TRƯỜNG THCS VINH THANH UBND HUYỆN CẦU KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007 (Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. 4x 2 – 8x + 3 2. x 2 – y 2 + 10 x – 6y + 16 3. x 5 + x + 1 4. a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) Giải : 1. 4x 2 – 8x + 3 = 4x 2 – 2x – 6x + 3 = 2x(2x – 1) – 3(2x – 1) = (2x – 1)(2x – 3) 2. x 2 – y 2 + 10x – 6y +16 = x 2 + 10x + 25 – y 2 – 6y – 9 = (x 2 + 10x + 25) – (y 2 + 6y + 9) = (x + 5) 2 – (y + 3) 2 = (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3) = (x + y + 8)(x – y + 2) 3. x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) = x 2 (x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)( x 3 - x + 1) 4. a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) = = a (b 2 – c 2 ) + b(c 2 – b 2 + b 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) = (b 2 – c 2 )(a – b) + (a 2 – b 2 )(c – b) = (b + c)(b – c)(a – b) – (a + b)(a – b)(b – c) = (a – b)(b – c)(c – a) Bài 2: (5 điểm) 1. Xác đònh hệ số a, b sao cho đa thức: x 4 + ax 3 + b chia hết cho x 2 – 1. 2. Cho biểu thức: a. Rút gọn P. b. Tìm các giá trò của x để P = 1. c. Tìm các giá trò của x để P > 0. Giải : 1. Thực hiện phép chia đa thức x 4 + ax 3 + b cho đa thức x 2 -1 ta được thương là x 2 + ax + 1, số dư là ax + (b + 1) Để chia hết thì đa thức dư phải bằng 0 với mọi x GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 1 TRƯỜNG THCS VINH THANH Do đó: a = 0 và b + 1 = 0 Vậy: a = 0 và b = - 1 2. a. = b. ĐKXĐ: x ≠ 0 ; x ≠ - 3; x ≠ ± 2 P = 1 <=> = 1 <=> x + 4 = 6 <=> x = 2 (không thỏa mãn) Vậy không có giá trò nào của x để P = 1. c. P > 0 <=> > 0 <=> x + 4 > 0 (vì 6 > 0) <=> x > - 4 (và x ≠ 0 ; x ≠ - 3 ; x ≠ ± 2) Bài 3: (4 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử: a 3 + b 3 + c 3 – 3abc. 2. Cho và x, y, z khác 0. Tính giá trò của biểu thức: Giải : 1. a 3 + b 3 + c 3 – 3abc = a 3 + (b + c) 3 – 3bc (b + c) – 3abc = (a + b + c){a 2 – a(b + c) + (b + c) 2 } – 3bc (a + b + c) = (a + b + c) (a 2 – ab – ac + b 2 + 2bc + c 2 – 3bc) = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 – ab – ac – bc) 2. Áp dụng câu 1: nếu a + b + c = 0 thì: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc Ta co ù: Vậy: A = xyz = 3 Bài 4: (4 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD có tâm đối xứng là điểm O. trên đường chéo BD lấy một điểm M, ttrên tia AM lấy điểm E sao cho M Là trung GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 2 TRƯỜNG THCS VINH THANH điểm của AM. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của E trên BC và DC. Chứng minh rằng: 1. Tứ giác HEKC là hình chữ nhật. 2. OM // CM. 3. HK // AC. 4. Ba điểm M, H, K thẳng hàng. Giải : 2 2 I 1 1 B E K O M H C D A 1. Ta có: => tứ giác HEKC là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông). 2. Gọi I là giao điểm của HK và CE, O là giao điểm của AC và BD. Ta có: OM là đường trung bình của ACE Vậy: OM // CE. 3. Ta có: = (góc đồng vò) (1) V COD cân tại O; V CIK cân tại I Do đó: = (2) = (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra : = Vậy: HK // AC 4. Xét V ACE có đường thẳng HK đi qua trung điểm I của CE và HK // AC nên đường thẳng HK đi qua trung điểm của AE, tức đi qua điểm M. Vậy 3 điểm M, H, K thẳng hàng. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A. Điểm E nằm trong tam giác sao cho: . Tính số đo góc AEB ? Giải : GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 3 TRƯỜNG THCS VINH THANH K E C B A Trong tam giác ABC lây điểm K sao cho ⇒ V KAB = V EAC (c – g – c) Do đó: AK = AE ⇒ tam giác AKE cân tại A = 90 0 – 2. 15 0 = 60 0 Nên tam giác AKE là tam giác đều Mà = 360 0 – (150 0 + 60 0 ) = 150 0 ⇒ Ta có: V BAK = V BEK (c – g – c) ⇒ Vậy: = 60 0 + 15 0 = 75 0 GV: ĐỖ KIM THẠCH ST 4 . KÈ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC NĂM HỌC: 2006 – 2007 (Đề chính thức) MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1. 4x 2 – 8x + 3. + 16 3. x 5 + x + 1 4. a (b 2 – c 2 ) + b (c 2 – a 2 ) + c (a 2 – b 2 ) Giải : 1. 4x 2 – 8x + 3 = 4x 2 – 2x – 6x + 3 = 2x(2x – 1) – 3(2x – 1) = (2x – 1)(2x – 3) 2. x 2 – y 2 + 10x –. 10x + 25) – (y 2 + 6y + 9) = (x + 5) 2 – (y + 3) 2 = (x + 5 + y + 3)(x + 5 – y – 3) = (x + y + 8) (x – y + 2) 3. x 5 + x + 1 = x 5 – x 2 + x 2 + x + 1 = x 2 (x 3 – 1) + (x 2 + x + 1) = x 2 (x