Một tiếp tuyến bất kỳ của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A, B và C, D.. Gọi R, r; O, I lần lượt là bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp một tam giác.
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC SƠ CẤP
sưu tầm: Huỳnh Văn Thơ
Phần I
GÓC ĐỊNH HƯỚNG
1 Cho D, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB của 4ABC
(a) CMR: ba đường tròn (AEF ), (BF D), (CDE) có một điểm chung gọi là M
(b) Tìm quỹ tích của M khi D, E, F thẳng hàng
2 Cho tứ giác ABCD nội tiếp Lấy 4 điểm A0, B0, C0, D sao cho các tứ giác
AA0BB0, BB0CC0, DD0AA0 nội tiếp CMR: tứ giác A0B0C0D0 nội tiếp
3 Cho 4ABC và điểm P CMR ba đường tròn đối xứng của các đường tròn (P CB), (P CA), (P AB) theo thứ tự qua BC, CA, AB có một điểm chung
4 Đường tròn Euler của một tam giác là đường tròn đi qua trung điểm các cạnh của tam giác CMR trong một tứ giác ABCD , các đường tròn Euler của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB có một điểm chung
5 Cho tứ giác ABCD và một điểm M lưu động trên đường thẳng BC Các đường tròn (ABM ), (CDM ) cắt nhau tại điểm thứ hai P Tìm quỹ tích điểm P
6 Cho ba đường tròn cố định (DAB), (DAC), (DBC) và điểm M thay đổi trên đường tròn (DBC) M B cắt (DAB) tại N và M C cắt (DAC) tại P CMR: N P đi qua một điểm cố định
7 Cho M1, M2 là hai điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp 4ABC và 41, 42là hai đường thẳng Simson ứng với M1, M2
(a) Tính góc giữa 41, 42
theoAM1, AM2
(b) Suy ra vị trí của M1, M2để 41và 42 vuông góc với nhau
8 Cho điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp 4ABC A0, B0, C0 lần lượt
là các điểm đối xứng của M qua cạnh BC, CA, AB CMR: A0, B0, C0 nằm trên một đường thẳng đi qua trực tâm của 4ABC
Phần II
CÁT TUYẾN
1 CMR chân ba đường phân giác ngoài của tam giác thẳng hàng
Trang 22 Cho ba điểm M, N, P lần lượt trên cạnh BC, CA, AB của 4ABC sao cho AM, BN, CP đồng quy Gọi M0, N0, P0 lần lượt là giao điểm thứ hai của đường tròn (M N P ) với các cạnh BC, CA, AB của 4ABC CMR
AM0, BN0, CP0 đồng quy
3 Cho 4ABC và hai cát tuyến M N P và M0N0P0 sao cho M N0//AB,
M0P//AC (M, M0∈ BC; N, N0∈ CA ; P, P0∈ AB) CMR: N P0//BC
4 Cho hình bình hành ABCD và điểm M trên AC Gọi E là điểm đối xứng của B qua M Trên DC và AD lần lượt lấy P và Q sao cho EP//AD, EQ//CD CMR: P, Q, M thẳng hàng
5 Trên các cạnh của 4ABC vuông tại A dựng các hình vuông ABDE và ACF G về phía ngoài CMR: CD và BF cắt nhau trên đường cao hạ từ
A của 4ABC
6 Cho 4ABC và ba điểm P, Q, R lần lượt trên ba cạnh BC, CA, AB sao cho AP, BQ, CR đồng quy tại O CMR: P O
P A+
QO
QB +
RO
RC = 1
7 Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành Mặt phẳng α cắt SA, SB,
SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q CMR: M A
M S +
P C
P S =
N B
N S +
QD QS
Phần III
HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA
1 Cho A, B, C, D thẳng hàng M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD CMR (ABCD) = −1 ⇔ M N2= M A2+ N C2
2 Cho hình vuông và một đường tròn nội tiếp hình vuông Một tiếp tuyến bất kỳ của đường tròn cắt các cặp cạnh đối của hình vuông tại A, B và
C, D CMR: (ABCD) = −1
3 Cho đường tròn đường kính CD tâm O Trên CD lấy A1, A2 sao cho (A1A2CD) = −1 Qua A1, A2 lần lượt kẻ các đường thẳng d1, d2 vuông góc với CD Một tiếp tuyến thay đổi của đường tròn cắt d1, d2 lần lượt tại M1, M2 CMR: OM1
OM2 = const
4 Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định và A thay đổi EF là đường kính vuông góc BC AB, AC cắt EF lần lượt tại G, H CMR: OH.OG = const
5 Cho 4ABC cân tại A, d là đường thẳng song song với BC và cắt tam giác M là điểm thay đổi trên d nhưng ở trong tam giác BM cắt AC tại
E, CM cắt AB tại F CMR: 1
BF +
1
CE = const
6 Cho 4ABC Qua điểm M trên BC sao cho M B = kM C người ta kẻ các đường thẳng song song với AC và AB cắt AB tại P và AC tại Q BC lần lượt cắt P Q tại R và đường thẳng Ax song song P Q tại N
Trang 3(a) CMR: RM = RB.RC
(b) Tính RB
RC theo k
7 Cho hai đường thẳng cố định đồng quy Ox, Oy và điểm A không nằm trên
Ox, Oy và phân giác góc xOy Hai đường thẳng di động qua A, đối xứng qua OA một đường cắt Ox tại M đường kia cắt Oy tại N CMR: M N đi qua điểm cố định
8 Cho 4ABC có trọng tâm G Một đường thẳng d thay đổi qua G cắt
BC, CA, AB theo thứ tự M, N, P CMR: 1
GM +
1
GN +
1
GP = 0
Phần IV
PHƯƠNG TÍCH
1 Cho đường tròn (O) và điểm A cố định (K) là một đường tròn thay đổi qua A và có tâm nằm trên đường tròn (C) đồng tâm với (O) CMR: trục đẳng phương của (O) và (K) tiếp xúc với một đường tròn cố định
2 Gọi R, r; O, I lần lượt là bán kính và tâm của đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp một tam giác CMR: OI2= R2− 2Rr
3 Cho 4ABC có trực tâm H CMR: các đường tròn đướng kính AH và BC trực giao
4 Một cát tuyến thay đổi song song với BC của 4ABC cắt AB và AC lần lượt tại D và E Tìm trục đẳng phương của đường tròn đường kính BE
và CD
5 Qua điểm P cố định vẽ ba đường tròn đôi một cắt nhau tại A, B, C Đường tròn thứ tư qua P cắt (P AB), (P BC), (P CA) lần lượt tại C0, A0, B0 Gọi
E là giao điểm của AB và P C’, F là giao điểm của BC và P A0, G là giao điểm của CA và P B0 CMR: E, F, G thẳng hàng
6 Cho tứ giác ABCD, AC cắt BD tại O Gọi I, J lần lượt là trung điểm của
AB, CD Gọi H, K lần lượt là trực tâm của 4OAD và 4OBC CMR:
IJ ⊥ HK
7 Cho ba đường tròn (O1), (O2), (O3) thuộc một chùm và O2là trung điểm của O1O3 CMR: PM/(O2)=1
2
h
PM/(O1)+ PM/(O3)i
Phần V
CỰC VÀ ĐỐI CỰC
1 CMR: điều kiện và đủ để hai điểm M và N liên hiệp với nhau đối với đường tròn (O) là PM/(O)+ PM/(O)= M N2
Trang 42 Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D và D là chân đường phân giác trong của góc A, P là giao điểm của hai tiếp tuyến của (O) tại B và
C CMR: cực của AP đối với (O) là trung điểm DD0
3 Cho đường tròn (O) đường kính AB và đường thẳng d vuông góc với AB tại I Điểm M thay đổi trên (O), M A, M B cắt d lần lượt tại P, Q.QA cắt (O) tại N CMR: M N đi qua điểm cố định
4 Từ trung điểm I của dây cung AB của đường tròn (O) kẻ hai dây cung
M N và P Q.M P và N Q lần lượt cắt AB tại J và K CMR: I là trung điểm của J K
5 Ba cạnh BC, CA, AB của 4ABC tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tại
M, N, P Đường kính qua M cắt N P tại Q CMR: AQ qua trung điểm của BC
6 Hai cát tuyến thay đổi đi qua điểm M cố định và cắt đường tròn cố định (O) lần lượt tại A, A0vB, B0 CMR: nếu AB đi qua một điểm cố định thì
A0B0 cũng đi qua một điểm cố định
7 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn ta vẽ cát tuyến P A và P B với đường tròn ấy Từ B hạ đường vuông góc BD với đường kính AC CMR: P C đi qua trung điểm BD
8 Cho 4ABC và điểm O Các đường thẳng qua O và vuông góc với OA
OB, OC theo thứ tự cắt BC, CA, AB tại M, N, P CMR: M, N, P thẳng hàng
Phần VI
TỊNH TIẾN VÀ ĐỐI XỨNG
1 Dựng đường thẳng có phương cho trước và bị hai đường tròn cho trước chắn thành hai dây cung bằng nhau
2 Trên hai đường tròn bằng nhau (O) và (O0) lần lượt lấy hai cung AM và
A0M0 bằng nhau nhưng khác hướng A, A0 cố định còn M, M0 thay đổi Tìm quỹ tích trung đoạn của M M0
3 Hình vuông ABCD, E là điểm trong hình vuông sao cho 4CDE cân tại
E và góc đáy là 150 Chứng mimh 4ABE đều
4 Cho tam giác ABC Gọi Bx, Cy lần lượt là các tia đối của các tia BA, CA.D
và E là các điểm chuyển động lần lượt trên hai tia Bx, Cy sao cho
BD = CE Tìm quỹ tích trung điểm M của DE
5 Cho 4ABC cố định có trực tâm H Dựng hình thoi BCDE thay đổi Từ
D và E kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB, AC chúng cắt nhau tại M Tìm quỹ tích M
6 Dựng đường gấp khúc gồm năm đoạn khép kín Biết trung điểm của năm đoạn đó
Trang 57 Cho A, B về cùng phía đối với đường thẳng xy Tìm M trên xy thỏa
\
AM x = 2\BM y
8 Dựng hình vuông ABCD biết A, C thuộc đường thẳng d1 cho trước và
B, C lần lượt thuộc hai đường thẳng d2 và d3 cho trước
9 Cho 4ABC có các góc nhọn Lấy điểm D, E, F lần lượt nằm trên BC, CA, AB Tìm vị trí D, E, F để chu vi 4DEF nhỏ nhất
Phần VII
PHÉP QUAY
1 Từ điểm M trên cạnh BC của 4ABC cân tại A kẻ các đường thẳng lần lượt song song với AB, AC cắt AC tại D và AB tại E
(a) Xác định phép quay biến−→
AC thành−→
BA (b) CMR: trung trực DE đi qua một điểm cố định và các đường tròn (ADE) đi qua một điểm cố định khác A
2 Cho 4ABC đều và điểm M nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMR: M A = M B + M C
3 Cho 4ABC và vẽ về phía ngoài các tam giác đều 4BCA1, 4CAB1, 4ABC1
có tâm lần lượt là A0, B0, C0 CMR: 4A0B0C0 đều
4 Trên các cạnh của một hình bình hành dựng về phía ngoài các hình vuông Chứng minh tâm các hình vuông này tạo thành một hình vuông
5 Cho cung tròn AB và điểm C lưu động trên đó Trên AC lấy đoạn AD =
BC Tìm quỹ tích D
6 Dựng về phía ngoài 4ABC các tam giác ABD và ACE lần lượt vuông tại B và C M là trung điểm của DE Xác định dạng của 4BM C
7 Dựng trên cạnh AB, BC, CD, DA và ở bên ngoài tứ giác ABCD những hình vuông có tâm lần lượt là O1, O2, O3, O4 Gọi I, J, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BD, O1O3, O2O4
(a) Chứng minh rằng O1O3= O2O4 và O1O3⊥O2O4, xét hình dạng tứ giác IKJ H
(b) Tìm điều kiện cần và đủ để tứ giác O1O2O3O4 là hình vuông
8 Cho 4ABC nhọn Tìm điểm M bên trong tam giác sao cho:
(M A + M B + M C)min
9 Cho 4ABC, dựng về phía ngoài tam giác hai tam giác ABD và ACE vuông cân tại A GọiM, N, P, Q, I, J lần lượt là trung điểm của BC, CE, ED,
DB, CD, BE CMR:
(a) Tứ giác M N P Q là hình vuông
Trang 6(b) CD = BE và 4AIJ vuông cân.
10 Cho 4ABC Dựng về phía ngoài tam giác hai hình vuông ABEF và
ACGH có tâm lần lượt là M, N Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của
BC, F H CMR: M P N Q là hình vuông
11 Cho 4ABC Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác ABP, BCM ,
CAN vuông cân lần lượt tại B, M, C I là trung điểm của P N
(a) Chứng minh IBM C là hình vuông
(b) Chứng minh P N ⊥AM và P N = 2AM
12 Cho 4ABC Dựng về phía ngoài tam giác này các hình vuông ABM N, BCEF , ACP Q có tâm lần lượt là K, G, H Gọi D là trung điểm của BC CMR:
(a) N C = P Q và N C⊥P Q
(b) Tam giác KDH vuông cân
(c) AG, BQ, CN đồng quy
13 Cho 4ABC vẽ theo chiều dương Dựng về phía ngoài tam giác này 4M AB
và 4N AC cân tại C với góc ở đỉnh bằng 1200 Gọi I là trung điểm của
M N và J là điểm đối xứng của I qua BC
(a) Tính các góc của 4BIC
(b) Chứng minh M N = 2AJ
14 Cho 4ABC Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác đều ABM, BCN, CAP
I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác ABM CMR:
(a) Tam giác GIP là nửa tam giác đều
(b) N P ⊥CG và N P =√
3CG
15 Cho 4ABC vẽ theo chiều dương Dựng về phía ngoài tam giác này ba
tam giác M AB, N BC, P AC lần lượt cân tại M, N, P với các góc nhọn ở
đỉnh tương ứng là α, β, γ thỏa α + β + γ = π Gọi tâm đường tròn ngoại
tiếp của ba tam giác này là I, J, K
(a) Cho α = β = γ Chứng tỏ AN = BP = CM
(b) Cho biết 4IJ K đều, hãy tính các góc α, β, γ
16 Cho 4ABC Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác đều A0BC, AB0C, ABC0 có tâm lần lượt là A1, B1, C1 CMR:
(a) Tam giác 4A1B1C1đều
(b) AA0= BB0= CC0 và AA0, BB0, CC0 đồng quy
17 Cho hình vuông ABCD và E là điểm ở trong đoạn BC Đường phân giác
trong của \DAE cắt CD ở F CMR: BE + DF = AE
Trang 7Phần VIII
PHÉP VỊ TỰ
1 Cho đường tròn (O) đường kính AB và điểm C cố định trên AB M N là đường kính lưu động, AN cắt CM tại P Tìm quỹ tích điểm P
2 Cho đường tròn (O) và ba dây cung M A, M B, BC CMR: giao điểm của
BA đường tròn đường kính M A, M B, M C khác M lấy từng đôi một thẳng hàng
3 Cho 4ABC M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB S là điểm thay đổi trên đường tròn (ABC) Gọi I, J, K lần lượt là điêm đối xứng của S qua M, N, P
(a) CMR: AI, BJ, CK đồng quy tại điểm S0
(b) Tìm quỹ tích S’
4 Cho hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc trong tại A Đường kính qua A cắt (O) và (O0) lần lượt tại B và C Từ A vẽ đường thẳng cắt (O) và (O0) lần lượt tại M và N Tìm quỹ tích giao điểm I của BN và CM
5 Dùng phép vị tự để chứng minh lại phần thuận của định lý Menelayus
6 Cho hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc ngoài tại A và một đường thẳng
d M là một điểm thay đổi trên d Từ M kẻ hai tiếp tuyến M N và M P đến đương tròn (O) AN và AP lần lượt cắt (O) và (O0) tại N0 và P0 CMR: N0P0 đi qua một điểm cố định
7 Chứng minh rằng trong một tam giác ba trung điểm của ba cạnh, ba chân đường cao và ba trung điểm của ba đoạn nối từ đỉnh đến trực tâm nằm trên một đường tròn (đường tròn Ueler)
8 Dựng hình vuông nội tiếp một tam giác đã cho (có hai đỉnh liên tiếp nằm trên một cạnh của tam giác còn hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại)
9 Cho hai đường tròn tiếp xúc nhau tại A lần lượt có đường kính lần lượt
là AB và AC Từ điểm A người ta vẽ một cát tuyến cắt hai đường tròn trên lần lượt tại B0 và C0 Tìm quỹ tích giao điểm của B0C và BC0
10 Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O0) cắt nhau tại A, B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt hai đường tròn tại P, Q Tìm quỹ tích những điểm M thỏa−−→
AM = 2−→
AP +−→
AQ
11 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; 2R) và A là một điểm nằm
ở ngoài hai đường tròn này M là điểm thay đổi trên (O; 2R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến M B và M C đến (O; R) (B, C thuộc (O; R)) Chứng minh rằng :
(a) BC =√
3R (b) Trọng tâm G của tam giác ABC thuộc một đường tròn cố định
Trang 812 Cho hai đường tròn (O) và (O) bằng nhau và cắt nhau tại A, B C là một điểm cố định ở ngoài (O) Một đường thẳng thay đổi qua C cắt (O) tại
M, N BM và BN lần lượt cắt (O0) tại M0, N0 Chứng minh rằng:
(a) Tam giác AM M0 cân
(b) Trọng tâm tam giác AM M0 thuộc một đường tròn cố định
(c) Đường thẳng M0N0 đi qua một điểm cố định
13 Cho hai điểm M, A cố định nằm ngoài đường tròn (O) cố định Một đường thẳng thay đổi qua M và cắt (O) tại B, C Chứng minh rằng
(a) Trung điểm I của BC thuộc một đường tròn cố định
(b) Trọng tâm G của 4ABC thuộc một đường tròn cố định
14 Cho tứ giác ABCD với M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD,
DA I là điểm thay đổi trên một đường tròn (O) cố định M0, N0, P0, Q0 lần lượt là đối xứng của I qua M, N, P, Q Chứng minh rằng
(a) M P và N Q có cùng trung điểm
(b) M P0, N Q0, P M0 và QN0 đồng quy tại một điểm J
(c) J thuộc một đường tròn cố định
15 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) D là điểm xuyên tâm của
A trên (O) H là điểm đối xứng của D qua trung điểm BC
(a) CMR: H là trực tâm của tam giác ABC
(b) Cho A, (O) cố định; B, C thay đổi trên (O) sao cho \BAC = 600 Chứng minh H thuộc một đường tròn cố định
(c) CMR: HBDC là hình bình hành
(d) Cho (O), H cố định còn A, B, C thay đổi chứng minh trung điểm M của BC chạy trên một đường tròn cố định
16 Cho 4ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O) có tâm O D là điểm xuyên tâm của A trên (O)
(a) Chứng minh HBDC là hình bình hành
(b) Cho A, (O) cố định; B, C thay đổi trên (O) sao cho \BAC = 450 Chứng minh H thuộc một đường tròn cố định
17 Cho hai đường tròn (O) và (O0) bằng nhau và cắt nhau tại A, B Một đường thẳng thay đổi qua B cắt (O) và (O0) lần lượt tại M, N Dựng hình bình hành AM CN Chứng minh rằng:
(a) Góc \M CN có số đo không đổi
(b) C thuộc một đường tròn cố định
18 Trong mặt phằng, góc nhọn xOy và một điểm P nằm trong góc này Hãy tìm trên cạnh Ox điểm M sao cho khoảng cách M P bằng khoảng cách từ
M tới cạnh Oy
Trang 919 Cho đường tròn (O, R) và (O, R) cắt nhau tại A, B thỏa \OAO0 = 135 M điểm thay đổi trên (O), M A và M B lần lượt cắt lại (O0) tại C, D CMR
(a) Hai tamg giác M AD và OAO0 đồng dạng và CD = const
(b) Trọng tâm G của tam giác ACD thuộc một đường tròn cố định
20 Cho O là trọng tâm của đường tròn ngoại tiếp 4ABC Gọi O1, O2, O3 lần lượt là các điểm đối xứng của O qua các cạnh BC, CA, AB CMR: các đường thẳng AO1, BO2, CO3đồng quy
21 Gọi M, N, P lần lượt là các điểm đối xứng của tâm đường tròn nội tiếp 4ABC qua trung điểm của các cạnh BC, CA, AB CMR: AM, BN, CP đồng quy và 4ABC = 4M N P bằng nhau
Phần IX
PHÉP ĐỒNG DẠNG
1 Cho tứ giác ABCD Trên các cạnh AB, CD và về phía ngoài tứ giác ta dựng các tam giác M AB, N CD vuông cân lần lượt tại M, N Trên các cạnh BC, DA và về phía trong tứ giác ta dựng các tam giác P BC, QAD vuông cân tại P, Q Chứng minh M P N Q là hình bình hành
2 Cho hai đường tròn (O) và (O0) cắt nhau tại A, B Một đường thẳng thay đổi qua B cắt (O) và (O0) lần lượt tại M và M0 Gọi I là trung điểm của
M M0 Tìm quỹ tích của I
3 Cho hình thang ABCD vuông cân tại A và D có AB = 2AD = 2CD M
là điểm thay đổi trên cạnh CD Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt
BC tại N Chứng minh trung điểm I của M N thuộc một đường thẳng cố định
4 Trên ba cạnh của 4ABC vẽ ba tam giác BCD, CAE và ABF đồn dạng thuận với nhau
(a) Tính tổng−−→
BD +−→
CE +−→
AF (b) Suy ra hai tam giác ABC và BEF có cùng trọng tâm
5 Cho bốn tam giác đồng dạng thuận ABM, CDN, ADP và CBQ
(a) Chứng minh tứ giác M P N Q là hình bình hành
(b) Dựng hai hình bình hành AM BR và CN DS CMR:
−→
AR +−→
BQ +−→
CS +−−→
DP = ~0
6 Cho điểm A thay đổi trên nửa đường tròn đường kính BC Gọi H là hình chiếu của A lên BC I và J là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABH
và ACH CMR: đường thẳng qua A và vuông góc với IJ đi qua một điểm
cố định
Trang 107 Dựng tứ giác ABCD biết độ dài bốn cạnh và tổng số đo của hai góc B
và D
8 Cho 4ABC Dựng về phía ngoài tam giác này các tam giác đều ABM và CAN Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AM, CN Lấy K thuộc cạnh
BC thỏa KB = 3KC Tính các góc của 4IJ K
Phần X
PHÉP NGHỊCH ĐẢO
1 Cho đường tròn (O) và dây AB cố định P là điểm thay đổi trên (O) gọi (C), (C0) là hai đường tròn qua P , lần lượt tiếp xúc với AB tại A và B Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này
2 Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O) Hai cát tuyến lưu động qua S lần lượt cắt (O) tại A, A0và B, B0 Gọi M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (SAB0) và (SBA0) Tìm quỹ tích M
3 Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài (O), AB là đường kính thay đổi
(a) CMR: đường tròn (SAB) đi qua điểm cố định khác S
(b) SA, SB lần lượt cắt (O) tại M, N CMR: M N đi qua điểm cố định
4 Cho đường tròn (O) và đường thẳng d tiếp xúc với nhau tại A Gọi (ω)
là đường tròn thay đổi tiếp xúc với (O) và d tại điểm khác A CMR: (ω) trực giao với đường tròn cố định
5 Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai B của hai đường tròn thay đổi (O) và (O0) cùng qua A cố định, cùng tiếp xúc với đường tròn (C) cố định và trực giao với nhau (A nằm trong (C) và khác tâm của nó)
6 Cho hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc ngoài ở A và M chạy trên tiếp tuyến tại A Chứng minh rằng thường có haid đường tròn qua M và tiếp xúc với (O) và (O0) Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này
7 Cho hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc ngoài ở A và M chạy trên tiếp tuyến tại A CMR: thường có hai đường tròn qua M và tiếp xúc với (O)
và (O0) Hãy tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn này
8 Cho đường tròn (O) và hai đường thằng Ox, Oy vuông góc nhau Tiếp tuyến tại M thay đổi trên (O) cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B Trục đẳng phương của (O) và (OAB) cắt Ox, Oy lần lượt tại C, D Tìm quỹ tích trung điểm CD
9 Cho hai đường tròn (O) và (O0) tiếp xúc ngoài tại A Một tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O0) là BC (B, C là tiếp điểm) D là điểm cố định trên (O), M là điểm thay đổi trên (O0) tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn (M BC) và (M AD)