Bài tập lớn: Các bài toán giải phương trình ppsx

Bài tập lớn: cácbài toán giải phương trình... Bài tập lớnBài 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm thực của các phương trình... x yDùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b... Bằn

Bài tập lớn: các

bài toán giải

phương trình

MỤC LỤC

Bài tập lớn 1

Bài 13: Cho bảng giá trị 20

CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN 22

Bài 15: Cho bảng giá trị 22

Bài giải 22

*) So sánh với kết quả đúng tính đạo hàm của hàm số y = lgx 22

Bài giải: 23

CHƯƠNG 6: 26

Bài giải: 28

Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1 28

U4= U3+ hf(x3 ; y3) = 1+ 0,1(0,93084412-1,32)= 0,848491173 28

Bài giải 32

Ta có: U0= y(0) =1 32

Bài giải 32

Ta có: U0= y(0) =0,943747 32

+) = 0,926822832 32

+) = 0,859038 33

+) = 0,764708 33

Bài tập lớn

Bài 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm thực của các phương trình.

1) x2– 4x – 1= 0 2) log10x – 3x +5 = 0

3) x – cosx = 0 4) x3– 9x2 + 18x -10 = 0

Lời giải :

1) f (x) = x2– 4x – 1

f’(x) = 4x3 - 4 <=> f’(x) = 0 => x3= 1 => x = 1

Bảng biến thiên:

Ta có :

f (0) = - 1 < 0 Khoảng phân ly nghiệm 1[ -1 ; 0 ]

f (-1) = 4 > 0

f (1) = - 4 < 0 f (2) = 7 > Khoảng phân ly nghiệm 2 [ 1 ; 2 ] Vậy nghiệm thực của phương trình là: [ -1 ; 0 ] và [ 1 ; 2 ]. 2) log10x – 3x +5 = 0 y <=> log10x = 3x +5

Đặt: y1 = log10x

y2 = 3x +5 1

 0   x

-1 1 2

- 1

-2

Từ đồ thị ta có:

f (1) = 2 > 0 Khoảng phân ly nghiệm [ 1 ; 2 ]

Vậy nghiệm thực của phương trình là: [-1;1,27 ] ; [ 1,27; 4,73]; [ 4,73; 7]

Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của

Ta lấy nghiệm gần đúng:  = - 2.538084

Đánh giá sai số: |α – bα – bn|α – b ≤ bn - an = |α – b-2.5390625 –

(-2.538084) |α – b = 9,785.10 - 4 < 10-3

a) x3+ 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5)

x3 = (x2+ 1 ) -1/2 = 0.755434561

x4 = (x3+ 1 ) -1/2 = 0.754757917

Ta lấy nghiệm gần đúng:  = 0.754757917

Đánh giá sai số: |α – b - x4 |α – b = q

q



1 |α – b x4 – x3 |α – b = 4,7735.10-4 < 10-3

Bài 4: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10 -2

a) x3+ 3x2 + 5 = 0

b) x4 – 3x + 1 = 0

Lời giải :

a) x3+ 3x2 + 5 = 0

Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình:

f (x) = x3+ 3x2 + 5

<=> x3 = 5 - 3x2

Đặt y1 = x3

y2 = 5 - 3x2

y

-2   0  1 x

-1

-2

Từ đồ thị ta có: f (-2 ) = - 9 < 0

Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ]

x f

x f

= -1.4

x2 = x1 - (( ))

1 '

1

x f

x f

= -1.181081081

x3 = x2 - (( ))

2 '

2

x f

x f

= -1.154525889

x4 = x3 - (( ))

3 '

3

x f

x f

x f

x f

= 0.3333

x2 = x1 - (( ))

1 '

1

x f

x f

= 0.33766

x3 = x2 - (( ))

2 '

2

x f

x f

x1 = x0 - (( ))

0 '

0

x f

x f

= 1.6206896

x2 = x1 - (( ))

1 '

1

x f

x f

= 1.404181

x3 = x2 - (( ))

2 '

2

x f

x f

= 1.320566

x4 = x3 - (( ))

3 '

3

x f

x f

= 1.307772

x5 = x4 - (( ))

4 '

4

x f

x f

x y

Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình

Ax=b Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy:

0,1-0,1

0,40,8

0,266670,826670,281

1

0,06278-1,48448

0,55605-0,333261

1

0,541960,32397

Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 )

-2,04,33

19,073,21-18,25

8,9231-6,88462

-0,769236,60769-1,61538

7,33462-18,7938625,75772

3,93754

-2,294099,96378

1

1

-4,335081,77810

(I)

Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x(a)=g và đánh giá sai số của x3

Giải: Từ phương trình (I)

/ 1 4

/ 1

5 / 16 5

/ 1 5

/ 1

8 / 1 8

/ 1 8

/ 1

y x

z

z x

y

z y

, 0 25

,

0

2 , 3 2

, 0 2

, 0

12 5 ,

0 125

, 0 125

,

0

y x

z

z x

y

z y

, 0 25

,

0

2 , 0 0

2 ,

0

125 ,

0 125

, 0 0

0

Ta xet r = maxi 



3 1

j ij

3 1

r r

 r = maxi 



3 1

j ij

0,13500,25

0,1250,20

-3,2-3,575-3,865-3,94484375

-1,75-2,58125-2,8296875-2,939882875

 .0,110195375 = 0,110195375Vậy ta có nghiệm của phương trình là:

0, 25897 1 0,12171 1

0, 29038 1

r r r

-0,16887

-0,15902-0,048260

1,119211,179281,177731,177741,177511,177531,17751Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751)

b Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25)

Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều

132

513

0,00096

-Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính:

Sai (0,014) = pn(x) [ x=0,1+0,1t] = y0 + t

! 1

0,00295-0,00199

0,00096

-0,1 0,09983

Dựa vào công thức sai phân lùi ta có

Sin(0,46) = p(x) ; [x= 0,4 + 0,1t = mọi người nhập trong tài liệu.

Sai số tính theo công thức (4.7) ở trênta có :

7,328,249,2010.911,0112,05

4163264100144

14,6432,9655,2081,52110,1144,6

Giá trị công thức na+b∑xi =∑yi

a∑xi +b∑xi2 = ∑xiyi

42

01 , 58 42 6

b a

b a

b a

Vậy công thức nghiệm có dạng: y=6,4x +0,5

Bài 13: Cho bảng giá trị

y= f(x) 7,23 8,24 9,20 10,19 11,01 12,05Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = ax + b

4 , 6 373333333 , 6 02 , 439 364 42

01 , 58 42 6

b a b

a b a

Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là y 0  , 5 6 , 4x

Bài 14: Cho bảng giá trị

y= f(x) 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28Hãy tìm công thức thực nghiệm có dạng y = a + bx + cx2

94

7504 574 ,

3 41 761541

, 102 7681

, 32

7696 ,

29 761541

,

1 02 7681

, 32 61

,

11

35 , 11 7681

, 32 61

, 11 5

c b

a

c b

a

c b

1

4

0 147141 29 ,

4

5

02255 3658 ,

5

c b

Vậy công thức thực nghiệm cần tìm là : y 5  4xx2

CHƯƠNG 5: TÌM NGHIỆM GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 15: Cho bảng giá trị

i

i i

y x x

b

x

a

y x

b

a

n

.

.

.

2

Tính gần đúng y’(55) và y’(60) của hàm số y = lgx So sánh với kết quả đúng tínhđạo hàm của hàm số y = lgx.

-15 , 0 )(

12 , 0 (

30 847435 ,

365 927294

, 2173 340585

365 854588

, 4347 02176

, 19162 53444

, 29708

365 854588

, 4347 02176

, 19162 12

, 0 53444 , 29708

y  0,7739332 0,7651977 0,7563321 Giải:

Theo bài ra ta có h = 0,02

Áp dụng công thức Taylo, ta có: ( ) ( 0 ) ( 0).

0 /

h

x f h x f x

02 , 0

7651977 ,

0 7563321 ,

0 02

, 0

) 00 , 1 ( ) 02 , 1 ( ) 1 ( ) 1

Vậy y/ ( 1 )   0 , 44328

Câu 19

0,510204081 +0,034293552 + 2(0,308641975 + 0,206611570 +

I  T   Với M  Max f // (x) , với mọi

a b

x ,

/ 2 /

8 32 )

4 1 (

1 )

( )

4 1 (

1 )

(

x

x x

x f x x

3 4

/ 4 //

) 4 1 (

96 384 )

4 1 (

) 8 32 ( ) 4 1 ( 16 ) 4 1 ( 32 )

4 1 (

8 32 )

(

x

x x

x x

x x

x x

96 1 , 0 384 ) 1 , 0

1 , 0 98958767 ,





.Câu 20 Cho tích phân:





5 , 3

2 1

1

dx x

Trong đó M  Max f //// (x) với axb

Ta có:

4 2 ////

3 2

2 ///

2 2

//

2 /

) 2 1 (

) 1 (

64 ) (

) 2 1 (

20 24 12 ) ( )

2 1 (

4 4 )

( 2

1

2 )

( 1

1 )

(

x x

x x

f

x x

x x x

f x

x

x x

f x x x

f x

x x

0 180

) 2 5 , 3 (

125 , 0 64 64

) 2 ( )

(

4 S





Ta tính ra bảng sau :

8 , 0

2

cos1

sin

dx x x

Chia [-0,8; 0,8] thành 16 đoạn bằng nhau, suy ra h =

16

)8,0(8,

0 ln(1 cos )

)ln(cosChia [-0,5;0,5] thành 8 đoạn bằng nhau ta có h =0,125

Ta tính ra bảng sau :

f(x) =

)cos1ln(

)ln(cos

Thay số và tính toán ta được kết quả I s = - 0,065330

Bài 24: Cho bài toán Cauchy:

y’= y2 - x2

Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler trên [1,2], chọn bước h= 0,1

Bài giải:

Theo đầu bài ta có: h= 0,1; U0= y(1)= 1, x0 = 1

Áp dụng công thức Euler: Ui+1= Ui+ hf(xi ; yi)

Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến ( chỉ lặp 1 lần),chọn bước h

= 0,2 và so sánh kết quả với nghiệm đúng

) , (

) 0 (

1 (

0 0

2 , 0 2 2 , 1 1

0 2 1 1 , 0

186667 ,

1

2 , 0 2 186667 ,

1 2 , 0 186667 ,

1 ) , ( 2 ,

0 ( 1 )

1 1 )

1 ( 1 )

1 ( 1 1 )

1 ( 1 )

1 356585 ,

1

4 , 0 2 356585 ,

1 186667 ,

1

0 2 186667 ,

1 1 , 0 186667

1 348325 ,

1

4 , 0 2 348325 ,

1 2 , 0 348325 ,

1 ) , ( 2 ,

0 ( 1 )

2 2 )

1 ( 2 )

1 ( 2 2 )

1 ( 2 )

1 499325 ,

1

6 , 0 2 499325 ,

1 348325 ,

1

4 , 0 2 348325 ,

1 1 , 0 348325

1 493721 ,

1

6 , 0 2 493721 ,

1 2 , 0 493721 ,

1 ) , ( 2 ,

0 ( 1 )

3 3 )

1 ( 3 )

1 ( 3 3 )

1 ( 3 )

1 631793 ,

1

8 , 0 2 631793 ,

1 493721 ,

1

6 , 0 2 493721 ,

1 1 , 0 493721

1 627884 ,

1

8 , 0 2 627884 ,

1 2 , 0 627884 ,

1 ) , ( ( 1 )

4 4 )

1 ( 4 )

1 ( 4 4 )

1 ( 4 )

1 756887 ,

1

1 2 756887

, 1 627884 ,

1

8 , 0 2 627884 ,

1 1 , 0 627884

Câu 26 Cho bài toán Cauchy y/ xy.

y(0)= 1 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Euler cải tiến với độ chính xác đến 4 chữ số lẻ thập phân trùng nhau, giá trị của y(0,1) chọn bước h = 0,05.

Giải:

Theo bài bước h = 0,05 f(x,y) = x + y Theo công thức Euler cải tiến ta có:

 ( , ) ( , )2

) ( 1 1 )

) 0 ( 1 1 0

0 0

) 1 ( 1 1 0

0 0

) 0 ( 2 2 1

1 1

) 1 ( 2 2 1

1 1

1 2 /

Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge – Kutta cấp 4 trên 0 ; 0 , 6.Chọn bước h= 0,2

Giải Theo bài ra, ta có

3 2 , 0

0 6 , 0

2 , 0 , 6 , 0 , 0

0 0

h b

0 0

x u

0 2020402 ,

0 2 202 , 0 2 2 , 0 ( 6

1 0 ) 2

2 ( 6 1

208164048 ,

0 ) 2020402 1

( 2 , 0 )

; (

2020402 ,

0 ) 101 , 0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

202 , 0 ) 1 , 0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

2 , 0 ) 0 1 ( 2 , 0 ) , (

4 3 2 1 0

1

2 3

0 0 4

2 2

0 0

3

2 1

0 0

2

2 0

0 1

u

k u h x f h

k

k u

h x

f h

k

k u

h x

f h

k

u x f h

0

1 1

x u

Ta có:

422788992 ,

0 ) 235649101 ,

0 219483908

0 2 208218058 ,

0 ( 6

1 202707408 ,

0 ) 2

2 ( 6 1

235649101 ,

0 ) 422191316 ,

0 1 ( 2 , 0 )

; (

.

219483908 ,

0 ) 31212104 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

218827265 ,

0 ) 306816437 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

208218058 ,

0 ) 202707408 ,

0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 1

2

2 3

1 1

4

2 2

1 1

3

2 1

1 1

2

2 1

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

0

2 2

x u

Ta có:

6841334 ,

0 ) 293498538 ,

0 260945382

0 2 235750106 ,

0 ( 6

1 422788992 ,

0 ) 2

2 ( 6 1

293498538 ,

0 ) 683734374 ,

0 1 ( 2 , 0 )

; (

.

260945382 ,

0 ) 552020752 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

258463521 ,

0 ) 540664045 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

235750106 ,

0 ) 422788992 ,

0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 2

3

2 3

2 2

4

2 2

2 2

3

2 1

2 2

2

2 2

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

0

3 3

x u

029636621 ,

1 ) 412063133 ,

0 345582905

0 2 293607701 ,

0 ( 6

1 6841334 ,

0 ) 2

2 ( 6 1

412063133 ,

0 ) 029716305 ,

1 1 ( 2 , 0 )

; (

.

345582905 ,

0 ) 853179071 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

338091342 ,

0 ) 83093725 ,

0 1 ( 2 , 0 ) 5 , 0

; 5 , 0 (

.

293607701 ,

0 ) 6841334 ,

0 1 ( 2 , 0 ) ,

(

.

4 3 2 1 3

4

2 3

3 3

4

2 2

3 3

3

2 1

3 3

2

2 3

u

k u h x

f

h

k

k u

h x

f

h

k

k u

h x

Bài 28: Dùng phương pháp trung điểm giải bài toán sau:

Với ; y(0) =1, chọn bước h =0,2 Kết quả làm tròn 6 chữ số lẻ thập phân

Với ; y(0,3) =0,943747, chọn bước h =0,1 Kết quả làm tròn 6 chữ số