M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB M không trùng với Avà B.. Qua M kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q.. Qua N kẻ đường
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
Môn thi: Toán
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2.5 điểm)
A
x 5 x 4 x 1 4 x
a) Tìm x để biểu thức có nghĩa;
b) Rút gọn A
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho
3 1
xy
+
− là số nguyên dương.
Câu 3: ( 2.0 điểm)
Giải phương trình:
x 1 2 x 1
4 2− − = − −2; b) (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297
Câu 4 (1,5 điểm )
Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh rằng :
a b b c c d d a 0
Câu 5 (2,5 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm M là một điểm bất kỳ trên cạnh AB (M không trùng với Avà B) Qua M kẻ các đường thẳng d, d’ lần lượt song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P Tìm vị trí của M trên AB để diện tích
tứ giác MNPQ lớn nhất
-Hết -Họ và tên thí sinh: ……… SBD:………
Trang 2Môn thi: Toán
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số
m Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức : 2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 5 x 4 x 1 4 x
a Tìm x để biểu thức có nghĩa
b Rút gọn A.
A
x 5 x 4 x 1 4 x
a Để biểu thức có nghĩa, khi và chỉ khi :
(x 0 )( )
x 0
x 0
x 1 x 4 0
x 5 x 4 0
x 1 0
x 4 0
≥
≥
≥
0.5
x 16
x 4
≥
⇔ ≠ ⇔ ≠
≠ ≠
0.5
b Rút gọn A : Với x 0;x 1;x 16≥ ≠ ≠ , ta có :
( 2 x 11)( ) x 2 2 x 1
A
x 1 x 4
x 1 x 4
0.25
2 x 11 x 2 x 4 2 x 1 x 1
x 1 x 4
=
2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1
x 1 x 4
=
Trang 3Câu Đáp án Điể
m
2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x( x 1)( x 4) x 1
=
( x 1x )(x 2x 4) ( ( x 1x 1)( )( x 2x 4) )
+ −
x 2 A
x 4
+
⇒ =
Câu 2: (1,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y) sao cho
3 1
xy
+
− là số nguyên dương
Ta có:
3
2 1 1 ; ; 1 1 1
xy
+
0.5
0.5
Ta có PT x + y + z = xyz
Do vai trò x,y,z như nhau , giả sử
2
x y z≥ ≥ ⇒xyz x y z= + + ≤ x⇒ ≥ yz z≥
⇒ = ≥ ⇒ ∈
0.25
- Nếu y=1 thì x+2=x ( loại)
- Nếu y=2 thì x=3
- Nếu y=3 thì x=2 ( loại vì x≥y).
Vậy (x,y,z)=( 3;2;1) và các hoán vị của nó
0.25
Câu 3: ( 2.0 điểm) Giải phương trình
x 1 2 x 1
4 2− − = − − 2 b (x - 1)(x + 5)(x - 3)(x + 7) = 297
Phương trình đã cho tương đương với :
x 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 1 2 x 1
x 1 1 4 x 1 3 x 1 1 4 x 1 3
⇔ − − = − − ⇒ − − = − −
0.25
Trang 4x 1
x 1
x 1 1 4 x 1 3
4 x 1 3 0
x 1
x 1 1 4 x 1 3
9
x 1
x 1 1 3 4 x 1
≥
≥
− − = − −
− − = − − ≥
− − = − −
0.25
x 1
≥ ≥
≥
− = = + =
− =
+ Trường hợp thứ nhất : x 14 19
9 16
= ≤ (loại)
+ Trường hợp thứ hai : x 116 19
25 16
= ≥ (thoả mãn)
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là : x 116
25
=
0.25
b
PT đã cho
( x2 4x 5)(x2 4x 21) 297 (x2 4x 32)(x2 4x 6) 0
+) Trường hợp: x2 +4x−32 0=
Ta có : x2 +4x−32 0= ⇔ x2+8x−4x−32 0= ⇔ x x( + −8) 4(x+ =8) 0
4 ( 8)( 4) 0
8
x
x
=
⇔ + − = ⇔ = −
0.25
+) Trường hợp: x2 +4x+ =6 0
Ta có : x2 +4x+ =6 x2 +4x+ + = +4 2 (x 2)2 + > ∀2 0 x 0.25
Câu 4 (1 5 điểm ) Cho a,b,c,d là các số dương Chứng minh rằng :
a b b c c d d a 0
− + − + − + − ≥
Trang 5Cõu Đỏp ỏn Điể
m
− + − + − + − + − + − + − + −
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b c c d d a a b
+ + + + Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
0.25
Cõu 5 (2,5 điểm)
Cho hỡnh chữ nhật ABCD cú AB = 6 cm, AD = 4 cm M là một điểm bất kỳ trờn cạnh AB (M khụng trựng với Avà B) Qua M kẻ cỏc đường thẳng d, d’ lần lượt song song với AC, BD, chỳng cắt cỏc cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q Qua N kẻ đường thẳng song song với BD cắt CD tại P Tỡm vị trớ của M trờn AB để diện tớch tứ giỏc MNPQ lớn nhất
k
x y
4-y
6-x
d' d
P
M
N
C D
B A
Gọi O, I, J, K lần lợt là tâm của hình chữ nhật ABCD, giao điểm của
MN với BD, giao điểm của MQ với AC, giao điểm của NP với AC
Gọi khoảng cách từ điểm M đến điểm A là x (cm), thì khoảng cách từ
điểm M đến điểm B là : 6 - x (cm)
Gọi khoảng cách từ điểm Q đến điểm A là y (cm), thì khoảng cách từ
điểm Q đến điểm D là : 4 - y (cm)
0.25
Vì : d '/ /BD, hay : MQ / /BD và: d / /AC, hay : MN / /AC
nên suy ra :
AB AD 6 x 4 y y 4 y y 4 y 4 2
hay suy ra : y 2x
3
⇒ =
0.25
Trang 6Vì : O là trung điểm của BD (tính chất hình chữ nhật)
nên suy ra : ⇒ J là trung điểm của đoạn thẳng QM
Tơng tự, ta cũng chứng minh đợc:
I là trung điểm của đoạn thẳng MN
K là trung điểm của đoạn thẳng NP
0.25
⇒ MQ / /NP và MQ = NP
⇒ Tứ giác MNPQ là hình hành
⇒ MN = QP AMQ CPN (g.c.g)
⇒ ∆ = ∆ và BMN∆ = ∆DPQ (g.c.g)
0.25
Do đó, suy ra :
Diện tích của tứ giác MNPQ đợc xác định bằng :
MNPQ MNPQ AMQ BMN
ABCD
S =AB.AD 6.4 24(cm )= =
AMQ
S AM.AQ x.y(cm )
BMN
S BM.BN 6 x 4 y (cm )
0.25
suy ra :
MNPQ
S 24 2 x.y 6 x 4 y 24 xy 24 6y 4x xy
= 24 - 2xy 24 6y 4x 2xy 6y 4x
+ − − = − + + thay y 2x
3
= , vào ta đợc :
0.25
MNPQ
S 2x x 6 x 4x 8x x 4x 24x 36 36
1 = 36 2x 6 12 2x 6 12, do : 2x 6 0
3
với mọi x
0.25
Theo đó, để diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 12 cm2, thì phải xảy
ra :
2x 6 0 2x 6 0
x 3 (cm)
⇒ − =
⇒ = hay điểm M là trung điểm của cạnh AB của hình chữ nhật ABCD đã cho
0.5