 0 ln 5x x dx + ∫ 11 2 2 1 ln(1 )x dx x + ∫ 12. 3 1 1 ln e x x dx x   +  ÷   ∫ 13 ( ) 2 sinx 0 osx osx.e c c dx π + ∫ 14. 2 osx 0 sin2x d c e x π ∫ 15 4 2 0 os x x dx c π ∫ 16 2 2 0 ln .x x dx ∫ 17. 2 osx 0 sin2x d c e x π ∫ 18 ( ) 0 2 3 1 9 1 x x e x dx − + + ∫ A. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1. 1 2 0 1 x x dx x − + ∫ 2. 1 2 0 2008 2 dx x x− − ∫ 3. 1 3 2 0 4 1 2 2 x dx x x x − + + + ∫ 4. 1 2 0 2 5 2 dx x x+ + ∫ 5. 1 3 2 2 0 5 11 1 3 2 1 x x x x dx x x x   + + + +  ÷ + + +   ∫ 6. 2 2 1 3 1 3 1 x dx x − − ∫ 7. 1 2 0 2 5 dx x x+ + ∫ 8. 1 2 0 6 9 dx x x− + ∫ 9. 1 2 0 3 2 dx x x+ + ∫ 10. 1 2 0 2 1 dx x x+ + ∫ 11. ( ) 1 2 2 0 3 2 dx x x+ + ∫ 12. 1 3 2 0 2 1 x dx x x+ + ∫ 13. ( ) 2 1 2 0 1 4 4 x dx x x + + + ∫ 14. 1 2 1 4 4 xdx x x − + + ∫ 15. 2 2 2 1 7 12 x dx x x− + ∫ 16. ( ) 5 2 4 3 7 5 6 x dx x x − − + ∫ 17. ( ) 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ 18. 1 2 0 . 4 x dx x− ∫ 19. 0 2 1 2 4 dx x x − − + ∫ B. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: 1. 1 0 1x x dx− ∫ 2. 1 0 2 1 x dx x + ∫ 3. 7 2 3 3 3 0 0 1 1 ; 3 1 3 2 x x dx dx x x + + + + ∫ ∫ 4. 1 0 2 x dx x + ∫ 5. 3 2 0 1 1 x dx x + + ∫ 6. 7 1 1 2 1 dx x − + + ∫ 8. 4 1 1 .(1 ) dx x x+ ∫ 9. 2 3 1 dx x x − − − ∫ 10. 1 0 1 dx x x+ + ∫ 11. 4 2 7 9 dx x x + ∫ 12. 2 2 3 0 1x x dx+ ∫ Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 10 [...]...GV: Phạm Minh Đen Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm 2 2 13 ∫ 1 2 2 dx x 1− x 2 14 1 5 2 18 ∫x ∫x 2 4 − x 2 dx 19 0 Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC ∫( −3 1 dx 1+ x 3 15 ∫ x+ 1 x 3dx 0 x + 2 − x − 2 ) dx 11 1+ x 16 2 ∫ 0 3 x +1 dx x +1 2 17 ∫x 0 π 20 sin 2008 x ∫ sin 2008 x + cos 2008 x dx 0 2 . liệu ôn thi ĐẠI HỌC 9 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm Minh Đen 36. ln 2 2 0 7 x x e dx e + ∫ 37. 2 2 0 sin .x tgxdx π ∫ 2. Tính các tích phân sau (Dùng tích phân từng phân kết hợp. cbxx bA B cbxx bxA cbxx BAx ++ − +       ++ + = ++ + 222 2 . 2 2 sau đó đưa tích phân đã cho về dạng: ∫ u du và tích phân dạng c). Ví dụ: Tính dx xx x ∫ ++ + 1 32 2 Giải Tài liệu ôn thi ĐẠI HỌC 3 Trường THPT Phân hiệu Lương Tâm GV: Phạm. 6. ∫ +1sincos sin 2 xx xdx 7. dx xxxx dx ∫ −− 22 coscossin2sin3 D – CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG TỪ NĂM 2002-2003 ĐẾN 2006-2007 I. Tính các tích phân sau: ( Dùng tích phân đổi biến số) 1. 1 3 2 0 4 x dx x + ∫ 2.